四川省眉山市2023届高三数学一轮复习讲义2三角恒等变形

Page23两角和与差的三角函数：知识梳理一两角和与差的正弦余弦公式1.的推导：法1：向量法；法2：三角形全等2.；；。应用一：已知和的值（或和的值）联立求解能求，和的值（或能求，和的值）例1.若sin(α＋β)＝3sin(π－α＋β)，且α，β∈，则eq\f(tanα,tanβ)＝________.例2.已知则=。例3.在锐角三角形中，（1）证明：（2）已知：求边上的高。应用二：化一公式其中。例1.（1）已知函数的值域，（2）已知函数的值域，（3）已知函数的值域，例2.已知，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2020)=（）A． B． C．1 D．0例3.(13年全国卷I）设当x=θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ=______应用三：已知，求或的值；（或，求和的值）方法：平方相加减例1.(2018·全国Ⅱ卷)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________.例2.已知，则=。变形一题：在中，，求角的大小。二两角和与差的正切公式；。1.变形公式：.例1.求的值；例2.在△ABC中，已知三个内角A，B，C成等差数列，则taneq\f(A,2)＋taneq\f(C,2)＋eq\r(3)taneq\f(A,2)taneq\f(C,2)的值为_____．2.中，求证：例1在△ABC中，tanA＋tanB＋eq\r(3)＝eq\r(3)tanA·tanB，则C等于 ()A.eq\f(π,3) B.eq\f(2π,3) C.eq\f(π,6) D.eq\f(π,4)例2.在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC的值为()A．－eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)3.当时，；例：，4.当时，；例：已知，则；5.已知是方程的两根，则的值能求；例1.已知是方程的两根，则＝；例2.设tanα、tanβ是关于x的方程的两个实根，求函数f(m)=tan(α+β)的最小值.三二倍角公式1.；；＝＝；注意：1．降幂公式：；。2．升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.例1.1．若eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(1,2)，则tan2α＝()．A．－eq\f(3,4) B.eq\f(3,4) C．－eq\f(4,3) D.eq\f(4,3)2.已知α∈，，则tan(π＋2α)＝()A.eq\f(4\r(2),7) B.±eq\f(2\r(2),5) C.±eq\f(4\r(2),7) D.eq\f(2\r(2),5)3.（2019全国二卷10）已知α∈(0，)，2sin2α=cos2α+1，则sinα=()A．B．C． D．4.(2018·全国Ⅲ卷)若sinα＝eq\f(1,3)，则cos2α＝()A.eq\f(8,9) B.eq\f(7,9) C.－eq\f(7,9) D.－eq\f(8,9)5.(2016·全国Ⅲ卷)若tanθ＝－eq\f(1,3)，则cos2θ＝()A.－eq\f(4,5) B.－eq\f(1,5) C.eq\f(1,5) D.eq\f(4,5)6.若＝eq\f(\r(2),3)，则cos(π－2α)＝()A.eq\f(2,9) B.eq\f(5,9) C.－eq\f(2,9) D.－eq\f(5,9)7． 若θ∈[eq\f(π,4)，eq\f(π,2)]，sin2θ＝eq\f(3\r(7),8)，则sinθ等于 ()A.eq\f(3,5) B.eq\f(4,5) C.eq\f(\r(7),4) D.eq\f(3,4)四两角和与差的三角公式的综合应用应用一：型如的函数的图像和性质：方法：降幂化一例1．（2021·全国·高考真题（文））（

）A． B． C． D．例2.已知函数（1）求的最小正周期；（2）当的值.例3.（2018上海卷18）设常数，函数（1）若为偶函数，求a的值；（2）若，求方程在区间上的解.应用二：三角函数式的化简（三个意识）意识1：切化弦；意识2：化不同角为同角；意识3：名称尽可能少。注意：1.；2.；3.。4.tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ).5.sinα±cosα＝eq\r(2)sin.例1.切化弦：利用把正切化为正、余弦的关系（可以了解）。1.(14年全国卷I）设，，且，则（）....2．（2021·全国·高考真题（文））若，则（

）A． B． C． D．3.＝；4.△中，所对的边分别为，,.（1）求；（2）若,求.5.计算：eq\f(1＋cos20°,2sin20°)－sin10°(eq\f(1,tan5°)－tan5°)＝________.6．设x∈，则函数y＝eq\f(2sin2x＋1,sin2x)的最小值为______________．例2.化不同角为同角：利用两角和与差、倍角、降幂公式、化一公式、特殊角等化不同角为同角。1.eq\f(2cos10°－sin20°,sin70°)的值是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\r(3) D.eq\r(2)2.tan70°·cos10°(eq\r(3)tan20°－1)等于()A.1 B.2 C.－1 D.－23.eq\f(sin10°,1－\r(3)tan10°)＝()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2) C.eq\f(\r(3),2) D.14．(2013·重庆)4cos50°－tan40°等于 ()A.eq\r(2) B.eq\f(\r(2)＋\r(3),2) C.eq\r(3) D．2eq\r(2)－15．cos20°cos40°cos60°·cos80°等于()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,16) D.eq\f(1,32)6．（多选题）（2021·全国·高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（

）A．B．C． D．应用三：利用已知角构造未知角：把已知角看成一个整体，不妨令为，反解代入所求三角式，转化为：已知的某个三角函数的值，求关于的三角函数式的值，再注意的范围即可。例1.1.(2018·全国Ⅱ卷)已知，则tanα＝____________.2.若，A∈，则sinA的值为()A.eq\f(3,5) B.eq\f(4,5) C.eq\f(3,5)或eq\f(4,5) D.eq\f(3,4)3.(2017·江苏卷)若，则tanα＝________.4.已知的值；例2.1.若，则＝()A.eq\f(23,25) B.－eq\f(23,25) C.eq\f(7,25) D.－eq\f(7,25)2.已知，则（）A.B.C.D.3．(2012·江苏)设α为锐角，若，则的值为________．例3.1.已知，且，则的值为；2.若、为锐角，且，，则的值为．3.已知α∈，且sineq\f(α,2)＋coseq\f(α,2)＝eq\f(\r(6),2).(1)求cosα的值；(2)若sin(α－β)＝－eq\f(3,5)，β∈，求cosβ的值．4.【2018江苏卷16】已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．应用四：求角的大小———由角的范围选择适当的三角函数，转化为求该角的某一三角函数的值例1.已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，sin(α－β)＝－eq\f(\r(10),10)，α，β均为锐角，则角β等于 ()A.eq\f(π,3)B.eq\f(2π,3)C.eq\f(π,6)D.eq\f(π,4)例2.若sin2α＝eq\f(\r(5),5)，sin(β－α)＝eq\f(\r(10),10)，且α∈[eq\f(π,4)，π]，β∈[π，eq\f(3π,2)]，则α＋β的值是()A.eq\f(7π,4)B.eq\f(5π,4)C.eq\f(5π,4)或eq\f(7π,4) D.eq\f(3π,2)例3.在中，为锐角，角所对的边分别为，且（I）求的值；（II）若，求的值。例4.已知<<<,(Ⅰ)求的值.（Ⅱ）求.两角和与差的三角函数：知识梳理一两角和与差的正弦余弦公式1.的推导：法1：向量法；法2：三角形全等2.；；。应用一：已知和的值（或和的值）联立求解能求，和的值（或能求，和的值）例1.若sin(α＋β)＝3sin(π－α＋β)，且α，β∈，则eq\f(tanα,tanβ)＝________.答案2解析由条件，得sin(α＋β)＝3sin(α－β)，∴sinαcosβ＝2cosαsinβ，则tanα＝2tanβ，因此eq\f(tanα,tanβ)＝2.例2.已知求的值。答案：例3.在锐角三角形中，（1）证明：（2）已知：求边上的高。答案：（1）略；（2）应用二：化一公式其中。例1.（1）已知函数的值域，（2）已知函数的值域，（3）已知函数的值域，例2.已知，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2020)=（）A． B． C．1 D．0答案：B例3.(13年全国卷I）设当x=θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ=______答案：解析：∵==令=，，则==，当=，即=时，取最大值，此时=，∴===.应用三：已知，求或的值；（或，求和的值）方法：平方相加减例1.(2018·全国Ⅱ卷)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________.答案：－eq\f(1,2)解析：由sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，两式平方相加，得2＋2sinαcosβ＋2cosαsinβ＝1，整理得sin(α＋β)＝－eq\f(1,2).例2.已知，求的值答案：变形一题：在中，，求角的大小。答案：二两角和与差的正切公式；。1.变形公式：.例1.求的值；答案：例2.在△ABC中，已知三个内角A，B，C成等差数列，则taneq\f(A,2)＋taneq\f(C,2)＋eq\r(3)taneq\f(A,2)taneq\f(C,2)的值为_____．答案：eq\r(3)2.中，求证：例1在△ABC中，tanA＋tanB＋eq\r(3)＝eq\r(3)tanA·tanB，则C等于 ()A.eq\f(π,3) B.eq\f(2π,3) C.eq\f(π,6) D.eq\f(π,4)答案A解析由已知可得tanA＋tanB＝eq\r(3)(tanA·tanB－1)，∴tan(A＋B)＝eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝－eq\r(3)，又0<A＋B<π，∴A＋B＝eq\f(2,3)π，∴C＝eq\f(π,3).例2.在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC的值为()A．－eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)答案：B解析：由tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，可得eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝－1，即tan(A＋B)＝－1，又A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝eq\f(3π,4)，则C＝eq\f(π,4)，cosC＝eq\f(\r(2),2).3.当时，；例：，答案：4.当时，2；例：已知，则；答案：45.已知是方程的两根，则的值能求；例1.已知是方程的两根，则＝；答案：-1例2.设tanα、tanβ是关于x的方程的两个实根，求函数f(m)=tan(α+β)的最小值.答案：三二倍角公式1.；；＝＝；注意：1．降幂公式：；。cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).2．升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.例1.1．若eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(1,2)，则tan2α＝()．A．－eq\f(3,4) B.eq\f(3,4) C．－eq\f(4,3) D.eq\f(4,3)答案B解析由eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(1,2)，得eq\f(tanα＋1,tanα－1)＝eq\f(1,2)，所以tanα＝－3，所以tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(3,4).2.已知α∈，，则tan(π＋2α)＝()A.eq\f(4\r(2),7) B.±eq\f(2\r(2),5) C.±eq\f(4\r(2),7) D.eq\f(2\r(2),5)答案：A解析：∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝eq\f(1,3)，∴cosα＝eq\f(1,3)，sinα＝－eq\f(2\r(2),3)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－2eq\r(2).∴tan(π＋2α)＝tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(－4\r(2),1－（－2\r(2)）2)＝eq\f(4\r(2),7).3.（2019全国二卷10）已知α∈(0，)，2sin2α=cos2α+1，则sinα=A．B．C． D．答案：B4.(2018·全国Ⅲ卷)若sinα＝eq\f(1,3)，则cos2α＝()A.eq\f(8,9) B.eq\f(7,9) C.－eq\f(7,9) D.－eq\f(8,9)答案B解析因为sinα＝eq\f(1,3)，cos2α＝1－2sin2α，所以cos2α＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)＝1－eq\f(2,9)＝eq\f(7,9).5.(2016·全国Ⅲ卷)若tanθ＝－eq\f(1,3)，则cos2θ＝()A.－eq\f(4,5) B.－eq\f(1,5) C.eq\f(1,5) D.eq\f(4,5)答案D解析cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝eq\f(cos2θ－sin2θ,cos2θ＋sin2θ)＝eq\f(1－tan2θ,1＋tan2θ)＝eq\f(4,5).6.(2019·衡水中学调研)若＝eq\f(\r(2),3)，则cos(π－2α)＝()A.eq\f(2,9) B.eq\f(5,9) C.－eq\f(2,9) D.－eq\f(5,9)答案：D解析：由coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝eq\f(\r(2),3)，得sinα＝eq\f(\r(2),3).∴cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin2α)＝2sin2α－1＝2×eq\f(2,9)－1＝－eq\f(5,9).7． 若θ∈[eq\f(π,4)，eq\f(π,2)]，sin2θ＝eq\f(3\r(7),8)，则sinθ等于 ()A.eq\f(3,5) B.eq\f(4,5) C.eq\f(\r(7),4) D.eq\f(3,4)答案D解析由sin2θ＝eq\f(3,8)eq\r(7)和sin2θ＋cos2θ＝1得(sinθ＋cosθ)2＝eq\f(3\r(7),8)＋1＝(eq\f(3＋\r(7),4))2，又θ∈[eq\f(π,4)，eq\f(π,2)]，∴sinθ＋cosθ＝eq\f(3＋\r(7),4).同理，sinθ－cosθ＝eq\f(3－\r(7),4)，∴sinθ＝eq\f(3,4).四两角和与差的三角公式的综合应用应用一：型如的函数的图像和性质：方法：降幂化一例1．（2021·全国·高考真题（文））（

）A． B． C． D．答案：D解析：由题意，.故选：D.例2.已知函数（1）求的最小正周期；（2）当的值.答案：（1）；（2）例3.（2018上海卷18）设常数，函数（1）若为偶函数，求a的值；（2）若，求方程在区间上的解.解析：（1）=，当为偶函数时：，则，解得。（2），由题意，，，当时，即，令,则，解得：或应用二：三角函数式的化简（三个意识）意识1：切化弦；意识2：化不同角为同角；意识3：名称尽可能少。注意：1.；2.；3.。4.tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ).5.sinα±cosα＝eq\r(2)sin.例1.切化弦：利用把正切化为正、余弦的关系（可以了解）。1.(14年全国卷I）设，，且，则（）....答案：Ｂ解析：∵，∴，∴，即，选B2．（2021·全国·高考真题（文））若，则（

）A． B． C． D．答案：A解析：，，，，解得，，.故选：A.3.＝；答案：14.△中，所对的边分别为，,.（1）求；（2）若,求.答案：（1）；（2）.5.计算：eq\f(1＋cos20°,2sin20°)－sin10°(eq\f(1,tan5°)－tan5°)＝________.答案：6．设x∈，则函数y＝eq\f(2sin2x＋1,sin2x)的最小值为______________．答案eq\r(3)解析方法一因为y＝eq\f(2sin2x＋1,sin2x)＝eq\f(2－cos2x,sin2x)，所以令k＝eq\f(2－cos2x,sin2x).又x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以k就是单位圆x2＋y2＝1的左半圆上的动点P(－sin2x，cos2x)与定点Q(0,2)所成直线的斜率．又kmin＝tan60°＝eq\r(3)，所以函数y＝eq\f(2sin2x＋1,sin2x)的最小值为eq\r(3).方法二y＝eq\f(2sin2x＋1,sin2x)＝eq\f(3sin2x＋cos2x,2sinxcosx)＝eq\f(3tan2x＋1,2tanx)＝eq\f(3,2)tanx＋eq\f(1,2tanx).∵x∈(0，eq\f(π,2))，∴tanx>0.∴eq\f(3,2)tanx＋eq\f(1,2tanx)≥2eq\r(\f(3,2)tanx·\f(1,2tanx))＝eq\r(3).(当tanx＝eq\f(\r(3),3)，即x＝eq\f(π,6)时取等号)即函数的最小值为eq\r(3).例2.化不同角为同角：利用两角和与差、倍角、降幂公式、化一公式、特殊角等化不同角为同角。1.eq\f(2cos10°－sin20°,sin70°)的值是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\r(3) D.eq\r(2)答案C解析原式＝eq\f(2cos30°－20°－sin20°,sin70°)＝eq\f(2cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°－sin20°,sin70°)＝eq\f(\r(3)cos20°,cos20°)＝eq\r(3).2.tan70°·cos10°(eq\r(3)tan20°－1)等于()A.1 B.2 C.－1 D.－2答案：C解析：tan70°·cos10°(eq\r(3)tan20°－1)＝eq\f(sin70°,cos70°)·cos10°eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)·\f(sin20°,cos20°)－1))＝eq\f(cos20°cos10°,sin20°)·eq\f(\r(3)sin20°－cos20°,cos20°)＝eq\f(cos10°·2sin（20°－30°）,sin20°)＝eq\f(－sin20°,sin20°)＝－1.3.eq\f(sin10°,1－\r(3)tan10°)＝()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2) C.eq\f(\r(3),2) D.1答案A解析eq\f(sin10°,1－\r(3)tan10°)＝eq\f(sin10°cos10°,cos10°－\r(3)sin10°)＝eq\f(2sin10°cos10°,4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos10°－\f(\r(3),2)sin10°)))＝eq\f(sin20°,4sin（30°－10°）)＝eq\f(1,4).4．(2013·重庆)4cos50°－tan40°等于 ()A.eq\r(2) B.eq\f(\r(2)＋\r(3),2) C.eq\r(3) D．2eq\r(2)－1答案C解析4cos50°－tan40°＝eq\f(4sin40°cos40°－sin40°,cos40°)＝eq\f(2sin80°－sin40°,cos40°)＝eq\f(2sin50°＋30°－sin40°,cos40°)＝eq\f(\r(3)sin50°＋cos50°－sin40°,cos40°)＝eq\f(\r(3)sin50°,cos40°)＝eq\r(3).5．cos20°cos40°cos60°·cos80°等于()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,16) D.eq\f(1,32)答案：C6．（多选题）（2021·全国·高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（

）A．B．C． D．答案：AC解析：A：，，所以，，故，正确；B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；C：由题意得：，，正确；D：由题意得：，，故一般来说故错误；故选：AC应用三：利用已知角构造未知角：把已知角看成一个整体，不妨令为，反解代入所求三角式，转化为：已知的某个三角函数的值，求关于的三角函数式的值，再注意的范围即可。例1．1.(2018·全国Ⅱ卷)已知，则tanα＝____________.答案eq\f(3,2)解析taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(5π,4)))＝eq\f(tanα－tan\f(5π,4),1＋tanαtan\f(5π,4))＝eq\f(tanα－1,1＋tanα)＝eq\f(1,5)，解得tanα＝eq\f(3,2).2.若，A∈，则sinA的值为()A.eq\f(3,5) B.eq\f(4,5) C.eq\f(3,5)或eq\f(4,5) D.eq\f(3,4)答案B解析∵A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，π))，∴A＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5π,4)))，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4)))<0，且coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4)))＝－eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4))))＝－eq\f(\r(2),10)，∴sinA＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4)))－\f(π,4)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4)))coseq\f(π,4)－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4)))sineq\f(π,4)＝eq\f(4,5).3.(2017·江苏卷)若，则tanα＝________.答案eq\f(7,5)解析tanα＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＋\f(π,4)))＝eq\f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＋tan\f(π,4),1－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))·tan\f(π,4))＝eq\f(\f(1,6)＋1,1－\f(1,6))＝eq\f(7,5).4.已知的值；答案：例2.1.若，则＝()A.eq\f(23,25) B.－eq\f(23,25) C.eq\f(7,25) D.－eq\f(7,25)答案D解析∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq\f(4,5)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(4,5)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2α))＝1－2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝－eq\f(7,25).2.已知，则（）A.B.C.D.答案：B解析：由题意：，则：.*网本题选择B选项.3．(2012·江苏)设α为锐角，若，则的值为________．答案eq\f(17\r(2),50)解析∵α为锐角且coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(4,5)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(3,5).∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,12)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－\f(π,4)))＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))coseq\f(π,4)－cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))sineq\f(π,4)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－eq\f(\r(2),2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－1))＝eq\r(2)×eq\f(3,5)×eq\f(4,5)－eq\f(\r(2),2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2－1))＝eq\f(12\r(2),25)－eq\f(7\r(2),50)＝eq\f(17\r(2),50).例3．1.已知，且，则的值为；答案：.2.若、为锐角，且，，则的值为．答案：.3.已知α∈，且sineq\f(α,2)＋coseq\f(α,2)＝eq\f(\r(6),2).(1)求cosα的值；(2)若sin(α－β)＝－eq\f(3,5)，β∈，求cosβ的值．解析(1)因为sineq\f(α,2)＋coseq\f(α,2)＝eq\f(\r(6),2)，两边同时平方，得sinα＝eq\f(1,2).又eq\f(π,2)<α<π，所以cosα＝－eq\f(\r(3),2).(2)因为eq\f(π,2)<α<π，eq\f(π,2)<β<π，所以－π<－β<－eq\f(π,2)，故－eq\f(π,2)<α－β<eq\f(π,2).又sin(α－β)＝－eq\f(3,5)，得cos(α－β)＝eq\f(4,5).cosβ＝cos[α－(α－β)]＝