2023年甘肃省平凉市成考专升本高等数学二自考真题(含答案带解析)

2023年甘肃省平凉市成考专升本高等数学

二自考真题(含答案带解析)

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题(30题)

设Rj■)是小r)的一个原函数,则＞'∕S')dr等于()

A.Hex)+CB.-F∖e^r)+CC.Ftrτ)+CD.-F(√)+C

sin(Zx2-ax),

设2Iaim---------------=1则a=

2.7X

A.A.-1B.-2C.1D.2

当jf∙O时是∙τ-^ln(1+1)的

A.较高阶的无穷小量

B.等价无穷小量

C.同阶但不等价的无穷小量

3D.较低阶的无穷小量

ɪ

曲线y=a-(x-bY

A.上凹，没有拐点B.下凹，没有拐点

C.有拐点(α,b)有拐点S，

4.D.a)

Syβ∙xi+SirLr+ln2，则y

A.2x+WsWin∖AxA∕

B∙2x+co^

C.2'+co”∙⅛

D.2×

/(ʃ)=3}_3,则r(i)=

衣JCyjjc

[]

A.-l∕6B.5/6C.-5∕6D.l/6

7.

e

若X=T和x=2都是函数/(x)=(α+x)e*的极值点，则α,b分别为

A.A.2,-1B.2,lC.-2,-lD.-2,l

8.

设函数/(x)=k∑ll(x≠D,则Hm∕(x)=

X-IIl

A.0B.-1C.ID.不存在

9设/(χ)在[-1,1]上连续，则J)(-x)dx=

A.A.0

2f'∕(x)dx

B.J°

C-C/(x)dx

D.JK"

cosrf(^in√)ιlz

10.设F(X)是f(x)的一个原函数

A.F(cosx)+CB.F(sinx)+CC.-F(cosx)+CD.-F(sinx)+C

11.

设/(H)=4^H3—N,则X=I是/(R)在[-2,2]上的

A.极小值点，但不是最小值点

B.极小值点，也是最小值点

C.极大值点，但不是最大值点

D.极大值点，也是最大值点

设z=ln(方+石),则崎+崎等干()

_1_

n

B.2/n

C.1

12.D.2

设函数z=∕[x,^x,y)],其中f、G都有一阶连续偏导数，则"=

dx

A.衿红

DR.—əʃ,—əʃ

∂xdφ∂x∂φ

C."+红3D."-皿

133xZφ∂x∂φ∂x

14.已知f(x)=xe2x,,则F(X)=()o

A.(x+2)e2x

B.(x+2)ex

C.(l+2x)e2x

D.2e2x

若母］则八八工）业为

A

a∙12

Rl-h2

C.2

15.d∙ln2

A.arcsinx+CB.-arcsinx+CC.tanx+CD.arctanx+C

17.

设函数z由∙rcosy+ycosz+NCOSX=1所确定，则全微分dz=

当XTo时，若si∕χ与f是等价无穷小量，KlJjt=

A.-B.1C.2D.3

19.函数y=f(x)在点x=xθ处左右极限都存在并且相等，是它在该点有极

限的()

A.A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.无关条件

2θXJ/'*1'<»=:ΛIn«I.i∣fI

A.xlnx+C

B.-xlnx+C

+c

C.«

-Inι♦(.,

FLA1.I

设函数Z=*',则M=()

21.Hy

A.xyB.xylnyC.xylnxD.yxy-1

ɔɔ设函数＞=/(，)在点(XJ(X))处的切线斜率为4,则过点(1,0)的切线方程为().

ZZ∙X

A.y=x+1

B.y=x-1

1--,

Cy-----+1

V.X

DZ=^⅛+2

23.下列命题正确的是

A.A.无穷小量的倒数是无穷大量

B.无穷小量是绝对值很小很小的数

C.无穷小量是以零为极限的变量

D.无界变量一定是无穷大量

已知KX+1)=xej*',则/'(X)=

A.XeXB.(x-l)e4tC.(x+l)ejtD.(x+l)ex+l

24.

J(Sin：+l)dX=

OO

πC

-cos—÷x÷C

A.4

B.π4

xsin-+1+C

C.4

・兀.

xsιn—+x+C

D.4

26.

下列等式不成立的是

A.Iim(I+%”=eB.lim(l-ɪ)"=e^l

n

→*nΛ→-n

C.lim(l+⅛=eD.Iim(I-∙⅛=1

"→-n

定积分ʃ^ɪnʃdj=.

27.Jl

28.若随机事件A与B互不相容，且P(A)=O.4,P(B)=0.3,则P(A+B)=

OO

A.0.82B.0.7C.0.58D.0.52

29.

∫'j2+xln(l+x2)]dx=

A.4B.2C.OD.-2

设函数j∙=sin(j√),则戈等于()

A・Xjvcos(X)

B.­ɪ^eos(aʃ)

C.eos(ʃɔrɪ)

30Γλyeos(ŋ,")

二、填空题(30题)

Iim-U*+3=__________.

3I.L√Γɪ-3

32.

极限Iim(H产的值是

分♦-JT—T1

A.cB.ɪC.e,D.0

e

曲线y=In(I+x)的铅直渐近线是.

34.

t∙∙—1.c

c----------,X≠0∙

设函数八工)=4ʃ-------------------在I==O处连续•则

α÷ɪ∙jrβ0

A.0B.ɪC.2D.3

35.曲线:y=χ3-3χ2+2x+l的拐点是_________

36.设f(x)=x3-2x2+5x+l,贝IJr(O)=,

37.

如果b>0,且J,nxdx=l,贝∣J6=.

38.

设f(x)=χ2,g(x)=e*,则;(g(∕"(x)))=_____________.

Ck

,c将二次积分1力17(∙r,y)dɪ改变积分次序为

39.J】J。

40.设/⑴=LirI,dt∙wχ,(f)=-------------

41.曲线y=x3-3x2+5x-4的拐点坐标为.

42.

43.

44.

设函数N=e”+，,则全微分dz=.

45.函数y=lnx∕x,贝∣Jy"

46.出心-

设/(X)=arctanx2.则Iim=

47.I2

r3r3

设∫∕(x)dr=—lnx--+C»则/(X)=

设/(X)=/，g(x)=e*,则3(g(f(x)))=

j

50..设/（工）的一个瓶函数是r-.JB∫i

52.

下列极限结论错误的是

A.Iim5⅛=0BJm2”.瞎=1

LO(e-1)

kDJim(Y⅛>=1

C.Iim[丫｝=

,1+⅛rL>JC-1

〈1设/(N)=,+~L,则/(Z)=

3，Xx=ι

54.

已知/(X-%Xy)=X2+J_χy,则次；。+才(：？)=____________

σx∂y

55.

设函数y=∕<-2J).R1∣√=

A.∕(-2J)B.-f(-2x)C.2∕(-2J)D.-2∕(-2x)

57.

已知∫fα)dz=F(x)+c,则∫普立dz=,

已知函数/Cr)=，工^^D('>°”在I=0点极限存在,则α______.

58.…(工<8

59.

当JIfQ时，f(zo+3∕0一“工。一/0+2人是人的高阶无穷小量，则/(xo)=

设Z=InJI+/+)",求dz(l,I).

60.

三、计算题(30题)

ju

61.设函数y=Iy(N)由方程>=(lnj-)∙<r*确定.求/.

计算定积分「√l-eb<lx.

62.」

求械限∣F(}

63.

64.设函数LeI卡愕+…力其中,为可导函数磅

65求!y"'d∙rdy∙其中区域D由y=J.>=23=1及J∙L2所圉成.

66.求∫6u+"∙

67.求解做分方程∙rhu∙dy+(y-ln∙r)<k-()满足条件Me)=1的特解.

求极限Iime(H--------\

”•«>\sinɪar)

68.

69.求函βty=JrarctafLr-In+，的导数V•

7θ计算定根分J>∕<Lr.

71求函数z=arctan(√jr)的全微分.

计算二重积分J(∙r'+y)dxdy.其中D为曲级y-工，与工二/所围成的区域.

已知y'T'=zlru■,求y

73.

74.求做分方程y"-2.v'-3、，-一L.i的通解.

求函数Z=I的全部二阶偏导致•

求极限Iim——「--,tAt.

76.…ZStrUJ0√Γ+37

F求微分方程孚+*=J的通解.

77.d-r工

78.

已知二阶常系数线性齐次微分方程的两个待解分别为M=3in2j∙."=cos2j∙.求相应

的微分方程.

•计算flf/J

79LM√J,÷dɪ.

8。㈣各

求不定积分卜SinXdr.

Oɪ•

QC设之=>/(ɪ)+"«(*)•其中/(M)∙K(V)分别为可微函数•求享，导.

82.yʃ

83求微分方程(、、inrsmʃ-ɪ)d，dv-0的通解.

求定积分1:L嗯dr.

84.j*vɪ

设C=e"ttt"3J,求夫

85.».

86.求函数f(x,y)=χ2+y2在条件2x+3y=l下的极值.

87.上半部为等边三角形，下半部为矩形的窗户(如图所示)，其周长为

12m,为使窗户的面积A达到最大，矩形的宽I应为多少?

计算二重积分Urydσ.其中。是由It物线」，r及直线Jr=X2用成.

88.J

89议函数/可循•襟窗黑.

求不定积分］

--~~TdX.

90.(l+x,)÷

四、综合题(10题)

求函数/U)-=ʃ-ɪʃ++ɪ的单调区间和极优

91.

92.

设函数Fix)=二(了>0),其中/(工)在区间［α.+8)上连续./*(外在

(α.+∞)内存在且大于零.求证,F")在(α.+oo)内单调递增.

Ce证明：当1>0时,ln(l+∙r)>E-.

93.ɪ+∙r

lf/(ʃ)在［a.6］上连续.存在E.M两个常数.且稠足“≤A≤'证明，恒有

94.wi(ʃJ,>A/(rɔ-∕<J∙∣>≤M(xl-jrɪ>.

If网t当了■，时.有i!——、InI.

95.

96.证明方程41=2,在［0.1］上有且只有一个实根.

求函求V=「(，-DC-2尸山的单洞区间及极值.

97.

Qq求函数V=海Tur的削调区间和极值.

yO∙

99.

设/Cr)在区间［α.瓦I上可导，且八公=∕S)=0∙证明：至少存在一点££Q,6)∙使得

Z(e)+3f,∕<e>=0.

▲i八、、aretanʃ

ιnn证明，当工》。时Jn(I十公2-G"∙

ɪUU・

五、解答题(10题)

曲线y=∕(x)过原点，且在点X处的斜率为4x,求Iim绊.

Ji→Oχi

101.

102.求由方程Siny+xe>'=O确定的曲线在点(0,冗)处的切线方程。

103.

设N=InCr2一》2),其中y=求生.

dʃ

104.

(D求由直线x=0,x=2,y=0与抛物线y=1-HZ所围成的平面图形(如图所

示的阴影部分)的面积S

(2)求上述平面图形绕ɪ轴旋转一周所得旋转体的体积Vx.

105.

求极限Iimtan二SinX

AOX

106.(本题满分8分)设函数?(X)=X-Inx,求?(x)的单调区间和极值.

107.

设函数Z=Jty+4(2)，其中〃“)是二阶可微的•

X

证明，患+y等=斗/电

108.设函数y=A∕*+√X,求y

1091''题满分K分：；IHI.in!.tn«dr

110；欲做一个表面积等于2a的长方体盒子,问怎样做才能使其容积量大?

六、单选题(0题)

I

..X-I

Iime=

JrTl

A.0B.1

U]C.+∞D.不存在且不是+<»

参考答案

1.B

2.A

等价代换.

l.sin(2x?-or)l2x?-OX=S

*I→im∙-------X-------≡≡=I*im→∙-----X-----=-α=l所以。-I

3.C

［解析］函数的定义域为：(-O,+8)∙

1-i

y,=--(χ-b)3

2--

yβ=-(χ-b)3

当x=b时，,，”不存在.因为函数/(X)在x=b点处连续，且

当x<b时，y”<0,曲线y下凹：当x>b时，y”>0,曲线y上凹.

所以x=b是曲线y的拐点横坐标.y(b)=α∙

4.D故曲线的拐点为：仍，α)∙

5.B

6.B

S/(x)=-4=1=HT-HT,所以/'(1)=--∣-χ4+JrT,故∕,(1)=--∣∙÷4-=4^∙

GHG32326

7.B

—~b~~~bx~Cib

因为O=d+(…吐(-与二母"：竺

XX

由于X=-LX=2是函数/(x)的极值点。

.fl+b-ab=O

所以《

4-2b-ab=Q

解得a=2»b=1

8.D解析

先去函数的绝对值，使之成为分段函数；然后，运用函数在一点处极

限存在的充分必要条件进行判定.

由ɪ/.(.χ).=jIX-I-Tl=1ʃ-ɪ,χ<ι.

x-l[1x>l

因为Iimy(X)=Hm(T)=-I

XTl-x→Γ

Iim/(x)=Iim1=1

x→]*xτl+

Iim/(x)≠Iim/(x)

XTl-x→l*

所以Iimf(x)不存在.

9.D

因为/(x)在卜L1]上连续，其奇偶性不知道，排除A与B,乂

yxll

∫'/(-x)dx-~∫∕(r)(-dr)=∫ι∕(x)dχ.故选D.

10.B

“=SinXC

eosɪ/(sinʃ)dɪ=If(Sinɪ)doinɪ∣J/(u)du=F(u)+C=F(sinx)+C.

11.B

12.A

ðz∂f∂f∂v∂f∂f∂φ

[解析)∙ς-=∙ς-+∙ς—r-=—+------[v≈φ(xty)]

∂x∂x∂v∂xσx∂φ∂x

13.C

14.C

,2x2x2x2x

f(x)=(xe)'=e+2xe=(l+2x)e0

15.D

16.D

[解析](-—dr-areɪan.r+C.

jl+x

—：-------------Γ(cosy--zsɪnʃ)dɪ+(COSZ-ɪsinv)dv-

17."in/一coax

]

[(cosy-Zrinjr)di+(cos之一Zjliny)dy一

>sιnt-eosɪ

［解析］当修2时，有IimM二=Hm（组与=1,选C.

Jl→0UJl→OX

18.C所以当⅛=2时，有sin2χ~χ2.

19.C

根据函数在一点处极限存在的充要性定理可知选C.

20.C本题考查的知识点是不定积分的概念和换元积分的方法.

时于不定枳分的枳分公式如ʃcm«<i«=wn"C.考生应嫉更深一序次地理解为族结构式是

J<∙a□d□=∙in口y式中的方块“口”既可以是变量■.也可以是ɪ的函数式.例如ʃ«»0d3≡

»in[x*]*C,[cmln-itl<iIn<=∙inIn«!>C.只要符介上述结构式的RfitS(或交ht.均∙ft上面的枳分

公式或LK他的M分公式也“完全美烈的结构大.如果将上述式f口内的函数的总分写出来，

则有:J<o∙(x3)d(*j)≡2∣*co∙(/)dx及/ro∙(In*)d(InX)=ʃ--cα∙(InH)<IM.如果在慎图中将

等式右边部分拿出来，这就需要用凑微分法(或换元积分法)将被积表达

式写成能利用公式的不定积分的结构式，从而得到所需的结果或答

案.考生如能这样深层次理解基本积分公式，则无论是解题能力还是计

算能力与水平都会有一个较大层次的提高.

基于上面对积分结构式的理解，本题亦为：

e⅛∫∕t□x□∙□∙^*c.wI∣√<ta»)d«wτ().

Afjɪf(ini)d«sʃ∏Inf)d(h<).ftβ(□≡∣a>.∣KUʃ-ɪ-/(Int)dι≡lβ

!■a•・**：♦€•1IN(*C.*ft4lC±・.

Λ

21.C此题暂无解析

22.B本题考查的知识点是：函数y=?(x)在点(x,?(x))处导数的几何意义

是表示该函数对应曲线过点(X,?(X)))的切线的斜率.由

八/(X)=孑得F(I)=L可知，切线过点(1,0),则切线方程为y=χ-l,所

以选B.

23.C

根据无穷小量的定义可知选项C正确.

I解析J用换元法求出/(X)后再求导

用XT换式中的X得〃X)=(X-I)ejt,

—a所以/'(x)=ejt+(x-l)e*=urex

24.A

25.D

注意到被积函数f(x)=sin三+1是常数.由不定枳分的性质，有

4

ʃ(sin+1)C1J:=(Sin—+l)ʃdɪ=(Sin—+1)Λ+C

26.C解析

利用第二个重要极限易判定：

A.Iim(I+1严=Hm(1+与(l+∙⅛=e

n->0//“T8nn

B.lim(l--)n=[∏m(l÷-)~n]~l=e^1

ββ

∏→nΛ→O°—n

11π21

nw0

C.limo(l+-τ)=nm[(l÷-τ)]=e=l

n→°九'Λ→O°∏L

11_„2J_

D.Iim(I-f=lim[(l+-ʌɪ)=e°=1

n→°onn→oβ-n

故选C.

2e'+12e'+1

99

27.

28.B

29.A解析

因为Xln（I+，）是奇函数

所以J：［2+xln(l+x2)］dx=2j：2dx=4

30.D

ɪim.二醇广3=Iim-(H=IimW=0.

x3y(工一用(工+商

ɔɪ∙UM^χ√Γχ+√3

32.C

X=-I

［解析］因为函数的定义域是：χ>-l.

而IimIn(I+x)=y>

E所以工-1是曲线的铅直渐近线.

JJ∙

34.B

35.(1,l)y,=3x2-6x+2,y,=6x-6,令y'=0,得X=L则当：x>l时，y,>

0;当x<1时，yY0.又因x=l时y=l,故点(1,1)是拐点(因y=x3-

3χ2+2x+l在(-8,+8)上处处有二阶导数，故没有其他形式的拐点).

36.5

由ʃ(ɪ)=ɪ3—2J-2+5工+1,则f,(x,)=3x2—4z+5,故/'(O)=5.

37.e

因为ʃɪInxdx=(xInx-x)∣ɪ=力Inh—8+1=1

得h∖r∖b-b

所以lnZ>=1,h=e

38.

2xe”

因为g(∕(X))=e'

d2

所以τ-(g(∕ω))=2xejc

αx

39.

JCbL/G,y)dy

40.

z1f)=/,(x)I..√8inx

41.

令

境(1,一∣)∙因为y"=6x-6-0,得X=L此时y(I)=-1,所以拐点坐标为(1,-1).

42.

43.

44.

2e"+>dx+e"+，dy

2lnx-32lnx-3

45.Px'

46.

47.x=-1

［解析］因为函数的定义域是χ>T,

而Iimln(l+X)=To,

≡→-r

所以K=T是曲线的铅直渐近线.

48.x2lnx

2xex

[解析)因为g(∕(x))=eχ2

所以[∙(g(∕(X)))=2xJ

49.dx

50-(*coβjr+lk-i+C-(ʃcx»x÷l)r^wj÷C

51.

arcsinx-√l-x2÷C

52.C

53应填2.

本题考查的知识点是二阶导数值的计

因为/(*)=«+上,则

X

12

re%)=ι--⅛4,r(χ)=X4.

西从而广(彳)I=2,故填2.

异.I>>ι

54.2x+12x+l解析

因为f(x-y∙x,v)=x2+y''-xy=(x-y)2+Xy

所以〃X,y)=∕+y则也7+*2=2X+1

∂xdy

55.D

56.

√3

18

√3

18

57.F(lnx)+C

58.1

59.-1/2

解z=^ln(l+x2+y2)——--2x''*''=―x

2∖+x2+y2l+x2+y2

,=L------——=---------Zz'(l,1)=τ-r=-

z222

，2l+χ+√l+x+√7l+x+/1；：*3

1

z；(l,D=y=­

22"IQ

l+x+yEɔ

所以d2(l,l)=z*(l,l)dx+z；(l,l)ʤ=^(dx+dy)

60.3

y=[(lnɪ)>ʃ*"2+(lnɪ),•(”)'

=[e33了•一+D.∙《e”

u，>

=e>-κ∣n∕∙ln(lnɪ)+ʃ∙ɪɪ∙ɪj∙“a+(lnʃ)ʃ∙e∙2lrtr∙ɪ

≡(lru,)j∙pn(lnʃ)+A一卜ɪ1**+2(lru,)z41∙χ,*β^1.

y=[(lnʃ>'1'∙j∙bu+(lnɪ)*∙(Xd)/

=[L*a,T∙*~+(lnʃ)^.《阳少

=6de口n(l∏j)+工∙jɪ;∙J}NZ+(lnɪ)ɪ∙eb，1∙2lar∙ɪ

4r1lar,

=(lnʃ)∙∏n(lru∙)+ʌpWra+2(l∏j∙)*∙χ^.

62.

令e^,=sin∕∙则X=-lnsin/,dʃ=—^^d∕∙且当I==O时，=ɪi当”=ln2

sιn∕Z

时」=缶♦于是

O

f√1—ei/(Lr=f^co⅝∕(~√osz)d∕=—Pcθ?-/J/

JoJfsιn∕Jfsιn∕

=-P0-+Psin∕d∕

JfsmrJf

=—∏n(csc∕—æt/)]ɪ-卑

N—ln(2—√3)一歹.

令「一"则”=一百小必工一筮市.且当工=°时"工会当”=仄2

-ln(2-W)—

Ct

,11,"I,-9⅛∙<-t>

J⅛(rπ)=)⅛(1+rπ)=e

63.

鼻cc"j∙3τ)y(∙r'+'1)-2∕ian(jy)

(√+∕)z

3e***"*÷,y3+y')⅝ec"jy)-2xtan5》.∣'γ

Ixi√pɪτ+<^÷y>,,v,n2?e八rf

令Wl=C,S1=；**：?…=y∕(3'—y)

∙.∙孕一,(-3).^∙ɪ-»1口-∣.

dz；=sec"*jy+jy')-21Ian(Jy)

a7-(√+y)ɪ*

—y∙3rln3∙/(3'>).

OT

・∂z^⅛l,⅛Z∙⅛J

∙∙a7-a7+a7+aΓ

3e"T

+襄1+户4：5期*+y.3dn2∙/(3*-y)

(ɪ÷y)

65.

画出枳分区域图Q.如图所示,

考虑到被积函数的情况.先对工积分较宜.

fɪve^dʃd,v=ʃd>J>eodɪ+ʃdyj[e"CLr

=ʃ(e*∙wcj)d,y+ʃ,(ex,­e)d>

*I∙

画出枳分区域图D.如图所示t

考虑到被枳函数的情况.先对ɪ枳分较宜.

fɪve^dʃdj=jdyj""<Lr+「dyJ∣ye"<Lr

=ʃ(e2∙w-cf)dy+

=*T.

66.

令/7=，，则I=r.da=2∕d∕•故

2

ʃ√7(i÷j)=ʃ=JTT?2arctan/+C=2arctan√Cr+C.

令/F=，，则l=「'・dɪ=2tdt.故

CLr市

dz2=2arctan/+C=2arctan√T+C.

√7(i+ʃ)∕7Γ÷75=,Γ+7

将微分方程改写碑+τh=j

这是一阶线性微分方程，我们用公式法求解.

y=e~J±*b[ʃ比drcLτ+C

=i⅛(13"+c)

s⅛lnj+⅛,

将y(e)=1代入.解得C=十.所以特解为

y∙T(In]+土卜

67.

将微分方程改写为累+j⅛y=+

这是一阶线性微分方程，我们用公式法求解.

y=eJ±“d∙r+C

C

2小,

将y(e)=1代人,解得C=所以特解为

y'=⅛(lrtr+ι⅛)∙

COJU,XSinJ

limeotʃ∙I-T------\Iim

I∖sιι‰rʃ/■7sinɪIqinɪ

.1—sinɪ

lIim—∏—

・∙∙ɪsmjr

.X-sinʃ

Ilim------≡----

LQX

68.?•

limeotʃ∙I-T--------—∖=Iimcosj∙*.sinx

,一。ISlmrʃ/…sιnxɪsinɪ

■r-SlnJ

ʃsin*j-

1

6∙

y=(j∙)zarctarvr÷x∙(aretanʃ),—(In√T-+-7r)z

=aretanɪ+,1?---=.∙(√1+x,),

ι+/√f+7r

1

=arcta∏j+—~~ɪ——…，.

1+/2√Γ+7r√T÷xr

■TJC

=aretanʃ+=aretanʃ.

69.ɪ+√ɪ+.ri

,,

y=(τ)arctan.r÷JC∙(aretanʃ)/一(InMl+

=aretanʃ+/?-----_∙(√1+ʃ*)*

1+/√τ+^r

ʃ111

=arcta∏-r+——7――:,•―.、∙Zx

rr

1+彳2√Γ+7√Γ+7

Xɪ

=aretanʃ+l——r———≡∙=aretanʃ.

1+XI+ʃ

β⅛[∙r∙e,,L^∫ztk]

=抄・贝_犷甘

TeT&T[ɪ(e*+1).

70.

71.

72.

积分区域D如图所示.

考察被积函数与积分区域D的图形可以得知,本题可以任意

选定积分次序.

为了确定积分限,先求解方程组

y

yt

解得两组解,对应着两个交点分别是(0,0)∙(1,D∙

如果先对y积分，后对上积分•作平行于y轴的直线与区域D

相交，沿y辆的正方向看•入口曲线为y=＞，出口曲线为y

=√7,因而有∕≤y≤G.而区域D中0≤∙r≤I.于是

t

原式=Jdʃʃt(,x÷y)dy

=Jm+#”;公

^L+ix~χi~⅛χ4)dj=⅛∙

积分区域D如图所示.

考察被积函数与积分区域D的图形可以得知,本题可以任意

选定积分次序.

为了确定积分限,先求解方程组

解得两组解,对应答两个交点分别是(0,0)，1).

如果先对y积分，后对，积分.作平行于y轴的直线与区域Q

相交，沿y柄的正方向看,入口曲线为y=♦,出口曲线为y

=√7,因而有/≤y≤G.而区域D中0≤∙r≤I.于是

1

原式=Jdʃʃl(τ+y)dy

=∫m+ι■力⑶

=J：(>+⅛rTT'也=焉

yl*°=[,""]'=(zlnʃ)'=l∏-r+j∙∙ɪ=1÷Irtr,

,<*=[y""了=(1+lnx)z=ɪ

73.

_卬"2'丁=(J!∏J∙)Z=lnɪ+ɪ∙ɪ=1+lnʃ,

y"'=HL"=(1+InJr)，=-ɪ-.

74.

微分方程对应的齐次方程为

y-2y>—3>≡0«

其特征方程为一-2r-3=0,特征根为r,=3,rt=-1.故对应的齐次方程的通解为

yNCle^÷C,eʃ(ɑ,,e,为任意常数

β

由于自由项/(ɪ)=(3j+l)e∙*.λ=0不是特征根，故可设特制为

y∙=A+Rr•

将V代入原方程•得

-2B-3A—3Hr=r3JΓ+1•

有一3H≡≈3.-2B-3A≡1•

故A=ɪ<B=­I,从而>'=ɪ-X.

OJ

所以原方程的通解为

y=α∕+Ge'+g-NG.G为任意常数).

微分方程对应的齐次方程为

,

y-2y—3iy≡0«

其特征方程为一-2/-3二0•特征根为八=3,%=—1・故对应的齐次方程的通解为

y=GW+CtEGC为任意常数).

a

由于自由项/(“)=(3j÷l)e∙*,λ=0不是特征根∙故可设特解为

y∙=A+Hr・

将力代入原方程•得

-2B-3A—3Hr=3x+l∙

有-38=3∙-2B-3A≡1.

故A=J,B=—1,从而j√=-ɪ—x∙

SJ

所以原方程的通解为

y=C,en+C,e*÷∣-x(C∣,C,为任意常数).

因为

1,y22

za=4xy+2xy.C,=2∕y+3τy■

所以

22i

ZΛΛ=∖2xy+2y.

J:

Z9=2J+6xy9

之”=8*∖+6∙ry'

z=8*'y+

75.9t

因为

1223

zl=4xiy+2τy.z,=2∕y+ɜʃy»

所以

1

ZΛΛ≡121、,+2y•

Y=2Λ∙*+6√>.

zn=8*'y+6∙ryi.

XM=8*'y+6∙ry'.

-■j/

,√m?

ɪ-sinɪ

√T+37(1-coλr)V^l÷ɜʃ(1—Cosʃ)

ʃ2Xt

√T÷^3J∙ɪ…√Γ+37.⅝

=Iim厂2=2.Iim2=2.

76.…√1+ɜɪ…√T+37

由眄意.知P<J)=j.Q(J)=e，：.

w,4ta,ta,l

.∙.eI=e4÷*-e^≡e'=ɪ.

=eʃɪ1**=etau≡x»

∣Q.Jw*<Lr=ʃe*∙ɪdɪ=ɪʃe*'<b∙t=-∣-e,∙

Λ该微分方程的通解N=+吁.

77.

由题意.知P(∙r)=y.Q(x)=F•

ΛeW'=ef÷rt,=C-a=*'=X•.

=**=euu=X.

[Q∙JwrdX=(e*∙ɪdɪ=ɪ[c1：drɪ=ɪe".

Λ该微分方程的通解V≡ɪ[ɪe-+<*j.

78.

由于V=Sin2∙r.%=cos2∙r为二阶线性常系数齐次微分方程的特解•可知α=

0,6=2,即原方程有一对共旋复根r,=2i,r,=2i,因此对应的特征方程关

(r-2i)(r+2i)=0,

即r*+4=0,

从而可知相应的微分方程为

y"+4»=0.

由于X=Sin2才.“=cos2ι为二阶线性常系数齐次微分方程的特解，可知α=

0.6=2.即原方程有一对共恢复根r,=2i.r,=