2023届高考前复习（上海）1-5平面向量三大考点与真题训练 （解析版）

2023年高考数学考前30天迅速提分复习方案（上海地区专用））

专题1.5平面向量三大考点与真题训练

考点一：平面向量的概念及线性运算

一、单选题

1.（2022•上海•上海中学校考模拟预测）如图，B、。是以AC为直径的圆上的两点，其中

A.1B.2C.tD.2t

【答案】A

【分析】连结BC、CD,则有AB∙AC=AB?=〃1,ADAC=AD2=t+2,根据

UUUUlUUUUUUUIiUl_

AC.8。=AC∙(AO-A8)求解即可.

UUlDUUU

所以AB∙AC=A8XACXcosNBAC=ASx(AC×cosZBAC)=AB2=t+l.

UULILLLl

ADAC=AD×AC×cosZCAD=AD×(AC×cosZCAD)=AD2=t+2.

因为BO=AO-AB,

ULKlUuLIILIULLULLlUULijIRiIULRiLLU

所以AC∙8O=AC∙(AO-AB)=AC∙A。-AC∙A8=∕+2-(f+1)=1.

故选：A.

2.(2022•上海闵行♦统考二模)已知A、B、C是平面内不共线的三点，点。满足

04+2OB+/IOC=O"为实常数，现有下述两个命题：(1)当/LX-3时，满足条件的点。存在

且是唯一的；（2）当人=-3时，满足条件的点。不存在.则说法正确的一项是（）

A.命题（1）和（2）均为真命题

B.命题（1）为真命题，命题（2）为假命题

C.命题（1）和（2）均为假命题

D.命题（1）为假命题，命题（2）为真命题

【答案】A

2λ

【分析】∕iχ-3时•，题干条件变形得到AO=∙-AB+EAC,由向量基本定理得到满足条件

Λ7+3Λ+37

的点。存在且是唯一；当∕l=-3时，条件变形得到AC=2CB,得到4B、C三点共线，与已知

矛盾，故（2）为真命题.

【详解】当时，OA+2OB+λOC=0,

所以-Ao+2AB-2AO+/IAC-TlAo=0，

2

所以40=AB+AC,

7+3Λ+3

因为A8,AC不共线，由向量的基本定理得:满足条件的点。存在且是唯一，①正确;

当4=一3时，OC-QA=2（0B-OC）,即AC=2CB，所以AC〃CB，

因为AC，CB有公共点C,所以A、B、C三点共线，

这与题干条件4AC是平面内不共线的三点相矛盾，故满足条件的点。不存在,

（2）为真命题.

故选：A

3.（2022•上海•统考二模）在4?C中，AC=3AD,BE=ED,设

AE=λAB+μAC{λ,μ≡R）,贝V+〃=（）

【答案】C

【分析】根据题意，利用平面向量的线性运算法则，化简得到AE=：A8+1AC,结合题设条

2o

件，得到，=:,〃=:,即可求解.

2o

【详解】在三角形ABC中，AC=3AD,BE=ED,

^^^AE=~[AB+AD）=-AB+-×-AC=-AB+-AC,

222326

_112

因为AE=√IAB+wR）,所以见=7，〃=:，所以义+〃=7.

263

故选：C.

4.（2022•上海闵行•上海市七宝中学校考模拟预测）已知尸为抛物线丁=4》的焦点，A、

B、C为抛物线上三点，当E4+F8+FC=0时，则存在横坐标x>2的点A、B、C有

（）

A.O个B.2个C.有限个，但多于2个D.无限多个

【答案】A

【分析】首先判断出产为43C的重心，根据重心坐标公式可得赴+W=3-x∣,%+%=-%,结

合基本不等式可得出X≈≤2（y;+y;）,结合抛物线的定义化简得出芭≤2,同理得出

X2<2,X3<2,进而得出结果.

【详解】设Aa,乂）,台（々,％），。（W，％），先证再42,

由E4+FB+FC=0知，F为ASC的重心，

；j

又尸（1,0）,.../++⅞=[,X+g+y3=0,.∙.x2+x3=3-Λl,y2+y3=-yl,

，（%+为丫=£+犬+2%为42（尺+$）,.∙.χ252（£+£）,

/.—≤2"z^^+，；•x∣42（x?+X3）,.∙.玉≤2（3—X]）%≤2,

同理X2≤2,J⅞≤2,

故选：A.

【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，基本不等式的应用，解本题的关键是判断出尸点

为三角形的重心，属于中档题.

二、填空题

5.(2022•上海徐汇•统考一模)在ABC中，AC=4,且AC在4B方向上的数量投影是-2,则

∣BC-ABA∣(Λ∈R)的最小值为.

【答案】2√3

【分析】根据AC在AB方向上的数量投影先求出NBAC=I20,取284=B。，则

IBCT网=∣DC∣,即求|用的最小值,过点C作AB的垂线即可求得.

【详解】解：由题知AC在AB方向上的数量投影是-2,

.∙.IAC∣cosNBAC=-2,

AC=4,

cosNBAC=-g,即NBAC=120,

i己λBA=BD,

则BC-/18A∣=∣8C—BD∣=IDC∣,

若求WCT矶PWR)的最小值即求IDcl的最小值，

过点C作AB的垂线交AB于点。，此时WCl最小，

故答案为：26

6.(2022•上海浦东新∙校考一模)已知平面向量α,b,c满足何=1,忖=2,卜卜2,

0≤2≤l.⅛Z,.c=0＞贝电-劝-(IT)CI的取值范围是_____.

【答案】[√2-l,3]

【分析】用坐标表示向量，设b=O8=(2,0),C=OC=(0,2),a=OA,由Ial=1,知A在以。为

圆心，1为半径的圆上，设OO=∕½+(l-2)c,0≤4W1,则。在线段BC上(含端点)，问题转

化为求线段BC上的点到圆上的点的距离的范围，由圆心到直线的距离公式和两点间距离结合

圆的性质可得.

【详解】因为卜|=2,bc=0,所以设B=O8=(2,0),C=OC=(0,2),a=OA,

又W=1,则A在以。为圆心，1为半径的圆上，

^OD=λb+(∖-λ)c,0≤2≤l,则。在线段8C上(含端点)，

易知。到直线BC的距离为J=√2,线段BC上的点到0的距离的最大值为IOBHoC=2,

所以∣D4∣的最小值为√Σ-1,最大值为2+1=3,

所以卜-利-。-；I)CI=I回的取值范围是诉T3].

故答案为：[0-1,3].

7.(2022•上海闵行•上海市七宝中学校考模拟预测)设点解ΔABC的内部，点〃£分别为

边AG8烟中点，且∣8+2OE∣=1,则∣OA+208+3。CI=

【答案】2

【分析】由向量的加法法则，把。4+208+30C转化为2(Of>+2OE),从而易得结论.

【详解】：点〃《分别为边”，比的中点，.∙.OA+OC=200,OB+OC=IOE,

：.∖θA+WB+3OC∣=∣OA+OC+2(0B+OC)I=I200+4OE∣=2∣<>D+20E∣=2.

故答案为：2.

【点睛】本题考查求向量的模，向量关键是利用向量加法法则，把OA+20B+3OC转化为

2(OD+2OE).

8.(2022•上海徐汇•上海中学校考模拟预测)设点M、N、P、。为圆V+y2=∕(r>0)上

四个互不相同的点，若MPpN=O,且(PM+PN)∙PQ=2,则IPQI=.

【答案】√2

【分析】根据MP∙PN=O得至IJMN过圆的圆心。，再利用向量的加法法则得PM+PN=2P0,

由向量数量积的几何意义得到等式IPolCoSe=∖PQI,最后求得IPQI的值.

【详解】因为Λ∕P∙PN=O,所以MPj.PN,

所以MN过圆的圆心。，

所以(PM+PN)∙PQ=2P0∙PQ=2∣P0∣∙∣PQ∣cos6>=2,

因为尸。在尸。向量方向上的投影为：IP。ICOSo=g∣「。|,代入上式得：

∣^t=∣=>∣P2∣=√2.

故答案为：-Jl-

【点睛】本题考查向量与圆知识的交会、向量的垂直、加法法则、数量积的几何意义等知识，

考查方程思想的运用，求解时注意向量几何意义的灵活运用，考查逻辑推理能力和运算求解能

力.

9.(2023•上海•统考模拟预测)在45C中，AC=4,8C=3,点尸是A3的中点，贝IJ

BACP=.

【答案】ɪ7

【分析】利用向量的加法和减法法则，将瓦1，CP分别用C4,C8表示出来，然后代入结论计

算即可.

【详解】在ABC中，点尸是48的中点，所以CP=g(CA+CB),BA=CA-CB,

所以B4CP=(CA一CB).g(CA+CB)=；(CA2-CB]=g?(4232)=1

7

故答案为：—■

10.(2022•上海宝山•统考二模)已知2E分别是ABC边A3,AC的中点,“是线段DE上

12

的一动点(不包含。，£两点)，且满足AM=α48+64C,则3+/的取小值为

【答案】6+4√2##4^+6

【分析】由三点共线得到2α+2Q=l,利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.

【详解】由于M是OE上的一动点(不包含D,E两点)，

=aAB+∕3AC=2aAD+2βAE,所以α∕>0且2α+2∕7=l,

y,-+-^=(-+⅛(2a+2^)=6+—+^-≥6+4>∕2,

aβaβaβ

当且仅当α=与Lp=2乎时取等号，所以《+看的最小值为6+4拒.

故答案为：6+4应

11.(2022•上海宝山•统考一模)在三角形ABC中，。是BC中点，AB=2,AC=4,则

ADCB=.

【答案】-6

【分析】根据向量的加法减法运算及数量积的运算性质求解即可.

ββc

【讦解】由三角形中A3=/+砺，CB=AB-AC'Ο=^>

可得：ADCB=(AB+BD)(AB-AC)=^AB+^BC^AB-AC)

=^ΛB+∣(AC-Λβ)j(AB-AC)=∣(∕lβ+AC}(AB-AC)=^Aβ2-AC2)=ɪ(22-42)=-6,

故答案为：-6

12.(2022•上海闵行•上海市七宝中学校考模拟预测)已知平面内不同的三点OA5,满足

|。AHAq=4,若∕U[O,1],卜0B-Od+(1-480_；24的最小值为2而，贝IJH=

【答案】2

【分析】设OC=208(0≤2≤1)∖BD=；BA、NA80=0(0<。,作跌于网■称的点。一如

图，根据向量的线性运算化简题中的等式为IACl+|DCI,利用点关于直线对称的性质可得

∣ADI∣=2√6,结合余弦定理可求出COS26,利用余弦的二倍角公式求出COS。，最后根据

Ioq=2|A@cos，计算即可.

【详解】如图，设OC=2O8(0"≤l),则点廉线段加上运动，

所以,0B-QAHOe_0AHAC∣,

设BD=；BA,则卜4=；忸4卜1,

所以(l-λ)BOSA=∣(Λ-1)OB-BD∖=∖λOB-(OB+BZ))∣=∖θC-OD∖=∣DC∣,

所以bO8-OA∣+(∖-λ)BO-⅛A=∣AC∣+∣DC∣,g∣J(∣AC∣+∣DC∣)n,in=2√6,

TF

作快于应对称的点2,设NA80=0(0<0<5),

则+WCl=IA4+nq≥I,所以卜2"

在，ABD∣中，网=4,IBRHB4=1,卜用=2而，由余弦定理，得

C16+1-247),

cos2^ZI=----——=--,Xcos2θ=2cosθ-1,

2×4×18

所以cos。=；,f⅝∣OB∣=2∣AB∣cos(9=2×4×^=2.

故答案为：2

13.(2022•上海浦东新•上海市实验学校校考模拟预测)已知点G为ΔABC的重心，过G作

直线与A3、AC两边分别交于〃、N两点，且AΛ√=xAB,AN=yAC,则士-的值为

x+y

【答案】ɪ

1UUUUUUUIΛUUUIl

【分析】由以三角形的重心得到AG=§(A8+4C),再结合AM=XAB，AN=yAC，根据

HGA三点共线，易得到无加勺关系式,'即可得到结论.

1UUUULUUUUIUlJU

【详解】如图，因为G为ΔABC的重心，所以AG=](A8+AC),又AM=XAB，AN^yAC>

所以AG=；AM+；AN,由题意知也GA三点共线，所以;+；=1,化简得

3x3y3x3y

xy_1

^x+y~3'

故答案为：ɪ.

【点睛】本题主要考查了三角形重心的性质，以及向量的基本定理和向量在几何中的应用，属于

中档题.

三、双空题

UitiLiiai

14.(2023•上海•统考模拟预测)已知菱形ABCD的边长为1,ZBAD=60°,AP=AAB

(2>0).当/I=］时，ACPD=;当AP∙f>P取得最小值时，2=________.

31

【答案】ɪ7

44

【分析】当2=；时，AP=^AB,根据向量的三角形法则和数量积的运算法则计算可得

AC∙PO的值；而APOP=/M8(/M8-4O)=；l2-9，再根据二次函数的性质可得出当APoP取

得最小值时4的值.

【详解】当年=；时,AP=^AB,

ACPD=(AB+BC)(AO-AP)=(AB+AD)^AD-；伺=AD2-^AB'+^ABAD

113

=1——+—×1×1×cos60°=一；

224

DP=AP-AD=AAB-AD,

所以"∙OP=λAB^λAB-4。)

=AAB2-λΛB∙AD

=2∣AB∣2-Λ∣AB∣∙∣AD∣∙COS600

=A2--A

所以当4=。时，4P∙OP取得最小值，最小值为-

416

故答案为：］；ɪ.

44

【点睛】关键点睛：对于第二空，可由平面向量数量积的运算法则得出AP∙OP=万从而

利用二次函数的性质解决问题.

四、解答题

2222

15.(2022•上海•统考模拟预测)已知A、8为椭圆£■+方=l(a>b>O)和双曲线*-£=1

的公共顶点，P,。分别为双曲线和椭圆上不同于A、B的动点，且满足AP+BP=4AQ+8Q)

(2eR,W>D,设直线AP、R\A。、8。的斜率分别为尤、&、&、&•

(1)求证：点P、。、。三点共线；

(2)当α=2,b=6时，若点尸、Q都在第一象限，且直线Po的斜率为求VBPQ的面积

S;

(3)若比用分别为椭圆和双曲线的右焦点，且QF/∕心,求好+后+后+代的值.

【答案】(1)证明见解析；(2)述-亚；(3)8.

510

【分析】(1)由AP+BP=4(AQ+BQ),得到。尸=4。。，由此可证明出点产、。、。三点共

线；

2h2YIh1X

(2)设点P(Xl,yj、Q(X2,以)，求出K+&2=—ʒ—^,&+%=—2—^由。尸//OQ,可得出

,=」，从而可求出&I+e+匕+&4的值;

y∖%

22

（3）由OP=UOQ,可得I,再由。月〃「人，得出（匕+的『=4,（⅛,+⅛4）=4,由

H=7一

此能求出&:+抬+后+后的值.

【详解】解：（1）证明：因为A,B为椭圆与双曲线的公共点，P,。分别为双曲线和椭圆上

不同于A,B的动点，

又因为AP+BP=∕（AQ+BQ）,

所以2OP=/l・2OQ,B∣JOP=λOQ,

所以点P,Q,。三点共线.

(2)设P(Xl,χ),Q(Λ2,%),直线PQ的方程为y=gχ,

1

y=-χ

",

联立22，解得X=±6,

XV12

—+—=I

143

I

F

+√6

所以P,同理，解得X=±而,尸士了，解得。

工"=I

43

则IPQl=3-半，又因为“=2,⅛=√3,

2

2

X一÷

423_=I

£,解得5(±2,0),

X2

4--3

2

所以点8到直线PQ的距离d飞,

则SjdlPQI=述-

211510

xl=λx1

(3)因为OP=∕IOQ,所以

%二%%

2)

⅞+⅞=A2

CTb2Λ2+l2

X：=-------a

M*=ι2

则

/b2兰匚从

M=

2

a2

因为。耳//P鸟,所以I。KI="鸠I,

所以万=二里g、iX：把+1«2α”

，所以H=E.F=/'

a~-b~

所以/+32=4./.5=4,

2

同理(&+/J=%而伏=∙/y,

Xy-Cl

又占2=。2+/年，所以"2=探，

同理人人=一」，所以好+收+抬+湿=8.

a~

16.(2022•上海闵行•上海市七宝中学校考模拟预测)已知向量。=|-,-sinx+^cosx和

向量匕=(Ij(X)),且〃〃从

(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；

(2)已知ΔABC的三个内角分别为A及C,若有小高=5BC=币,SinB=亨，求

AC的长度.

【答案】(1)最小正周期为2万，最大值为2；(2)2.

【分析】由整理可得：/(x)=Sinx+√icosx=2sin(x+(}(1)根据正弦型函数的最小

正周期和最值的求解方法直接求得结果；(2)利用=6求得SinA,利用正弦定理求

得结果.

【详解】由d〃5得:ɪʃ(ɪ)ɪɪsinɪ+-COSx

2v722

则：/(ʃ)=sinX÷cosX=2sinx+-

ɔ4T-

(1)〃X)最小正周期为：T=千=2万

当Sin卜后卜时’小兀=2

(2)由/(A-1)二代得：2sinA=石，则SinA=咚

,BCACPlnSBCsinB"、7C

由正弦定理可知：即AC=———=一÷-=2

sinAsinBsɪnA√s3

2

【点睛】本题考查三角函数中的正弦型函数的最小正周期、最值的求解、解三角形中的正弦定

理的应用，涉及到平面向量共线定理、辅助角公式的应用.

17.(2022•上海浦东新•校考一模)已知向量4=(病加,1),b=(cosx9-l).

(1)若。〃Z?,求tan2x的值；

(2)若"x)=(α+6”,求函数/(x)的最小正周期及当Xe0,|时的最大值.

【答案】(1)-√3(2)最小正周期为万，最大值为:

【分析】(1)由α〃匕得tanx=-3,再根据二倍角的正切公式直接求解.

3

(2)根据平面向量的数量积以及三角函数的恒等变换，化简f(x)即可求出T,再根据三角函

数的图象与性质，求出x∈[0,时f(x)的最大值以及对应X的值.

【详解】解：(1)由°//。得，->∕5sinΛ=COSX，

・・ta∏Λ=-----

3

・+2tanxrτ

・・tanɪ=-------=—√3

l-tan^*x

(2)/(x)=(α+b)∙b=ʌ/ɜsinreosɪ+cos2x

=B._1C1,f_ππ]1

sιn2x+-cos2x+-=sm2x+-+—

~~22262

.∙.函数f（χ）的最小正周期为T=言=》

当Xe[0,卫]时，^<2x+-<-

L2j666

.∙.当2x+方=方，即Xq时，"x）a=∕Q）=∣.

【点睛】本题考查了共线向量的坐标运算，平面向量的数量积和三角函数的恒等变换以及三角

函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目.

考点二：平面向量的基本定理及坐标运算

一、单选题

1.（2022•上海嘉定•校考模拟预测）在，ABC中，AB=AC=3,BD=IDC.若

UuUUUul

ADBC=4,贝∣JA8∙AC=（）.

A.3B.-3C.2D.-2

【答案】B

LMJLiULUI/

【分析】根据向量的线性运算，将AO∙8C=4转化为(^AB+^ACXAC-AB)=%结合数量积

的运算，即可求得答案.

2

【详解】由题意可得AmC=(A8+8Z»(AC-A8)=(AB+§BCA(AC-A8)=4,

212

^∖1[AB+-(AC-AB)]-(AC-AB)=(-AB+-AO-(AC-AB)=4,

122.2121

即一一AB+-ACA8∙AC=4,g∣J-3+-×9一一A8∙AC=4,

解得A8∙AC=-3，

故选：B

2.(2022•上海静安•统考二模)设α=(x,y),b=(m,n),且“，人均为非零向量，则

“土=上"是''α〃/√'的（）条件

mn

A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要

【答案】A

【分析】由向量共线的坐标公式判断充分性和必要性即可求解.

【详解】若土=』，贝"式=四，则“〃人满足充分性；反之，若则”=阳，不能推出

mn

3,

inn

比如m=x=0,显然满足皈=阳，但二=2无意义，不满足必要性；故“土=2”是〃厂

m"mn

的充分非必要条件.

故选：A.

3.（2022•上海浦东新•上海市实验学校校考模拟预测）如图，已知点P（2,0）,正方形

ABa）内接于。。：/+丁=2,M、N分别为边A8、BC的中点，当正方形ABCD绕圆心。旋

转时，PMoN的取值范围是（）

C.[-2,2]D.

【答案】C

【分析】根据题意易知ON=1,将PM表示为PO+QΛ∕,再结合数量积的运算律计算即可.

【详解】解：由题意可知正方形ABCO的边长为2,

则ON=I,

,:OMlON,-OMON=O,

设尸O,QN的夹角为6,则6e[0,句,

.".PMON=(PO+OM)ON=POON=2×l×cosθ=2cosθe[-2,2].

故选：C.

4.(2022•上海浦东新•上海市实验学校校考模拟预测)在山ΔA3C中，AB=AC,点M、

UUUCtULU'

N是线段Ae的三等分点，点尸在线段BC上运动且满足PC=h8C,当PMpN取得最小值时,

实数Z的值为

【答案】C

所以当QP∙LBC,PMPN最小,则PC=^BC,即％=；

故选C.

5.(2022•上海普陀•统考一模)设％>0,若向量外b、C满足“：用H=IM:3,且

匕-α=2(c-b),则满足条件的郴J取值可以是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根据题意可得(36)2=4.1+4夕0+,『，利用平面向量的数量积的定义和三角函数的性

质可得%2=37+12cos(α,c∙)e[25,49],进而标∈g,f],结合选项即可求解.

Vy

【详解】⅛⅛—<2=2(c—b),得3A=2c+a,

所以(36)=(2c+")=4∣c∣+4Λ∙C+∣^∕∣,

又卜用：H=IM：3,

所以9代=4×32+12+4x3x1XCoS卜,c),

即9公=37+12cos,,c)∈[25,49],

,254957

得八年,学，又2>0,所以女弓京,

所以〃的取值可以是2.

故选：B.

二、填空题

6.(2023•上海•统考模拟预测)已知向量α=(3,4),6=(l,2),则“-2。=

【答案】(1,0)

【分析】由平面向量的减法的坐标运年即了求解.

【详解】因为£=(3,4),6=(1,2),所以i%=(3,4)-2(1,2)=(1,0)，

故答案为：(LO)

7.(2022•上海浦东新•统考一模)如图，在，ABC中，点〃、£是线段比上两个动点，且

19

AD+AE=XAB+yAC,,则嚏+1的最小值为_____.

【答案】8

【分析】以向量ABAC为基底，表示向量A2AE,结合平面向量基本定理可得χ+y=2,再利

19

用基本不等式求一+一的最小值.

Xy

【详解】设BO=28C,EC=HBC,则0W/W1,0≤χ√≤l,AD=AB+BD=AB+λBC

AE=AC+CE=AC-μBC,所以A。+AE=A8+AC+(∕l-〃)8C=AB+AC+("〃)(AC-AB),

所以AD+AE=(1—几+〃)AB+(1+九一M)AC,又AD+AE=xAB+yAC,

所以X=I-4+M，y=l+/l-〃，所以x+y=2,

因为0W4W1,0≤χ/≤1,所以—1≤-〃:≤0,—1≤/1—≤1,所以0≤1+2—//≤2,

即0≤y≤2,同理可得0≤χ≤2,若N=O则，μ~λ=∖,因为DBjBC,EC=μBC,所以

DB+EC=BC,所以DB=BC+CE=BE,BE+BD=O,此时民。，E三点重合，与已知矛

盾，所以0<yV2,同理0<χ≤2

所可9

÷2=21÷(χ+y)=Ulo+2

y2y2X

当且仅当上V=9一x，即X=1：,y=39时取等号；

Xy22

19

所以一+一的最小值为8.

XJ

故答案为：8.

8.(2022•上海虹口•统考一模)在ΛBC中，AB=5,AC=6,cosA=∣,。是ABC的外

心，若。P=Λ∙OB+yOC,其中x,y∈[O,l],则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为

【答案】称###竺迈

2424

【分析】先利用余弦定理求出BC的长，因为。是ABC的外心，

设外接圆的半径为R,所以Q4=OB=OC=R,再利用正弦定理

求出R,由OP=XoB+yOC,x,y∈[O,l]

知道动点P的轨迹所覆盖图形为以OB为边的菱形06EC

画图，由图可知菱形OBEC为2SB0c,求出SBOC即可得.

【详解】在.A8C中，因为AB=5,AC=6,cosA=∣,

所以由余弦定理：COSA=AB2+AC2~BC2=-,

2ABAC5

所以=49=BC=7,

又因为。是一ABC的外心，设外接圆的半径为R,

所以。A=OB=OC=R,

所以SinA=√1-cos2A=.11--=，

V255

BC735√6

由正弦定理：亚一一五一，

丁

所以R=史区，

24

由。P=XoB+yOC,X,y∈[O,l],

所以动点P的轨迹所覆盖图形为以OB为边的菱形OBEC,

如图所示：

由图知NBOCNA为BC所对的圆心角与圆周角,

所以有NBOC=2ZA,

所以sinNBoC=sin2A=2sinACoSA

2√614√6

=o2×------x—=------,

5525

所以S.zfoc=gx08x°CxsinNB°C

135√635√64√649√6

=-X----------------X-----------X-----------=-—,

224242548

所以动点尸的轨迹所覆盖图形面积为：

”-49√6

BOC-04'

故答案为：竺史.

24

9.(2022•上海徐汇•统考三模)在_ABC中，已知AB=1,AC=2,ZA=120°,若点P是

ASC所在平面上一点，且满足AP=A8+2AC，BPCP=-X,则实数2的值为

【答案】1或9

【分析】根据平面向量的线性运算法则，分别把BHCP用AB,AC表示出来，再用8P∙CP=T建

立方程，解出义的值.

【详解】由AP=AB+4AC，得AP—AB=2AC,BPBP=AAC>

CP=AP-AC=AB+(λ-∖)AC,

在,ABC中，已知AS=I,AC=2,ZA=120°,

所以BPCP=λAC(AB+(λ-∖)AC)=λAC-ΛB+λ(λ-∖)AC)

=22COSl20+4λ(Λ-l)=4Λ2-5Λ=-l,

即4万-52+1=0,解得4=1或/I=1

4

所以实数冗的值为1或

4

故答案为：1或。.

4

10.(2022•上海•统考模拟预测)己知向量”=(l,3),b=(sinα,cosa),若A〃很，则

tan(α+J-----------

【答案】2

【分析】由向量平行得tana,再由正切两角和公式计算即可.

【详解】由a〃方可得，3sina=cosa,得tanc=§,

.-+∖

,.乃、tana+1ɜC

ffjjtan(a+-)=----------=2~=2.

4l-tanαr

^3

故答案为：2.

11.(2022•上海浦东新•校考一模)已知点A(-2,0),设6、提圆0：V+丫2=］上的两个不同

的动点，且向量O8=f04+(1T)OC(其中t为实数)，则ABAC-

【答案】3

【分析】由向量O8=f04+(1T)OC(其中t为实数)，可得：A,B,C三点共线，且AB，AC同

向，设圆。与X轴正半轴交于点£,与X轴正半轴交于点F,由割线定理可得IABIIAC=IAMAFI,由

AB-AC=∖AB^AC∖COS0即可得解.

【详解】由向量08="%+(IT)OC(其中t为实数),

可得：A,B,C三点共线，

且AB>AC同向，

设圆。与X轴负半轴交于点区与X轴正半轴交于点F,

由圆的割线定理可得，IABIlAel=IA矶M

AB∙AC=∣AB∣∣AC∣cosO=∣AB∣∣AC∣=∣AE∣∣AF∣=l×3=3,

故答案为3

【点睛】本题考查了向量中三点共线的判断，及圆的割线定理，属于中档题.

12.(2022•上海浦东新•上海市实验学校校考模拟预测)已知椭圆与+丁=1(。＞0)的焦

a

点片、F2,抛物线V=2x的焦点为尸，若

UUWUUU

FiF=3FF2,则。=_

【答案】√2

【详解】由抛物线的标准方程可得其焦点坐标为尸(；，o),

设椭圆的焦点坐标为：E(-c,O),弱(c,O),

贝IhEF=(g一,0),

g,θ),则:g+c=3(c

由题意有:*0

求解关于C的方程可得：C=L则：”=√^1N=√Σ∙

13.(2023•上海•统考模拟预测)a=(∖,2),b=(-↑,t),a-b=5,t=.

［答案］3

【分析】根据平面向量的平量积的坐标运算求解.

【详解】由题意可得：ɑ∙⅛=l×(-l)+2×∕=2∕-l=5,解得f=3.

故答案为：3.

14.(2022•上海宝山•统考一模)已知平面向量“、人满足忖=3,W=4,贝∣j2α+6在4方向

上的数量投影的最小值是.

【答案】2

Qα+b)∙

【分析】先求出(2。+4。的范围，根据2即可求得结果.

H

(2a+b\a

【详解】因为2α+人在4方向上的数量投影为J√-

H

所以当(2α+b)∙.最小时，数量投影取得最小值.

设=6,则(2Q+A)∙G=2a+a∙b=2pz∣+仲阵05夕=18+12COS6.

因为-I≠fcos91,贝IJ当CoSe=-1时，(2〃+/?)-〃=18+12cose有最小值6.

(2〃+/?).Q

所以，2〃+〃在”方向上的数量投影的最小值是Hr2

故答案为：2.

15.(2022•上海长宁•统考一模)设向量〃，力满足同=1,附=2,贝∣Jɑ∙(α+B=

【答案】3

【分析】根据向量的数量积的运算律，即可求得答案.

【详解】由题意向=l,α%=2得α∙(α+力)=〃2+a∙b=1+2=3,

故答案为：3

16.(2022•上海嘉定•统考一模)在空间直角坐标系中，点41,0,0),点8(5,-4,3),点

C(2,0,l),则AB在CA方向上的投影向量的坐标为________.

【答案】Gog)

【分析】先求出AB和CA的坐标，再根据投影向量的定义可得答案.

【详解】依题意：AB=(4,3),C4=(-1,0,-1),

所以AB在CA方向上的投影向量为：

I,CAABCA_7(77

ABCOS(A8,CA∖)X^—r=—■—ʒ-XCA=T(T°—)=~,θ*~

I∖/ICAl∣CA∣^2V22

故答案为：(g,αg)

17.(2022•上海崇明•统考一模)在边长为2的正六边形历6W中，点/为其内部或边界上一

点，贝IJ4»BP的取值范围为一

【答案】[yi2]

【分析】利用数量积的几何意义去求4L>∙8P的取值范围即可解决.

【详解】正六边形板侬中，过点例乍333AD于夕，则IAq=4,,4=3,WA=I

AD-BP=∣AZ)∣∙∣BHCoS(AD,BF^

又TADHB川≤k4•网COS(4万,BP闫回.但4

即-4平叶网CoS(AnBP)≤12,故ADBP的取值范围为[T12]

故答案为：[Y,12]

三、解答题

18.(2022•上海徐汇•位育中学校考模拟预测)设｛叫、也｝是两个数列，

用(1,2)，4(2,q),纥(卓,，)为直角坐标平面上的点.对〃6旷，M、A,,.B.三点共线.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

+

⑵若数列｛4｝满足：1。酩,=3+：也j："也,其中仁｝是第三项为8,公比为4的等比数

6Z∣十Cif十ICIn

列.求证：点列4(1抱)、2(2,4)、、匕(〃,2)在同一条直线上；

(3)记数列｛q｝、｛2｝的前加项和分别为4,和Bm,对任意自然数”，是否总存在与〃相关的自然

数优，使得4也.=24?若存在，求出川与〃的关系，若不存在，请说明理由.

【答案】(1)勺=2〃

(2)证明见详解

⑶存在，2n=m+∖

【分析】(1)利用“〃8。再必=WX，代入运算整理可得””=2〃；(2)根据题意求

2,

ax+a2++a,,=n+n,%=2"τ代入整理可得3++α也=(2〃-3儿/+〃)，再结合

q=CC、。运算求得勿=3〃-4；⑶先求4=疗+,”，,代入

[Sn-Sll.i,n≥22

3/7—43加—5

。,用“=如<可得3LJt=*√,分析整理得2〃=机+1.

nm-∖-∖

【详解】⑴由题意得：MA,,=(l,a,,-2),MB,,=Γ-l,--2∣

Vnn)

12

•••/、4、纥三点共线，则M%〃M纥，可得-2)=--2

nn

.*.⅛=2〃

(2)⅛(1)可得q+%+=I+〃

∙.∙{q,}是第三项为8,公比为4的等比数列，则C3=j∕=16q=8

Λcl=∣,则%=叱'=22"-3

又...log.=地+.+…+”"Y

q+电+…+a∣ι

/.a}by+a2b2+=(2"-3)(/+〃)

当〃=1时，岫=-2

当〃≥2时，albi+a2b2÷+¾.1⅛,1=(2n-5)(∕r-/?)

2

.∙.anbn=(2n-3)^π+〃)-(2九-5乂/_〃)=6/-8/7

2

综上所述:anbn=6π-Sn,则a=3〃-4

・・・点列弓(14)、£(2,2)、、弓5，勿)在同一条直线y=3χ-4上

⑶由(2)可得An=/+帆，纥,==3病一5〃?

22

a

丁,βftl=b"A,n,即2"3"725'"=(3〃_4)"+一)

3〃一43加一548

结合自然数加，〃整理可得‘一=卫一，贝∣j3-I=3-)7

nm+1n∕n+l

/.2〃=m+1

若对任意自然数〃，〃?存在且为自然数

存在，2n=m+↑

19.(2022•上海黄浦•统考模拟预测)一质点力从原点出发沿X轴的正向以定速度的进，质

点8从(0,-2)与/同时出发，且与质点4以大小相同的速度向某方向前进，/与贬间的最短距离

为L

(1)求砸前进方向与谕正向间的夹角。；

(2)当4用ŋ距离最短时，求/、颂坐标.

【答案】⑴W

【分析】(1)设出发后，时，A位移为m,()),则B的位移(αcos。,-2+asin。)，利用距离公式求

得IM=J(2-2cos-4〃sin6+4,结合二次函数的性质，即可求解；

(2)由(1)求得〃吗ς=√5,即可求得AB的坐标.

I-Cos”

【详解】⑴解：设出发后Z时，A位移为3,0),则8的位移Seos。,-2+αsin6),

贝UAq=ʌ/(ɑeos^-ɑ)2+(-2+6τsin0)2=J4>COS?。-2/CoSe+/+/sin」8-44sin8+4

2

=y∣(2-2cosθ)a-4asinθ+4

若2-2cos6=0时，即COSe=I时，可得卜q=2,不符合题意

4。SineSine

则2-2COSe£(0,4],所以当〃=

2(2—2COSe)1-cosθ

解得；

此时网=AS一湾+1,CoSe=,

TT

又因为ee(0,∕r］,所以，=§.

(2)解：由(1)矢口e=f,可得ɑ=;21吗?=相，

31一CoS夕

所以A位移的坐标为(6,0