大学物理综合练习题-静电学

《大学物理》综合练习（四）

——静电学

教学班级：序号：姓名：日期：

一、选择题（把正确答案的序号填入括号内）

1.两个电量都是+q的点电荷相距2α,。为其连线的中

点，如图所示。则其中垂线y轴上，场强取极大值的点

到。点的距离为

(A)-∣-;(Bga；(C)4a；(D)√2ao

解：E=2EACOsa=2―

4πε0rr

2.真空中两带电平行板A、B,板间距为d（很小），板面积为S,带电量分别为+Q和

-Q.若忽略边缘效应，则两板间作用力的大小为

(ʌ)-ɪʃ唱;

4吟d~©箸⑼条

,F=QE=^2-

解:1

2%S

3.如图，A、B是真空中两块相互平行的均匀带电平面,

电荷面密度分别为+。和-2cr,若A板选作零电势参考

点，则图中。点的电势是

,A受

3σd

(C)-(D)

£。

解：£=2+也=或

Ze。2202E0

Ua=JwdZ=-

4.四个点电荷的电量相等，两正两负置于正方形的四角上，

...φ

如图所示。令U和E分别为图示中心。处的电势和场强的

i

大小，当仅有左上角的点电荷存在时，。点处的电势和场强

∙/>

分别为U0和E0,试问U和E的值为多少？

(A)U=U0,E=E0;(B)U=O,E=O;

(C)U=0,E-4E0；(D)U-4U0,E=0。Θ--------®

解：E=Eλ+E2+E3+E4=0

U=Ul+4++巩=0

5.如图所示，在相距2R的点电荷+q和—q的电场中，把点电荷+。从。点沿OC。移到

。点，则电场力作功与+Q(系统)电势能的增量分别为

(ʌ)ɪ,⑻*，ɪ,

4疵OR4笳OR4笳OR4叫)R

+4O-qn

(C)^;(D)^

6.0R6宓OR6πε0R6πε°R

解:

Qq

WD-WO=-AOD=-

6兀R

6.两大小不相等的金属球，大球半径是小球半径的二倍，小球带电量为+q,大球不带电。

今用导线将两球相连，则有

(A)两球带电量相等；(B)小球带电量是大球的两倍；

(C)两球电势相等；①)大球电势是小球的两倍。

解：两球电势相等

7.有一接地导体球，半径为R,距球心2R处有一点电荷

-4,如图所示。则导体球面上的感应电荷的电量是

(A)O;(B)—q；(C)g∕2;①)-q∕2°

解：U。=---------------=0

吟

4πε0R42R

一

q-2

8.一无限大均匀带电介质平板A,电荷面密度为力，将介质板移近一导体B后，此时导体

8表面上靠近P点处的电荷面密度为P点是极靠近导

体8表面的一点，如图所示，则P点的场强是

(A)舁+3；(B)『多；(C)生+白

2j2j2εa2ε0ε02ε0分

C

(D)”—£L；(E)2；(F)以上都不对。

42ε0

B

解：利用导体静电平衡条件和高斯定理可证。

9.两个同心金属球壳，半径分别为八、r2{r2>ι∖),如果外球壳带电4而内球壳接地，则

内球壳带电为

(A)O;(B)—4；©%;(D)----Lqo

r2r2

解：球心电势Uo=----1---—=0,q,=——q

4≡0r24≡0r1r2

10.如图所示，一个封闭的空心导体，观察者A(测量仪器)和电荷

2置于导体内，而观察者B和电荷置于导体外，下列说法中

Iw一种是正确的•B

(A)A只观察到0产生的场，B只观察到Q2产生的场；

可观察到和Q产生的场，只观察到Q产生的场；

(B)A22B2•Q

(C)A只观察到。产生的场，B可观察到2和Q产生的场。

解：导体空腔外的电荷对导体腔内的电场及电荷分布没有影

响，A只观察到Ql产生的场；

Ql通过在腔外表面感应出等量同号电荷影响外电场，B

可观察到Ql和。2产生的场。

11.密度均匀的电荷分布在半径为”的球内，其总电量为Q,则系统的总静电能为

(A)-≤^;(B)普二；(C)Q2；(D)-L

8您0。20点Oa12笳OCr8宓0a

解：利用高斯定理

,口Qr、口Q

r<a：E=--------；r>a：E=--------

ii2

4πεfia4叫r

We=-εE2,

2

W=己与欧dV+己/域dV=30

JO201Ja2°220fa

12.一个半径为用的金属球带有正电荷Q,球外包围着一层同心的相对介电常数为％.的均

匀电介质球壳层，其内半径为此，外半径为此,在电介质内的点α距离球心为乙亿<%)，

则4点的电势为

(A)——；(B)---+---；

4加上4πεnRl4πεrεnru

(C)^;⑼―+」-。

4加户。%4%/HR1)4πεnR2

解：由高斯定理

RI<r<R2：E1=----——-；

4πε0εrr

r>氏2:E?-22

4fr

K=fE∙dZ=fE.dZ+∫∞EAl

aa122

------Q--------(----1---------1---YI-----------Q--------

^πεrε^raR2J4笳

二'填充题(单位制为SI)

1.如图所示，两个点电荷力与纭位于坐标X轴上，已知

两电荷间距离为。，A点到％的距离为4,则A点的场

强后=Ej+Ej,其中Er=--------"F

,4宓0”+从)

bQsX

]q】a%

221

4在O(α2+bya

解：EI=-------A—-,E2=-^-

4笳0(〃+b)4笳Oa

cos3=/卜,sin6=/CI

y∣a2+b2^a2+b2

Ex=-E1CoSe=---4-麻----o--(y/+方2产2

2.一无限长带电圆柱体，半径为从其电荷体密度Q=K/r,K为常数，r为轴线到场点

bκK

的距离，则带电圆柱所产生的场强分布在圆柱体外为E=——；在圆柱体内为E=一。

%a£^

解：利用高斯定理，做半径为α,长为Z的圆柱形高斯面

a>b：2πalE=^=ɪʃɑpdV=ɪʃɑ-2^rZdr

%%与,

a<b：2τaιl∙E=^=ɪʃɑpdV=ɪʃɑ-2^rZdr

%%与r

£。

3.把单位正电荷从一对等量异号电荷连线中点。，沿任

意路线移到无穷远处，则电场力对该单位正电荷所作

的功为O。

解:

或AO∞=-LJ∞)=°

4.长度为L的细玻璃棒，沿着长度方向均匀地分布着电

荷，总电量为Q,如图所示。在棒的轴向有一点P,离卜「十L1J

棒左端的距离为r,则P点的电势U=J

ɪɪnAiioh~~ɪ--------H0

4您OLr

解：U=

4πε0x

[r+L2dxQ1L+r

=Jr--------=---------ɪɪɪ-------

4呵X4呵Lr

5.如图所示，有一半径为R的均匀带电圆环，带电量为。，

其轴线上有两点“和匕，石=Z=R。设无穷远处的电势

为零,。、两点的电势分别为0和U,,则幺2

q

QQ

解：ui=

4疵Oy∣R2+R24冗£。√2∕?

1

U2-QQ

4fJR2+4R24≡0√5Z?

2

Ul

6.接第5题，把电荷q从“点移到〃点，外力作的功A外=

解：电场力的功Aab=q(U1-U2)

外力作功A外=“2一％)二盘(专一专

7

7.在带电量为Q的导体球外部有一相对介电常数为£,的电介质球壳，在电介质内外分别

为有两点A、B,它们到球心的距离为与和R?,则

QQ

E(4)=,。2；f<β)=T-⅛i

4z疫0%RI-4在ORW

QQ

O(A)=^y;D(B)=

4成:4成：

解：利用E、0的高斯定理及E、D

+Q

关系求解。

8.两带电量皆为+Q的点电荷相距24,一接地的半径为厂的导体球置于它们中间，如图所

示。则导体球所带的净电量4=-22；若去掉接地线，把导体球充电到电势U,则导

a

r（4您0。一半）

体球所带净电量d=

b∙

9.有一固定不动半径为R的导体薄球壳,带电量为-。「在薄球壳的正上方到球心”的距

离为r=3R的6点放一点电荷+。2,如图所示。则导体薄壳中心。点的电势U,=

Q-3Q导体薄球壳面上最高点”的电势U“=吐也。

12在ORV2庙OR

QiQiQ-ɜgɪ

解：UO=---------------=2

所叫

4Or4R12πεiiR

Q-

Ua—Uo2

12疵OR

10.如图所示，中性导体。内有带电体A、B,外面有带电体

D、E、F……,今使A、B所带电量变化，则C外的电

场变化（变或不变）,电势变化（变或不变）；

D、E、F……电量变化，。内的电场不变，C内的申,势变化

解：根据导体静电感应条件及屏蔽概念可解。

三、计算题

不讲1.如图所示，一带电细线弯成半径为R的圆环,

电荷线密度为X=4COS°,式中4为一常数，φ为

半径R与X轴的夹角，试求环心。处电场强度。

解：在圆环上任取一段d/,（U到O

点的连线与X轴夹角为e，则dZ段

上的电荷

dq=λdl=λRAφ=丸OKCOSede

dq在。点产生场强的大小为

∖Idq2

aEj7=-----------=0cosφaφ

4仍0R24左£。R

dE的方向如图所示。

dEx=-dEcos^>,dEy=-dEsin^

整个圆环上的电荷在。点产生的场强为

EX=JdEx=-fdEcos^

=⅛-ʃ^eos^d^ɪ-ɪ

4格O衣J°ψψ4/K

Ey=JdEy=一喘L^JrCoS0sin0d。=O

..E=Exi+Eyj=-

4£。R

不讲2.一半径为R的带电球体，其电荷体密度P=Kr,K为正常数，r为球心到球内一

点的矢径的大小。求此带电球体所产生的电场强度的分布。

解：在球体内，取半径为r的球面为高斯面，所含电量4

,2,

q=∫ypdV=∫θp4^rdr

A4U

=[r4πKr,4dr,=-πKrs

jno5

由高斯定理得

jE∙ds=4m2后内=-—πKrs

Kr3

E内二,(rvK)

5£°

在球外，取半径为r的球面为高斯面，所含电量

2,45

q=jvpdV=∫θp4^zrdr=j^4πKrdr=-πKR

5

JE∙da=4"2月外=^-πKR

(r>R)

3.一圆盘，半径R=8.0χl()-2m,均匀带电，而电荷面密度er=2.0x10-5CZm2,求:

(1)轴线上任一点的电势(用该点与盘心的距离X表示)：

(2)从电场强度和电势梯度的关系，求该点的电场强度；

(3)计算x=6.0χl0-2m的电势和场强。

解：（1）半径为/、宽度为dr'的窄

圆环的带电量为

dq=σ2πrfdr,

此窄圆环在P点产生的电势

dU=-β^-

4笳Or

整个圆环在尸点产生的电势为

r'=(VX2+R2-x)

U=JdU=J啜^丫2Ir

√VI，2斯

⑵吗=一也=一1

加2foUx2+2?2)

/\

=21一-/「.场强方向沿X轴正向。

2n(X2+R2J

(3)x=6.0×10^2m,jR=8.0×10^2m,

er=2.0x10-5CZm2

t7=4.5×104V,E=4.5×IO5V/m

σσ

∖σ^23σ4

不讲4.有两个无限大平行平面带电导体板，如图所示。证明:

(1)相向的两面上，电荷面密度总是大小相等而符号相反；

(2)相背的两个面上，电荷面密度总是大小等而符号相同。

解：(1)取两底面分别位于两导体板内部

的柱面为高斯面，设底面面积为As,则由P

1234

高斯定理得

%E∙dd=/侧E∙df+f底1E∙d6+J底2Eds=O

面内包围电荷q=σ2∆s+σ3^s

••=一^3

⑵在左导体内部场强为零，即各面上的电荷在其内产

生的合场强为零

Ep=E1-E2-Ei-=O

即E-E=E+E=+=O

14232⅞20

£i__∙-

所以2…。一°,σ,2σ4

5.半径为八的导体球带有电荷q,此球外有一个内、外半径为4、q的同心导体球壳，壳

上带有电荷Q，如图所示。

(1)求球的电势q,球壳的电势力及其电势差AU；

(2)用导线把内球和外球壳的内表面联结在一起后，

U.和AU各为多少？

(3)在情况(D中，若外球接地，U、、力和AU又各为

多少？

(4)在情况(D中，设外球离地面很远，若内球接地，情

况又怎样？

解：(1)由于静电感应，球壳内表面应

带电一4，外表面带电q+。。内球电势

Ul=J：后∙d>=J；E∙d>+J：E∙d尸

4笳Or

(<YY、

-----H-----+Q

4

≡ol∏r2r3))4仍()G

ΤΤΤJQq工Q+q

或U1=UQ=---------------------------4--------------

4笳OrI4犯oG4笳OG

外球电势U2=∫*E∙dr=f-^^-drQ+q_

''4症Or4f「3

1

两球间的电势差=U1-U2=

4笳OHr2)

⑵连接后Ul=U2=整义土Idr=旦主里