2022-2023学年河南省信阳市高一年级下册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年河南省信阳市高一下学期期中数学试题

一、单选题

1.复平面内表示复数z=i(4T)(α<0)的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】先化简复数z,即可判断表示的点所在的象限.

【详解】z=i("-i)=l+出表示的点为(l,α),

因为α<0,所以点(La)位于第四象限，

故选：D.

2.已知向量4=(2,㈤,6=(4,T),且(a-4,,+®，则实数加等于()

A.2B.~C.8D.±Jl3

【答案】D

【分析】根据(a-6),(α+q,由(α+4∙(α-θ)=θ求解.

【详解】解：因为向量”=(2,加)石=(4,一1),

所以〃一〃=(一2,m+l),α+h=(6,∕n-l),

因为(H)_!_(£+〃),

所以(α+匕)∙(α-6)=(-2)x6+(〃?+I)(ZM-I)=0,

解得m2=13,即"?=+ʌ/fɜ，

故选：D

3.“a为第一象限角”是“tana>0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据正切函数在各个象限的符号，结合充分条件、必要条件的概念，即可得出答案.

【详解】若a为第一象限角则必有tana>O;

反之，若tane>O,则α为第一或第三象限角.

故选：A.

4.在ΛBC中，若3b=2√Jasin8,CoSA=COSC,则一ABC形状为()

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等边三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【分析】首先利用正弦定理化边为角求出SinA的值，再结合A=C,以及三角形的内角和可求出ZB,

进而可得正确选项.

【详解】因为36=2∙√5αsin8,

所以3sinB=2百SinAsinB,

因为0<8<180

所以SinBHO,

ZT

所以SinA=乜，可得4=60或120,

2

又因为CoSA=CoSC,O<Λ<180,0<C<180

所以ZA=NC

所以NA=60,ZC=60,ZB=180-60-60=60,

所以ΛBC为等边三角形.

故选：C.

5.已知ae(θ,,__72

cosa+—则CoSa=()

I4一10,

ʌ--Ib∙iCYd∙4

【答案】B

【分析】由α+弓的范围判断sin(α+j)的符号，再由cos"=cos[(a+,-T展开计算即可.

【详解】因为αe]θ,手｝所以《+则Sin(T)>0,

πl(π^∣π.(兀、.兀3

所以COSQ=CoS卜+(—=Cosaλ■—cos—+sma+—sin—

4j<k4J4<4J45

故选：B.

6.把函数y=∕(χ)图象上所有点的横坐标缩短到原来的g,纵坐标不变.再把所得曲线向左平移:

个单位长度，得到函数

y=sin1t+W的图象,则f(x)=()

xπX7π

A.sin—÷一B.sin—+一

312312

D.sinχ÷^

C.sin3x+一3

I12I12

【答案】A

【分析】根据三角函数图象变换规律求解析式.

【详解】函数y=sin(x+?)的图象向右平移:个单位长度，得至IJy=Sin(I-(+m)=sin(x+])

再把所得的曲线所有点的横坐标伸长到原来的3倍，得到f(X)=sin(j+7∣)-

故选：A.

7.八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹.八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹,

先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样.八角星纹以白彩的成，

黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉.八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广,

在长江以南的时间稍晚的松泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹.图2是图1抽象

出来的图形，在图2中，圆中各个三角形(如一ACr>)为等腰直角三角形，点。为四心，中间部分

是正方形且边长为2,定点A,B所在位置如图所示，则AB∙AO的值为()

【答案】C

【分析】利用转化法得A8∙A0=(A0+08)(A∕)+00),展开利用向量数量积的定义并代入相关数

据即可.

【详解】如图所示：连接。。，

因为中间阴影部分是正方形且边长为2,

且图中各个三角形为等腰直角三角形，

所以可得NADo=NOOB=?,IODI=√2,∣AD∣=4,ZADB

则ABAO=(AD+西(AD+£)0),

=ADHAqIDθ∖cos^-+DBAD+∖Dβ∖BokOSɪ

2

=4+4×>∕2×+2×y∕2×-=↑4.

2

故选：C.

ππ7π

8.函数/(x)=Sinωx+-（0>0）在内恰有两个最小值点，则3的范围是（)

44,T

A.B.六

C.D.

【答案】B

【分析】根据正弦型函数的最小值的性质，结合题意进行求解即可.

【详解】当s+m=2E+芈伏eZ）时，即一2®+彳时，函数有最小值,

42X—∖κeL）

ω

令A=-l,0,l,2时，⅛*x=--,X=—,x=X=生

4ω4G4ω4ω

因为函数/（x）=Sin（5+：卜<υ>0）在（%彳）内恰有两个最小值点，<y>0,

π5π

—<——

44ω

13π7π13C

所以有:——<一=—<co≤3

4047

7兀21兀

——-----

44(υ

故选：B

二、多选题

9.已知一ABC中，a=x,b=2,B=45o,若三角形有两解，则X不可能的取值是()

B.2.5D.3.5

【答案】ACD

【分析】若三角形有两解，则"sinA<l,结合正弦定理即可求解

【详解】解：因为&ABC中，a=x,b=2,B=45°,且三角形有两解，

所以α>A,sinA<l,

由正弦定理得

sinAsinB

所以.A“sinB~γx√2x,解得χ<2√∑,

b24

因为α>b,所以x>2,

所以2<x<2√∑,

故选：ACD

10∙若复数Z=G-i,贝U()

A.∣z∣=2B.∣z∣=4

C.Z的共扼复数)=G+iD.z2=4-2√3z

【答案】AC

【分析】根据复数的知识对选项进行分析，由此确定正确选项.

【详解】依题意闫=J(G)2+(-I)?=2,故A选项正确，B选项错误.

z=ʌ/ɜ+Z,C选项正确.

Z2=3-2^,+J2=2-2√3∕,D选项错误.

故选：AC

11.下列关于平面向量的命题正确的是()

A.若aHb■>b//c,则a〃C

B.两个非零向量α,匕垂直的充要条件是：ah=0

C.若向量AB=8,则4B,C,。四点必在一条直线上

D.向量”("≠0〉与向量8共线的充要条件是：存在唯一一个实数几，使b="

【答案】BD

【分析】根据向量共线的概念判断A,根据向量垂直的性质判断B,根据向量相等和向量概念判断C,

根据向量共线定理判断D.

【详解】对于A,当A=O时，不一定成立，∙∙∙A错误；

对于B,两个非零向量”,b,当向量α,6垂直可得q∕=O,反之=O也一定有向量”,b垂直，∙∙B

正确；

对于C,若向量AB=CRAB与Co方向和大小都相同，但AB,C,。四点不一定在一条直线上，.∙.C

错误；

对于D,由向量共线定理可得向量”(α≠θ)与向量〃共线的充要条件是：存在唯一一个实数力，使

h=λa,:.D正确.

故选：BD.

12.关于函数/(x)=COSX+αsinx("0)有以下四个选项，正确的是()

A.对任意的αwθ,/(x)都不是偶函数

B.存在αxθ,使/(x)是奇函数

C,存在4工0,使/(x+π)=/(X)

D.若的图像关于X=；对称，则α=l

【答案】AD

【分析】根据辅助角公式将函数/(x)化简，然后结合正弦型函数的性质，对选项逐一判断即可.

【详解】因为/(x)=COSX+αsinX=J/+1Sin(X+9),其中ta∏s=L

对于A,要使/(x)为偶函数，则e=5+fat,%eZ,且一方<夕<、，则无解，

即对任意的“，/(x)都不是偶函数，故正确；

对于B,要使/(x)为奇函数，则。=E,ZwZ,且-]<*<],又tan0=1,所以不存在”,使/(x)

是奇函数，故错误；

对于C,H>⅛∕(x+π)=+1sin(ɪ+π+=-∖∣a2+1sin(x+φ)≠/(x),故错误；

对于D,若F(X)的图像关于Xq对称，则=+0=5+E,Λ∈Z,

解得V+kπ,kwZ,且—W<g<g,所以>=£,即tan?=L=Ina=I,故正确.

42244a

故选：AD

三、填空题

13.Cosl12.5°=

【答案］一也一也

2

【分析】首先由诱导公式求出COS225。，再利用二倍角公式计算可得;

【详解】解：0J⅛cos225o=cos(180°+45°)=-cos45°=-ɪ.

又COS225。=cos(2×112.5o)=2cos2112.5o-l=~~^，

所以cc√112.5。=立史，所以CoSII2.5。=±反近，

42

因为90°<112.5°<180°,所以CoSlI2.5。=-V"；

2

故答案为：“2.正

2

14.已知函数/(x)=Or3+bsinx+2022,若/⑵=2021,贝4(—2)=

【答案】2023

【分析】由条件可得"f)+"x)=4044,即可算出答案.

【详解】因为/(—X)=—加一匕SinX+2022,所以/(—χ)+∕(χ)=4044,

因为/.(2)=2021,所以/(—2)=2023,

故答案为：2023.

15.如图，中华中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高气度，先在山脚A处测得山顶

C处的仰角为60。，又利用无人机在离地面高40Om的M处(HllMQ=400),观测到山顶C处的仰角

为15。，山脚A处的俯角为45。，则山高BC=m.

C

【答案】600

【分析】确定AM=4000，NACW=45。，AMAC=ISo,在AMAC中，利用正弦定理计算得到答

【详解】ZAM£>=45°,则4M=√∑MO=400√∑,NeM4=45°+15。=60°,NCAB=60。,

故ZMAC=180°-60°Y5°=75°,ZACM=I80°-75°-60°=45°,

ΔΓ

hπAC400√2

艮

在∆M4C中，由正弦定理得由EIJ-------------=---------------

SinZACMsin60osin45o

解得4C=400,则BC=ACSin60°=600.

故答案为：600

16.在ΔAβC中，若B=?,AC=遂，则AB+2BC的最大值为.

【答案】2√7

AB_BC_√3_∕2、

【详解】设^72―R-布一耳一，∙∙AB=2sinγ-0,

sin-π-θ—13)

lɜ)2

BC=2smθ--AB+2BC=2sin^π-θ∖+4sinθ=2y∕lsin(O+3)，最大值为2"

【解析】解三角形与三角函数化简

点评：借助于正弦定理，三角形内角和将边长用一内角表示，转化为三角函数求最值，只需将三角

函数IL简为Osin。+匕CoSe=Ja2+匕2sin(6+e)的形式

四、解答题

17.已知复数Z满足：∣z∣+iz=l+3i.

⑴求复数z；

⑵化简：-ΞT+∣Z-6∣.

【答案】⑴z=3+4i

97

(2)-+-i

22

【分析】（1）设复数z=M+〃i（m,〃€R）,根据复数的模的计算公式结合复数相等的定义，列出方程

组，求出皿〃，从而可得出答案;

（2）根据共规复数的定义结合复数的模的计算公式及复数的除法运算计算即可得解.

【详解】（1）解：设复数z=>+〃i（八∕ι∈R）,

根据题意得标+n2+i(∕n+wi)=l+3i,

yjnr+n2-n+m∖=l+3i>

∖∣m2+n2-n=↑=72=4

则

"2=3=3,

r.z=3+4i；

(2)解：由(1)得z=3+4i,

则∙⅛+κ卜⅛y÷∣3-4i-6∣

j3+4i)(l÷1)

C-i)(>÷i)1`1

-l+7iU

=---------+5

2

97.

=—+—1.

22

18.已知向量”,b满足忖=1，忖=2,|3。-4=加.

⑴求向量α与向量匕的夹角;

（2）求向量匕在向量°_匕方向上的投影的模.

■收/八2π

【答案】（1）7

Q）近

7

【分析】（1）根据向量模的计算公式以及夹角公式即可求出；

（2）根据投影向量的求解公式即可解出.

【详解】⑴由∣3α-*√i?可得，∣3a-*M一0=M,即“-6ah+b=19，

而M=LW=2，所以，α∙6=-l,c°s〈a,力=4ij=-g,而o≤<α,6>v7t,

2兀

所以，向量〃与向量b的夹角为

(2)向量b在向量方向上的投影的模为：

∣-1-4∣_577

∖∣a2-2a∙h+b27

(1)求SinaCOSa+cos2«的值;

(2)若αw(0,乃),'∈(0,万)，tan(α+^)=——,求2α+'的值.

【答案MlW

⑵子

【分析】(1)先根据降暴公式得tana=-；,再对原式构造齐次式结合tana=-g即可求解.

(2)先求出tan(2a+0=tan(a+a+0=T,再根据角的范围即可确定2α+尸的值.

【详解】(1)由已知得2sinα=-CoSa,所以tanα=-J

SmaCOSa+cos-α-SIn-a

所以SinaCOSa+cos2α=

sin2cr+cos2a

tana+1-tan2a_1

tan2α+l5

e、，zʌ4/c、tana+tan(α+Z?)

(2)因为tan(2cr+β)-tan(α+σ+∕7)=--------------——--=-11

1-tancrtan(α+y0)

又tana=-^,O<a<π,.∖^-<a<π,

,~I_3TTʌ3τr_ʌ_

同理rrlN-Vα+户<肛.∙.Wv2α+4<2%

所以2α+/?=了.

4

20.在①cos?8-CoS2C-sin?A=-SinASin8,②二.一=史二这两个条件中任选一个，补

ZSinB-SinAcosA

充在下面的横线上，并解答.在一ABC中，角A,B,C所对的边分别为mb,c,且满足

⑴求角。的大小;

(2)若点。为边BC上的一点，旦A£>=3,BD=也,AB=与，求JICD的面积.

【答案】(l)C=。

⑵3员9

-4~

【分析】(1)分别选择条件①和②，运用正弦定理和余弦定理即可求解;

(2)作图，先求NADB,再求NTMC,运用面积公式即可.

【详解】(1)选①，因为COS23-CoS*C-sin?A=-SinASin3,

所以I-Sin2B-(I-Sin*C)-sin2A=-SinASin3,

即sin2A+sin2B-sin2C=sinAsinB,

由正弦定理得/+从一

由余弦定理CoSC="+'-C"=1,

2ab2

因为c∈(0,m,所以c=7qT；

SinC_cosC

选②，因为

2sinB-sinAcosΛ

所以(2sin4-SinA)cosC=sinC∙cosA,

所以SinCCOSA+sinA∙cosC=2sinBCOSC,sinB=2si∏β∙cosC,

因为8e(0∕),所以sinB≠O,所以cosC=；,

JT

因为Ce(O,τ),所以C=§；

π

(2)由第一问可知C=1,作图如下：

*..ʌ,,ccAD2+BD2-AB29+2-17-√2

iS∆AλrBιrxD中，由余弦定理COSNAoB=-----------------------=----------尸=----,

2AD×BD2×3×>J22

所以NAOB=红，ZADC=J

44

AC=3

ACAr)

在ZXADC中，由正弦定理即近3,

sinZADCsinZC

ɪ~2

J/口f-/cqc兀715ττ

解ArT得AC=,Z.DAC~"ɪɪ,

.πππ.π∖f2+y∕β

sin—cos—+cos—sin—=-----------

43434

SΛΛDC=—ADxAC×sinZDAC

综上，C=g,三角形A。C的面积为班巴

34

21.已知〃=(SinX+cosx,2COSe),b=I2sin^,-sin2x∖.

Ir

⑴若c=(-3,4)且X=W,6fe(0,τt)时，〃与C的夹角为钝角，求COSe的取值范围;

⑵若。=三，函数/(x)=αd,求〃x)的最小值.

【答案】⑴(T-平)5-平,平)；

Q)；-娓.

【分析】(1)根据给定条件，利用向量数量积及共线向量的坐标表示列式，求出COSe范围作答.

(2)利用数量积的坐标表示求出函数/(X),再利用换元法结合二次函数性质求解作答.

【详解】(1)当X=；时∙，α=(√∑,2cosd),〃与C的夹角为钝角，

于是“∙c<O,且“与C不共线，

则a∙c=-3y∕2+8cosθ<0>解得COS。<,又6w(θ,π),即COSew(—1,1),

,

则有-1<cos8<3,,又当°与C共线时，40^+6cosd=O,解得CoSe=-12

因此α与C不共线时，COS9≠-迥,

3

所以CoSe的取值范围是(-1,-半)7(-

(2)依题意，当6=1时，f(x)=ah=(sinx+cosx,l)∙(^,^sin2x)

=VJSinX+Gcos^+ɪsinIx=6(Sinx+cosx)+sinXCOSx,

4k/=sinx+cosɪ=√2sin(ɪ+ɪ)∈√2],则sin%CoSX=,

42

于是〃*)=疯+一=，/+出『-2,而函数y=；(f+C)；2在f∈[-"应]上为增函数，

则当r=-√Σ时，y有最小值g-α,

所以/(x)的最小值为

22.已知函数/(x)=4cos0x-cos(0x-?)-l(0＞O)的部分图像如图所示，若A8∙8C=[■-8,B,

C分别为最高点与最低点.

(2)若函数y=∕(