53模拟试卷初中数学八年级下册09专项素养综合全练(九)

专项素养综合全练(九)新定义型试题类型一函数新定义1.新定义:[a,b]为一次函数y=ax+b(a≠0,a,b为实数)的“关联数”.若“关联数”为[3,m-2]的一次函数是正比例函数,则点(1-m,1+m)在第象限内.

2.定义:一次函数y=ax+b和一次函数y=-bx-a为“逆反函数”,如y=3x+2和y=-2x-3为“逆反函数”.若点A(a,3)在y=x+2的“逆反函数”的图象上,则a=.

类型二三角形新定义3.我们新定义一种三角形:两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫常态三角形.例如:一个三角形的三边长分别是5,6和8,因为62+82=4×52=100,所以这个三角形是常态三角形.(1)若△ABC的三边长分别是2,5和4,则此三角形常态三角形(填“是”或“不是”);

(2)若Rt△ABC是常态三角形,则此三角形的三边长之比为(从小到大排列);

(3)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,CD=AD=DB,若△BCD是常态三角形,求△ABC的面积.类型三四边形新定义4.定义:有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形,这两个角的夹边称为邻余线.(1)如图①,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,E,F分别是BD,AD上的点,求证:四边形ABEF是邻余四边形;(2)在如图②所示的方格纸中,A,B在格点上,请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF,使AB是邻余线,E,F在格点上.5.如图①,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.(1)概念理解:如图②,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,问四边形ABCD是垂美四边形吗?请说明理由.(2)性质探究:如图①,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,AC⊥BD,试证明:AB2+CD2=AD2+BC2.(3)解决问题:如图③,分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE,连接CE、BG、GE,已知AC=4,AB=5,求GE的长.图③6.定义:如果四边形的一条对角线的中点到另外两个顶点的距离都等于这条对角线长的一半,那么我们称这样的四边形为“等距四边形”.(1)在等腰梯形、矩形、菱形中,是“等距四边形”的是;

(2)如图①,在菱形ABCD中,AB=4,∠A=60°,BE⊥CD于点E,点F是菱形ABCD边上的一点,顺次连接B、E、D、F,若四边形BEDF为“等距四边形”,求线段EF的长;(3)如图②,已知等边△ABC的边长为4,点P是△ABC内一点,若过点P可将△ABC恰好分割成三个“等距四边形”,求这三个“等距四边形”的周长和.

答案全解全析1.答案二解析∵“关联数”为[3,m-2]的一次函数是正比例函数,∴y=3x+m-2是正比例函数,∴m-2=0,解得m=2,则1-m=-1,1+m=3,故点(1-m,1+m)在第二象限内.2.答案-2解析根据题意可知y=x+2的“逆反函数”为y=-2x-1.∵点A(a,3)在y=x+2的“逆反函数”的图象上,∴3=-2a-1,∴a=-2.3.解析(1)是.(2)2∶3∶5.(3)设CD=x(x>0),则AB=2x,∵△BCD是常态三角形,∴有以下两种可能.①当x2+x2=4BC2=4×62=144时,x2=72,∴x=62,∴AB=122,由勾股定理得AC=AB2-BC2=288−36=67,则S△ABC=12AC·②当x2+62=4x2时,x2=12,∴x=23,∴AB=43,由勾股定理得AC=(43)2-62=12=23,则S△ABC=12AC·综上,△ABC的面积为63或187.4.解析(1)证明:∵AB=AC,AD是△ABC的角平分线,∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∴∠DAB+∠DBA=90°,∴∠FAB与∠EBA互余,∴四边形ABEF是邻余四边形.(2)如图所示,四边形ABEF即为所求.(答案不唯一)5.解析(1)四边形ABCD是垂美四边形.理由:∵AB=AD,∴点A在线段BD的垂直平分线上.∵CB=CD,∴点C在线段BD的垂直平分线上,∴直线AC是线段BD的垂直平分线,∴AC⊥BD,∴四边形ABCD是垂美四边形.(2)证明:∵AC⊥BD,∴在Rt△ABO中,OA2+OB2=AB2,在Rt△OBC中,OB2+OC2=BC2,在Rt△OCD中,OC2+OD2=CD2,在Rt△ODA中,OD2+OA2=AD2,∴AB2+CD2=OA2+OB2+OC2+OD2,AD2+BC2=OD2+OA2+OB2+OC2,∴AB2+CD2=AD2+BC2.(3)如图,连接CG,BE,设CE交BG于点N,交AB于点M.∵∠CAG=∠BAE=90°,∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC,即∠GAB=∠CAE.在△GAB和△CAE中,AG=AC,∠GAB=∠CAE,AB∵∠AEC+∠AME=90°,∴∠ABG+∠AME=90°,∴∠ABG+∠BMN=90°,∴∠BNM=90°,∴CE⊥BG,∴四边形CGEB是垂美四边形.由(2)可得CG2+BE2=CB2+GE2,∵AC=4,AB=5,∴BC=3,CG=42,BE=52,∴GE2=CG2+BE2-CB2=73,∴GE=73.6.解析(1)等腰梯形的对角线相等,但一条对角线的中点到另外两个顶点的距离之和大于另一条对角线的长,不符合题意.矩形的对角线相等且互相平分,一条对角线的中点到另外两个顶点的距离等于这条对角线长的一半,符合题意.菱形的对角线互相平分,对角线不一定相等,因此一条对角线的中点到另外两个顶点的距离不一定等于这条对角线长的一半,不符合题意.故填矩形.(2)根据“等距四边形”的定义可知,当点F在AD上,且BF⊥AD时,四边形BEDF是“等距四边形”,如图,取BD的中点O,连接OF,OE,EF.∵BF⊥AD,BE⊥DC,∴∠BFD=90°,∠BED=90°,∴OF=OE=12BD,∴四边形BEDF是“等距四边形”.在菱形ABCD中,∠A=60°,AD∥BC,∴∠C=∠A=60°,∠ABC=180°-∠A=120°,∴∠ABF=∠CBE=30°,∴∠EBF=∠ABC-∠ABF-∠CBE=60°,根据菱形是轴对称图形,易证BF=BE,∴△BEF是等边三角形,∴EF=BF.在Rt△ABF中,∠ABF=30°,AB=4,∴AF=2,由勾股定理得BF=23,∴EF=BF=23当点F在AB上,且DF⊥AB时,四边形BEDF是“等距四边形”,如图,连接BD,EF交于点O.∵DF⊥AB,BE⊥DC,∴∠BFD=∠BED=90°.∵AB∥CD,∴∠FBE=180°-∠BED=90°,∴∠BFD=∠BED=∠FBE=90°,∴四边形BEDF是矩形,∴BD=EF,在菱形ABCD中,AD=AB=4,∠A=60°,∴△ABD为等边三角形,∴BD=AB=4,∴EF=4.综上,EF=23或4.(3)过点P分别作PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,垂足分别为D,E,F,如图,由(2)易证四边形ADPF,四边形BEPD,四边形ECFP是“等距四边形”,过点A作AG⊥BC于G,连接AP,BP,CP,则S△ABC=12BC·AG,S△ABC=S△APB+S△BPC+S△APC,在Rt△ABG中,∠ABC=60°,则∠BAG=30°.又∵AB=4,∴BG=2.在Rt△ABG中,由勾股定理,得AG=23,∴S△ABC