新教材人教A版高中数学必修第二册解三角形中面积最值与取值范围问题 同步讲义

11、解三角形中面积最值与取值范围问题

题型一：三角形面积最大值问题

【例1】已知ΛBC的内角人^^所对的边分别为出仇，，若A=?,α=√3,则一ASC面积

的最大值为()

A.亚B.毡C.1D.√3

42

【答案】A

【分析】利用余弦定理和基本不等式可求得儿的最大值，代入三角形面积公式即可.

【详解】由余弦定理得:a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-be=3»

.∙./?2+c2=bc+3≥2bc(当且仅当〃二C时取等号)，."c≤3,

.-.SABC=-bcsinA即ABC面积的最大值为也.

abc244

A

【例2】在一A5C中，角A,B,。所对的边分别为。，b,C,若tan(B+C)=tan5,

且α=2,贝IJABC的面积的最大值为

A.3B.BC.√3D.26

32

【答案】A

A

【解析】：因为tan(8+C)=ta∏3∙,且3+C=7i-A,

CA

2tan—a4

所以tan(B+C)=-tanA=-----------=tan—>O,所以tan—=石，贝!]A=」.

l-tan2-2

2

ɔJF

由于。=2为定值，由余弦定理得4=从+c2-2bccos-,HP4=Z?2+C2+Z?c-

4

根据基本不等式得4=〃2+C2+^^2历+%=3〃θ，即8c≤-,当且仅当b=c时，等号

3

成立.

所以Sλbc=JoCSinA=且.

由22323

【例3】在∕∖ABC中，”,。，c分别为内角A,B,C的对边,若α+c=4,2sinB=sinA+sinC,

则A4BC的面积的最大值为()

A.√3B.2C.2√3D.4

【答案】A

【解析】

因为2sin3=sinA+sinC,所以2⅛=α+c,因α+c=4,所以Z?=2,

由余弦定理得COSB=/+/-'=(α+c)2-20c-从=K-20I_12-2ac

2ac2ac2ac2ac

所以2αccosB=I2-2αc,所以cosb=∙^~~—,所以

ac

222

.Rh(^^(6-ac)y∕(ac)-(6-ac)

smB=√l-cosβ=1--L-T-rɪ=~~~-——------—

V∖ac)ac

因SMBC=JQCSinB」砒・^£^36+12敬—电Jg35=ʤae-9

22ac2

因为α+c≥2J^,所以αc≤(":')=4,SMBC=vɜflf-9≤∙∖∕12-9=^∣3

【例4】在ZXABC中，a,h,C分别为内角A,B,C的对边，若α=2,b=&,则A4BC

的面积的最大值为（）

A.√3B.2C.2石D.4

【答案】A

【解析】

由余弦定理得cX=*=9U=鉴

因为α=2b=∖f3c，

所以

(4c2-4)2_/12F-16。4+32/-16_J-4c4+32c?-记

SinA=Vl-COS2A

^(2√3c2)2=V12?=2√3C2

„1,..I/72-V-4C4+32C2-161/~j~ʒ7

1川ll5MBC=-besinA=-√3r----------------------=-√-c+8L一4

设则GH=反尹≤5

【例5】在一ΛBC中，48,C所对的边分别为α,b,c.若/+2〃+3C2=12,贝kABC面积最大

值为__________

【答案】岑##（布

【分析】利用余弦定理及基本不等式得历一；，再由三角形面积公式得到

2√3-cosA

S≤c*44,令f=26-cos.,利用辅助角公式求得f≥J∏∖由此可得，ABC面积的最

2√3-cosΛSinA

大值.

【详解】由余弦定理知Y="+©2一2bccosA,

所以4+2b2÷3C2=b2+C2-2⅛ccosA+2b1÷3c1=3⅛2+4c2-2⅛ccosA，

因为3^+4°2≥2历定=4辰c，当口.仅当√^=2c时，等号成立，

所以+4C2-2bccosA≥Ibc(26-cosA),g∣J12≥2bc(26-cos4),故力c≤~~-------

v'\)2√3-cosA

I3sinA

设4ABC的面积为S,所以S=s"CSinA≤百，

令t=N^~~~cθs^，可得26=5SinA+COSA=J/十1Sin(A+0)≤,

sinA

当且仅当A+夕=/时，上式等号成立，即有2>n≤"7T,解得f≥4T或f≤-JΠ^(舍去)，

则廿AS叵,所以s≤±叵，故ABC面积最大值为士叵.

2√3-cosAH1111

TT

【例6】如图，在AfiC中，NABC=§,点。在线段AC上，且4)=2Z)C,80=3,贝IJABC

面积的最大值为一.

【答案】警

【分析】利用余弦定理及基本不等式，结合三角形的面积公式即可求解.

【详解】设AB=c',BC=a,DC=x(c>0,a>0,x>0),则AD=2x,AC=3x,

在AABQ中，由余弦定理，得

BD2+DC2-BC232+x2-tz29+X2-Λ2

cosZBDC=

2∙BD∙DC2x3Xx6x

在aAH力中，由余弦定理，得

B£>2+A£)2-AB23?+(2x)2-C?9+4M-c2

cosZBDA=

2-BD-AD-2×3×2x-12x

由于NBDC+NBDA=180°,得cosNBDC=-cosNBDA,

U∣J9+x'~a2=_9+4λ^∑c^,整理，W-27-6x2+202+c2=0φ,

6x12X

在，ABC中，由余弦定理，得

(3x)2=c2+a2-2c∙a∙cosɪ,BP9Λ2=c2+«2-c∙α，代入①式化简整理，得

412Cr

—cr2+-C2+-ac=27

333

∖i2×-c--ac=2ac,即这4红,

由基本不等式得27≥2,a+

3332

当且仅当g/=gC2即α=手,c=3有B寸，等号成立,

1Ja=,c=ɜʌ/ɜH't,"c取得最大值为号∙.

所以ABC面积的最大值为

S女=LCSinNABCvL空XSin工=型.

λbc22238

【例7】ASC的内角A,B,C的对边分别为α,"c,已知α=Z?COSC+csin3.

(I)求8；

(II)若b=2,求一A6C面积的最大值.

【详解】(I)；。=/?CoSC+csin3

，由正弦定理知ISinA=SinBCoSC+sinCsinJB①

在三角形ABC中，A=乃一(8+C)

.".sinA=sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB②

由①和②得sinBsinC=cosBsinC

而C∈(θ,")，JsinCwO,JsinB=CosB

又3∈(θ,;r),・・.B=?

1五Jl

(2)SMBC=—QcsinB=——ac由已知及余弦定理得：4=a2+c2-2。CCOS—≥2ac-2ac

ZΛΛOL2I4

X拒

X--------,

2

≤2⅛,

整理得:当且仅当a=c时，等号成立,

则AABC面积的最大值为LX~×~=jX&xQ+T^)=&+]

222—2

【题型专练】

1.在一ABC中，角4,B,C的对边分别为4,b,C,若αc=8,4sinB+csin2A=0,K∣JABC

面积的最大值为.

【答案】2

7222ι22

[分析】结合倍角公式、正弦定理、余弦定理化简得CoSA="+Cf=-2,即从=丝工，

2bc2c2

故COSB="+¢2—从=q2+3c2=立,可得B的范围，即可根据SMZ(C=：αcsinB

2ac4。C4。C22

求得结果

【详解】由题，βsinB+csin2A=asinB+2csinAcosA=0,

由正弦定理得，ab+2accosA=(),故COSA=-,

2c

由余弦定理得COSA=处0=-2,故〃=±e,

2bc2c2

故CoSB=""L一/广=，「+至≥2∙Ξ2^c=昱,当〃=&是，取等号，故Be(O,口，

2ac4ac4。C2I6」

sinB∈^0,ɪ,

故SA%=gαcsin8e(0,2],故SAPC最大值为2,

2.材料一：已知三角形三边长分别为“,Ac,则三角形的面积为S=JP(P-a)(p-b)(p-c),

其中P=竺I士士这个公式被称为海伦一秦九韶公式.

材料二：阿波罗尼奥斯(Apollonius)在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两

个定点RE的距离的和等于常数(大于E用)的点的轨迹叫做椭圆.

根据材料一或材料二解答：已知一ABC中，3C=6,A8+AC=10,则ABC面积的最大值为

()

A.6B.10C.12D.20

【答案】C

【分析】令AB=Xe(2,8),根据材料一海伦公式写出ABC面积S,由二次函数性质求面积

最大值即可.

【详解】令A8=x,则AC=Io-X且8C=6,故Xe(2,8),而P=空经=8,

2

所以ABC面积S=6(8-2)=λ∕-16(x-5)+144,

当x=5时，Snm=I2.

3.在，ABC中，角A8,C的对边分别为",",c.已知角C=1,AB边上的高为2√J.

(1)若S"C=4有，求ABC的周长；

⑵求,.ABC面积的最小值.

【答案】⑴12(2)4立

【分析】(1)由三角形面积公式可求得c=4与ab=16,又由余弦定理与整体法可求得α+b=8,

由此可求得ABC的周长；

12

(2)法一：由三角函数的定义可得M=.,.再利用三角恒等变换求得

sɪnAsmB

sinAsinB=—+—sinA——,由此可得SinASinB的最大值，从而得到必216，进而求得

ABC面积的最小值；

法二：利用基本不等式与余弦定理求得就≥16,从而求得AABC面积的最小值.

【详解】(1)依题意，得SABC=gc∙26=4百，故c=4,

ZSajjc=^ahsinC=^c∙2y∣3,C=,所以abxq=4x2∙∖∕J,则qb=16,

又由片+%2-2abcosC=C2得a2+b1-ab=c1>

∣⅛∣jlt(6Z+⅛)2=C1+3ab=(A,则α+Z>=8,

故，ABC的周长为12.

(2)法一：

由题意可得α=2叵*=工叵，则α6=.：°,

sinBsinASinAsmB

又因为sinAs∖nB=sin(g-A卜nAɪɪɪsinAcosA+→in2A=乎Sin2A+一Cc)s2A)

=LLinRA-工],

4216)

因为所以'与2A—7=Q,即A=^∙时，(SinASinB)nux=[,故α)≥16,

所以工8。的面积为50品=；〃加巾。=¥^出^46，所以ABC面积的最小值为4Λ∕J∙

法二：

在,ABe中由余弦定理可得，c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab

又由⑴可知必=4c,即C=半，

4

所以""=a2+b2-Ub2ab,解得6⅛≥16,当且仅当a=0=4时)等号成立.

16

所以S△&ZJC=加inC=¥αh≥4G，所以面积最小值为4石.

4.在「ABC中，角4氏。的对边分别为〃泊,。,麻€0§。=8051]-3).

(1)求角C;

(2)若一ABe的外接圆半径为2,求,ABC面积的最大值.

【答案】(1)事(2)最大值为3√J

【分析】(1)由正弦定理化简求解，

(2)由正余弦定理，面积公式与基本不等式求解

(1)

由正弦定理得>∕JsinBcosC=sinCsinB，因为8e(0,π),所以SinBH0,故VJCoSC=SinC.

tanC=√L因为Ce(O,π).所以C=(,

(2)

_£_=_^=4

根据正弦定理得SinC√3，解得c=2√J

~2

根据余弦定理得¢2=/+/一21⅛cosC=4+/一αb=12.

由基本不等式得储+〃22ab,t![J∖2+ab≥2ab,解得α6≤12,当且仅当α=b=2有时等号成

立，

此时S"c=gHSinC≤3√J，所以48C面积的最大值为

5.已知锐角^ABC中，角A,B,C所对的边分别为“，b,c,SinA=COSqSinB+6CoS8).

⑴求C的值；

⑵若c=G，求4ABC面积S的最大值

【答案】(I)C=W(2)前

【分析】(1)将己知条件中的SinA化为sin(3+C),使用两角和的正弦公式打开化简，可求

得C；

(2)由余弦定理，结合不等式02+"≥2",求出曲的最大值，代入面积公式即可.

(1)

,.*sinA=Sin[兀一(3+C)]=sin(3+C)

sin(B÷C)=cosC^sinB+>∕3cosBj,

∙,.sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC+>∕3cosBcosC

∙∙cosBSinC=6cosBcosC

•••△ABC为锐角三角形，B为锐角，ΛcosB≠0

∙'∙SinC=GcosC,即tanC=ʌ/ɜ»

TT

，△ABC内角C=§.

(2)

由余弦定理知，c2=a2+b2-2abcosC,

3=a2+b1-2abcos-=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab,当且仅当α=b时取等号,

3

即当且仅当α=%=√J时，ab<3>

•c_1……a√3-3√3

•∙SΛΛDΓ=—abSinC≤—•3•—=---

δλbc2224

...△48C面积的最大值为期.

4

6.在,ABC中，内角A,B,C的对边分别是小b,c.已知ABC的外接圆半径R=√∑,

且tanB+tanC=^^∙

cosC

(1)求8和b的值；

(2)求ABC面积的最大值.

【答案】(I)B=6=2；(2)l+√2

【分析】(1)利用同角三角函数间的关系切化弦得包些•+维=叵生4,再由正弦的和角

cosBcosCcosC

公式化简可求得8,再利用正弦定理可求得仇

(2)由余弦定理得4=∕+cJj50c,利用基本不等式得αc≤2(2+√Σ),由三角形的面积公

式可求得答案.

(1)

解：因为tanB+tanC=&14,所以包片十包£=叵曳4,

cosCcosBcosCcosC

sinBCoSC+cosBsinC=V2sinAcosB，即sin(B+C)=eSinΛcosB,

因为A+5+C=τr,所以Sin4=JΣsinAcosB，

又SinaH0,所以CoSB=—，所以3=f,

24

又“3C的外接圆半径R=0,所以由正弦定理上=2尺得b=2χ0×交=2；

SinJ52

(2)

解：由余弦定理b1=a1+C1—IaccosB^4=a2+c2—y∣2ac，

由基本不等式得4=储十02一α"≥2"c-"ZC(当且仅当Q=C时取等号)，所以

αc≤=2(2+√2)(当且仅当O=C时取等号)，

所以SABcCSin8=孝“c4^x2(2+0∙)=l+√Σ(当且仅当。=c时取等号)，

故，ABC面积的最大值为1+√∑.

7..ASC的内角A,8,C的对边分别为α,仇c,设SinAeoSB=Sin8(2-CoSA).

(1)若b+c=#>a,求A；

(2)若α=2,求AABC的面积的最大值.

【解析(1)VsinAcosB=SinB(2-cosA),

a2+c2-b22一次

结合正、余弦定理，可得〃•一-----=b∙(2/差，°),

2ac2ZJC

化筒得，c=2b,代入b+c=y[3a,得a=∖[3b,

b27z7z222

rhAH±Xffl左“A+c-αb+4b-3b1.._、.人π

由余弦定理知，cosA=-2b2b----=2，・λ(z°λ，兀)，∙∙Λ=ɜ.

(2)由(1)知，c=2b,

八壮士IfflA∙n4b2-^-c2-a25b2-451

由余弦定理知,cosA=----荻--=~~^2~=4-^2,

.,.∕∖ABC的面积S=^∙⅛csinA=⅛2V1—cos2A=b2∙1——^)2=⅛2∙J-2+崇ɪ—j

=j劫4+汐一I=J一白(炉一给2+竽,

当儿=冬时,S取得最大值，为上

8.在AABC中，内角4、B、。所对的边分别为a6,c,。是43的中点，若CD=I且

(a--b)sinA=(c+6)(SinC-sinB),则AABC面积的最大值是一

【答案】巫

5

如图，设NaM=6,则NcDB=〃一

C

bX/\

6/穴-6

AB

D

—+l-⅛2—+l-a2

在ACDA和ACDB中，分别由余弦定理可得cosθ=—.......,CoS(万一。)=---------

CC

两式相加，整理得1+2-(/+/)=0,；.C?=2(/+/)—4.①

由(α-ɪ"sinΛ=(c+与(SinC-SinB)及正弦定理得(α-=(c+b/c-b),

整理得储+〃-¢2=处，②

2

由余弦定理的推论可得所以巫.

cosC=T+"-0=1,SinC=

2ah44

把①代入②整理得a2+b2+-=4，

2

又6+从≥2",当且仅当。=匕时等号成立，所以4≥2M+丝=竺，故得αb≤g.

225

-1I-r^i8

f≡c√∙5-√15

H|以BC=Ia"sinC≤]Xgχ-j-=-^一•

SΔA

即AA3C面积的最大值是巫.故答案为巫.

55

题型二：三角形面积的取值范围问题

【例1】若在ABC中，C=30°√∕+⅛=l,则相C面积S的取值范围是.

【答案】[oɪ

【分析】根据己知条件，结合基本不等式以及三角形面积公式，即可求得结果.

【详解】根据题意可得M≤[(4+6)2=1,当且仅当α=6=1时取得最大值：

442

,

i⅛S=-sinC×ab<-×-=—f又S〉0,故S∈(θ,J.

24416I16」

【例2】在锐角SABC中，角A,B,。所对的边分别为α,b,c,且满足2AcosC=24-c.若

ΛBC的外接圆的面积为容，则三角形面积的取值范围是.

【答案】I限4√J

【分析】由正弦定理和二角恒等变换将题干中等式化简求得角B,再根据ABC的外接圆的

面积求得其宜径，代入三角形面积公式中，化为三角函数求其值域即可.

【详解】⅛2bcosC=2a-c

.*.2sinBcosC=2sinA-sinC

得2sinβcosC=2sin(β+C)-sinC

2sinBcosC=2sinBcosC+2cosBsinC-sinC,

所以2cos3sinC=sinC,

因为Ce(0,9所以SinC>0,所以CoSB=g,

而Be(O,所以8=5.

又由/BC的外接圆的面积为W,所以外接圆直径2R=^,

3√3

所以SW=gαcs呜=#修卜inAsinC=WCOS(2AT)+?,

因为ABC为锐角三角形，所以AeQ，3

,ABC的面积取值范围为(空,46.

【例3】设锐角/1BC的内角A,8,C的对边分别为a,h,c,己知√3sinB+cosB=2,c=2币,

则ABC面积的取值范围为.

【答案】罟，6后

【分析】由有sinB+cos8=2利用三角函数恒等变换公式结合已知条件可求得5=。，然后

画出图形，由于aABC为锐角三角形，从而可C在线段GG上，且不包含C∣,C2,进而可

求出4?C面积的取值范围

【详解】由题，氐inB+cosB=2即2sin,+曰=2,Sin(B+7)=1,

因为锐角JlBC,故B+J=J,B=；.

623

故由3=。，c=2√3,画图，如图所示，AQlBC9C2AlBA.

因为锐角「A3C,故C在线段GG上，且不包含C∣,C2,

o

又BCl=BAcos60°=AC1=BA∙sin60=3,AG=AB∙tan60°=9，

故SVAg<SVABC<SVABC2,即~BC1∙AC1<SVABC<A3∙AC2,

故~γ-<SAABC<66,

【例4】在AABC中,角A,B,C所对的边分别为。，b,C,已知sin?8-siι√C=sinAsinC.

(1)证明：B=2C;

⑵若A是钝角，α=2,求ΛBC面积的取值范围.

【答案】⑴证明见解析

【分析】(1)利用正弦定理将角化边，再由余弦定理得到CoSB=W上，再由正弦定理将边化

角，再由两角和的正弦公式计算可得；

(2)依题意求出C的取值范围，再由正弦定理得到b=3空，由面积公式及同角三角函

sin3C

s=____-____

数的基本关系得到"/一3.「，再根据函数的性质计算可得.

---------tanC

tanC

【详解】(I)解：Hsin2B-sin2C=sinAsinC,由正弦定理得"一μ二"，

,I,ncι~+c~~b~cι-c

由CoSB=--------------=-------,

2ac2c

W2sinCCOSB=SinA-SinC.

所以2sinC∙cosB=sin(B+C)-sinC,

.∙.sinC=sinBcosC-CosBsinC=Sin(B-C),

.∙.C=B-C⅛JcC=∕r-(β-C)(舍去)，

.β=2C.

Oy

TTTT

(2)解：由条件得0<B=2C<]解得o<c<立,

6

A=π-3C>-

2

ab

B=2C,a=2,

sinAsinB

2sinB_2sin2C_2sin2C

sinAsin(^^-3C)sin3C

.,.ABC的面积SSinC

2

=2C-s-in-2-C-∙s-in-C-

sin3C

sin2C∙sinC

2-----------------------------------

sin2CcosC÷cos2CsinC

4

2tan2C∙tanC_4tanC=----------------

tan2C+tanC3-tan2C--------tanC

tanC

0<C<J,.∙.0<tanC<—

63

3(

又因为函数y=2-x在0,上单调递减，所以熹TanC＞毕,

x3」

1ΛΛΛ4√3

所以n3g「<百,所以°<3下,

---------tanC--------tanC

IanCtanC

.∙.0＜S＜亭，则AABC面积的取值范围为0,

【例5】已知锐角三角形ABC中，角A、8、。所对的边分别为〃、力、c,,向量C=(2sinA,-gɔ，

”=(6,α),且机_L〃.

(1)求角B的大小；

⑵若c=3,求ABC面积的取值范围.

【答案】(Dy

【分析】(1)由已知可得出λi∙"=2bsinA-J5a=0,利用正弦定理化简可得出SinB的值,

结合角B为锐角可得角B的值；

(2)利用正弦定理结合两角和的正弦公式可得出α=3+空.一!一,求出角C的取值范围，

22tanC

可求得。的取值范围，再利用三角形的面积公式可求得A6C面积的取值范围.

【详解】(1)解：由已知可得而•方=2bsinA-JJ4=0,由正弦定理可得2sinAsinB-J^SinA=O，

A、8均为锐角，贝IJSinA>0,故sin8=史，因此，B=5.

23

(2)解：由(1)可知，B=J,故A+C=M，又因为二=三，

33smAsinC

C.A3sin∣π---CI3sin∣^+C|—sinC÷^^-cosCCɔ/7

所以二3sin4二13(3J=22CObL=3,

sinCsinCsinCsinC22tanC

又因为0<C<[,O<π-^-C<∙^,所以g<C<g故tanC>且，

232623

即有θv-ɪ-<6，则3<。<6,

tanC2

又由S…*in*.3“寻斗日竽,然)

所以，ABC面积的取值范围是ʃ,ɪl

【题型专练】

1.在.AfiC中，角A、B、C的对边分别是。、b、c,且满足(24-c)B4∙8C=cCB∙C4.

(1)求角8的大小；

(2)若b=√L求ABC的面积S的取值范围.

【答案】(I)B=T

【分析】(1)利用平面向量数量积的定义以及正弦定理化简得HICoSB的值，结合角B的取值

范围可求得角8的值；

(2)利用正弦定理结合三角恒等变换化简可得出S=旦in(2A-*+更，求出角A的取值

216；4

范围，结合正弦型函数的基本性质可求得S的取值范围.

(1)

解：由(2α-c)BA∙BC=cCB∙C4可得(2々-C)CaCOSB=c∙abcosC,

所以，(2a-C)cosβ=bcosC,

由正弦定理得(2SinA-SinC)COS3=sin8cosC,

.∙.2sinAcosB=sinCcosB÷cosCsinB=sin(β÷C)=sinA,

A、B∈(0,π),则sinA>O,所以，cosB=-,故8=g.

23

(2)

解：由正弦定理可得，一=—J=—也=2,则α=2sinA,c=2sinC,

sinAsinCsinB

:.S=gαcsinB=^-ac=∖[3sinAsinC=V3sinASin(A+g)

=6SinALinA+cosA=—sinAcosA+sin2A=—sin2A-cos2A÷-

∖22722444

0<A<-,p∣∣J--<2A--<-,所以，sinf2A-jl∈f-i11,

3666k6√‹2_

故S=亭sin[2Aq)+?e、0,乎.

2.在,A8C中，a,b,C分别为内角A,B,C的对边，2sinfβ+^=^.

V6Ja

(1)求角A的大小；

(2)若.ABC是锐角三角形，c=4,求:ΛBC面积的取值范围.

【答案】(1)?(2)(2√3,8√3)

【分析】(1)利用正弦定理结合两角和差化积公式转化条件得有SinA=I+cosA,进而求得

解；

(2)由题意SABC=回，由正弦定理结合A+C==得6=2更+2,根据二ΛSC为锐角三

3tanC

TTTT

角形求得B<C<g,即可求得2<b<8,即可得解.

62

(1)

*j—.(n兀、SinB+sin。

由1正弦定理得2sιnβ+-二———

I6JsinA

即sinA(Λ∕3sinB+cosB)=sinB+sinC

又SinC=Sin(A+B)=sinAcosB+cosΛsinB

所以sinA(>∣3sinB+cosB)=SinB+sinAcosB+cosAsinB

即Λ∕3sinAsinB=sinB+cosAsinB

又OVBVτr,.,.sinB>0,.∙.>∕3sinA=1+cosA

即GSinA-CoSA=2sin(A-看1=1,即Sin(A-7)=ɪ

又OVAV乃，A--=-f即A=匹

663

(2)

由题意得：SabcCSinA=J%,

4sinf—~c\-_

由正弦定理得：fcsinBsɪnl-y-cI2√3cosC+2sinC2√3

b=---------=-----------------=-=--------F2

sinCsinCsinCtanC

又一ABC为锐角三角形，∙∙.0<3L-C<],0<C<y

故J<C<f,.∙.tanC>且，Λ2<⅛<8,;.2道<血<8.

623

从而2y∕3<SΔABC<85/3.

所以ABC面积的取值范围是(2",86)

Δ,JC

3.A4BC的内角A,B,C的对边分别为α,b,c,已知αsin----Γ---=⅛sinA.

2

(1)求8；

(2)若ΔABC为锐角三角形，且c=I,求AABC面积的取值范围.

【答案】⑴B="Q)吟,与.

【分析】(1)根据题意QSin-------=hsinA,由正弦定理得SinASin---------=sinBsinA,因

22

A+C

为0<Av4,故SinA>0,消去SinA得Sin-------=sinB.

2

∖Λ-C4+CA

0<B<π,0<-J------<乃因为故------=3或者------+B=τr,而根据题意

222

∆-ι-CA+C

A+B+C=π,故一上+B="不成立，所以--=B,又因为A+3+C=乃，代入

22

71

得38=»,所以3=—.

3

Ji2

(2)解法-：因为,一A5C是锐角三角形，由(I)知8=7,A+3+C="得到A+C=］万,

Q<C<-

2

故＜,解吃

C2乃CjTγ∙

0<------C<—

32

又应用正弦定理一乙='一，C=I,

sinAsinC

由三角形面积公式有:

超sin(")

2a.n12SinA

S=-ac-sinB^--∙sιnB=-c-----SinB=-------------------

ABλCbc222sinC4sinC

.2万2π.

√3smτcosC-cosτsιnC62兀I2巴31√3.

------------------------------------=-----(sin-------------cos——)=---------+——

4sinC43tanC38tanC8

,IÆCπC6,,石31&上

又因11一<C<一,tanC>—,⅛—<---------+—<—，

62388tanC82

吟<SABC<与

故S.c的取值范围是

解法二：若ΔABC为锐角三角形，且C

由余弦定理可得，=X/2+1—2α∙l∙cos彳=Ja2-〃+1,

由三角形A4C为锐角三角形，可得/+/一。+1>1且1+cJ一〃+1>/,且ι+q2>々2一。+1,

解得1<“<2,

2

可得ΔABC面积S=I<a∙sin—=—a∈

234

4.已知锐角ΛBC的内角4,B,C的对边分别为α,b,c,以a,b,C为边长的三个正方形

的面积依次为S,S2,S3,且S∣+S2-S3=".

(1)求C；

(2)若c=G，求$.c的取值范围.

【答案】(呜

【分析】(I)根据题干条件得至UE+Sz-$3=/+/-C?="6,利用余弦定理求解C=]；

藐C=日sin(2Aq卜日,结合锐

(2)利用正弦定理将边转化为角的正弦，进而计算出S,

4

角三角形得到J<A<J,从而求出三角函数的值域，求出面积的取值范围.

O2

【详解】(I)由题意得，+$2-邑=/+/-。2=血

则…伫穿汩

因为o<c<],所以c=]∙

πa_b_c_√3_2

(2)因为C=6，C=目SinAsinBsinCSin工,

.3^

所以α=2sinA,b=2sinB,

所以SziA8c=gαθsi吟=亭"=6sinAsinB=BsinAsin(g-亭Sin(24一聿)+手.

0<A<工

因为ABC是锐角三角形，所以Iɔ2，解得：

八2π,兀62

0<------A<—

32

所以;<sin(2A-?)≤l,所以［<多皿(24一酢等.

故SABC的取值范围是(日,乎.

5.已知ABC的内角A,B,C的对边分别是α,b,c,ABC的面积为S,且满足

(20-C)CoSA=αcosC,⅛cosC+ccosB=l.

⑴求A和。的大小；

(2)若ABC为锐角三角形，求.ABC的面积S的取值范围.

【答案】(I)A=a=l；(2)(4,9.

3164」

【分析】(1)由已知条件，应用正余弦定理的边角关系及三角形内角性质，即可求A和〃的

大小；

(2)由锐角三角形得研苦)，根据正弦定理有b=1sin8,CwSin(I7)，最后利

用三角形面积公式、三角恒等变换化简，并由正弦型函数性质求范围.

(1)

因为(2b-c)cosA=αcosC,

由正弦定理得：(2sinB-sinC)CoSA=SinAcosC

所以2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC,

所以2sinBcosA=sin(C+A)=sinB,

因为ABC中SinBW0,所以CoSA=；,

因为A∈(0,π),所以A=1,

因为bcosC+CCoSB=1,由余弦定理得：ba'+C+c-a^+c-=