四川省眉山市2023届高三数学一轮讲义6函数的奇偶性

Page15函数的奇偶性：知识梳理一函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称二对函数奇偶性的理解和性质1.只有定义域关于原点对称的函数谈函数的奇偶性才有意义；2.函数既是奇函数又是偶函数；但既是奇函数又是偶函数的函数有无数个，因为定义域不同叫不同的函数3.若在奇函数的定义域中，则。例：1.已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2＋x)＝f(2－x)，则f(4)＝()A．4 B．2C．0 D．不确定2.已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋m(m为常数)，则f(－1)的值为()A．－3 B．－1C．1 D．3三判断函数奇偶性的步骤：1.考查函数的定义域是否关于原点对称；若不对称，则函数一定是非奇非偶函数；2.当函数的定义域关于原点对称时，判断等式之一是否恒成立。3.熟悉三大奇函数（1）(a>0且a≠1)（2）(a>0且a≠1)（3）(a>0且a≠1)4.奇+奇为奇；偶+偶为偶；奇奇为偶；奇偶为奇；偶偶为偶；例1：判断下列函数的奇偶性（1）（2）（3） （4）f(x)=log2(1+4x)－x（5）（6）例2：判断下列函数的奇偶性(a>0且a≠1)(2)(a>0且a≠1)(3)f(x)=(4)(5)(6)(7)例3.1.已知函数若实数满足，则（）A． B． C． D．2．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是()．A．f(x)f(－x)是奇函数B.是奇函数C．f(x)－f(－x)是偶函数D．f(x)＋f(－x)是偶函数3.函数f(x)＝loga(2＋x)，g(x)＝loga(2－x)(a>0且a≠1)，则函数F(x)＝f(x)＋g(x)，G(x)＝f(x)－g(x)的奇偶性是()A．F(x)是奇函数，G(x)是奇函数B．F(x)是偶函数，G(x)是奇函数C．F(x)是偶函数，G(x)是偶函数D．F(x)是奇函数，G(x)是偶函数4.(14年全国卷I）设函数，的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（）.是偶函数.||是奇函数.||是奇函数.||是奇函数四函数奇偶性的性质1.函数是奇函数（或偶函数）函数定义域关于原点对称；2.函数是奇函数函数的图像关于原点对称；3.函数是偶函数函数的图像关于轴对称；4.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，且值域“互为相反数”；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性，且值域相同；5.函数是偶函数对函数定义域中的任意实数都成立。例1.1函数是偶函数，则函数的最小值为。2．若奇函数f(x)＝3sinx＋c的定义域是[a，b]，则a＋b＋c等于()A．3B．－3C．0 D．无法计算3．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()A．－eq\f(1,3)B.eq\f(1,3)C．－eq\f(1,2)D.eq\f(1,2)例2.1．设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为________．2.已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)<f(eq\f(1,3))的x的取值范围是()A．(eq\f(1,3)，eq\f(2,3))B．[eq\f(1,3)，eq\f(2,3))C．(eq\f(1,2)，eq\f(2,3)) D．[eq\f(1,2)，eq\f(2,3))3.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)>f(－eq\r(2))，则a的取值范围是()A.(－∞,eq\f(1,2)) B.(－∞,eq\f(1,2))∪(eq\f(3,2),+∞)C.(eq\f(1,2),eq\f(3,2)) D.(eq\f(3,2),+∞)五例题分析例1：求奇偶函数的解析式或值1.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则在上函数的表达式为；变形一题：已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则在上函数的表达式为；2．已知f(x)是偶函数，当x<0时，f(x)＝x2＋x，则当x>0时，f(x)＝________.3．(2019年高考全国Ⅱ卷理数)已知是奇函数，且当时，.若，则__________．4.(2017·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________.5．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,6)x0＜x≤8，,log2xx>8，))则f(f(－16))等于()A．－eq\f(1,2)B．－eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),2)例2：画出奇偶函数的草图1．已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，且f(eq\f(1,2))>0>f(－eq\r(3))，则方程f(x)＝0的根的个数为()A．0 B．1C．2 D．32．设f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(－3)＝0，则x·f(x)<0的解集是()A．{x|－3<x<0，或x>3}B．{x|x<－3，或0<x<3}C．{x|x<－3，或x>3}D．{x|－3<x<0，或0<x<3}3．(2020年新高考全国Ⅰ卷)若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（）A．B．C． D．例3.已知函数的奇偶性求函数表达式中待定字母的值1.已知：函数是奇函数，则；2．若函数为奇函数，则a＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4) D．13．已知定义域为R的函数f(x)＝eq\f(－2x＋1,2x＋1＋a)是奇函数，则a＝_______.4.若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________.5．已知f(x)＝lg(eq\f(2,1－x)＋a)为奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是()A．(－∞，0) B．(－1,0)C．(0,1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)6．(2022年全国乙卷)若是奇函数，则_____，______．7．(2019年高考北京理数)设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．8．(2021·全国高考真题(理))设函数，则下列函数中为奇函数的是（）A．B．C． D．9．(2020年高考全国Ⅱ卷理数)设函数，则f(x)A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减例4.一类题型：设函数其中为奇函数，则。1．已知，且，则的值是 （）A．－5 B．－7 C．5 D．7类似一题：已知函数，若，则。2.已知f(x)=x4+ax3+bx－8，且f(－2)=10，则f(2)=_________3.设函数的最大值为M，最小值为m，则M+m=.4.已知a>0，设函数f(x)＝eq\f(2023x＋1＋2022,2023x＋1)＋2023x3(x∈[－a，a])的最大值为M，最小值为N，则M＋N的值为()A.2023 B.2024C.4045 D.4046函数的奇偶性：知识梳理一函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称二对函数奇偶性的理解和性质1.只有定义域关于原点对称的函数谈函数的奇偶性才有意义；2.函数既是奇函数又是偶函数；但既是奇函数又是偶函数的函数有无数个，因为定义域不同叫不同的函数3.若在奇函数的定义域中，则。例：1.已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2＋x)＝f(2－x)，则f(4)＝()A．4 B．2C．0 D．不确定答案：C2.已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋m(m为常数)，则f(－1)的值为()A．－3 B．－1C．1 D．3答案：A三判断函数奇偶性的步骤：1.考查函数的定义域是否关于原点对称；若不对称，则函数一定是非奇非偶函数；2.当函数的定义域关于原点对称时，判断等式之一是否恒成立。3.熟悉三大奇函数（1）(a>0且a≠1)（2）(a>0且a≠1)（3）(a>0且a≠1)4.奇+奇为奇；偶+偶为偶；奇奇为偶；奇偶为奇；偶偶为偶；例1：判断下列函数的奇偶性（1）（2）（3） （4）f(x)=log2(1+4x)－x（5）（6）答案：（1）非奇非偶函数；（2）奇函数；（3）奇函数；（4）偶函数；（5）奇函数；（6）奇函数。例2：判断下列函数的奇偶性(a>0且a≠1)(2)(a>0且a≠1)(3)f(x)=(4)(5)(6)(7)例3.1.已知函数若实数满足，则（）A． B． C． D．答案：D2．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是 ()．A．f(x)f(－x)是奇函数B.是奇函数C．f(x)－f(－x)是偶函数D．f(x)＋f(－x)是偶函数答案：D解析：F(x)＝f(x)＋f(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(－x)．3.函数f(x)＝loga(2＋x)，g(x)＝loga(2－x)(a>0且a≠1)，则函数F(x)＝f(x)＋g(x)，G(x)＝f(x)－g(x)的奇偶性是()A．F(x)是奇函数，G(x)是奇函数B．F(x)是偶函数，G(x)是奇函数C．F(x)是偶函数，G(x)是偶函数D．F(x)是奇函数，G(x)是偶函数答案：B解析：F(x)，G(x)的定义域均为(－2,2)，由已知F(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝loga(2－x)＋loga(2＋x)＝F(x)，G(－x)＝f(－x)－g(－x)＝loga(2－x)－loga(2＋x)＝－G(x)，∴F(x)是偶函数，G(x)是奇函数．4.(14年全国卷I）设函数，的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（）.是偶函数.||是奇函数.||是奇函数.||是奇函数答案：C解析：设，则，∵是奇函数，是偶函数，∴，为奇函数，选C.四函数奇偶性的性质1.函数是奇函数（或偶函数）函数定义域关于原点对称；2.函数是奇函数函数的图像关于原点对称；3.函数是偶函数函数的图像关于轴对称；4.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，且值域“互为相反数”；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性，且值域相同；5.函数是偶函数对函数定义域中的任意实数都成立。例1.1函数是偶函数，则函数的最小值为。答案：-42．若奇函数f(x)＝3sinx＋c的定义域是[a，b]，则a＋b＋c等于()A．3B．－3C．0 D．无法计算答案：C3．(2016·兰州模拟)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()A．－eq\f(1,3)B.eq\f(1,3)C．－eq\f(1,2)D.eq\f(1,2)答案B解析依题意得f(－x)＝f(x)，∴b＝0，又a－1＝－2a，∴a＝eq\f(1,3)，∴a＋b＝eq\f(1,3)，故选B.例2.1．设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为________．答案：2.(2017·沈阳质检)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)<f(eq\f(1,3))的x的取值范围是()A．(eq\f(1,3)，eq\f(2,3))B．[eq\f(1,3)，eq\f(2,3))C．(eq\f(1,2)，eq\f(2,3)) D．[eq\f(1,2)，eq\f(2,3))答案：A解析：因为f(x)是偶函数，所以其图象关于y轴对称，又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，f(2x－1)<f(eq\f(1,3))，所以|2x－1|<eq\f(1,3)，所以eq\f(1,3)<x<eq\f(2,3).3.(2016·天津)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)>f(－eq\r(2))，则a的取值范围是()A.(－∞,eq\f(1,2)) B.(－∞,eq\f(1,2))∪(eq\f(3,2),+∞)C.(eq\f(1,2),eq\f(3,2)) D.(eq\f(3,2),+∞)答案C解析因为f(x)是定义在R上的偶函数且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f(－x)＝f(x)且f(x)在(0，＋∞)上单调递减．由f(2|a－1|)>f(－eq\r(2))，f(－eq\r(2))＝f(eq\r(2))可得2|a－1|<eq\r(2)，即|a－1|<eq\f(1,2)，所以eq\f(1,2)<a<eq\f(3,2).五例题分析例1：求奇偶函数的解析式或值1.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则在上函数的表达式为；答案：变形一题：已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则在上函数的表达式为；答案：2．已知f(x)是偶函数，当x<0时，f(x)＝x2＋x，则当x>0时，f(x)＝________.答案：3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知是奇函数，且当时，.若，则__________．答案：解析：由题意知是奇函数，且当时，，又因为，，所以，两边取以为底数的对数，得，所以，即．4.(2017·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________.答案12解析∵x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，且f(x)在R上为奇函数，∴f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.5．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,6)x0＜x≤8，,log2xx>8，))则f(f(－16))等于()A．－eq\f(1,2)B．－eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),2)答案C解析由题意f(－16)＝－f(16)＝－log216＝－4，故f(f(－16))＝f(－4)＝－f(4)＝－coseq\f(4π,6)＝eq\f(1,2).例2：画出奇偶函数的草图1．已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，且f(eq\f(1,2))>0>f(－eq\r(3))，则方程f(x)＝0的根的个数为()A．0 B．1C．2 D．3答案：C2．设f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(－3)＝0，则x·f(x)<0的解集是()A．{x|－3<x<0，或x>3}B．{x|x<－3，或0<x<3}C．{x|x<－3，或x>3}D．{x|－3<x<0，或0<x<3}答案：D3．【2020年新高考全国Ⅰ卷】若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（）A．B．C． D．答案：D解析：因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，，所以当时，，当时，，所以由可得：或或.解得或，所以满足的的取值范围是，故选：D．例3.已知函数的奇偶性求函数表达式中待定字母的值1.已知：函数是奇函数，则；答案：12．若函数为奇函数，则a＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4) D．1答案：A3．已知定义域为R的函数f(x)＝eq\f(－2x＋1,2x＋1＋a)是奇函数，则a＝_______.答案：24.若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________.答案：－eq\f(3,2)解析函数f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，故f(－x)＝f(x)，即ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，化简得lneq\f(1＋e3x,e3x＋e6x)＝2ax＝lne2ax，即eq\f(1＋e3x,e3x＋e6x)＝e2ax，整理得e3x＋1＝e2ax＋3x(e3x＋1)，所以2ax＋3x＝0，解得a＝－eq\f(3,2).5．已知f(x)＝lg(eq\f(2,1－x)＋a)为奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是()A．(－∞，0) B．(－1,0)C．(0,1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)答案B解析由f(x)＋f(－x)＝0，即lg(eq\f(2,1－x)＋a)＋lg(eq\f(2,1＋x)＋a)＝lgeq\f(2＋a2－a2x2,1－x2)＝lg1＝0可得a＝－1，所以f(x)＝lgeq\f(1＋x,1－x)，解得0<eq\f(1＋x,1－x)<1，可得－1<x<0.6．【2022年全国乙卷】若是奇函数，则_____，______．答案：

；

．解析：因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．故答案为：；．7．【2019年高考北京理数】设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．答案：解析：首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用可得a的取值范围.若函数为奇函数，则即，即对任意的恒成立，则，得.若函数是R上的增函数，则在R上恒成立，即在R上恒成立，又，则，即实数的取值范围是.8．【2021·全国高考真题（理）】设函数，则下列函数中为奇函数的是（）A．B．C． D．答案：B解析：由题意可得，对于A，不是奇函数；对于B，