反函数教案设计

反函数教案设计班级08计算机班姓名郝珍教案设计的分析课题

§2．3反函数1、函数是中专数学的主体内容之一，反函数是函数中一个十分重要的概念，在研究了函数的单调性的基础上引进反函数，为研究指数函数和对数函数的图象和性质打下基础。中专的学生不需要过深的研究反函数，只要会根据反函数定义掌握反函数的解法及其图像性质即可。

2、反函数的概念建立在函数基础上，适当的复习函数概念，为反函数的学习扫清障碍。3、创设问题情境，激发学习兴趣。用用实物例子引入反函数的概念，直接给学生以感性认识。

4、让学生带着问题思考，具有针对性。

（1）目的是强调反函数首先是函数。从而给学生充分的感性材料，以实现从具体到抽象的飞跃。教学目的①了解反函数的概念，会求一些简单函数的反函数，了解互为反函数的两函数图象之间的关系②培养学生运用概念分析问题的能力、逻辑思维能力、归纳总结能力及数形结合的数学思想方法

重点

反函数的概念及反函数的求法、互为反函数的两函数图象之间的关系

难点

对反函数的概念的理解及反函数的求法教学过程

教学内容

师生活动一、新课引入

1、复习提问函数的概念和三要素2、新课导入：（1）研究水位高随体积变化的规律（2）研究水面半径随水面积变化的规律（板书课题）（大屏幕）反函数3、（衔接语：那么什么叫反函数呢？我们来看几个具体例子。）4、（1）函数y=2x-1(x∈R),x是自变量，y是x的函数，那么我们可不可以把y作为自变量，x作为函数呢？我们从式子y=2x-1中解出x=(y+1)/2(y∈R),这样对于y在R中的任何一个值x在R中都有唯一的值和它对应，所以我们可以把y作为自变量，x作为y的函数，即x=(y+1)/2(y∈R)是y=2x-1(x∈R)的反函数。（2）（衔接语：同学们能否根据这几个具体实例总结出反函数的定义呢？）

教师提问，学生口答（2分钟）

教师设疑电脑显示，教师引导学生边看边分析（2分钟）

教师设疑教师和学生一起分析（3分钟）二、新课

三、例题

(1)定义：一般地，函数y=f(x)(x∈A)中，设它的值域为C，根据这个函数中x、y的关系，用y把x表示出，得到x=g(y)。如果对于y在C中的任何一个值，通过x=g(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么x=g(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数。这样的函数x=g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数。记作x=f-1(y).

分析定义：

1举例说明函数y=f(x)与其反函数x=f-1(y)的定义域和值域有什么联系？（答：例略；函数y=f(x)的定义域和值域分别是它的反函数x=f-1(y)的值域和定义域。）

③你对反函数的表示法有没有感到不协调的地方，如何改进？（答：与习惯不符，应将x、y互换，写成y=f-1(x)）.

（2）表示法：y=f-1(x)。（在本书中，凡不特殊说明，函数y=f(x)的反函数都是指这种改写过的形式。）（衔接语：以上我们研究了反函数的定义，那么如何根据定义来求一个函数的反函数呢？）

2、反函数的求法求反函数的步骤：①反解：把y=f(x)看成方程，解出x=f-1(y)；②互换：把x、y互换，得到y=f-1(x)；③标明反函数的定义域.

例1、求下列函数的反函数（1）y=3x-1（2）y＝x2－1（x≥０）（2）y=（x≠1）解：（1）由y=3x-1得x=(y+1)/3,所以函数y=3x-1的反函数是y=(x+1)/3(x∈R)(2)由y＝x2－1（x≥０），解得x2=y＋1由此推出x=（x≥－1）所以，函数y＝x2－1（x≥０）的反函数是y=（x≥－1）(3由y=得y(x-1)=2x解得x=即函数y=的反函数是y=

（衔接语：函数与其反函数的定义域、值域和解析式之间存在着密切联系，它们的图象间有什么关系呢？）

3、互为反函数的两函数图象间的关系例2、

求下列函数的反函数，并在同一直角坐标系下分别作出互为反函数的两函数的图象。学生讨论，教师适当点拨，后电脑屏幕显示（4分钟）

先学生自由提问，相互交流（2分钟）后电脑屏幕显示问题，学生讨论（4分钟）

学生总结（2分钟）

(1)学生口述教师控制电脑，（4分钟）

（2分钟）

（2）鼓励学生主动提问和质疑，有利于培养他们独立分析问题和解决问题的能力及勤于思索的习惯。

（3）问题设置有梯度，有利于突破难点，让学生自己找出答案，激发学生探索问题的积极性。

（4）前两步学生可以总结得到，但标明反函数的定义域这一步往往会因为学生对概念理解不深刻而忽略，必须加以强调。

教师电脑板书以示范，利于学生养成书写规范的好习惯，并注意定义域的变化。5、再次深化概念。

6、（1）画图时学生可能产生障碍，教师可以加以点拨用描点法。由学生画图可以直接得到感性认识，渗透了数形结合的数学思想方法，同时培养了学生的动手能力、观察能力和归纳总结能力。（2）学生画图会因为各种原因而不规范，就很难看出图象的对称性，电脑屏幕显示图象清晰明了，具有动感，给人以赏心悦目的感觉，可以产生不用课件难以达到的效果。

7、题目具有针对性，1直接求反函数，目的是巩固所学的新知识，2、3是变式练习，目的是产生迁移效应，逐步形成技能技巧。

练习小结

定理：函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称。

1、已知y=f(x)求它的反函数y=f-1(x)⑴y=-2x+4(x∈R)

⑵y=1/2+3(x∈R且x≠0)（3）y=(x≠3/2)

1、反函数的定义，函数y=f(x)与函数y=f-1(x)互为反函数，它们的定义域、值域互换2、求函数y=f(x)反函数的步骤⑴反解⑵互换⑶标明定义域1、反函数的概念

（1）

（1）定义（2）

（2）表示法（3）

2、反函数的求法

学生回答

老师电脑显示（4）

反解、互换、标明定义域（5）

3、互为反函数的两个函数（6）

图象间的关系（7）