高三数学一轮复习基础练习30：正弦定理、余弦定理

基础夯实练30正弦定理、余弦定理

I.在AABC中，C=60o,α+2b=8,sinΛ=6sinB,则C等于（）

A.√35B.√3TC.6D.5

2.在AABC中，内角A,B,2的对边分别为α,b,c,若（α+b）（sinA-sin8）=S+c）sinC,

a=7,则4ABC外接圆的直径为（）

A∣4R7「理l±s∕3

A.14D∙/3L*n*3

3.（2022•北京模拟）在aABC中，a,b,C分别是角A,B,C的对边，若√5αsin8=灰:osA,

且b=2√5,c=2,则α的值为（）

A.2√7B.2

C.2√3-2D.1

4.（2023・枣庄模拟）在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=60o,b=l,SAABC

二小'则sin4+sin8+sinC等十（）

亚R26√3巡八

A.3D>33D∙，γ3

5.（2023•马鞍山模拟）已知BC的内角4,B,C的对边分别为mb,c,设（SinB+sinO?

=sin%+（2—也）sinBSinC,∙∖∕2sinΛ-2sinB=O,则SinC等于（）

A.∣B坐

√6-√2√6+√2

C∙4”4

6.（2023∙衡阳模拟）在AABC中，角A,B,C所对的边分别为mb,c,已知2cos5（〃CoSC

÷ccosA）=⅛,IgsinC=^lg3—Ig2,则4A8C的形状为（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等边三角形D.等腰直角三角形

AQ

7.（2022•全国甲卷）已知aABC中，点。在边BC上，ZADB=120o,Ar）=2,CL）=2BD当7元

ι∖D

取得最小值时，BD=.

8.（2023•宜春模拟）ΔA8C的内角4,B,C的对边分别为a,Ac,已知6sinC+cin8=4zsinBsinC,

b2+c2-a2=8,则AABC的面积为.

9.已知AABC的内角4,B,C的对边分别为小b,c,且6COSC=（2α—C）CoSA

⑴求B；

(2)若b=3,sinC=2sinA,求Z∖ABC的面积.

10.（2023・湖州模拟）在AABC中，a,b,C分别为角A,B,C的对边，已知小儿也仔+A）=

asinB.

⑴求角A的大小；

（2）若江4,C成等比数列，判断aABC的形状.

11.（多选）对于AABC,有如下判断，其中正确的是（）

A.若COSA=CoS8,则AABC为等腰三角形

B.若A>B,贝!]sinA>sinB

C.若α=8,c=10,8=60。，则符合条件的AABC有两个

D.若siT?A+sin2B<sin2c,则4A8C是钝角三角形

12.在AABC中，内角4,B,C所对的边分别为α,b,c,sinAsinBsinC=^,Z∖A8C的面

O

积为2,则下列选项错误的是（）

A.abc=↑6y∣2

B.若则A=W

C.A43C外接圆的半径/?=25

d∙（焉+焉＞》32SinC

13.（2023・嘉兴模拟）Z∑ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知CSinA=√54cosC,

C=2√5,ab=8,则α+6的值是.

7

14.在aABC中，已知A8=4,AC=I,BC边的中线AZ）=那么BC=.

15.（多选）（2023・珠海模拟）已知aABC满足SinA：sinB:sinC=I：3：√7,JiΔABC的面积

SMBC=乎,则下列命题正确的是（）

A.Z∑4BC的周长为5+夜

B.BC的三个内角A,B,C满足关系4+8=2C

C.aABC的外接圆半径为坐

D.Z∖ABC的中线CQ的长为华

16.如图，ZXABC的内角A,B,C的对边分别是“,6c.已知/+廿=〃+“。，则B=.

若线段AC的垂直平分线交AC于点£）,交AB于点E,且BC=4,Z）E=则42CE的面积

为.

A

P

Et

BC

参考答案

I.B2.D3.B4.A5.C

6.C[V2cosB(acosC÷ccosA)=b,

根据正弦定理得,2cosB(SinAcosC÷cosΛsinQ=sinB,

Λ2cosBSin(A+C)=sinB,

.*.2cosBsin(π~B)=sinB,

即2cosBsin3=sinB,

VB∈(O,π),ΛsinB≠0,

∙*∙cosj5=2,B=].

VlgsinC=∣lg3-lg2,

....一I亚...一g

・∙IgsinC—Ig2，∙*SinC—?,

VC∈(O,兀)，ΛC=黑号,

•∙oɪ-∙,「=支

•D3，∙∙L≠-3，∙∙L3，

.,.A=B-C-^,即AABC为等边三角形.]

l.y∣3—1

解析设BD=k(k>O),

则CD=Ik.

根据题意作出大致图形，如图.

在AABO中，由余弦定理得AB2=4D2+B02-2ADBOCOSNAOB=22+∕-2X2L(一2)

=F+2A+4.

在AACO中，由余弦定理得AD1+CD1-IAD-CDcosZADC=22+(2⅛)2-2×2×2⅛4

=4⅛2-4%+4,

AC2_4A：2—4A+4

y'W=⅛2+2⅛+4

4攵2+2Z+4—12%—12

7+2Z+4

12⅛+112)1+1

=4-乒+2忆+4=4-4+12+3

∙∙Y+1+存p2√5(当且仅当％+ι=∕rp即z=√5-1时等号成立)，

•・舒一旨I

=(√3-D2>

ΛΓ_

・•・当等取得最小值小一1时，

BD=k=小一1.

82√3

8.3

9.解(1)由正弦定理，得SinBCoSC=2sinAcosB—cos3sinC,

即sinBCOSC÷cosBSinC

=2sinAcosB,

Λsin(B÷C)=2sinAcosB,

.*.sinA=2sinACOSB,

又VsinA≠0,，cos

Tr

∙.∙B为三角形内角，.∙.B=,

(2)VsinC=2sinA,由正弦定理得c=2α,

.∙.由余弦定理得⅛2=α2+c2-20ccosB=a2+4a2-2a2=9,即3a2=9,

.".a-∙∖β,c=2∙√3,

∆ABC的面积为S=∣acsinB=^x小x2小×^=邛

10.解⑴：小戾ine+A)=αsinB,由诱导公式得小加os4=asin8,

由正弦定理得

√3sinBCOSA=SinAsinB,

VsinB≠0,ΛΛ∕3COSA=sinA,

即tanA=y∣3f

Tl

VΛ∈(O,π),ΛA=3∙

(2)V⅛,a,C成等比数列，∙"2=bc,

,ʌ□^⅛zb1+c2-a2b1+c1-bc1

由余弦c定τ理ffl得sCoSA=-而一=—赤一=2,

即b2+cλ-bc=bc,

(Z?—c)2=0,.∖b=c,

TT

又由⑴知A=P

・・・Z∖A3C为等边三角形.

11.ABD［对于A,若CoSA=CoS8,则A=8,所以AABC为等腰三角形，故A正确；

对于B,若A>B,则〃>/?,由正弦定理-"=,∙"6=2R,得2Rsin4>2HsinB,即SinA>sinB

sinAsinD

成立，故B正确；

对于C,由余弦定理可得∕2=∖J82+1O2-2X8X1OX3=Λ/丽,只有一解，故C错误；

/7~+户一’2

对于D,sin2A+sin2B<sin2C,则根据正弦定理得/+∕<c2,cosC=<0,所以C

为钝角，所以448C是钝角三角形，故D正确.］

12.B［由题可得上6sinC=2,

4

则SinC=茄,

代入sinAsinBsinC=∖,

O

≈4sinAsinB1

得z〃一

即R2=8,即R=2√LC正确；

4∕>c=8RsinAsinZJsinC=128√2×^=16√2,A正确；

若a=巾,则sin4=/=^^=；,此时A≠∣,B错误；

因为SinA>0,sinB>0,

所以(sin4+sinB)2>4sinAsinB,

sinΛ÷sinB14

"“sinAsinB2^sinAsinB'

由sinAsinBsinC=

,4

得八<;

sinAsmBα=32sinC,

LL-SinA+sin^Λ1,1\力小

所以《高叱与2SmC,π即π显了+而引2》2而C,D正确•1

13.6

解析TcsinA=SQCoSC,根据正弦定理得sinCsinA=√3sinAcosC,

VsinA≠0,故tanC=Λ∫3,

π

VC∈(O,π),,C=彳

+从一/a+b1-2ab-d1

再由余弦定理得COSC=—病一Iab=29

代入c=2∖β,ab=8,得α+Z>=6.

14.9

BD2+AUT"

解析在AABD中，结合余弦定理得CoSNAoB=

2BDAD

在aACQ中，结合余弦定理得

,CP2+的2-"

cosNAOC=2CDAD

由题意知BD=CD,

ZADB+ZADC=π,

所以cosZADB+cosZADC=O,

旧卜建。?+"。?一""，C£>2+A£>2—AC2

所以2BDAD+ICDAD=°

5+⑨一425+⑨.72

即-----Z------+------1------=0,

2×^CD2×^CD

9

解得CD=Q,

所以BC=9.

15.ABD［因为AABC满足

SinA：sinB：sinC=2：3：√7,

所以a:h:c=2：3：√7,

设α=2f,h=3t,c=St,/>0,

利用余弦定理cos

4尸+9户一7户1

=127~^=2'

由于C∈（0,兀）,

所以C=1

对于A,因为SC=邛^,

所以∕i>sinC=g∙2f∙3f∙坐

=乎，解得f=l.

所以4=2,b=3,C=巾，

所以AABC的周长为5+巾，故A正确；

对于B,因为C=?

所以A+B=与，

故A+B=2C,故B正确；

对于C,利用正弦定理号X=率=2R,解得R=卑,所以AABC的外接圆半径为

SlIlVʌ/ɔɔɔ

2

等,故C错误；