平面向量知识点总结及同步练习及平面向量知识点总结、经典例题及解析、高考题50道及答案

PAGEPAGE1第二章平面向量一、向量的基本概念与基本运算1、数量:只有大小,没有方向的量.2、有向线段:①定义:带有方向的线段(规定了起点和终点的线段叫做有向线段。②.表示:表示有向线段时,要将表示起点的字母写在前面,表示终点的字母写在后面。在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向。③.有向线段包括三要素:起点、方向和长度,知道了有向线段的起点,它的终点就被方向和长度唯一确定。④有向线段不等同于向量。二者的区别是:向量可用有向线段来表示,每一条有向线段对应着一个向量,但每一个向量对应着无数多条有向线段。3、向量的概念:①向量:既有大小又有方向的量向量一般用cba,,……来表示,或用有向线段的起点与终点的大写字母表示,如:AB几何表示法AB,a;坐标表示法,(yxyjxia=+=向量的膜:向量的大小即向量的模(长度,记作|AB|即向量的大小,记作|a|注意:向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.②零向量:长度为0的向量,记为0,其方向是任意的,0与任意向量平行零向量a=0⇔|a|=0由于0的方向是任意的,且规定0平行于任何向量,故在有关向量平行(共线的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别③单位向量:模为1个单位长度的向量向量0a为单位向量⇔|0a|=1④平行向量(共线向量:方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a∥b由于向量可以进行任意的平移(即自由向量,平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的.⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为ba=大小相等,方向相同,(,(2211yxyx=⎩⎨⎧==⇔2121yyxx二、向量加法。定义:求两个向量和的运算叫做向量的加法设,ABaBCb==,则a+b=ABBC+=AC(1aaa=+=+00;(2向量加法满足交换律与结合律;向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”:(1用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量(2三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法则.向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加:ABBCCDPQQRAR+++++=,但这时必须“首尾相连”.三、向量的减法。①相反向量:与a长度相等、方向相反的向量,叫做a的相反向量记作a-,零向量的相反向量仍是零向量②关于相反向量有:(i(a--=a;(iia+(a-=(a-+a=0;(iii若a、b是互为相反向量,则a=b-,b=a-,a+b=0③向量减法:向量a加上b的相反向量叫做a与b的差,记作:(baba-+=-求两个向量差的运算,叫做向量的减法④作图法:ba-可以表示为从b的终点指向a的终点的向量(a、b有共同起点四、实数与向量的积:1、①实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa,它的长度与方向规定如下:(Ⅰaa⋅=λλ;(Ⅱ当0>λ时,λa的方向与a的方向相同;当0<λ时,λa的方向与a的方向相反;当0=λ时,0=aλ,方向是任意的②数乘向量满足交换律、结合律与分配律2、两个向量共线定理:向量b与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ,使得b=aλ五、平面向量的基本定理:如果21,ee是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数21,λλ使:2211eeaλλ+=,其中不共线的向量21,ee叫做表示这一平面内所有向量的一组基底特别注意:(1向量的加法与减法是互逆运算(2相等向量与平行向量有区别,向量平行是向量相等的必要条件(3向量平行与直线平行有区别,直线平行不包括共线(即重合,而向量平行则包括共线(重合的情况(4向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关学习本章主要树立数形转化和结合的观点,以数代形,以形观数,用代数的运算处理几何问题,特别是处理向量的相关位置关系,正确运用共线向量和平面向量的基本定理,计算向量的模、两点的距离、向量的夹角,判断两向量是否垂直等由于向量是一新的工具,它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查,是知识的交汇点例1、给出下列命题:①若|a|=|b|,则a=b;②若A,B,C,D是不共线的四点,则ABDC=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;③若a=b,b=c,则a=c,④a=b的充要条件是|a|=|b|且a//b;⑤若a//b,b//c,则a//c,其中正确的序号是解:①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.②正确.∵ABDC=,∴||||ABDC=且//ABDC,又A,B,C,D是不共线的四点,∴四边形ABCD为平行四边形;反之,若四边形ABCD为平行四边形,则,//ABDC且||||ABDC=,因此,ABDC=.③正确.∵a=b,∴a,b的长度相等且方向相同;又b=c,∴b,c的长度相等且方向相同,∴a,c的长度相等且方向相同,故a=c.④不正确.当a//b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故|a|=|b|且a//b不是a=b的充要条件,而是必要不充分条件.⑤不正确.考虑b=0这种特殊情况.综上所述,正确命题的序号是②③.例2、设A、B、C、D、O是平面上的任意五点,试化简:①ABBCCD++,②DBACBD++③OAOCOBCO--+-解:①原式=(ABBCCDACCDAD++=+=②原式=(0DBBDACACAC++=+=③原式=(((0OBOAOCCOABOCCOABAB-+--=-+=+=例3、设非零向量a、b不共线,c=ka+b,d=a+kb(k∈R,若c∥d,试求k解:∵c∥d∴由向量共线的充要条件得:c=λd(λ∈R即ka+b=λ(a+kb∴(k-λa+(1-λkb=0又∵a、b不共线∴由平面向量的基本定理1010±=⇒⎩⎨⎧=-=-kkkλλ六、平面向量的坐标表示。1、平面向量的坐标表示:在直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量,ij作为基底由平面向量的基本定理知,该平面内的任一向量a可表示成axiyj=+,由于a与数对(x,y是一一对应的,因此把(x,y叫做向量a的坐标,记作a=(x,y,其中x叫作a在x轴上的坐标,y叫做在y轴上的坐标(1相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量(2向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关2、平面向量的坐标运算:(1若((1122,,,axybxy==,则(1212,abxxyy±=±±(2若((2211,,,yxByxA,则(2121,ABxxyy=--(3若a=(x,y,则λa=(λx,λy(4若((1122,,,axybxy==,则1221//0abxyxy⇔-=(5若((1122,,,axybxy==,则1212abxxyy⋅=⋅+⋅若ab⊥,则02121=⋅+⋅yyxx3、向量的运算向量的加减法,数与向量的乘积,向量的数量(内积及其各运算的坐标表示和性质运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1平行四边形法则2三角形法则1212(,abxxyy+=++abba+=+((cbacba++=++ABBCAC+=向量的减法三角形法则1212(,abxxyy-=--(baba-+=-ABBA=-OBOAAB-=向量的乘法aλ是一个向量,满足:λ>0时,aλ与a同向;λ<0时,aλ与a异向;λ=0时,aλ=0,(yxaλλλ=aa((λμμλ=aaaμλμλ+=+(babaλλλ+=+(a∥babλ=⇔向量的数量积ba∙是一个数=a或0=b时,ba∙=0≠a且0≠b时,><=∙bababa,cos||||1212abxxyy∙=+abba∙=∙(((bababa∙=∙=∙λλλcbcacba∙+∙=∙+(22||aa=,22||yxa+=||||||baba≤∙例1、已知向量(1,2,(,1,2abxuab===+,2vab=-,且//uv,求实数x的值解:因为(1,2,(,1,2abxuab===+,2vab=-所以(1,22(,1(21,4uxx=+=+,2(1,2(,1(2,3vxx=-=-又因为//uv所以3(214(20xx+--=,即105x=解得12x=例2、已知点6,2(,4,4(,0,4(CBA,试用向量方法求直线AC和OB(O为坐标原点交点P的坐标解:设(,Pxy,则(,,(4,OPxyAPxy==-因为P是AC与OB的交点所以P在直线AC上,也在直线OB上即得//,//OPOBAPAC由点6,2(,4,4(,0,4(CBA得,(2,6,(4,4ACOB=-=得方程组6(420440xyxy-+=⎧⎨-=⎩解之得33xy=⎧⎨=⎩故直线AC与OB的交点P的坐标为(3,3六、平面向量的数量积1、两个向量的数量积:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则a·b=︱a︱·︱b︱cosθ叫做a与b的数量积(或内积规定00a⋅=2、向量的投影:︱b︱cosθ=||aba⋅∈R,称为向量b在a方向上的投影投影的绝对值称为射影3、数量积的几何意义:a·b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积4、向量的模与平方的关系:22||aaaa⋅==5、乘法公式成立:((2222abababab+⋅-=-=-;(2222abaabb±=±⋅+222aabb=±⋅+6、平面向量数量积的运算律:①交换律成立:abba⋅=⋅②对实数的结合律成立:((((abababRλλλλ⋅=⋅=⋅∈③分配律成立:(abcacbc±⋅=⋅±⋅(cab=⋅±特别注意:(1结合律不成立:((abcabc⋅⋅≠⋅⋅;(2消去律不成立abac⋅=⋅不能得到bc=⋅(3ab⋅=0不能得到a=0或b=07、两个向量的数量积的坐标运算:已知两个向量1122(,,(,axybxy==,则a·b=1212xxyy+8、向量的夹角:已知两个非零向量a与b,作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ(001800≤≤θ叫做向量a与b的夹角cosθ=cos,ababab∙<>=∙=222221212121yxyxyyxx+⋅++当且仅当两个非零向量a与b同方向时,θ=00,当且仅当a与b反方向时θ=1800,同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9、垂直:如果a与b的夹角为900则称a与b垂直,记作a⊥b10、两个非零向量垂直的充要条件;a⊥b⇔a·b=O⇔02121=+yyxx平面向量数量积的性质例1、判断下列各命题正确与否:(100a⋅=;(200a⋅=;(3若0,aabac≠⋅=⋅,则bc=;⑷若abac⋅=⋅,则bc≠当且仅当0a=时成立;(5((abcabc⋅⋅=⋅⋅对任意,,abc向量都成立;(6对任意向量a,有22aa=解:⑴错;⑵对;⑶错;⑷错;⑸错;⑹对例2、已知两单位向量a与b的夹角为0120,若2,3cabdba=-=-,试求c与d的夹角解:由题意,1ab==,且a与b的夹角为0120,所以,01cos1202abab⋅==-,2ccc=⋅=(2(2abab-⋅-22447aabb=-⋅+=,7c∴=,同理可得13d∴=而cd⋅=2217(2(37322abbaabba-⋅-=⋅--=-,设θ为c与d的夹角,则1829117137217cos-==θ1829117arccos-=∴πθ例3、已知(4,3a=,(1,2b=-,,mabλ=-2nab=+,按下列条件求实数λ的值(1mn⊥;(2//mn;(3mn=解:(4,32,mabλλλ=-=+-(27,8nab=+=∴(1mn⊥((082374=⨯-+⨯+⇒λλ952-=⇒λ;(2//mn((072384=⨯--⨯+⇒λλ21-=⇒λ;(3mn=((088458723422222=--⇒+=-++⇒λλλλ51122±=⇒λ习题2.5平面向量应用举例一、选择题1.一物体受到相互垂直的两个力f1、f2的作用,两力大小都为53N,则两个力的合力的大小为(A.103NB.0NC.56ND.562N[答案]C[解析]根据向量加法的平行四边形法则,合力f的大小为2×53=56(N.2.河水的流速为2m/s,一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸,则小船在静水中的速度大小为(A.10m/sB.226m/sC.46m/sD.12m/s[答案]B[解析]设河水的流速为v1,小船在静水中的速度为v2,船的实际速度为v,则|v1|=2,|v|=10,v⊥v1.∴v2=v-v1,v·v1=0,∴|v2|=v2-2v·v1+v21=100-0+4=104=226.3.(2010·山东日照一中已知向量a=(x1,y1,b=(x2,y2,若|a|=2,|b|=3,a·b=-6,则x1+y1x2+y2的值为(A.23B.-23C.56D.-56[答案]B[解析]因为|a|=2,|b|=3,又a·b=|a||b|cos〈a,b〉=2×3×cos〈a,b〉=-6,可得cos〈a,b〉=-1.即a,b为共线向量且反向,又|a|=2,|b|=3,所以有3(x1,y1=-2(x2,y2⇒x1=-23x2,y1=-23y2,所以x1+y1x2+y2=-23(x2+y2x2+y2=-23,从而选B.4.已知一物体在共点力F1=(lg2,lg2,F2=(lg5,lg2的作用下产生位移S=(2lg5,1,则共点力对物体做的功W为(A.lg2B.lg5C.1D.2[答案]D[解析]W=(F1+F2·S=(lg2+lg5,2lg2·(2lg5,1=(1,2lg2·(2lg5,1=2lg5+2lg2=2,故选D.5.在△ABC所在的平面内有一点P,满足PA→+PB→+PC→=AB→,则△PBC与△ABC的面积之比是(A.13B.12C.23D.34[答案]C[解析]由PA→+PB→+PC→=AB→,得PA→+PB→+BA→+PC→=0,即PC→=2AP→,所以点P是CA边上的三等分点,如图所示.故S△PBCS△ABC=PCAC=23.6.点P在平面上作匀速直线运动,速度v=(4,-3,设开始时点P的坐标为(-10,10,则5秒后点P的坐标为(速度单位:m/s,长度单位:m(A.(-2,4B.(-30,25C.(10,-5D.(5,-10[答案]C[解析]5秒后点P的坐标为:(-10,10+5(4,-3=(10,-5.7.已知向量a,e满足:a≠e,|e|=1,对任意t∈R,恒有|a-te|≥|a-e|,则(A.a⊥eB.a⊥(a-eC.e⊥(a-eD.(a+e⊥(a-e[答案]C[解析]由条件可知|a-te|2≥|a-e|2对t∈R恒成立,又∵|e|=1,∴t2-2a·e·t+2a·e-1≥0对t∈R恒成立,即Δ=4(a·e2-8a·e+4≤0恒成立.∴(a·e-12≤0恒成立,而(a·e-12≥0,∴a·e-1=0.即a·e=1=e2,∴e·(a-e=0,即e⊥(a-e.8.已知|OA→|=1,|OB→|=3,OA→⊥OB→,点C在∠AOB内,∠AOC=30°,设OC→=mOA→+nOB→,则mn=(A.13B.3C.33D.332[答案]B[解析]∵OC→·OA→=m|OA→|2+nOA→·OB→=m,OC→·OB→=mOA→·OB→+n·|OB→|2=3n,∴m3n=|OC→|·|OA→|·cos30°|OC→|·|OB→|·cos60°=1,∴mn=3.二、填空题9.已知a=(1,2,b=(1,1,且a与a+λb的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是________.[答案]λ>-53且λ≠0[解析]∵a与a+λb均不是零向量,夹角为锐角,∴a·(a+λb>0,∴5+3λ>0,∴λ>-53.当a与a+λb同向时,a+λb=ma(m>0,即(1+λ,2+λ=(m,2m.∴⎩⎨⎧1+λ=m2+λ=2m,得⎩⎨⎧λ=0m=1,∴λ>-53且λ≠0.10.已知直线ax+by+c=0与圆O:x2+y2=4相交于A、B两点,且|AB|=23,则OA→·OB→=________.[答案]-2[解析]∵|AB|=23,|OA|=|OB|=2,∴∠AOB=120°.∴OA→·OB→=|OA→|·|OB→|·cos120°=-2.三、解答题。11.已知△ABC是直角三角形,CA=CB,D是CB的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.求证:AD⊥CE.[证明]以C为原点,CA所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.设AC=a,则A(a,0,B(0,a,D⎝⎛⎭⎪⎫0,a2,C(0,0,E⎝⎛⎭⎪⎫13a,23a.∴AD→=⎝⎛⎭⎪⎫-a,a2,CE→=⎝⎛⎭⎪⎫13a,23a.∵AD→·CE→=-a·13a+a2·23a=0,∴AD⊥CE.12.△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC边的中点,BE⊥AD,垂足为E,延长BE交AC于F,连结DF,求证:∠ADB=∠FDC.[证明]如图,以B为原点,BC所在直线为x轴建立直角坐标系,设A(0,2,C(2,0,则D(1,0,AC→=(2,-2设AF→=λAC→,则BF→=BA→+AF→=(0,2+(2λ,-2λ=(2λ,2-2λ,又DA→=(-1,2由题设BF→⊥DA→,∴BF→·DA→=0,∴-2λ+2(2-2λ=0,∴λ=23.∴BF→=⎝⎛⎭⎪⎫43,23,∴DF→=BF→-BD→=⎝⎛⎭⎪⎫13,23,又DC→=(1,0,∴cos∠ADB=DA→·DB→|DA→|·|DB→|=55,cos∠FDC=DF→·DC→|DF→|·|DC→|=55,又∠ADB、∠FDC∈(0,π,∴∠ADB=∠FDC.13.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2,B(2,3,C(-2,-1(1求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;(2设实数t满足(AB→-tOC→·OC→=0,求t的值.[解析](1由题设知AB→=(3,5,AC→=(-1,1,则AB→+AC→=(2,6,AB→-AC→=(4,4.所以|AB→+AC→|=210,|AB→-AC→|=42.故所求的两条对角线长分别为42和210.(2由题设知OC→=(-2,-1,AB→-tOC→=(3+2t,5+t.由(AB→-tOC→·OC→=0,得(3+2t,5+t·(-2,-1=0,从而5t=-11,所以t=-115.14.一条宽为3km的河,水流速度为2km/h,在河两岸有两个码头A、B,已知AB=3km,船在水中最大航速为4km/h,问该船从A码头到B码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼岸B码头?用时多少?[解析]如图所示,设AC→为水流速度,AD→为航行速度,以AC和AD为邻边作▱ACED且当AE与AB重合时能最快到达彼岸.根据题意AC⊥AE,在Rt△ADE和▱ACED中,|DE→|=|AC→|=2,|AD→|=4,∠AED=90°.∴|AE→|=|AD→|2-|DE→|2=23,sin∠EAD=12,∴∠EAD=30°,用时0.5h.答:船实际航行速度大小为4km/h,与水流成120°角时能最快到达B码头,用时半小时.15.在▱ABCD中,点M是AB的中点,点N在BD上,且BN=13BD,求证:M,N,C三点共线.[证明]MN→=BN→-BM→.因为BM→=12BA→,BN→=13BD→=13(BA→+BC→,所以MN→=13BA→+13BC→-12BA→,=13BC→-16BA→.由于MC→=BC→-BM→=BC→-12BA→,可知MC→=3MN→,即MC→∥MN→.又因为MC、MN有公共点M,所以M、N、C三点共线.16.如图所示,正方形ABCD中,P为对角线BD上的一点,PECF是矩形,用向量方法证明PA=EF.[分析]本题所给图形为正方形,故可考虑建立平面直角坐标系,用向量坐标来解决,为此只要写出PA→和EF→的坐标,证明其模相等即可.[证明]建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形的边长为a,则A(0,a.设|DP→|=λ(λ>0,则F⎝⎛⎭⎪⎫22λ,0,P⎝⎛⎭⎪⎫22λ,22λ,E⎝⎛⎭⎪⎫a,22λ,所以EF→=⎝⎛⎭⎪⎫22λ-a,-22λ,PA→=⎝⎛⎭⎪⎫-22λ,a-22λ,因为|EF→|2=λ2-2aλ+a2,|PA→|2=λ2-2aλ+a2,所以|EF→|=|PA→|,即PA=EF.17.如图所示,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AC,E是垂足,F是DE的中点,求证AF⊥BE.[证明]∵AB=AC,且D是BC的中点,∴AD→⊥BC→,∴AD→·BD→=0.又DE→⊥AC→,∴DE→·AE→=0.∵BD→=DC→,F是DE的中点,∴EF→=-12DE→.∴AF→·BE→=(AE→+EF→·(BD→+DE→=AE→·BD→+AE→·DE→+EF→·BD→+EF→·DE→=AE→·BD→+EF→·BD→+EF→·DE→=(AD→+DE→·BD→+EF→·BD→+EF→·DE→=AD→·BD→+DE→·BD→+EF→·BD→+EF→·DE→=DE→·DC→-12DE→·DC→-12DE→·DE→=12DE→·DC→-12DE→·DE→=12DE→·(DC→-DE→=12DE→·EC→=0.∴AF→⊥BE→,∴AF⊥BE.平面向量的概念及其线性运算一、选择题1.若O、E、F是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是(A.EF=OF+OEB.EF=OF-OEC.EF=-OF+OED.EF=-OF-OE2.在△ABC中,M为边BC上任意一点,N为AM中点,AN=λAB+μAC,则λ+μ的值为(A.12B.13C.14D.13.设P是△ABC所在平面内的一点,BC+BA=2BP,则(A.P、A、B三点共线B.P、A、C三点共线C.P、B、C三点共线D.以上均不正确4.已知点O,N在△ABC所在平面内,且|OA|=|OB|=|OC|,NA+NB+NC=0,则点O,N依次是△ABC的(A.重心外心B.重心内心C.外心重心D.外心内心5.如图,已知AB=a,AC=b,BD=3DC,用a,b表示AD,则AD=(A.a+34bB.14a+34bC.14a+14bD.34a+14b6.已知△ABC中,点D是BC的中点,过点D的直线分别交直线AB、AC于E、F两点,若AB=λAE(λ>0,AC=μAF(μ>0,则1λ+4μ的最小值是(A.9B.72C.5D.92二、填空题7.设向量a,b满足|a|=25,b=(2,1,且a与b的方向相反,则a的坐标为________.8.设a,b是两个不共线的非零向量,若8a+kb与ka+2b共线,则实数k=________.9.如图所示,平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包括边界.若OP=a1OP+b2OP,且点P落在第Ⅲ部分,则实数a,b满足a________0,b________0(用“>”,“<”或“=”填空.三、解答题10.△ABC中,AD=23AB,DE∥BC交AC于E,BC边上的中线AM交DE于N.设AB=a,AC=b,用a、b表示向量AE、BC、DE、DN、AM、AN.11.已知OB=λOA+μOC(λ、μ为实数,若A、B、C三点共线,求证λ+μ=1.12.已知△ABC中,AB=a,AC=b,对于平面ABC上任意一点O,动点P满足OP=OA+λa+λb,则动点P的轨迹是什么?其轨迹是否过定点,并说明理由.平面向量基本定理及坐标表示一、选择题1.已知向量a=(1,k,b=(2,2,且a+b与a共线,那么a·b的值为(A.1B.2C.3D.42.如图,在平行四边形ABCD中,E为DC边的中点,且AB=a,AD=b,则BE=(A.b-12aB.b+12aC.a+12bD.a-12b3.已知向量a=(1,2,b=(1,0,c=(3,4.若λ为实数,(a+λb∥c则λ=(A.14B.12C.1D.24.已知向量a=(1,1-cosθ,b=(1+cosθ,12,且a∥b,则锐角θ等于(A.30°B.45°C.60°D.75°5.已知a,b是不共线的向量,AB=λa+b,AC=a+μb,μ∈R,那么A、B、C三点共线的充要条件为(A.λ+μ=2B.λ-μ=1C.λμ=-1D.λμ=16.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,m=(3b-c,cosC,n=(a,cosA,m∥n,则cosA的值等于(A.36B.34C.33D.32二、填空题。7.若三点A(2,2,B(a,0,C(0,b(ab≠0共线,则1a+1b的值等于________.8.在△ABC中,CA=a,CB=b,M是CB的中点,N是AB的中点,且CN、AM交于点P,则AP=_______(用a,b表示.9.已知向量a=(2,-1,b=(-1,m,c=(-1,2,若(a+b∥c,则m=________.三、解答题10.已知向量a=(1,2,b=(2,3,λ∈R,若向量λa+b与向量c=(-4,-7共线,求λ.11.已知P为△ABC内一点,且3AP+4BP+5CP=0.延长AP交BC于点D,若AB=a,AC=b,用a、b表示向量AP、AD.12.已知O为坐标原点,A(0,2,B(4,6,OM=t1OA+t2AB.(1求点M在第二或第三象限的充要条件;(2求证:当t1=1时,不论t2为何实数,A、B、M三点都共线;(3若t1=a2,求当OM⊥AB且△ABM的面积为12时a的值.平面向量的数量积及平面向量的应用一、选择题1.若向量a,b,c满足a∥b且a⊥c,则c·(a+2b=(A.4B.3C.2D.02.若向量a=(1,2,b=(1,-1,则2a+b与a-b的夹角等于(A.-π4B.π6C.π4D.3π43.已知a=(1,2,b=(x,4且a·b=10,则|a-b|=(A.-10B.10C.-5D.54.若a,b,c均为单位向量,且a·b=0,(a-c·(b-c≤0,则|a+b-c|的最大值为(A.2-1B.1C.2D.25.已知a与b均为单位向量,其夹角为θ,有下列四个命题p1:|a+b|>1⇔θ∈[0,2π3p2:|a+b|>1⇔θ∈(2π3,π]p3:|a-b|>1⇔θ∈[0,π3p4:|a-b|>1⇔θ∈(π3,π]其中的真命题是(A.p1,p4B.p1,p3C.p2,p3D.p2,p46.已知|a|=2|b|≠0,且关于x的函数f(x=13x3+12|a|x2+a·bx在R上有极值,则a与b的夹角范围为(A.(0,π6B.(π6,π]C.(π3,π]D.(π3,2π3]二、填空题。7.已知两个单位向量e1,e2的夹角为π3,若向量b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2,则b1·b2=________.8.已知a与b为两个不共线的单位向量,k为实数,若向量a+b与向量ka-b垂直,则k=________.9.已知|a|=|b|=2,(a+2b·(a-b=-2,则a与b的夹角为____.三、解答题。10.已知a、b、c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2.(1若|c|=25,且c∥a,求c的坐标;(2若|b|=52,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.11.设a=(1+cosx,1+sinx,b=(1,0,c=(1,2.(1求证:(a-b⊥(a-c;(2求|a|的最大值,并求此时x的值.12.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c.若AB·AC=CA·CB=k(k∈R.(1判断△ABC的形状;(2若k=2,求b的值.答案详解答案一、选择题1.解析:由减法的三角形法则知EF=OF-OE.答案:B2.解析:∵M为边BC上任意一点,∴可设AM=xAB+yAC(x+y=1.∴N为AM中点,∴AN=12AM=12xAB+12yAC=λAB+μAC.∴λ+μ=12(x+y=12.答案:A3.解析:∵BC+BA=2BP,∴BC-BP=BP-BA.即PC=AP,∴P、A、C三点共线.答案:B4.解析:由|OA|=|OB|=|OC|知,O为△ABC的外心;NA+NB+NC=0,知,N为△ABC的重心.答案:C5.解析:CB=AB-AC=a-b,又BD=3DC,∴CD=14CB=14(a-b,∴AD=AC+CD=b+14(a-b=14a+34b.答案:B6.解析:由题意得,AB+AC=2AD=λAE+μAF⇔AD=λ2AE+μ2AF,又D、E、F在同一条直线上,可得λ2+μ2=1.所以1λ+4μ=(λ2+μ2(1λ+4μ=52+2λμ+μ2λ≥52+2=92,当且仅当2λ=μ时取等号.答案:D二、填空题7.解析:设a=(x,y,x<0,y<0,则x-2y=0且x2+y2=20,解得x=4,y=2(舍去,或者x=-4,y=-2,即a=(-4,-2.答案:(-4,-28.解析:因为8a+kb与ka+2b共线,所以存在实数λ,使8a+kb=λ(ka+2b,即(8-λka+(k-2λb=0.又a,b是两个不共线的非零向量,故⎩⎨⎧8-λk=0,k-2λ=0,解得k=±4.答案:±49.解析:由于点P落在第Ⅲ部分,且OP=a1OP+b2OP,则根据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知a>0,b<0.答案:><三、解答题10.解:⎩⎨⎧DE∥BC,AD=23AB⇒AE=23AC=23b,BC=AC-AB=b-a.由△ADE∽△ABC,得DE=23BC=23(b-a.又AM是△ABC的中线,DE∥BC得DN=12DE=13(b-a.又AM=12(AB+AC=12(a+b.⎭⎪⎬⎪⎫△ADN∽△ABMAD=23AB⇒AN=23AM=13(a+b.11.证明:∵OB=λOA+μOC∴AB=OB-OA=(λ-1OA+μOCCB=OB-OC=λOA+(μ-1OC又∵A、B、C三点共线∴AB=kCB即λ-1λ=μμ-1=k∴λ+μ=1.12.解:依题意,由OP=OA+λa+λb,得OP-OA=λ(a+b,即AP=λ(AB+AC.如图,以AB,AC为邻边作平行四边形ABDC,对角线交于O,则AP=λAD,∴A、P、D三点共线,即P点的轨迹是AD所在的直线,由图可知P点轨迹必过△ABC边BC的中点.详解答案一、选择题1.解析:依题意得a+b=(3,k+2.由a+b与a共线,得1×(k+2-3×k=0,由此解得k=1,a·b=2+2k=4.答案:D2.解析:BE=BA+AD+DE=-a+b+12a=b-12a.答案:A3.解析:可得a+λb=(1+λ,2,由(a+λb∥c得(1+λ×4-3×2=0,∴λ=12答案:B4.解析:∵a∥b,∴(1-cosθ(1+cosθ=12.即sin2θ=12,又∵θ为锐角,∴sinθ=22,θ=45°.答案:B5.解析:∵AB=λa+b,AC=a+μb,且A、B、C三点共线.∴存在实数m,使AB=mAC,即λa+b=m(a+μb∴⎩⎨⎧λ=m1=mμ,∴λμ=1.答案:D6.解析:m∥n⇒(3b-ccosA-acosC=0,再由正弦定理得3sinBcosA=sinCcosA+cosCsinA⇒3sinBcosA=sin(C+A=sinB,即cosA=33.答案:C二、填空题7.解析:AB=(a-2,-2,AC=(-2,b-2,依题意,有(a-2(b-2-4=0,即ab-2a-2b=0,所以1a+1b=12.答案:128.解析:如图所示,AP=AC+CP=-CA+23CN=-CA+23×12(CA+CB=-CA+13CA+13CB=-23CA+13CB=-23a+13b.答案:-23a+13b9.解析:由已知a+b=(1,m-1,c=(-1,2,由(a+b∥c得1×2-(m-1×(-1=m+1=0,所以m=-1.答案:-1三、解答题10.解:λa+b=(λ+2,2λ+3,又向量λa+b与向量c=(-4,-7共线,所以-7(λ+2-(-4(2λ+3=0,解得λ=2.11.解:∵BP=AP-AB=AP-a,CP=AP-AC=AP-b,又3AP+4BP+5CP=0,∴3AP+4(AP-a+5(AP-b=0,化简,得AP=13a+512b.设AD=tAP(t∈R,则AD=13ta+512tb.①又设BD=kBC(k∈R,由BC=AC-AB=b-a,得BD=k(b-a.而AD=AB+BD=a+BD,∴AD=a+k(b-a=(1-ka+kb.②由①②,得13t=1-k,512t=k解得t=43.代入①,有AD=49a+59b.12.解:(1OM=t1OA+t2AB=t1(0,2+t2(4,4=(4t2,2t1+4t2.当点M在第二或第三象限时,有4t2<0,2t1+4t2≠0故所求的充要条件为t2<0且t1+2t2≠0.(2证明:当t1=1时,由(1知OM=(4t2,4t2+2.∵AB=OB-OA=(4,4,AM=OM-OA=(4t2,4t2=t2(4,4=t2AB,∴不论t2为何实数,A、B、M三点共线.(3当t1=a2时,OM=(4t2,4t2+2a2.又∵AB=(4,4,OM⊥AB,∴4t2×4+(4t2+2a2×4=0,∴t2=-14a2.∴OM=(-a2,a2.又∵|AB|=42,点M到直线AB:x-y+2=0的距离d=|-a2-a2+2|2=2|a2-1|.沿途教育∵S△ABM＝12，11AB|·∴|d＝42×2|a2－1|＝12，解得a＝±2，故所求a的值为±2.22×详解答案一、选择题1．解析：由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·(a＋2b＝c·a＋2c·b＝0.答案：D2．解析：2a＋b＝(3,3，a－b＝(0,3，则cos〈2a＋b，a－b〉＝π故夹角为4.答案：C3．解析：因为a·b＝10，所以x＋8＝10，x＝2，所以a－b＝(－1，－2，故|a－b|＝5.答案：D4．解析：由已知条件，向量a，b，c都是单位向量可以求出，a2＝1，b2＝1，c2＝1，由a·b＝0，及(a－c(b－c≤0，可以知道，(a＋b·c≥c2＝1，因为|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c，所以有|a＋b－c|2＝3－2(a·c＋b·c≤1，故|a＋b－c|≤1.答案：B5．解析：由|a＋b|>1可得：a2＋2a·b＋b2>1，∵|a|＝1，12π2π1|b|＝1，∴a·b>－2.故θ∈[0，3．当θ∈[0，3时，a·b>－2，|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2>1，即|a＋b|>1；由|a－b|>1可得：a2－2a·b＋b2>1，∵|a|＝1，|b|＝1，1π∴a·b<2.故θ∈(3，π]，反之也成立．答案：A116．解析：f(x＝3x3＋2|a|x2＋a·bx在R上有极值，即f′(x＝x2＋|a|x＋a·b＝0有两个不同的实数解，1故Δ＝|a|2－4a·b＞0⇒cos〈a，b〉＜2，又〈a，b〉∈[0，π]，26＋－92＝＝2，|2a＋b|·|a－b|32×3沿途教育π所以〈a，b〉∈(3，π]．答案：C二、填空题17．解析：由题设知|e1|＝|e2|＝1，且e1·e2＝2，所以b1·b2＝(e1－2e2·(3e1＋4e2＝3e21－2e1·e21－8e22＝3－2×2－8＝－6答案：－68．解析：∵a＋b与ka－b垂直，∴(a＋b·(ka－b＝0，化简得(k－1(a·b＋1＝0，根据a、b向量不共线，且均为单位向量得a·b＋1≠0，得k－1＝0，即k＝1.答案：1a·b219．解析：由|a|＝|b|＝2，(a＋2b(a－b＝－2，得a·b＝2，cos〈a，b〉＝|a||b|＝2×＝22，所以〈a，b〉＝60°.π答案：3三、解答题10．解：(1设c＝(x，y，由c∥a和|c|＝25可得y－2·x＝01·x＝2x＝－2，∴或，x2＋y2＝20y＝4y＝－4∴c＝(2,4或c＝(－2，－4．(2∵(a＋2b⊥(2a－b，∴(a＋2b·(2a－b＝0，即2a2＋3a·b－2b2＝0.∴2|a|2＋3a·b－2|b|2＝0.55∴2×5＋3a·b－2×a·b＝－2.4＝0，∴a·b∴cosθ＝|a||b|＝5－255·2＝－1.∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.11．解：(1证明：a－b＝(cosx,1＋sinx，27沿途教育a－c＝(cosx，sinx－1，(a－b·(a－c＝(cosx,1＋sinx·(cosx，sinx－1＝cos2x＋sin2x－1＝0.∴(a－b⊥(a－c．(2|a|＝＝＝3＋＋＋π＋4≤3＋22＝2＋1.＋＋3＋22sππ当sin(x＋4＝1，即x＝4＋2kπ(k∈Z时，|a|有最大值2＋1.AC＝cbcosA，CA·CB＝bacosC，12．解：(1∵AB·∴bccosA＝abcosC，根据正弦定理，得sinCcosA＝sinAcosC，即sinAcosC－cosAsinC＝0，sin(A－C＝0，∴∠A＝∠C，即a＝c.则△ABC为等腰三角形．(2由(1知a＝c，由余弦定理，得b2＋c2－a2b2AC＝bccosA＝bc·AB·＝2.2bcAC＝k＝2，即b2＝2，解得b＝2.AB·228第五章平面向量【考纲说明】1、理解平面向量的概念和几何表示，理解两个向量相等及共线的含义，掌握向量的加、减、数乘运算及其几何意义，会用坐标表示。2、了解平面向量的基本定理，掌握平面向量的坐标运算。3、掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题。【知识梳理】一、向量的基本概念与线性运算1向量的概念：（1）向量：既有大小又有方向的量，记作；向量的大小即向量的模（长度），记作||向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．（2）零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行（3）单位向量：模为1个单位长度的向量常用e表示．（4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，记作∥平行向量也称为共线向量（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为大小相等，方向相同（6）相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量记作,零向量的相反向量仍是零向量若、是互为相反向量，则=,=,+=2向量的线性运算：（1）向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”．（2）向量的减法：求向量加上的相反向量的运算叫做与的差．向量的减法有三角形法则，可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）（3）向量的数乘运算：求实数λ与向量的积的运算，记作λ．①；②当时，λ的方向与的方向相同；当时，λ的方向与的方向相反；当时，，方向是任意的③数乘向量满足交换律、结合律与分配律3.两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=向量与非零向量共线有两个均不是零的实数、，使得．二、平面向量的基本定理与坐标表示1平面向量的基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2.平面向量的坐标表示：（1）在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标显然=（0,0），，．（2）设.则向量的坐标(x,y)就是终点A的坐标，即若=(x,y)，则A点的坐标为(x,y)，反之亦成立（O是坐标原点）．3平面向量的坐标运算：（1）若，则．（2）若，则，．（3）若=(x,y)，则=(x,y)．（4）若，则．（5）若，则．三、平面向量的数量积1两个向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，·等于的长度与在方向上的投影的乘积叫做与的数量积（或内积），即·=︱︱·︱︱cos，规定2向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影3向量的模与平方的关系：4乘法公式成立：；．5平面向量数量积的运算律：①交换律成立：．②对实数的结合律成立：．③分配律成立：；特别注意：①结合律不成立：．②消去律不成立不能得到．③=0不能得到=或=6两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量，则·=7向量的夹角：已知两个非零向量与，作=,=,则∠AOB=（）叫做向量与的夹角cos==当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=00，当且仅当与反方向时θ=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题8垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作⊥⊥·＝O【经典例题】【例1】（2010全国Ⅱ，8）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若，，，则=（）（A）（B）（C）（D）【答案】B．【解析】由角平分线的性质得,即有．从而．故选B．【例2】（2009北京，2）已知向量a、b不共线，cabR),dab,如果cd，那么（）A．且c与d同向B．且c与d反向C．且c与d同向D．且c与d反向【答案】D．【解析】取a，b，若，则cab，dab，显然，a与b不平行，排除A、B．若，则cab，dab，即cd且c与d反向，排除C，故选D．【例3】（2009湖南卷文）如图，D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则()A．B．C．D．【答案】A．【解析】得．或．【例4】（2009宁夏海南卷文）已知，向量与垂直，则实数的值为 ()A.B. C. D.【答案】A．【解析】向量＝（－3－1，2），＝（－1,2），因为两个向量垂直，故有（－3－1，2）×（－1,2）＝0，即3＋1＋4＝0，解得：＝，故选A．【例5】（2009全国卷Ⅰ文）设非零向量、、满足，则（）A．150°B.120°C.60°D.30°【答案】B．【解析】由向量加法的平行四边形法则，知、可构成菱形的两条相邻边，且、为起点处的对角线长等于菱形的边长，故选择B．【例6】（2009安徽卷文）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，或=+，其中，R，则+=_________．【答案】．【解析】设、则,,代入条件得．【例7】（2009辽宁卷文）在平面直角坐标系xoy中，四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC,已知点A(－2，0)，B（6，8），C(8,6),则D点的坐标为___________．【答案】(0,－2)．【解析】平行四边形ABCD中,∴＝(－2,0)＋(8,6)－(6,8)＝(0,－2)即D点坐标为(0,－2)．【例8】（2012江苏）如图,在矩形中,点为的中点，点在边上,若,则的值是___．【答案】．【解析】由,得,由矩形的性质,得．∵，∴，∴∴．记之间的夹角为，则．又∵点E为BC的中点，∴．∴.本题也可建立以为坐标轴的直角坐标系,求出各点坐标后求解．【例9】(2009湖南卷理)在，已知，求角A，B，C的大小．【答案】．【解析】解：设由得，所以又因此由得，于是所以，，因此，既由A=知，所以，，从而或，既或故或．【课堂练习】一、选择题1.（2012辽宁理）已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|ab|,则下面结论正确的是（）A．a∥b B．a⊥bC．{0,1,3} D．a+b=ab2.(2009年广东卷文)已知平面向量a=，b=，则向量()A.平行于轴 B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于轴 D.平行于第二、四象限的角平分线3.（2012天津文）在中,,,AC=2,设点满足.若,则() （）A． B． C． D．24.（2009浙江卷理）设向量，满足：，，．以，，的模为边长构成三角形，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为()A．B.4C． D．5.（2012重庆理）设R,向量,且,则 （）A． B． C． D．106.（2009浙江卷文）已知向量，．若向量满足，，则（） A．B．C．D．7．（2012浙江理）设a,b是两个非零向量. （）A．若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥bB．若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|C．若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得a=λbD．若存在实数λ,使得a=λb,则|a+b|=|a|-|b|8.（2009全国卷Ⅰ理）设、、是单位向量，且·＝0，则的最小值为 ()A. B. C.D.9.（2012天津理）已知△ABC为等边三角形,,设点P,Q满足,,,若,则 （）A． B． C． D．10.（2009全国卷Ⅱ理）已知向量，则() A.B.C.D.11.（2012大纲理）中,边上的高为,若,则 （）A． B． C． D．12.（2008湖南）设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且则与 ()A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直13.（2008广东）在平行四边形中，与交于点是线段的中点， 的延长线与交于点．若，，则 （）A． B． C． D．14.（2007湖北）设，在上的投影为，在轴上的投影为2，且，则为 （）A． B． C．