2023届上海市松江区高考一模数学试题

2023届松江区一模

一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题5分，12题第1空分，第2空3分,

共54分）

1,已知集合A=B=Z,则A8=

2.函数y=sinxcosx的最小正周期为

3.已知αXeR,i是虚数单位.若α-i与2+初互为共弱复数，则（"+"）=.

4.记S"为等差数列｛%｝的前"项和.若2S3=3S2+6,则公差〃=.

2

y=a-------

5.已知函数.2Λ+1为奇函数，则实数α=

6.已知圆锥母线长为5,侧面积为2。兀，则此圆锥的体积为（结果中保留π）.

7,已知向量&=（5,3）出=（T，2）,则α在6上投影向量的坐标为.

8.对任意XeR,不等式及一2|十|九一3∣*2α-+α恒成立，则实数0的取值范围为

4='x∣-≥l,x∈R∣y=log∣x+α（x∈A）

9.已知集合〔x~2J.设函数3的值域为B,若

b^a,则实数。的取值范围为

22

r∙r∙―5—=1（α>0,6>0）

10.已知《，'2是双曲线「：a-b^的左、右焦点，点〃是双曲线「上

的任意一点（不是顶点），过百作NKM6的角平分线的垂线，垂足为N,线段月N的延长

线交MK于点°,°是坐标原点，若6,则双曲线「的渐近线方程为

26

11.动点P的棱长为1的正方体ABC0-44G"表面上运动，且与点A的距离是3,

点P的集合形成一条曲线，这条曲线的长度为

12.已知数列｛4｝的各项都是正数，吮一%+|=4（〃"，"≥1）,若数列为严格增

2

Cli=-DL1

数列，则首项外的取值范围是，当3时，记an-l,若

k<bl+b2+…+3)22<左+1,则整数左=

二、选择题(13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分)

13.下面四个条件中，使a>b成立的充要条件为()

A.cr>b2B.a,>bi

a>b+l

14.函数y=(%2-l)e*的图象可能是()

15.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足

5,E.

m2-mλ=-lg-÷,其中星等为"的星的亮度为双(k1,2).已知太阳的星等是-,天狼

2E2

星的星等是则太阳与天狼星的亮度的比值为

A.IOB.C.D.I(TK)J

∫∣x+2∣,x<0

T,I3^1->'

16.已知函数[%2-4x+2,x>0,g(x)="+1,若函数>=∕(x)-g(x)的图像

经过四个象限，则实数A的取值范围为()

Aj-2，]B

[6,£|C.(-2,+∞)D.

三、解答题(共78分)

17.已知ABl平面BC。，BClCD

A

5k∖∙^-^V----------7D

C

（1）求证：平面AC£＞J■平面ABC；

（2）若AB=1，CD=BC=2,求直线AD与平面ABC所成角的正弦值大小.

18.在三角形ABC中，内角A,B,C所对边分别a,b,c,已知

OSinA=αcos∣B--∖∙

I6J

（1）求角B的大小；

（2）若c=24,三角形A8C面积为名叵，求三角形ABC的周长；

3

19.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底。在水平线MN

上，桥AB与MN平行，00'为铅垂线（O'在AB上），经测量，山谷左侧的轮廓曲线A。

上任一点。到MN的距离九（米）与。到0。的距离。（米）之间满足关系式九=占。2；

山谷右侧的轮廓曲线Bo上任一点尸到MN的距离为（米）与尸到OO'的距离匕（米）之

3

间满足关系式A2=-J-⅛+6b；已知点B到OO'的距离为40米;

（1）求谷底。到桥面AB的距离和桥AB的长度;

（2）计划在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CO和斯，且CE为80米,其中C,E在AB

3

上（不包括端点），桥墩EE、8每米造价分别为攵、一上万元（左＞0）；问：0'E为多

2

少米时，桥墩CD和EF的总造价最低？

20.已知椭圆「：0+*=1.＞人＞0）的长轴长为26，离心率为。，斜率为左的直

线/与椭圆「有两个不同的交点4，B

(1)求椭圆「方程；

(2)若直线/的方程为：y=X+1，椭圆上点关于直线/的对称点N(与例

不重合)在椭圆「上，求，的值；

(3)设P(-2,0),直线与椭圆「的另一个交点为C,直线PB与椭圆厂的另一个交点

为D,若点C,Z)和点三点共线，求A的值；

21.已知定义在R上的函数/(x)=e-"(e是自然对数的底数)满足"χ)=∕'(χ),且

/(-1)=1,删除无穷数列/⑴、〃2)、43)、L、/(〃)、L中的第3项、第6项、

L、第3〃项、L、(n∈N,π≥l),余下的项按原来顺序组成一个新数列｛/“｝,记数列

前八项和为

(1)求函数/(x)的解析式；

(2)已知数列｛疗的通项公式是∕=∕(g(")),"∈N,n≥∖,求函数g(〃)的解析式；

(3)设集合X是实数集R的非空子集，如果正实数〃满足：对任意/、⅞∈X,都有

∣xl-Λ⅛∣≤α,设称。为集合X的一个“阈度”；记集合

试问集合”存在“阈度”吗？若存在,

H=∖WW=-7------"----------τ,n∈N,n>lL

(3〃l+3∙(-l)

fT4一

求出集合H“阈度”的取值范围；若不存在，请说明理由;

2023届松江区一模

一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题5分，12题第1空分，第2空3分，

共54分）

1.已知集合A=（一冽，B=Z,则AfB=

【答案】{TO,1}

2.函数y=sinxcosx的最小正周期为

【答案】π

3.已知α,bwR,i是虚数单位.若α-i与2+6互为共轨复数，则（α+0i）2=.

【答案】3+4/

4.记S”为等差数列{0,,}的前〃项和.若2S3=3S2+6,则公差d=.

【答案】2

2

5.已知函数y=α----为奇函数，则实数。=____

2Λ+1

【答案】1

6.已知圆锥母线长为5,侧面积为20π,则此圆锥的体积为（结果中保留兀）.

【答案】16π

7.已知向量&=（5,3）,〃=（-1,2）,则α在B上的投影向量的坐标为.

【答案】信,|）

8.对任意无eR,不等式|x—2∣+∣x-3∣≥2"+α恒成立，则实数”的取值范围为

【答案】[一1,5.

2

9,已知集合A={X∣*≥1,X∈R}.设函数丁=1。8广+0（犬64）的值域为8,若

B^A,则实数。的取值范围为

【答案】（4,5]

22

10.已知E，&是双曲线「：3一%=l（α>°,b>°）的左、右焦点，点M是双曲线「上

的任意一点（不是顶点），过"作N耳"鸟的角平分线的垂线，垂足为N,线段耳N的延长

线交M用于点。，。是坐标原点，若IoNl=L泸，则双曲线「的渐近线方程为

【答案】y=±2√2x

11.动点尸的棱长为1的正方体ABCr）-ABCA表面上运动，且与点A的距离是空，

3

点尸的集合形成一条曲线，这条曲线的长度为

【答案】浊π

6

12.已知数列｛α,,｝的各项都是正数，嫌1—α,,M=an（〃∈N*,〃≥1）,若数列｛4,,｝为严格增

数列，则首项力的取值范围是______,当q=一时，记〃=Lɪ,若

3all-l

k<bi+b2-∖----F⅛2O22<女+1,则整数A=

【答案】®.（0,2）②.-6

二、选择题（13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分）

13.下面四个条件中，使α>b成立的充要条件为（）

A.a2>b1B.a3>b3C.a>b-∖D.

a>b+∖

【答案】B

14.函数y=（χ2-1,的图象可能是（）

【答案】C

15.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足

5,E.

网一犯=7∣gU,其中星等为恤的星的亮度为Ek(仁1,2).已知太阳的星等是-,天狼

2E2

星的星等是则太阳与天狼星的亮度的比值为

A.IOB.C.D,I(TK)J

【答案】A

、∫∣x+2∣,x<0

16.已知函数~[X2-4X+2,X≥0,g(x)="+1,若函数>=∕'(x)-g(x)的图像

经过四个象限，则实数女的取值范围为(

A.B.C.(-2,+∞)D.

4,+OO

(-∞,-6)

12

【答案】A

三、解答题(共78分)

BCA.CD

(1)求证：平面ACr)，平面ABC；

(2)若A5=l,CD=BC=2,求直线AO与平面ABC所成角的正弦值大小.

【答案】(1)证明见解析.

【解析】

【分析】(1)先证明CO_L平面ABC,再根据面面垂直的判定定理证明面面垂直.

(2)证明NC4。即为直线AO与平面ABC所成的角，然后解三角形即可求得该角大小.

【小问1详解】

∙.∙46人平面BeD,SU平面SCO,.∙.ABLCD,

又；BCLCD且AScBC=B,A6,BCu平面ABC,

.∙.CO_L平面ABC,∙.∙8U平面ACD.

/.平面ACD±平面ABC.

【小问2详解】

•；CZ5_L平面ABC,ACU平面ABC,则。CLAC,

/.NCLO即为直线AD与平面ABC所成的角，

CD=BC=2,BCVCD,ZBCD=90.∙,∙BD=2√2，

又ABl平面BCD,BDU平面BCD,ΛABVBD,

而AB=I,；.AD=√l+8=3，

CD2

在RtZXACZ)中，sin/CAZ)———，

AD3

π

又Nc4Oe[0，W],

2

故线AO与平面ABC所成角的正弦值为一.

3

18.在三角形ABC中，内角A,8,C所对边分别为”,b,c,已知力SinA=ɑeos/一2

(1)求角B的大小；

(2)若c=2α,三角形ABC面积为2叵，求三角形ABC的周长；

3

【答案】（1）B=I

（2）20+2

【解析】

【分析】（1）由正弦定理得加inA="sinB,代入。SinA=acos（6-2）化简可得8=1.

（2）利用面积公式可得α=空，c=2a=型,再根据余弦定理求解人=2进而可得边

33

长.

【小问1详解】

在CABC中，由正弦定理，一二心一，可得加inA=asi∩B,又由。SinA=αcos[fi-ɪ1,

sinAsinδI6）

得as∖nB=6fcos,即sinB=cossinB=-ɪcos5+ɪsinB»可得

22

tanB=6.又因为B∈（（）,7Γ）,可得B=1.

【小问2详解】

由题意，ɪacsinB=＞故=冬叵，即α=2福,，故c=2α=生叵，由余弦

232333

故三角形ABC的周长为殛+亚+2=2√J+2

33

19.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底。在水平线MN

上，桥AB与脑V平行，00'为铅垂线（。在AB上），经测量，山谷左侧的轮廓曲线Ao

上任一点。到MN的距离九（米）与。到0。的距离。（米）之间满足关系式九=总〃；

山谷右侧的轮廓曲线3。上任一点尸到MN的距离％（米）与b到00'的距离〃（米）之

间满足关系式他+6b；已知点B到00'的距离为40米；

o（X）

MCO'EB

MD1OFxN

（1）求谷底。到桥面AB的距离和桥AB的长度；

（2）计划在谷底两侧建造平行于O0'的桥墩Co和M,且CE为80米，其中C,E在AB

3

上（不包括端点），桥墩EE、GD每米造价分别为左、一女万元（左＞0）；问：O'E为多

2

少米时，桥墩CD和EF的总造价最低？

【答案】（I）谷底。到桥面AB的距离为160米，桥AB的长度为120米

（2）当。'E为20米时，桥墩CD与EF的总造价最低.

【解析】

【分析】（1）作出辅助线，将b=4（）代入解析式A2=-工63+66,求出B与=160,从而

得到O到桥面AB的距离为OO=16()米，由［-。4=160,求出OW=8(),从而求出AB

40

的长度为120米；

(2)建立平面直角坐标系，表达出EE=I60+——X3-6X,CD=——x2+4x,设桥墩

80040

CZ)与EF的总造价为了(X)万元，得到/(X)的解析式，求导后得到/(x)的单调性及极值,

最值情况，求出。'£为20米时，桥墩CO与EF的总造价最低.

【小问1详解】

设A4,,g,CA,环都与MN垂直，A，综。,R是相应的垂足，

1a

由条件知：当0'3=4()米时，BBI=----χ4()3+6x40=160米，即A4,=160米,

所以。到桥面AB的距离为OO'=160米,

由。4=160,解得：(/4=80米,

40

所以AB=O'A+O'B=80+40=120米,

所以桥AB的长度为120米；

以。为原点，00'所在直线为y轴建立平面直角坐标系XOy,如图所示:

设∕7(x,%),Xe(0,40),则以=———X3+6X,

1Q

EF=160-y=160+—X3-6x,

2800

因为CE=80,所以O'C=80—%,

1?

设。(x—80,y),则y=而(80T)2,

所以。。=160-乂=160-卷(80-力2=-京%2+4],

设桥墩CD与EF的总造价为/(x)万元,

则/(x)=Z116°++χ3-6χ1+∙∣{,χ2+4X

=⅛(-l-x3--^-x2+160∣(0<x<40),

<80080户,

令/'(x)=O,得X=20，

当Xe(0,20)时，∕,(χ)<0,当x∈(20,40)时，/")>0,

故/(x)在X=2()处取得极小值，也是最小值，

所以当O'E为20米时，桥墩CD与EF的总造价最低.

20.已知椭圆「：m+∕=l(α>b>0)的长轴长为26,离心率为半，斜率为左的直

线/与椭圆「有两个不同的交点A,B

(1)求椭圆「的方程；

(2)若直线/的方程为：yX+t,椭圆上点M[-g,g)关于直线/的对称点N(与M

不重合)在椭圆「上，求，的值；

(3)设P(-2,0),直线Q4与椭圆「的另一个交点为C,直线P5与椭圆「的另一个交点

为D,若点C,。和点三点共线，求Z的值；

2

【答案】(1)—+/=1

3-

⑵⅛

(3)2

【解析】

【分析】(1)利用题给条件求得。、8的值，即可求得椭圆「的方程；

(2)先求得点用关于直线/的对称点N的坐标，并代入椭圆「的方程，即可求得f的值；

(3)先利用设而不求的方法求得点C,。的坐标，再利用向量表示点C,。和点。三点共

线，进而求得上的值

【小问1详解】

椭圆「：，+m=l(4>人>0)的长轴长为2班，离心率为当，

则a=>∕3，—=，则C=∖∣2，则6=QaI-CI=J3—2=1

a3

2

则椭圆「的方程为土+V=1;

3-

【小问2详解】

设椭圆上点Ml-∣,∣j关于直线/的对称点N(s,〃)

1_3

〃+一

_2-+t1

S=­t

22213

则《1,解之得V,则

n———ʃ乙乙

n=——+1

2=—1

32

s+-

2

可得(5

由N在椭圆「上,

整理得2»—5f+2=0,解之得f=1或/=2

2

当f=2时与点M重合，舍去.则/=，

I22J2

【小问3详解】

22

设A(XI,χ),B(x2,y2),C(X3,必)，O(X4，”)，则H+3y∣2=3,+3y2=3

又P(-2,0),则占,直线2的方程为y=%(x+2)

y=kl(x+2)

由，Y,整理得(1+3匕2)/+1248+12勺2-3=0

—+y-=1

[3J

12好,12"

则%+%=一际’π则％=一际"

、2

12y

3+2-7X-12

又匕=1

x+2»则％3=(

14x1+7

1+3>1

kɪi+2,

-7Λ-,-12y

则为="则CIl

、4x1+7'4演+7,

令则h=kpB=-ɪ-,直线PB的方程为y=A⅛(x+2)

y=k2(x+2)

由，丫2整理得(1+3k；)x2+12⅛2X+12k；-3=0

—+/=12

13

12公,12环

则当十寸一K'则于一Kr

V-IXl-12

则”=E2则。,X

、4々+7'4%+7,

<-7x,-12+,ɪV1__1

则QC=Z4⅛2J

、4%+7∖4(4%+7)'4x∣+72?

g#二12+工」__口=_________

,,

I4X2+744X2+72)^4(4x2+7)4Λ2+72,

由点C,Q和点Q∣-三点共线，可得QC〃QO

!JiiJ----------A-----------------------------------------------------

4(4%,+7)lk4x2+72)4(4x2+7)(k4%l+72

V—V

整理得％-y=2(χ,-χ∣),则攵=三口=2

x2-x∖

【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、

弦长、斜率、三角形的面积等问题.

21.已知定义在R上的函数"x)=etoc+”(e是自然对数的底数)满足"x)=∕'(x),且

/(τ)=l,删除无穷数列〃1)、/(2)、〃3)、L、/(〃)、L中的第3项、第6项、

L、第3〃项、L、(n∈N,π≥l),余下的项按原来顺序组成一个新数列{/“},记数列

前〃项和为7；.

(1)求函数/(x)的解析式；

(2)已知数列｛疗的通项公式是∕=∕(g(")),"∈N,«>1,求函数g(〃)的解析式;

(3)设集合X是实数集R的非空子集，如果正实数。满足：对任意,、x2∈X,都有

∖xi-x2∖≤a,设称。为集合X的一个“阈度”；记集合

ti

H=∖ww=^----------------χ,n∈N,tt>lk试问集合H存在“阈度”吗？若存在,

∣3〃l+3∙(-l)

Jr---------------

24

V/J

求出集合〃“阈度”的取值范围；若不存在，请说明理由；

【答案】⑴f(x)=ex+1

⑵g(〃)g-咨义

e4+l

(3)F+"

【解析】

f(x)=f1(x)

【分析】(由<可求得上、匕的值，进而可得出函数/(χ)的解析式;

1)U(-ι)=ι

(2)对〃分奇数和偶数两种情况讨论，求出，”的表达式，根据。=∕(g("))可得出g(〃)的

表达式；

(3)分”为奇数、偶数两种情况讨论，求出刀,、W关于〃的表达式，求出卬的取值范围,

可得出。的取值范围，即可得出集合H“阈度”的取值范围.

【小问1详解】

解:因为F(X)=*+3则/'(X)=Aeh+”,

若/(x)=r(x),即*+"=在"+J解得％=1，则/(x)=e*,

因为/(T)=e'τ=1,可得力=1,因此，/(x)=e'M.

【小问2详解】

解：当〃为奇数时，设“=2"2-1("7∈N∙),则/〃=