新教材人教A版高中数学必修第二册平面向量的数量积及其应用 同步讲义

2、平面向量的数量积及其应用4种题型

【考点分析】

考点一：平面向量的数量积

①平面向量数量积的定义：

已知两个非零向量。与b,我们把数量IQIl“CoSe叫做。与b的数量积也叫内积.

记作α∙6,即α∙Z>=∣α∣出ICOs。.

规定：零向量与任一向量的数量积为0∙

②平面向量数量积的几何意义：

1.向量的投影数量：向量α在方方向上的投影数量为IaICoS6,当。为锐角时，它是正数；当6

为钝角时，它是负数；当。为直角时，它是0.

b

2.向量的投影向量：向量。在b方向上的投影向量为IalCoSe育

H

3”/的几何意义：数量积α力等于α的长度Ial与入在α方向上射影SlCOSe的乘积.

考点二：平面向量数量积的运算律

已知向量“、b、C和实数/1,则：

①Crb=b∙a；

②(Λa)■b=λ{ab)=a∙(λb)；

®(a+b)c=ac+bc.

考点三：平面向量数量积的性质

设。、力都是非零向量，则

①a_L5Oa∙Z>=0

②当“与Z>同向时，ab^a∖∖b∖t当”与6反向时，α-⅛=-∣α∣∣⅛∣.

③“∙α=IαF或Ial=-Jaa.

(4)cos6>=ab(IalsIXO).

Iallbl

⑤Iabl≤∣α∣∣A∣.

【题型目录】

题型一：平面向量的数量积运算

题型二：平面向量的模运算

题型三：平面向量的夹角运算

题型四：平面向量的投影

【典型例题】

题型一：平面向量的数量积运算

【例1】如果6是两个共线的单位向量，则()

2

A.a=hB.ab=OC.ah=]D.a=⅛^

【答案】D

【分析】根据向量相等的定义判断A,根据数量积的定义和性质判断B,C,D.

【详解】因为是单位向量，所以W=I,W=I,所以J=],片=[,所以J=RD正确；

由已知α,6共线，所以α,b的方向相同或相反；当α,〃的方向相反时，a≠b^A错误；当“涉的

方向相反时，β∙⅛=p∣∙∣⅛∣cosl80=-1,B错误，C错误；

【例2】已知单位向量4,6的夹角为45。，版七与“垂直，则七.

【答案】立

2

【解析】由题意可得：:工=IXlXCOS45=—，由向量垂直的充分必要条件可得:

2

（攵α-b）α=0,

即：k×a-a-b=k=0`解得：k--

22

【例3】已知向量α,b满足Ial=1,a.b=-\,则“∙(2α-b)=()

A.4B.3C.2D.0

【答案】B

【解析】向量b满足IaI=1，a,h=-l>则心(2α-Z>)=2∕2—/=2+1=3，故选B•

【例4】已知边长为1的等边AABC,BD=2DC.则A8∙AO()

215

A.-B.3C.—D.6

32

【答案】A

【分析】根据向量运算求得正确答案.

【详解】ABAD=AB(AB+BD)=AB^AB+⅞C^

=AB-AB+∣(AC-A8)=4B∙(gAB+*c)

122122

=-AB+-AB-AC=-×l÷-×l×l×cos60o=-.

33333

A

【例5】在一ABC中，∣A8+ACHA8-AC∣,A8=1,AC=2,则BC∙CA为().

A.4B.3C.-4D.5

【答案】C

【分析】对|阳+/卜|旗-而I两边平方整理得AB∙A(j=O,得ABLA。，则

BC∙C4=(AG-AB)(AC)即可计算

【详解】在ABC中，∣A8+ACHAB-AC∣,

222'2~

：.AB^+2AB-AC+AC=AB^-2AB-AC+AC>■-AB-AC=O,:.AB±AC，

乂AB=1,AC=2,.∙.BCCA=(AC-AB)(-AC)=ABAC-AC=-AC?=-4.

【例6】在,ABC中，AC=3,BC=4,CA∙C8=8,则AB边上中线CD的长为.

【答案】浮

2

【分析】作出图象，由图可知CO=g(CA+C8),再由平面向量的数量积的运算性质求解即可

【详解】因为CO=g(C4+CB),

所以时=*筋-2

CO2=*A++2CA∙CB+CB

国)[X(9+16+16)=?

+2CACB+

所以「£)『=?,

所以∣8∣=呼,

【例7】在ABC中，48=3,AC=5,点N满足BN=2NC,点。为ABC的外心，则AMAo

的值为.

【答案】?59

O

12

【分析】将AN用向量AB和AC表示出来,再代入AN∙A0得，AN-AO=-Aβ-AO+-AC-AO,

求出A8∙AO,AC∙AO代入即可得出答案.

（详解】分别取ABAC的中点E,F,连接OE,OF,

因为。为，ABC的外心，

.∙.OE1AB,OFLAC,

.∙.ABOE=0,ACOF=0,

BN=2NC，

.-.BN=-BC,

3

2..2I2

.∖AN=AB+BN=AB+-BC=AB+-(AC-AB)=-AB+-AC,

.∙.AO-AB=^AB+EO^-AB=^AB^=^,

AO.AC=(；AC+FO>AC=；IAq2=B,

(12、121922559

.∙.AN-AO=∖-AB+-AC∖-AO=-AB-AO+-AC-AO=-×-+-×-=—

(33J3332326

【例8】在.ABC中，G为重心，AC=2币,BG=2,则8A∙8C=.

【答案】6

【分析】设AC中点为。，根据向量线性表示可得BA=8E>+D4,BC=BD-DA-然后根据

向量数量积的运算律结合条件即得.

【详解】设AC中点为。，

B

G为ABC的重心且BG=2,

.∖BD=3,DA=>∕3,

因为BA=8f>+Zλ4，BC=BD+DC=BD-DA

所以8A∙BC=(8O+D4)∙(8D-D4)=BO2-D42=9-3=6.

【例9】在AABC中，NA=60°,AB=3,AC=2.若BD=2DC,AE=AAC-AS

(2∈R),且A。∙AE=T,则；I的值为.

3

【答案】ɪ

11

,12

【解析】AB∙AC=3×2×cos60°=3,AD=-AB+-AC,则AD∙AE

33

1222；193

=(-AB+-AC)(ΛAC-AB)=-×3+—×4一一×9——×3=-4,解得；1=3.

33333311

【例10](2021新高考2卷)已知向量。+b+c=0,1«I=1,1∕?∣=∣cI=2√z∙∕?+∕?∙c+c-6/=

9

【答案】一—

2

【解析】方法一：因为〃+"+C=O,所以Q+9+c)=0»即

—2→2→2-→→-→→→→

a+b+c÷2ab+2ac÷2bc=0

所以1+4+4+2%+2%∙+2瓦=0,所以2茄+2%∙+2互=—9,所以d+αc+左=U

方法二：因为α+B+C=6,所以4+3=—C，所以(〃+引=O,即J+∕~+2d=c~

一一ɪ

所以1+4+2ab=4,所以ab=，

同理α+c=-分,所以(α+C)=(-订,s"∣jci+c-h2ac=b,所以l+4+24c=4，所以

一1

ac=——,

2

同理B+C=-Q,所以,+即$+I?+2^c=α~,所以4+4+2Ie=1，所以

7

2

【题型专练】

L设向量”与〃夹角的余弦值为g，且14=4,W=1,则(20-36)力=()

A.-B.—C.3D.-3

33

【答案】B

【分析】根据数量积的运算律，结合数列的定义式，可得答案.

【详解］(2。-3/?)心=2tz∙fe-3∣∕?!=2∣6f∣∙∣⅛∣∙cos(a,b^-3∣ft∣=2×4×l×^-3×l2=-ɪ.

2.已知在二ABC中，A8=2√1C=1Q为BC的中点，则AmC=()

3

A.—1B.—C.-2D.—3

2

【答案】B

【分析】将AnBC转化为A8,AC的线性运算，再由数量积的运算律求解

【详解】由题意得4O=g(A8+4C),BC=-AB+AC

1，2C3

则ADBC=-{AC-AB')=--,

3.如果α,b都是非零向量，则下列判断正确的是()

A.若∕=Z>2,则α=5或α=-b

B.若IabI=IdH5|，则d〃6

C.^∖a+b∖=∖a-b∖,则〃1

D.若“力同向，则|斗&=同包

【答案】BCD

【分析】根据向量的相关概念，结合数量积、模长的运算逐个分析判断.

【详解】若则同=打，但方向无法确定，A错误；

V∖a∙b∖=∖a∖∖b∖cosθ=∖a∖∙∖b∖1则cosθ-∖

.二。力的夹角。=0,即〃力同向，则a〃b，B正确；

22

^∖a+b∖=∖d-b∖f∣S∣J∣d+⅛∣=∣d-⅛∣

BPa2+2d∙fe+Z?2=d2-2d∙⅛÷Z?2»则α石=0,即a_LZ?，C正确;

v∣∣5∣∙a∣=∣5∣∙∣a∣,∣∣a∣∙h∣=∣3∣∙∣^l则MT=M.小

XV∣Λ∣>0,∣⅛∣>0,且α力同向，则瓦。,同为同向

Λ∣⅛∣∙α=∣Λ∣∙⅛,D正确;

IuiBlIUUB1,UlBUUO.∣Ul»IUUnulllluum

4.在平行四边形ABCD中,∣ΛB∣=∣ΛD∣=3,cos(^AB,AD∣=-,AE=-AB,则AO.DE=

【答案】-8

【分析】易得说=加+后，则AD∙DE=AD∙(OA+AE),后利用向量数量积知识解决问题.

【详解】因Z)E=ZM+AE，贝IJAQZ?E=AZ)(ZM+AE)

Illin1UUn

乂注意到D4=—AO,AE=-AB.

贝∣JAZ>Z)E=Az).(£)A+AE)=皿AB-回=；AB∙AO-A6

=∣∣ΛB∣∙∣AD∣∙cos^AB,Aθ)-∣AD∣2==∣×3×3×∣-32=-8.

5.边长为2的正方形ABCZ),E为C。的中点，则Ae∙3E的值为.

【答案】2

【分析】以A8,A。为基底，分别表示AC,BE,再利用向量的数量积的运算律求解即可.

［详解］AC=AB+AD^BE=BC+CE=AD+^-CD=AD-^-AB

22

:.AC-BE=+ADy^AD-^AB^=^AB-AD+AD2-^AB2=22-→22=2

6.在一ABC中，。是BC边上的中点，且AE=^AO,AF=2AE^ABAC=6>FBFC=-2,

贝IJEB-EC=.

【答案】1

【分析】利用转化法得到A8∙AC=kθj-pq'Ffi-FC≈IFD∣2-1DB∣2,再根据AE=^AO,

AF=2AE得到,。『=9回『，联立得到回『=1,阿『=3,然后求EB∙EC即可.

【详解】ABAC=(AD+DB)(AD-DB)=∖AD^-∖DB^=6,同理可得

FB∙FC=∣FD∣2-∣DB∣2=-2,又AE=；AD,AF=2AE所以卜。(=9,。『，所以卜£)『=1,

∣OB∣2=3,EB-EC=∖EE^-∖D^=4∣FD∣2-∣DB∣2=4×1-3=1.

7.已知两个单位向量α,b的夹角为60。，c=ta+(l-t)b,若b∙c=O,则/=.

【答案】2

【解析】b∙c=⅛∙[zα+(1—∕)Z>]-ta∙b+(∖-t)b2ɪɪ^l-r=l-ɪr=θ.解得f=2.

22

2,

8.己知e∣,e2是夹角为一万的两个单位向量，a-ei-2e2,b=kel+e2,若“∙b=0,则%

的值为.

【答案】3

4

【解析】由题意知α∙A=(e∣-202)(髭]+02)=。，即履；+e∣e2-2版色一2《=O,即

24245

Zr+cos--2⅛cos--2=0,化筒可求得％=士.

334

9.已知菱形ABCD的边长为2,ZBAD=120°,点E,F分别在边BC.DC±.,BC=3BE,

DC=ADF.若AE∙A∕=I,则；I的值为.

【答案】2

【解析】因为NB40=120。，菱形的边长为2,所以ABAD=-2.因为

，・*■，-一•I••，・一一■".、―I，”•，，•I・，

AE^AB+BE^AB+-BC,AF^AD+DF=AD——DC=BC+-AB,由

3λλ

441

AE-AF=I,所以一+-—2(1+一)=1,解得4=2.

2332

10.已知单位向量α,b的夹角为60。，则在下列向量中，与8垂直的是()

A.a+2bB.2a+bC.a-2bD.2a-b

【答案】D

【思路导引】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性

质逐一判断即可.

【解析】由已知可得：a∙b=∖a∖∖b∖cos60°=1×1×ɪ=ɪ.

、15

A：∙.*(Λ+2⅛)`b—a`b-∖-2b~=—l-2×1=—≠0,；・本选项不符合题意；

22

,,1

B：V(2α÷⅛)∙⅛=2a∙b-^b~=2×—F1=2≠0,/.本选项不符合题意；

2

ɔ13

C：V(a—2⅛)∙b=a∙b-2b2=—2×1=—≠0,，本选项不符合题意;

22

D：•.•(2)—万)1=2。1一/=2*1-1=0,；.本选项符合题意.故选D.

2

IL已知非零向量zn,“满足41∣=31"I,cos<∕n,n>=ɪ.若"_!_(//«+〃)，则实数1的值

为()

99

A.4B.-4C.1.D.——

44

【答案】B

【解析】由"_L("〃+〃)可得n∙(∕m+n)=0,即tm-n+n2=0,所以

it2n^In∣2∣n∣4

t=--------=------------------------------=--------———-=-3-L-L=-3×-=-4.故选B.

mnm-ncos<m,n>λm

∖∖∖∖∣zn∣×∣rt∣×lIIɜ

3

12.A46C是边长为2的等边三角形，己知向量α,b满足4B=2a,AC=2a+b,则下列

结论正确的是()

A.例=1B.aLbC.ab-∖D.(4α-ft)±BC

【答案】D

【解析】如图由题意，BC=AC-AB=(2a+b)-2a=b,故|。|=2,故A错误；

I2«I=21«I=2,所以Ial=1,又AB∙AC=2α∙(2α+Z?)=4∣α『+2。匕=2x2cos60=2,

所以£石=-1,故B,C错误；设比C中点为£>,则M+AC=2屈，且而_L配，所以

(4∏+⅛)±BC.故选D.

13.已知e∣,c2是互相垂直的单位向量，若&「出与弓+成2的夹角为60,则实数/1的值

是.

【答案】竺

3

【解析】解法一：Me1,02是互相垂直的单位向量，所以同=LEl=1，NW=O

所以一

(V^el-e,),(e∣+=；÷∖[2>λci∙c~,—e∣∙e,λjβ-^=y/3—4,

Iʌ/ɜeɪ—e2I=_e,)~—ʤej-2^∖[^e、∙e`+g2=2»

Iq+λ621=J(e∣+Xe2)2—Je1+22e∣.e[+力”2”=JI+4~>

∙∙y∕3-λ-2×^Jl+λ2×cos60=JI+/V，解得：λ=―--

解法二：建立坐标系，设G=(1,0),C2=(0,1)，所以J^e]—C2=+九02=(1，X)，所

以

-

lʌ/ɜ¢iV(vɜj^+(-1)-=2,e∣+XQ2~Jl+{

(扃-赤+4eJ=V§-X

所以由数量积的定义得6-4=2XJI涯XCOS60。，解得：2=g.

14.在△ABC中，AB=6,。为△ABC的外心，则AO∙AB等于

A.√6B.6C.12D.18

【答案】D

【解析】试题分析：如图，过点。作Oe)_LA8于。，则

AOAB=(AD+DO)AB=ADAB+DOAB=3×6+Q=18，应选D.

题型二：平面向量的模运算

【例1】设。力为单位向量，且∣α+M=l,则∣α-A∣=.

【答案】√3

【解析】因为“力为单位向量，所以口=M=I

所以卜+H=J(α+>)=JW+2]∙∕?+M=∖∣2+2a∙b=1>解得：2a∙b=-l

所以,一4=yl^a-b^=JN-2α∙Z?+W=石

【例2】已知向量4,b的夹角为60。，∣αI=2,传|=1,则∣α+2R=

【答案】26

【解析】

F-→v曰--*^2一24+4×2×l×^+4

a+2⅛∖∖a+2bj=∖a+4α”+4。=M+4tzbcos600+4b

=y∕l2=2-∖∕3

【例3】已知。与力均为单位向量，其中夹角为氏有下列四个命题

_ɔ^z*_2〃"

Pi：∣α+⅛∣>l<=>^∈[0,—)P2：∣α+6∣>l<⅛6>∈(-,π↑

rrrr

Py∖a-b∖>∖<=>^∈[0,—)〃4：∖a-b∖>∖<⅛6>∈(-,π}

其中真命题是

(A)Pi,PA(B)PI，P3(C)P2,Pi(D)P3,P4

【答案】A

【解析】由∣a+b∣>l得，a2+2a∙b+b2>∖,即“・〃>—4，即CoSe=丝，

2回向2

__2兀

V6>∈[0,π∖,.∙.6>∈[0,—),

由|a—b∣>l得，a1-2a∙b+b2>∖,即α∙b<',即CoSe=V6>∈∣O,π∖,

2∖a∖∖b∖2

冗

Λ6>∈(-,π∖,故选A.

3

【例4】设α,办是两个非零向量

A.若|a+Z»Hal-IZ»1，则αJ.6

B.若a_L"K∣J∣α+⅛Hα∣-∣⅛∣

C.若∣4+）Hal-g则存在实数X,使得6

D.若存在实数/1,使得〃="，则∣α+b∣=∣ɑ∣-∣b∣

【答案】C

【解析】对于A,

-2一--2—♦2I•→Il_*I∣∙*2—♦-*-→-»

=a+2a∙b+b=ci-2⅛+/?=2abcGSe=—2ab,所以

cos。=—1，所以8=180。，所以A错，B错；C对，D有可能为0。

【例5】设向量之④满足∣a+B∣=√I6,∣3-⅛b√6,则无5=（）

A.1B.2C.3D.5

【答案】A

【解析】∙∙∙∣"+4=>Aδ,,一身="，.∙.(α+b)2=10……①，(a—Z√=6……②.

由①一②得：ab=∖

【例6】设a,b均为单位向量，则“卜―34=饱+a”是“a_LZ>”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】V∣a-3⅛∣=∣3a+⅛∣,Λ(a-3∕>)2=(3a+h)2,：.a2-6ab+9b2=

9a2+6ab+b2,又Ial=Ibl=I,二a∙力=0，二。，〃；反之也成立，故选C.

【例7】已知向量a,b夹角为45°,且Ial=1,∣2β-Λ∣=√Iθ,则Ibl=.

【答案]3√2

【解析】；|加一W=Ji6,平方得4/—4a山+/=10,βp∣6∣2-2√2∣⅛∣-6=0,解得|加=

3√Σ或-√Σ(舍)

【例8】若平面向量a,b满足：∣2a-b∣W3;则a∙b的最小值是.

【答案】一9

8

【解析】∣2a-Z>∣≤3<≠>4a+b≤9+4a∙b,

4tz+b≥4∣<Z∣∣ZJ∣>-4a∙b=>9+4a∙b≥-Aa∙boa∙b>一看

【题型专练】

1.已知向量W=3，W=2,a与6的夹角为?，则∣2"36∣=()

A.6B.3√6C.3D.3√2

【答案】A

【分析】由数量积公式结合∣2a-3M=J(2a-3方)2得出答案.

【详解】解：因为向量W=3，W=2M与6的夹角为?，

Jl

所以a∙∕?=3×2×cos-=3

3

222

所以W—3N=y](2a-3b)=√46∕-126Z∙⅛+9⅛=√4×9-12×3+9×4=6

2.已知向量a=(l,0),W=G,且aJ_(a+b),则卜+2H=()

A.2B.y∣2C.亭D.3

【答案】D

【分析】依题意可得“∙(α+6)=0,根据数量积的运算律求出α/,再根据∣α+20=J(a+26『

计算可得.

【详解】解：因为α,(α+6),所以α∙(α+匕)=0,即/+〃力=。，即卜『+〃.z,=0,

因为α=(l,0),所以忖=1,所以α/=_],

所以卜+24=Q(a+2b)=yja+4a∙t>+4t>=3：

3.已知向量。力不共线，贝怦+司=W''是"。力的夹角为钝角”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条

件

【答案】A

【分析】分别对命题的充分性和必要性进行判断即可得到答案.

【详解】充分性：因为W+可=忖=>(。+8)=a'=>a+b^+2a∙b=a^,向量α力不共线，

所以2ɑ∙b=-∕Z<0，即。力的夹角为钝角，满足充分性.

必要性：若”力的夹角为120,H=l,W=2,

则(。+匕)=l+4+2χlχ2x(-g)=3*α-,所以不满足卜+可=卜|,不满足充分性.

所以Ia+H=W'，是的夹角为钝角”的充分不必要条件.

4.己知平面向量α与人的夹角为与，若W=3,∣α+4=JB,则W=()

A.2B.3C.2√3D.4

【答案】D

【分析】由卜+4=JB两边平方化简可求得答案

【详解】由卜+囚=如平方可得,『+忖2+2〃/=13,

因为W=3,平面向量0与b的夹角为,，

2

所以卜1+W+2∣α∣-WCOSy=卜1+9-3∣α∣=13B∣J∣6Z∣-3∣α∣-4=0,

解得忖=4或忖=T(舍去),

5.已知”，5为单位向量.若Kq=Ia+组,则k-3*（）

A.2B.√WC.4D.√5

【答案】C

【分析】根据数量积的计算以及模长公式即可求解COSO=T,由模长公式可求解.

【详解】记a，B的夹角为。，

由W=IaI=I以及卜川=卜+2@得ICOSel=卜+20,即COS2e=5+4cos6>,所以CoSe=-1,或

COSe=5（舍去），

所以,一3目=10-6cos^=16,所以,一3^=4.

6.已知白,为单位向量.若卜向二,+。|,则cos<2α,3Z?>=（）

A.1—y/3B.1—yj2,C.~∙1D.∙χ∕3—1

【答案】A

【分析】利用向量的数量积的运算以及夹角公式即可求解.

【详解】设〃，〃的夹角为巴

因为“，b为单位向量,且卜川二,+可，

所以卜小WCoSq二卜

即COS2^=6Z2+⅛2+2∣6Z∣∣⅛∣COS0,

整理得COS26-2COS8-2=0,

解得CoSe=I-G或1+6（舍），

2a3b6同网COs，

因为cos<2a,3⅛>=-~H_r=——L∣—=i-y∕3.

国网6∖a∖∖b∖

7.设平面向量0,人均为单位向量，贝Ha-2W=W+∕*^""j.b'郛J（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】将卜-2可=|2"+可两边平方，化简后即可得”口，由此即可选出答案.

【详解】因为卜一2司=|2α+可O∣α∣2-4α∙⅛+4∣⅛∣^=4Iaf+4a∙⅛+∣⅛∣^

Oab=O0a-Lb

所以“卜-24=∣2α+可”是“a_Lb”的充分必要条件,

8.（多选题）如果。力都是非零向量，则下列判断正确的是（）

A.若a?=b?，贝∣Jq=b或α=-b

B.若|〃力1=1。∣∙∣hI,则Q〃b

C.若I∣=∣∙-Z?I,则。_1人

D.若4力同向，则pψa=同为

【答案】BCD

【分析】根据向量的相关概念，结合数量积、模长的运算逐个分析判断.

【详解】若/=62,则同=M，但方向无法确定，A错误；

V∖a-b∖=∖a∖∖b∖cosθ=∖a∖∙∖b∖,则CoS6=1

，〃力的夹角6=0,即〃,力同向，则4〃。，B正确；

若∣α+5∖=∖a-bI,则∣α+l∖2=∖a-b|2

即O?+2〃=〃2一2〃/+〃，则〃力=0,即〃J_〃，C正确；

；||斗。|=|斗同,|回回=14忖,则IWMT同力I；

又∙.∙同>0,忖>0,且a力同向，则M∙α,∣“∣力同向

Λ∣fo∣-α=∣a∣-⅛,D正确；

9.(多选题)已知α与8均为单位向量，其夹角为，，则()

A.0≤∣α+⅛∣≤2B.-1≤Λ⅛≤1

C.∣α+H>lo'e(θ,第D.¢∈(∣,π)≠>|«-⅛∣>1

【答案】ABD

【分析】根据向量数量积公式得到G6=COS0,由COS0e[-1,1]得到“∙be[-l,l],B正确；

计算,+.=2+2CoS同0.4],得到0这卜+目这2,A正确；

根据向量数量积运算法则得到k+可>1O卜+if>1=cos0>-l.结合。e[0，句.从而得到

9中,第，C错误；

利用数量积得至弧d=2-2cos8,根据同")，求出cosθ+K),进而得至弧心(1,4),

计算出∣α-b∣e(l,2),判断出D选项.

i

【详解】∣ɑ+Z?|=a+2a∙b+b=2+2a∙bf其中.∙0=∙^cos夕=CoS夕，

因为8$。«-1,1],所以"∙b∈[T,l],B正确；

且k+0=2+2COSe∈[0,4],所以OWa+Zτ∣W2,A正确；

卜+g>1。卜+4>102+2α∙b>1o|«|-|z?|cos^>-i<≠>cos^>-∙^,

因为同0,π],所以6w[θ,第，故C错误：

∣fz-∕2∣=I+1-2p/|-|z?|cos^=2-2cos^,

当9e(∙∣,π),eosðe(-l,ɪj,所以Ia-甲=2-2COSee(1,4),

故*q∈(l,2),

所以Oe与兀卜Ia-U>1,D正确.

10.若向量，，了满足：|力=2,日+后=3'∖a-b∖^3'贝IJlZI=----------

【答案】√5

【分析】结合已知条件，对|二+加=3,日-4=3两式分别平方并求出|：『+|加2，进而求出∣1∣∙

【详解】因为小=3，加=3,

所以∣α+b∣2=∣α∣2+∣%F+2α.8=9,Ia-切?=|α『+∣6『一2"∙b=9，

从而由两式相减可得，4α-⅛=0'即H=0，

故|舒+向2=9，

因为|/=2，

所以∣3∣=>Λ∙

11.已知向量”，〃的夹角为45。，且W=I,忖」卜布，则∣a+q的值是.

【答案】5

【分析】根据已知条件，结合平面向量的数量积运算求得b的模长，再求结果即可.

[详解]根据题意，H=M,则4,/_4同MCoS45。+也(=10,

即4-2√∑W+W=10,解得W=-√Σ(舍)或W=3√Σ,

⅛⅛p+⅛∣∙

=Ja「+2同阵os45。+7=Jl+2x3√∑χ(→18=5故答案为:5.

12.已知d,b为单位向量，卜一以=1,则k一3小.

【答案】√7

【分析】由|商一.=1可得,4=1.即可求出“力=；,再代入卜-362

即可得出答案.

【详解】因为〃，匕为单位向量，,-∙=1,

=y∣2-2a∙b=1，

23.已知“，人是两个夹角为?的单位向量，则％6-a的最小值为.

【答案】3

22

【分析】先利用题意得到“力=；,然后对卜5-4进行平方可得到卜6-d*q,即可得到答案

【详解】因为“，8是两个夹角为(的单位向量，则a/=WWcosq=lxlxcos9=g,

则卜6-。|=k21⅛∣+|«|-2ka∙b=k2-k+∖-^k-^^+∙^>^>

所叫妨一午亭即wτ的最小值为也,

题型三：平面向量的夹角运算

【例。非零向量α,方满足：I".=同，α∙(a-Z>)=O,则a—b与办夹角的大小为

A.135oB.120°

C.60oD.45°

【答案】A

【解析】；非零向量a,b满足a∙(a-Z>)=O,.../=4•)，

由Ia-M=阿可得/—2n∙〃+/=/,解得网=0时,

az,2222

coςn-(«-*)-*-∙-∏-H-H.√2

θ为a—b与b的夹角,

Ia-ftIWHI6I√2∣β∣2

.∙∙6=135,故选A.

【例2】已知0,力为单位向量，且。心二0,若c=2a-小b，则CoS(a,c)=,

2

【答案】-

3

【解析】因为c=2Q-JU5,α∙b=O,所以α∙c=2/-JGa•)=2，

∣cII2=4∣αI2-4√5α∙Z>+51⅛|2=9,所以∣c∣=3,

a∙c_2_2

所以CoS(a,c)=

IaHd1x3ɜ

【例3】已知向量。=(4,—3)/=(一1,2),。涉的夹角为氏则Sine=.

【答案】ʃ

5

【解析】依题意e∈[o,兀]，所以

八a∙b102百.rrτΛ∕5

cosθ=-------=--------T==-------,sιnn^=√1-cos^θ=——

Ilbl5×√555

故答案为立.

5

【例4】已知向量满足时=5,例=6,α∙0=-6,则COS(a,α+Z>>=()

31Cl9c17n19

A.-----B.-----C.—D.—

35353535

【答案】D

【思路导引】计算出4∙(α+b)、,+0的值，利用平面向量数量积可计算出cos<a,a+b>的

值.

【解析】•卜《=5,1“=6,Ο∕=-6,∙∙.α∙(α+h)=同+<2∙∕?=52-6=19.

b+0=yj(a+b)=Ja+2α∙l+b=,25-2x6+36=7,因此

a∙∖a-∖-b∖1919

cos<α,α+O>=rτη-----T=------=—.故选D.

忖小+05x735

I

【例5】已知A,B,C是圆O上的三点,若40=—(AB+AC),则AB与AC的夹角为

2

【答案】90°

【解析】∙.∙A0='(A5+AC),，0为线段BC中点，故BC为)。的直径，

2

.∙.ZBAC=9Oo,ΛAB与AC的夹角为90°.

【题型专练】

1.已知向量:是单位向量，向量Z=(√Σ,√Σ),且R+24&q=-6,则；与之的夹角为()

π

A.—b∙7c∙7θ∙i

6

【答案】C

【分析】求出M=l,H=2,再利用数量积的公式和运算化简已知等式即得解.

【详解】由题意可知H=I,。=2,

→T—2T_>_>2_>_>—>—>→→—>—>—>—>

a+2ba-b∖=a+aφ-2b=1+〃劭-8=—6,aφ=a`b-cos(a,b)=2cos(tz,⅛)=l,

故COS（凡“二；,

因为兀(α,b)=1,即；和Z的夹角为

2.已知非零向量4,b满足W=2∣d∣,且（α-6）∙Lα,则α-6与b的夹角为（）

二

A.βcD.—

3∙f∙⅞6

【答案】C

【分析】根据向量垂直关系得“心=卜「，再计算卜-川=&忖，卜-匕）∙fe=-3∣α∣,并结合向

量夹角公式求解即可.

【详解】解：因为（〃一6）,*网=2同,

所以(〃一/?)•〃=■-a∙b=Of即〃∙b=H,

所以(〃_〃)•〃=〃力_忖=M-4∣di∣=-3∣Λ∣,

-2α∙0+W~+卜『一2|『=6卜］

a-b^`b-33

所以cos(α-b,Z>)一立

∣d-⅛∣∙∣fr∣ʌ/ɜpz∙2∖a∖2

因为«-瓦b）∈[0,句,

3.若非零向量〃，力满足〃∙3+A）=（）,2∖a∖=∖b∖,则向量分b夹角的大小为（）

ππC.05π

A.B.D.

633~6

【答案】C

【分析】由0∙(α+6)=0,根据数量积的定义，结合2∣α∣=出|,可以得到cos(α∕),进而得到

答案.

【详解】因为“∙(4+))=(),所以/+./=O,所以同，+时似cos(α,8)=0,

乂因为2∣α∣=∣b∣,所以,『+同∙2同COSa,4=0,解得cos(α,b)=，

因为0≤(α,b)≤7t,所以(α,万)=等.

4.已知向量”是单位向量，向量b=(√∑,0^),且(α+2b)∙(α叫=-6,则0与b的夹角为

JT

【答案】y##60

【分析】根据向量数量积的运算律得α力=1，进而得COSG,b)=g,再根据向量夹角范围即可

得答案.

【详解】解：由题意可知∣4=ι,W=2,

所以，+2〃).(〃-〃)=J+a∙b-2b~=l+a∙b-8=-6,a∙b-∖

所以a∙A=卜,/#cos(α,4=2cos@耳=1,解得cos(α,b)=g,

因为(α,"e[0,180]

所以，(α,⅛)=60,即0和b的夹角为60.

5.若卜∕∣=1,W=2，c=a+b＞且C_La，则向量α与b的夹角为.

2兀

【答案】120。##石

【分析】利用向量数量积的运算规律，直接计算求解即可.

【详解】CJLa，∙∙c∙G=0,..(〃+/?)•〃=(),即J+Q.B=。.

∣(7∣=1,∣⅛∣=2,/.l+2cos(4∕)=0,cos(〃,/?)二一；.

又.0o≤(α,⅛)≤180o,词=120。.

6.已知同=2,W=1,且(2"+》)为=3,则向量〃与人的夹角等于.

π

【答案】1##60

【分析】由向量数量积运算律和定义可求得cos＜“力＞,由此可得夹角.

2

【详解】[2a+b)∙b=2a∙b+b=2a^b+∖=3f

.∙.2a∙b=2∣cz∣∙∣⅛∣cos<«,/?>=4cos<a,b>=2,解得：cos<a,b>=；,

乂<a,b>∈[θ,æ],.,.<a,b>=y.

7.已知Ial=3,W=4,α∙(0-〃)=-2,则向量。与b的夹角的余弦值为.

【答案】ʌ

【分析】根据题意化简求出向量α与。的，再利用平面向量的夹角公式即可求解.

【详解】因为α∙S-α)=—2,所以0∙A-&2=—2，所以α∙Z?=—2+〃=7,

.a∙b7

由向量的夹角公式可得•：