医学知识一损伤力学

损伤力学理论西南交通大学力学与工程学院07:08课程内容绪论（损伤力学的基本概念、分类等）一维损伤理论三维各向同性损伤理论07:08课程内容绪论（损伤力学的基本概念、分类等）损伤、损伤力学损伤、损伤力学的分类损伤力学的研究方法一维损伤理论07:08绪论：损伤力学的基本概念材料的损伤在外载或环境的作用下，由于材料细观结构的缺陷，如微裂纹、微空洞等，引起的材料或者结构的劣化过程。损伤力学是研究含损伤介质的材料性质，以及在变形过程中损伤的演化、发展，直至材料或结构破坏的力学过程的学科。07:08绪论：损伤的分类07:08按照材料变形和状态区分（狭义上分类）弹性损伤、塑性损伤、蠕变损伤、疲劳损伤、动态损伤、腐蚀损伤、辐照损伤、剥落损伤等。弹性损伤：弹性材料中应力作用而导致的损伤。材料发生损伤后没有明显的不可逆变形，又称为弹脆性损伤；塑性损伤：塑性材料中由于应力作用而引起的损伤。要产生残余变形。蠕变损伤：材料在蠕变过程中产生的损伤，也称为粘塑性损伤。这类损伤的大小是时间的函数。绪论：损伤的分类07:08按照材料变形和状态区分（狭义上分类）疲劳损伤：由应力重复作用而引起的，为其循环次数的函数，往往又与应力水平、应力幅等有关；动态损伤：在动态载荷如冲击载荷作用下，材料内部会有大量的微裂纹形成并扩展。这些微裂纹的数目非常多，但一般得不到很大的扩展（因为载荷时间非常断，常常是几个微秒）。但当某一截面上布满微裂纹时，断裂就发生了；腐蚀损伤：腐蚀引起材料性能降低、截面积减少等辐照损伤：辐照引起材料性能变化剥落损伤：材料剥落引起有效材料的减少绪论：损伤的分类07:08按照宏观的材料变形特征分类（广义上分类）脆性损伤、韧性损伤和准脆性损伤脆性损伤：材料在变形过程中存在为裂纹的萌生与扩展；韧性损伤：材料在变形过程中存在为孔洞的萌生、长大、汇合和发展等；准脆性损伤：介于以上二者之间。绪论：损伤力学的分类07:08按研究损伤方法分类连续损伤力学细观损伤力学基于细观的唯象损伤理论按表征损伤方式分类能量损伤理论几何损伤理论绪论：损伤力学的分类07:08连续损伤力学（ContinuumDamageMechanics,CDM）

研究思想：将具有离散结构的损伤材料模拟为连续介质模型，引入损伤变量（场变量），描述从材料内部损伤产生、发展到出现宏观裂纹的过程，唯像地导出材料的损伤本构方程，形成损伤力学的初、边值问题，然后采用连续介质力学的方法求解。特点：注重损伤对材料宏观性质的影响，以及材料和结构损伤演化的过程和规律，忽略损伤演化的细观机理和力学过程。绪论：损伤力学的分类07:08连续损伤力学（ContinuumDamageMechanics,CDM）

研究过程：选取物体内某点的代表性体积单元定义损伤变量建立损伤演化方程建立损伤本构方程根据初始条件、边界条件求解，判断各点的损伤状态、建立破坏准则绪论：损伤力学的分类07:08细观损伤力学（Meso-DamageMechanics,MDM）

研究思想：根据材料细观成分的单独的力学行为，如基体、夹杂、微裂纹、微孔洞和剪切带等，采用某种均匀化方法，将非均质的细观组织性能转化为材料的宏观性能，建立分析计算理论。特点：注重组分缺陷单独的力学行为，在组分缺陷种类多或者缺陷数量大的情形下，演化过程复杂，计算量大。绪论：损伤力学的分类07:08细观损伤力学（Meso-DamageMechanics,MDM）

研究过程：选取物体内某点的代表性体积单元，需满足尺度的双重性应用连续介质力学及热力学来分析细观中损伤演化、相关变形等通过细观尺度上的平均化方法将细观结果反映到宏观本构、损伤演化、断裂等行为上绪论：损伤力学的分类07:08基于细观的唯象损伤力学（Meso-ContinuumDamageMechanics,MCDM）

研究思想：结合连续损伤力学和细观损伤力学主要思想建立损伤材料的宏细微观结合的本构理论，把宏观力学行为和细观损伤演化联系起来，即表征宏观的损伤参量能对应细观的损伤演化与累积。特点：在唯象的理论框架内包含细观损伤演化的信息，由于宏微观结合的复杂性，只适用于含单一或者特定缺陷的研究对象。绪论：损伤力学的分类07:08基于细观的唯象损伤力学（Meso-ContinuumDamageMechanics,MCDM）

研究过程：前面二者的结合绪论：损伤力学的分类07:08按表征损伤方式分类能量损伤理论由勒梅特(J.Lemaitre)等创立，以连续介质力学和热力学为基础，将损伤视为能量的转换过程，是不可逆的由自由能和耗散势导出损伤的本构关系和损伤演化方程几何损伤理论由村上澄男(SumioMurakami)等创立，认为损伤是由于材料内部的微缺陷引起的损伤的大小和演化与材料中微缺陷的尺寸、形状、密度及其分布有关绪论：损伤力学的研究过程07:08损伤力学本构方程和演化方程(1)唯象理论(2)细观理论(3)二者结合损伤变量：定义、测量初/边值问题变分提法应用：破坏预估、寿命预计绪论：损伤力学的研究过程07:08研究过程原则上分为4步选择表征损伤的合适状态变量：损伤变量确定损伤变量的演化方程和本构关系形成损伤力学的初/边值问题或变分问题的数学提法损伤演化方程

损伤本构关系

连续介质力学方程

条件求解应力应变场和损伤场，根据损伤临界条件预估材料和构件的破坏程度以及使用寿命绪论：损伤变量07:08对损伤变量的理解损伤是一个能量耗散的不可逆过程，损伤变量是用宏观变量代表内部因损伤或其他因素而发生的变化，叫做内部状态变量，简称内变量，可以利用宏观不可逆过程热力学来处理。由于各种物理或化学的变化，如受载、承受高温、受到辐射或腐蚀、氧化而造成的各种物理的或化学变化，如结构改变、相变化、成分变化都属于损伤的内容。只不过在宏观的角度，人们更多注意的是材料结构的改变（微裂纹、微孔洞等）在宏观上的表现以及由此造成的材料的力学性能劣化。绪论：损伤变量07:08损伤变量选取的准则目前，损伤变量的选择还具有一定的随意性，在选择时要注意不仅具有明确的物理或力学意义，还要尽量简单，便于分析计算和测量。根据不同的损伤机制，应选择不同的损伤变量。如果不考虑损伤的各向异性，得到变量是一个标量，即在各个方向的损伤变量的数值都相同，没有方向性。如果考虑到损伤的各向异性，损伤变量可以是一个矢量或二阶张量，甚至在有的研究中用过四阶张量的损伤变量。具体的损伤变量的形式要根据所研究问题的类型及其相应的损伤机制去决定。07:082.1一维损伤状态的描述2.2损伤对材料强度的影响2.3一维蠕变损伤理论2.4一维蠕变损伤结构承载能力的分析2.5一维脆塑性损伤模型2.6一维疲劳损伤理论2.7一维纤维束模型第二章一维损伤力学理论在外部因素（包括力、温度、辐射等）的作用下，材料内部将形成大量的微观缺陷（如微裂纹和微孔洞），这些微缺陷的形成、扩展（或胀大）、汇合将造成材料的逐渐劣化直至破坏。从本质上讲，这些微缺陷是离散的，但作为一种简单的近似，在连续损伤力学中，所有的微缺陷被连续化，它们对材料的影响用一个或几个连续的内部场变量来表示，这种变量称为损伤变量。07:082.1一维损伤状态的描述2.1一维损伤状态的描述这里介绍4种早期损伤变量的引入方式。所有损伤变量的引入方式，都是基于简单拉伸模型：07:08图2.12.1一维损伤状态的描述第一种定义（Kachanov损伤变量）1958年，Kachanov提出用连续度的概念来描述材料的逐渐衰变。从而，材料中复杂的、离散的衰坏耗散过程得以用一个简单的连续变量来模拟。这样处理，虽然一定程度上牺牲了材料行为模拟的准确性，但却换来了计算的简便，更为重要的是，Kachanov损伤理论推动了损伤力学的建立和发展，此后众多的损伤模型的形成都不同程度上借鉴了Kachanov损伤模型的思想。07:08考虑一均匀受拉的直杆（图2.1），认为材料劣化的主要机制是由于微缺陷导致的有效承载面积的减小。设其初始横截面面积为A0。作用载荷时，不考虑损伤时的横截面面积为A，考虑损伤后的有效承载面积减小为，则连续度（即损伤变量）

的物理意义为有效承载面积与无损状态的横截面面积之比，即图2.107:082.1一维损伤状态的描述（）

图

2.1（）

说明：

连续度

是一个无量纲的标量场变量

=1对应于完全没有缺陷的理想材料状态

=0对应于完全破坏的没有任何承载能力的材料状态。将外加荷载F与有效承载面积之比定义为有效应力，即07:082.1一维损伤状态的描述连续度是单调减小的，假设

当达到某一临界值

c时，材料发生断裂，于是材料的破坏条件表示为（）

Kachonov取

c=0，但试验表明对于大部分金属材料0.2

c0.8。07:082.1一维损伤状态的描述显然，第二种定义（Rabotnov损伤变量）1963年，著名力学家Rabotnov同样在研究金属的蠕变本构方程问题时建议用损伤因子（）

07:082.1一维损伤状态的描述

=0

完全无损状态

=1

完全丧失承载能力的状态考虑到因而（）

07:082.1一维损伤状态的描述同时，有效应力为（）

其中真实应力（Cauchystress）

为第三种定义在Kachanov连续度概念

的基础上，有的学者这样引入损伤变量（）

（）

相应地，有效应力为07:082.1一维损伤状态的描述Broberg将损伤变量定义为（）

Broberg损伤变量

B的2点性质：性质1：当时，有证明：07:08第四种定义（Broberg损伤变量）2.1一维损伤状态的描述相应地有效应力为（）

性质2：损伤的可叠加性设材料在劣化过程中，有效横截面面积逐步减小，分别为A0，A1，A2，，An，则每步面积减小对应的损伤

i（=ln(Ai-1/Ai)）和整体从一开始到最后的损伤

B（=ln(A0/An)）有关系证明：07:082.1一维损伤状态的描述07:08※ 对于不可压材料，有效应力与名义应力

0(=F/A0)、真实应变

(=lnL/L0)、以及Broberg损伤变量

B有关系式2.1一维损伤状态的描述推导：07:08这一节分如下三种情形下来讨论材料的强度问题：§2.2.1无损伤且表面能密度有限的情形§2.2.2有损伤但表面能密度为无穷大的情形§2.2.3无损伤且表面能密度有限的情形2.2损伤对材料强度的影响07:08§2.2.1无损伤且表面能密度有限的情形2.2损伤对材料强度的影响设材料为无损伤的线弹性晶体材料，其理论拉伸断裂强度为其中E：弹性模量

：表面能密度b：晶格常数（）

07:08§2.2.1无损伤且表面能密度有限的情形2.2损伤对材料强度的影响简单推导：在断裂前断裂面附近区域的应变能密度为假设断裂面两侧深度为2b的区域释放的应变能来满足生成断裂面所需要的能量，则有4bA即07:08§2.2.2有损伤但表面能密度为无穷大的情形2.2损伤对材料强度的影响对应于损伤

，有效应力为设应变

和损伤变量

与有效应力的一般函数关系为简单起见，都取线性关系，即（）

（）

其中D是损伤模量。显然，对于无损伤材料，D=∞。（）

这时真实应力

07:08§2.2.2有损伤但表面能密度为无穷大的情形2.2损伤对材料强度的影响当真实应力开始衰减时，我们认为材料发生断裂，即有这样带入前面真实应力

的表达式，有（）

（）

从而可以得到（）

因而，损伤模量是材料断裂强度的4倍！由可求得断裂应变和断裂应力07:08§2.2.2有损伤但表面能密度为无穷大的情形2.2损伤对材料强度的影响若采用Broberg损伤变量定义，则有相应地，真实应力

为（）

（）

（）

由可求得断裂应变和断裂应力07:08§2.2.2有损伤但表面能密度为无穷大的情形2.2损伤对材料强度的影响若采用Broberg损伤变量定义，同时采用真实应变（对数应变），即考虑不可压材料，AL=A0L0，名义应力

0为（）

（）

（）

07:08§2.2.3无损伤且表面能密度有限的情形2.2损伤对材料强度的影响这种情况下，断裂时的应变和损伤分别是（）

为断裂提供的应变能为从而有（）

（）

联立方程（）的第二式和（），可求的

f

和

f。两个基本的不同类型蠕变断裂概念：延性断裂和脆性断裂Kachanov损伤模型最初是在分析金属材料受单向拉伸的蠕变脆性断裂问题时提出的，这一模型很快得到人们的重视，并得以发展和应用。对于高温下的金属，在载荷较大和较小的情况下，其断裂行为是不同的。当载荷较大时，试件伸长，横截面面积减小，从而引起应力单调增长，直至材料发生延性断裂，对应的细观机制为金属晶粒中微孔洞长大引起的穿晶断裂。当载荷较小时，试件的伸长很小，横截面面积基本上保持常数，但材料内部的晶界上仍然产生微裂纹和微孔洞，其尺寸随时间长大，最终汇合成宏观裂纹，导致材料的晶间脆性断裂。07:082.3一维蠕变损伤理论忽略弹性变形，在考虑损伤情况下蠕变假设遵循Norton律，即设试件在加载之前的初始横截面面积为A0，加载后外观横截面面积减小为A，有效的承载面积为。相应地，名义应力

0，Cauchy应力（真实应力）

，有效应力；分别定义为（）（）07:082.3一维蠕变损伤理论其中B和n为材料常数。式中C和v

为材料常数。注：对于不可压缩材料直杆07:082.3一维蠕变损伤理论在研究蠕变损伤时，还必须建立损伤的演化方程，即建立损伤演化律与哪些力学量相关联的关系。对于一些简单的情形，可以假设损伤演化率方程也具有指数函数的形式，即（）（）设名义应力

0保持不变，则由材料的体积不可压缩条件AL=A0L0，有效应力可表示为下面分三种情形讨论材料的蠕变断裂问题：§2.3.1无损伤有变形的延性断裂§2.3.2有损伤无变形的脆性断裂§2.3.3同时考虑损伤和变形的断裂07:082.3一维蠕变损伤理论对此式积分，并利用初始条件，可得不考虑损伤的情况下，有，由(2.3.4)可得延性蠕变断裂的条件为，于是得到延性蠕变断裂的时间为07:08§2.3.1无损伤有变形的延性断裂2.3一维蠕变损伤理论（）这样应变演化律可写为（）（）这个表达式最初是由Hoff于1953年导出的。（）不考虑变形的情况下，有，由(2.3.4)可得这样损伤演化方程写为

对此式积分，并利用初始条件，得设损伤脆性断裂的条件为，于是得脆性断裂的时间为这个表达式是Kachanov于1958年导出的。07:082.3一维蠕变损伤理论§2.3.2有损伤无变形的脆性断裂（）（）（）（）

采用如下形式的损伤定义(Broberg定义)式中An为假想的有效承载面积,其定义为采用对数应变和损伤时，对于不可压材料，有效应力有表达式07:082.3一维蠕变损伤理论§2.3.3同时考虑损伤和变形的断裂类似于对数应变的定义，即（）（）（）（）

最后可得关于有效应力的非线性微分方程07:082.3一维蠕变损伤理论§2.3.3同时考虑损伤和变形的断裂从而（）原则上，任意给定加载历史

0(t)，即可由上式确定有效应力的变化过程。

图：Heaviside型加载历史及有效应力。07:082.3一维蠕变损伤理论§2.3.3同时考虑损伤和变形的断裂前面得到关于有效应力的控制方程（）例如，对于如图所示的Heaviside型加载历史，由此得到

07:082.3一维蠕变损伤理论§2.3.3同时考虑损伤和变形的断裂前面得到关于有效应力的控制方程（）在0-1段：此式表明在瞬态加载的过程中，既没有蠕变变形，也没有损伤发展。因而从而

07:082.3一维蠕变损伤理论§2.3.3同时考虑损伤和变形的断裂前面得到关于有效应力的控制方程在1-2段：

07:082.3一维蠕变损伤理论§2.3.3同时考虑损伤和变形的断裂积分得则断裂时间tR，在同时考虑蠕变变形和损伤情形下，由推得：（）（）不考虑损伤时，有

07:082.3一维蠕变损伤理论§2.3.3同时考虑损伤和变形的断裂讨论：3种情况不考虑变形时，有（）（）对比发现：(2.3.20)的结果和前面的“无损伤有变形的延性断裂”分析结果相同，而（）与前面的“有损伤无变形的脆性断裂”分析结果（Kachanov结果，）不同，为什么？原因很简单：损伤变量的定义不同！既考虑损伤又考虑变形时：

07:082.3一维蠕变损伤理论§2.3.3同时考虑损伤和变形的断裂当B>0，C>0时，可以得到断裂时间的数值积分结果，如图所示。由此图可以看出，应力较大时，可以采用忽略损伤的公式；应力较小时，可以采用忽略蠕变变形的公式；在中等应力水平时，应同时考虑损伤和蠕变变形。数值积分结果

07:08§2.4.1蠕变断裂的两个阶段§2.4.2纯弯梁的蠕变断裂2.4一维蠕变损伤结构承载能力分析在蠕变损伤情况下，如果结构中的应力场是均匀的，损伤也均匀发展，当损伤达到临界值时，结构发生瞬态断裂。07:082.4一维蠕变损伤结构承载能力分析§2.4.1蠕变断裂的两个阶段第一阶段称为断裂孕育阶段，所经历的时间为0

t

t1，结构内诸点的损伤因子均小于其断裂临界值。在t1时刻，结构中某一点(或某一区域)的损伤达到临界值而发生局部断裂。如果应力场不均匀，则结构的断裂经历两个阶段。第二阶段称为断裂扩展阶段，t1

t，局部断裂中弥散的微裂纹汇合成宏观裂纹，宏观裂纹在结构中扩展直至结构的完全破坏。材料内一点P的损伤演化方程采用07:082.4一维蠕变损伤结构承载能力分析§2.4.1蠕变断裂的两个阶段积分并利用

(0)=0，得从而（）（）（）在断裂扩展阶段，结构中存在两种区域(如图)V1和V2和一个界面

：07:082.4一维蠕变损伤结构承载能力分析§2.4.1蠕变断裂的两个阶段※一个重要概念：断裂前缘V1：是损伤尚未达到临界值的区域，

c，仍然能够承受载荷V2：是损伤已经达到临界值的区域，

c，已完全丧失承载能力断裂前缘：指的是两个区域的交界面，其是可动的，即是V2所扫过的区域，一般用

来表示。在

上，恒有

c，此处取

c=1。若确定了断裂前缘的位置u随时间的变化历程，则构件的承受能力也就确定下来。V1V2

(t)(

c)(

c)u(t)此外，依据方程(2.4.3),在断裂前缘上，由

=

c=1，可得07:082.4一维蠕变损伤结构承载能力分析§2.4.1蠕变断裂的两个阶段断裂前缘与时间和距离u(t)相关，即在断裂前缘上有V1V2

(t)(

c)(

c)u(t)（）这样对时间取导数，得（）（）可得u(t)的控制方程为07:082.4一维蠕变损伤结构承载能力分析§2.4.1蠕变断裂的两个阶段下面确定断裂前缘的轨迹方程u(t)。V1V2

(t)(

c)(

c)u(t)由方程（）可得和，即07:082.4一维蠕变损伤结构承载能力分析§2.4.1蠕变断裂的两个阶段由方程当蠕变变形的应力均匀时，即

(t)=

0=constant，则有07:082.4一维蠕变损伤结构承载能力分析§2.4.1蠕变断裂的两个阶段这样就有（）（）因此说明，对于均匀加载的蠕变变形，一旦

=

c在一点处满足，结构将发生瞬态断裂！（）

07:082.4一维蠕变损伤结构承载能量分析§2.4.2纯弯梁的蠕变断裂考虑矩形截面纯弯梁的蠕变断裂问题！假设小变形情况，在断裂孕育阶段，即0

t

t1，材料内每一点的损伤因子均小于临界值

c，整个梁的横截面具有抵抗弯曲变形的能力。设材料的蠕变率为（）式中b和2h0是横截面的宽度和高度，如图。

07:082.4一维蠕变损伤结构承载能量分析§2.4.2纯弯梁的蠕变断裂在平截面变形假设的前提下，可推得横截面上的正应力分布为其中

=1/n，M是弯矩，(y0,z0)是截面坐标，为截面的广义惯性矩，即（）（）b2h0z0y0由纯弯曲的平截面变形假设有。其对时间取导数，可得

07:082.4一维蠕变损伤结构承载能量分析§2.4.2纯弯梁的蠕变断裂应力分布表达式（）的推导。从而则弯矩为

07:082.4一维蠕变损伤结构承载能量分析§2.4.2纯弯梁的蠕变断裂定义截面的广义贯性矩为这样就有推导完毕！

07:082.4一维蠕变损伤结构承载能量分析§2.4.2纯弯梁的蠕变断裂显然，最大拉应力发生在y=h0处(不妨设上表面受拉)，即根据前面任意一点P处损伤的表达式，即（）那么最大拉应力处损伤达到临界值

=

c=1所需的时间t1可以确定为（）即在t=t1时，梁的最上表层区域达到最大的拉应力，最下表层区域达到最大压应力。对于损伤如何向纯弯梁内部扩展，我们一般假设受压区域（正应力为负）是不会有损伤发展的。在弯曲正应力为正的区域，微孔洞或者微裂纹因为拉应力的作用而扩展，也就是，在该区域损伤产生而且不断扩展。

07:082.4一维蠕变损伤结构承载能量分析§2.4.2纯弯梁的蠕变断裂在t=t1时，梁的最上表层区域开始出现断裂区，然后断裂区向内部扩展。设当t

t1时，裂纹扩展区厚度为2

，如图所示。

07:082.4一维蠕变损伤结构承载能量分析§2.4.2纯弯梁的蠕变断裂（）相应地，承载中心由h0处下移到h0-

处。此时的应力分布为bz0y0(y)z2hx0x2

断裂区断裂前缘MM

随着t的增加，断裂区域不断向下扩展，这样h逐步减小。因而Im同样不断减小。

07:082.4一维蠕变损伤结构承载能量分析§2.4.2纯弯梁的蠕变断裂（）根据如上损伤表达式来判断断裂前缘是否到达y，需要计算含有应力历史信息的积分，即。设在时间t，损伤区域前缘到达初始坐标为y0的点，这样有任意一点，它的损伤状态与应力历史有关系式这样对于时间范围t1

t，时刻t的断裂前缘到时刻

的中性轴的距离是

07:082.4一维蠕变损伤结构承载能量分析§2.4.2纯弯梁的蠕变断裂（）这样在时刻t断裂前缘到达2h(t)，因而有h(

)h(

)2h(t)

时刻的断裂前缘时刻t的断裂前缘在时刻

时的应力是（）（）若假设

07:082.4一维蠕变损伤结构承载能量分析§2.4.2纯弯梁的蠕变断裂（）其中则方程(2.4.20)简化为（）（）这样关于h(t)的方程（）化为

07:082.4一维蠕变损伤结构承载能量分析§2.4.2纯弯梁的蠕变断裂（）整理上式两边对时间求导数，有（）§2.4.2纯弯梁的蠕变断裂这是关于h(t)的最终控制微分方程。

07:082.4一维蠕变损伤结构承载能量分析上方程两边对时间继续求导数，有（）高度h(t)的方程（）的初始条件为

07:082.4一维蠕变损伤结构承载能量分析§2.4.2纯弯梁的蠕变断裂（）由上述2个方程，可确定h(t)对时间一阶导数的初值，即而且，t=t1，0

t1，因而方程（）化为（）（）利用初始条件（）和（），可确定高度h(t)和时间t之间的关系为(2n-1>0情形)

07:082.4一维蠕变损伤结构承载能量分析§2.4.2纯弯梁的蠕变断裂（）当h0是，梁完全破坏，因而所需要的时间是（）问题：微分方程(2.4.26)加初值条件(2.4.27,29)如何求得解(2.4.30)?§2.4.2纯弯梁的蠕变断裂

07:082.4一维蠕变损伤结构承载能量分析控制方程：初值条件：求解过程：令对时间求导数：§2.4.2纯弯梁的蠕变断裂

07:082.4一维蠕变损伤结构承载能量分析原来的初始条件则原来的关于h(t)的方程化为y(x)的方程：化为y(x)的边值条件：§2.4.2纯弯梁的蠕变断裂

07:082.4一维蠕变损伤结构承载能量分析又可写为关于y(x)的方程：两边从1到x积分，得§2.4.2纯弯梁的蠕变断裂07:082.4一维蠕变损伤结构承载能量分析又可写为关于y(x)的方程：两边从1到x积分，得带入整理，得§2.4.2纯弯梁的蠕变断裂07:082.4一维蠕变损伤结构承载能量分析可求得讨论：分3种情况，2n-1>0；2n-1=0；2n-1<0情形1：2n-1>0当h

0时，梁完全断裂，设对应的时间是t

，则有（）

07:082.4一维蠕变损伤结构承载能量分析§2.4.2纯弯梁的蠕变断裂（）n比较大：t/t11，因而梁最外层（最上层）达到损伤临界值时，梁很快就会由于损伤扩展而失去承载能力；n比较小：譬如n=3，t/t11.4，因而即使梁最外层已达到损伤的临界值，还有一定的时间来才完全丧失承载能力。由于弯曲正应力对于任意载荷作用下梁的弯曲都近似成立，因而由以上推导可知，对于任意载荷作用下梁的弯曲问题，设梁的最大弯矩为，则梁的断裂孕育时间和横截面完全断裂丧失承载能力时间分别为

07:082.4一维蠕变损伤结构承载能量分析§2.4.2纯弯梁的蠕变断裂（）（）对于一般弯曲变形，损伤前缘不再与梁的中线保持平行。三点弯曲梁的蠕变损伤示意图如下，损伤仅仅局限在一个狭小的锲形区域内。

07:082.4一维蠕变损伤结构承载能量分析§2.4.2纯弯梁的蠕变断裂0.108Px/l0.1080.10.2损伤断裂区§2.4.2纯弯梁的蠕变断裂07:082.4一维蠕变损伤结构承载能量分析则前面的控制方程情形2：2n-1=0，即n=1/2化为（）解为从而同样当h

0时，梁完全断裂，对应的时间t

∞，不符合实际情况。§2.4.2纯弯梁的蠕变断裂07:082.4一维蠕变损伤结构承载能量分析由解情形3：2n-1<0可得（）同样当h

0时，梁完全断裂，对应的时间t

∞，也不符合实际情况。脆塑性损伤模型适用于诸如岩石、混凝土、陶瓷、石膏、某些脆性或准脆性金属材料。这类材料的损伤和变形响应相当复杂，与延性金属和合金、聚合物等有明显的差别，表现在脆性材料的明显的尺寸效应、拉压性质的不同、应力突然跌落和应变软化、非弹性体积变形和剪胀效应、变形的非正交性等多方面。07:08针对这一类材料，Dragon和Mróz早在1979年就提出了一种考虑损伤的三维本构模型。此后，脆性材料的损伤问题得到了相当广泛的研究。2.5一维脆塑性损伤07:082.5一维脆塑性损伤这一节介绍5种脆塑性损伤模型：§2.5.1Mazars损伤模型§2.5.2Loland损伤模型§2.5.3分段线性损伤模型（余天庆）§2.5.4分段曲线损伤模型（钱济成，1989）§2.5.5双线性损伤模型§2.5.1Mazars损伤模型07:082.5一维脆塑性损伤Mazars将脆性材料的拉伸应力应变关系分两段描述，设

c

是损伤开始时的应变，也是峰值应力

c对应的应变。他的观点是：当

c时，认为材料无损伤即D=0；当

c时，材料有损伤即D

0。脆性和准脆性材料的应力应变关系一般可以分为线弹性、非线性强化、应力跌落和应变软化等阶段。但不同脆性材料的行为也差别很大，实验中得到的应力应变曲线还与实验机的刚度、加载方式相关。Mazars用如下公式拟合材料的单向拉伸应力应变曲线

(2.5.1)式中E0

是线弹性阶段的弹性模量，AT和BT是材料常数，下标T表示拉伸。这里以割线模量E

的变化来定义损伤D，表示为(2.5.2)于是损伤材料的应力应变关系为(2.5.3)

07:082.5一维脆塑性损伤§2.5.1Mazars损伤模型比较式(2.5.1)和(2.5.3)，得到Mazars模型中单拉情况下的损伤演化方程(2.5.4)

07:082.5一维脆塑性损伤§2.5.1Mazars损伤模型由Mazars模型得到的名义应力

、有效应力、损伤D随应变

的变化曲线如图所示。

c

c

uE0

E0

(1-D)

c

u

D1

c

u

07:082.5一维脆塑性损伤§2.5.1Mazars损伤模型

c

c

uE0

E0

(1-D)

c

u

D1

c

u

类似地可以建立单向压缩时的损伤本构关系。单向压缩时的等效应变

e为对于一般的混凝土，Mazars损伤模型中材料常数取值范围是

式中

1，

2，

3

是主应变，对于单向压缩

，

1=

0，

2=

3=−

。

其中角括号定义为07:082.5一维脆塑性损伤§2.5.1Mazars损伤模型(2.5.5)

(2.5.6)

(2.5.7)

Mazars认为，当

e

c时材料无损伤，当

e

c时材料有损伤。单向压缩时的应力应变关系拟合为（）式中压缩时的材料常数AC

和BC

的变化范围07:082.5一维脆塑性损伤§2.5.1Mazars损伤模型（）损伤变量采取割线模量的定义，即（）07:082.5一维脆塑性损伤§2.5.1Mazars损伤模型则单向压缩时的损伤方程为对于混凝土等脆塑性材料，当应力接近峰值应力时，应力应变曲线已偏离直线，这意味着应力达到最大值以前，材料中已经发生了连续损伤。07:082.5一维脆塑性损伤§2.5.2Loland损伤模型于是，Loland将这类材料的损伤分为两个阶段：第一个阶段：是在应力达到峰值应力之前，即当应变小于峰值应力对应的应变

c时，在整个材料中发生分布的微裂纹损伤；第二个阶段：是当应变大于

c时，损伤主要发生在破坏区内。式中

u

是材料断裂应变，即当

=

u时D=1。称为净弹性模量，定义为式中E为无损的弹性模量，D0是加载前的初始损伤值。

07:082.5一维脆塑性损伤§2.5.2Loland损伤模型材料的有效应力与应变

的关系表示为（）（）式中。式中C1、C2、

是材料常数。07:082.5一维脆塑性损伤§2.5.2Loland损伤模型利用实验得到的混凝土单拉曲线，经拟合得到如下的损伤演化方程（）（）由

=

c时，

=

c，且C1、C2、

是材料常数。Loland模型的名义应力

、有效应力、损伤D

随

的变化图为07:082.5一维脆塑性损伤§2.5.2Loland损伤模型由Loland模型得到的名义应力

为（）

c

c

u

c

u

D1

c

u

D0在余天庆提出的分段线性损伤模型中，应力应变关系也被分为两个阶段：第一阶段：当应力达到峰值应力之前，即当

c时，认为材料中只有初始损伤D0，没有损伤演化，应力与应变成线弹性关系；第二阶段：当

c时，损伤按分段线性关系发展，应力

应变关系可以用分段线性折线来表示。07:082.5一维脆塑性损伤§2.5.3分段线性损伤模型（余天庆）应力

应变关系为

07:082.5一维脆塑性损伤§2.5.3分段线性损伤模型（余天庆）（）式中D0为初始损伤，C1

和C2

为材料常数，对于一般的混凝土，它们的取值范围是。峰值应力后小于

F的应变值，对应于宏观裂纹形成过程中的应变值和的含义为：大于

F

小于

R

的应变值，对应于宏观裂纹出现后直至破坏过程中的应变值

c

c

R

F

07:082.5一维脆塑性损伤§2.5.3分段线性损伤模型其中，

F

为宏观裂纹出现时的应变值，

R

为材料断裂时的应变值。若不考虑初始损伤，即D0=0；由

=

R

时，D=1，可给出

F和

R有关系式：（）损伤方程为：（）分段线性模型的特点：物理概念比较清楚，应用比较方便。

07:082.5一维脆塑性损伤§2.5.4分段曲线损伤模型该模型认为在应力达到峰值应力前后都有损伤演化，并用不同的曲线方程来拟合，分别表示为：（）式中A1、A2、B1为材料常数，B2和C2对为曲线参数。

07:082.5一维脆塑性损伤§2.5.4分段曲线损伤模型由连续性条件：（）可给出（）取时，（）

07:082.5一维脆塑性损伤§2.5.4分段曲线损伤模型分段曲线损伤模型应力应变、损伤应变的示意图：关于该模型损伤物理意义的讨论：

c

c

u

D1

c

u

0

/

c

0.4：材料几乎没有损伤0.4

/

c

0.8：损伤很小（

5.5%），表示材料内部微裂纹开始扩展0.8

/

c

1.0：损伤较大，表示材料内部若干裂缝连通直至破坏说明：分段曲线模型和Mazars模型很接近。

c

c

u

分段曲线Mazars

07:082.5一维脆塑性损伤§2.5.5双线性损伤模型（钱济成和周建方，1989）钱济成和和周建方为了将分段曲线损伤模型应用于工程实际，对分段曲线模型做了进一步的简化，将两条曲线用两条直线来近似代替。相应的损伤方程为：（）该模型应力应变、损伤应变的示意图为：D1

c

u

c

c

u

07:082.5一维脆塑性损伤5种模型的应力应变示意图：

c

cu

c

c

u

c

c

u

c

c

u

c

c

R

FMararsLoland分段线性分段曲线双线性

07:082.5一维脆塑性损伤※应用实例：用双线性模型分析纯弯曲混泥土梁的性能设梁的横截面为矩形，高h，宽B。没有损伤时的应力、应变沿高度线性分布。若考虑损伤，在弯矩作用下，设梁的上部受压，下部受拉。设只有受拉区域有损伤发展和演化。设平截面假设仍然成立，因而应变沿高度呈线性分布。hBbly

b

c

c

1

b(a)(b)(c)(d)

c

c

u

b

b

07:082.5一维脆塑性损伤※应用实例：用双线性模型分析纯弯曲混泥土梁的性能设中性轴到底边的距离是b，受拉边未损伤的高度为l，应力图如(c)所示。令：（）由双线性应力

应变关系图有

c

c

u

b

b（）由应变沿高度的线性分布的几何关系有（）

c

1

bbly

b

c

07:082.5一维脆塑性损伤※应用实例：用双线性模型分析纯弯曲混泥土梁的性能由于受拉区域的合力NT和受压区域的合力NC大小相同，因而有（）应用前面的关系有

c

1

bbly

b

c

07:082.5一维脆塑性损伤※应用实例：用双线性模型分析纯弯曲混泥土梁的性能解方程，有知道

=b/l1，

=

b/

c1，因而

07:082.5一维脆塑性损伤※应用实例：用双线性模型分析纯弯曲混泥土梁的性能取合理的解，即其中M0为线弹性材料无损伤时横截面能承受的最大弯矩,且此外，可求得横截面上作用的弯矩为这样，M>M0>1，说明考虑损伤后（应变软化），纯弯曲梁的极限承载弯矩比弹性最大弯矩仍有所提高！

07:082.5一维脆塑性损伤※应用实例：用双线性模型分析纯弯曲混泥土梁的性能纯弯曲梁极限弯矩的数值计算结果

=

u/

c2345678

=

b/

c1.441.802.112.402.692.963.21

b/

c0.560.600.630.650.660.670.68M/M01.17991.29001.36941.43131.42801.52481.5618Dmax0.61110.66670.70140.72920.75560.77320.7901由计算结果知，极限弯矩随

=

u/

c的增加而增加，说明应力

应变曲线下降段不同时对极限弯矩有影响，因而欲正确预估混泥土结构梁的承载能力必须选择适当

的值。通常，混泥土杆件单拉时的断裂应变

110-4，而纯弯曲完全破坏时的表面应变

(1.2-1.4)10-4。因而拉伸的断裂应变描述的是材料性质，而弯曲极限应变表示结构和加载特性！

07:082.6一维疲劳损伤理论这一节介绍疲劳力学问题中的损伤理论。§2.6.1疲劳损伤的线性累积律§2.6.2疲劳损伤的非线性累积律

低周疲劳损伤§2.6.4疲劳损伤的测量

07:08在交变载荷的作用下，一个结构的构件中会有大量的微裂纹形核，并且微裂纹随着载荷循环次数的增加而逐渐扩展，最终形成宏观裂纹并导致材料的破坏，这种破坏称之为疲劳断裂破坏。疲劳断裂破坏的特点疲劳属低应力循环延时断裂，其断裂应力水平往往比静应力下材料的强度极限低，甚至比屈服极限低；不产生明显的塑性变形，呈现突然的脆断；对材料的缺陷十分敏感；疲劳破坏能清楚显示裂纹的萌生和扩展，断裂。2.6一维疲劳损伤理论

07:082.6一维疲劳损伤理论疲劳宏观断口的特征断口拥有三个形貌不同的区域：疲劳源、疲劳区、瞬断区。

07:082.6一维疲劳损伤理论疲劳宏观断口的特征疲劳源裂纹的萌生地；裂纹处在亚稳扩展过程中；由于应力交变，断面摩擦而光亮；随应力状态及其大小的不同，可有一个或几个疲劳源。疲劳区（贝纹区）断面比较光滑，并分布有贝纹线；循环应力低，材料韧性好，疲劳区大，贝纹线细、明显；有时在疲劳区的后部，还可看到沿扩展方向的疲劳台阶（高应力作用）。瞬断区一般在疲劳源的对侧；脆性材料为结晶状断口；韧性材料有放射状纹理；边缘为剪切唇。

07:082.6一维疲劳损伤理论疲劳分类按应力状态：弯曲疲劳、扭转疲劳、拉压疲劳、复合疲劳等。按循环周期：高周疲劳，因断裂应力低，变形主要是弹性变形，所以也叫低应力疲劳；低周疲劳，由于断裂应力水平高，往往伴有塑性变形，故称为高应力疲劳（或应变疲劳）。按破坏原因：机械疲劳、腐蚀疲劳、热疲劳。疲劳寿命在结构破坏之前载荷的循环次数，一般用NF来表示。高周疲劳：NF5104低周疲劳：NF5104

07:082.6一维疲劳损伤理论疲劳损伤机理疲劳过程：裂纹萌生和裂纹扩展（亚稳扩展、失稳扩展、断裂）。(注：也分为裂纹成核、微观裂纹扩展、宏观裂纹扩展和瞬态断裂四个阶段。）裂纹萌生：常将0.05

0.1mm的裂纹定为疲劳裂纹核；引起裂纹萌生的原因：应力集中、不均匀塑性变形；方式为：表面滑移带开裂；晶界或其他界面开裂。裂纹扩展：第一阶段：沿主滑移系，以纯剪切方式向内扩展；扩展速率仅为

0.1μm数量级。第二阶段：晶界的阻碍作用，使扩展方向逐渐垂直于主应力方向；扩展速率1.0μm数量级；可以穿晶扩展，形成疲劳条纹。

07:082.6一维疲劳损伤理论疲劳损伤力学特征参数

maxt

min

med2

——循环期间的最大应力值——循环期间的最小应力值——平均应力，也用

med表示——应力幅，——应力循环对称系数

07:082.6一维疲劳损伤理论疲劳曲线、疲劳极限、循环基数疲劳曲线：表示应力σ与应力循环次数N之间的关系曲线疲劳极限：对任一给定的应力循环特征r，当应力循环N0次后，材料不发生疲劳破坏的最大应力σr循环基数：对应于疲劳极限σr

的循环次数N0

07:082.6一维疲劳损伤理论蠕变损伤理论中，损伤变量是时间t的函数。在疲劳损伤理论中，损伤则常常表示为载荷、循环次数等的函数。一般情况下，疲劳损伤的演化方程可表示为如下形式（）其中：

为应力幅，为平均应力，

N为目前载荷作用下的循环次数。在一系列载荷的作用下，随着循环载次数的增加，损伤逐渐积累。疲劳损伤理论的重点是探讨损伤的累积规律，即确定函数f的形式。本节主要介绍两种损伤累积律：线性累积律和非线性累积律。

07:082.6一维疲劳损伤理论（）§2.6.1疲劳损伤的线性累积律

设构件在载荷F作用下的疲劳寿命是NF。1945年Miner根据材料吸收净功的原理提出，当在同一载荷作用下循环次数为N时，疲劳线性累积损伤的数学表达式为若设材料依次承受的应力幅分别为

1

，

2

，，相应的循环次数分别为

N1

，

N2

，。设材料在多次载荷作用下损伤的发展量分别为

1

，

2

，，其中每个损伤的发展量

i

单独与

Ni/NFi相联系，其中NFi为单独作用时的疲劳寿命。则，整个载荷作用下材料的损伤发展量

，根据Miner损伤线性累积律，有

07:082.6一维疲劳损伤理论（）§2.6.1疲劳损伤的线性累积律

若取

c=1，则疲劳损伤的破坏准则为（）说明：线性累积律可采用线性和非线性2种形式。线性形式：非线性形式：（）（）

07:082.6一维疲劳损伤理论（）§2.6.2疲劳损伤的非线性累积律

损伤的演化不仅仅依赖于N/NF，而且与载荷循环参数（

如

等）相关，与当前的积累的损伤

也相关。即损伤变量与表示载荷的参数在循环加载的疲劳损伤累积过程中不是相互独立的，因而损伤的演化通常采用非线性累积方法。考虑应力幅影响的一种损伤演化方程在每个循环周期中：其中B，

，

是与温度相关的材料参数。不过其中B与平均应力还相关，即（）

07:082.6一维疲劳损伤理论§2.6.2疲劳损伤的非线性累积律

考虑应力幅影响的一种损伤演化方程积分上式，利用N=NF，

=1，可得（）其中（）

07:082.6一维疲劳损伤理论§2.6.2疲劳损伤的非线性累积律

简单推导：

07:082.6一维疲劳损伤理论§2.6.2疲劳损伤的非线性累积律

考虑应力幅影响的一种损伤演化方程观察此模型，发现即ln(1-N/NF)ln(1-

)1lnNFln

1因而可由实验确定参数：

+

和

B。

07:082.6一维疲劳损伤理论§2.6.2疲劳损伤的非线性累积律

Chaboche损伤演化方程其中

，

，M是与温度相关的材料参数，且。Chaboche提出一种更为复杂的损伤演化方程（）类似地，积分可得到损伤随载荷循环次数的变化关系（）

07:082.6一维疲劳损伤理论§2.6.2疲劳损伤的非线性累积律

Chaboche损伤演化方程推导：07:08§2.6.3低周疲劳损伤2.6一维疲劳损伤理论在低周疲劳损伤情况下，塑性变形通常对损伤有明显的影响。每一载荷循环中损伤可表示为塑性应变

p

的幂指数函数形式，即（）应用N=0,

=0和N=NF,

=1，积分可得到考虑塑性损伤疲劳寿命的Coffin-Manson公式（）（）从而可求出塑性应变幅

p

为07:08§2.6.3低周疲劳损伤2.6一维疲劳损伤理论类似地,积分有（）从而可求出弹性应变幅

e

为（）当循环弹性应变幅

e

较小，即应力水平较低的情形下，损伤方程可表示为应力幅的函数，即（）07:08§2.6.3低周疲劳损伤2.6一维疲劳损伤理论前面式子中，都是与温度相关的材料参数。实验表明，对于很多材料，这些参数可以用实验中可以测量到的参数来等效，这样对全应变幅有表达式（）式中，

u为材料的强度极限应力，Du表示材料延伸率的参数，其与颈缩时的横截面面积减缩AR的关系为（）这样

e

和

p相加，得到全应变幅

为（）07:08§2.6.4疲劳损伤的测量2.6一维疲劳损伤理论※应变等效假设考虑损伤材料的变形行为可以只通过有效应力来体现。换言之，损伤材料的本构关系可以采用无损时的形式，只要将其中的应力用相应的有效应力替换即可。例子：损伤体现在把无损时的弹性模量E减小到有损时的。07:08§2.6.4疲劳损伤的测量2.6一维疲劳损伤理论控制应力的加载过程：应力幅恒定，测量应变幅的变化这样，对于疲劳问题，假设应力幅

和应变幅

的关系为（）对于同样的应力幅

，设不考虑损伤时引起的应变幅为

，即有（）从而有（）说明：在控制应力加载的疲劳实验中，可以根据应变幅的变化来确定损伤的变化。07:08§2.6.4疲劳损伤的测量2.6一维疲劳损伤理论控制应变的加载过程：应变幅恒定，测量应力幅的变化对于疲劳问题，同样假设应力幅

和应变幅

的关系为（）在损伤出现前，应力幅

，同样有（）从而有（）说明：在控制应变加载的疲劳实验中，可以根据应力幅的变化来确定损伤的变化。07:082.7一维纤维束模型§2.7.1连续化的纤维束模型§2.7.2蠕变断裂的纤维束模型07:082.7一维纤维束模型※前言首先由Peirce于1926年提出。在先后发展的一系列纤维束模型中，基于Weibull的强度统计理论，认为固体材料的强度很大程度上决定于纤维的局部缺陷，而不是整体的平均行为（如刚度）。这种理论模型比较简单粗糙，但对于定性理解材料的力学行为和破坏机理很有帮助。纤维束模型认为，材料是由相互平行的纤维构成的。在考虑材料的损伤时，纤维的平行程度、纤维间和每根纤维内部的缺陷都会影响材料的力学行为。07:082.7一维纤维束模型※前言纤维束模型：一系列相互平行、相同长度的纤维组成；纤维间彼此独立（即没有侧向力作用）；纤维束整体的力学性质（强度、刚度）取决于每根纤维的性质；一根纤维的断裂，对应于连续介质中微裂纹形成的断裂，可能也不可能引起纤维束整体的破坏。F07:08由数目庞大的纤维组成的纤维束，可以连续化地处理为一个纤维板。任意一根纤维在纤维板中的位置可以用一个连续量x来表示（0

x

1)。§2.7.1连续化的纤维束模型2.7一维的纤维束模型F1xdxF设纤维束的横截面面积为A0，则一根宽度为dx的纤维对应的横截面面积为dxA0。设其对应的弹性模量为E(x)。因为纤维间没有相互挤压，从而可重新排列而不影响纤维束整体的力学性质，因此可设E(x)为单调递增的函数。07:08设纤维的断裂应力

R(x)也是沿x单调变化的函数。为简单起见，设E(x)和

R(x)均为线性函数，可表示为§2.7.1连续化的纤维束模型2.7一维的纤维束模型1xdxF（）（）其中，分别为纤维的平均弹性模量和平均断裂应力。系数

、

的范围是0

1，0

1

。易验证：对于

、

，（）（）07:08对于所有纤维材料，设其是理想脆性和突然损伤断裂的，即有§2.7.1连续化的纤维束模型2.7一维的纤维束模型（）设在外载作用下，所有纤维的伸长应变都是

。所有的纤维将保持弹性，若对所有的x，有（）

R

R

可以证明，若0

1。则

x=0

处的纤维最先断裂。反过来，则x=1处的纤维最先断裂07:08证明：§2.7.1连续化的纤维束模型2.7一维的纤维束模型因此，0

1时，

(x)/

R(x)在x=0处取最大值，因而x=0处的纤维最先断裂。反过来，则x=1处的纤维最先断裂推导：07:08设0

1，x=0

处的纤维最先断裂时对应的载荷记为F0，其为§2.7.1连续化的纤维束模型2.7一维的纤维束模型（）这样x

处的应力为由可求得x=0处断裂时的应变为从而这时横截面上的载荷为07:08载荷继续增加时，越来越多的纤维发生断裂，断裂前缘x=c沿x的正向扩展。断裂前缘的条件是§2.7.1连续化的纤维束模型2.7一维的纤维束模型（）相应的横截面上的载荷为（）F(c)的形状取决于

和

的相对大小，下面讨论。07:08情形1：§2.7.1连续化的纤维束模型2.7一维的纤维束模型（）当F

达到F0时，纤维束开始从x=0

处断裂；F增加，意味着