2023年湖北省孝感市成考专升本高等数学二自考模拟考试(含答案带解析)

2023年湖北省孝感市成考专升本高等数学

二自考模拟考试(含答案带解析)

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题(30题)

1曲线y=•在点处的切线方程为

1.cʃ------------

函数y=，4—彳+ln(∙r-l)的定义域是

AA(。㈤

B.(l,4]

C.(l,4)

D.(1,+8)

3.设f(x)=xe2(χ-D,则在x=l处的切线方程是()。

A.3x-y+4=0B.3x+y+4=0C.3x+y-4=0D.3x-y-2=0

4已知α为常数M)=2∙,则回ZF等于()A2hB,α∙2α-1C.2aln2

D.0

5.函数f(x)=(χ2-l)3+l,在X=I处【】

A.有极大值1B.有极小值1C.有极小值0D.无极值

6f(xo)=O,f"(xo)>O,是函数y=f(x)在点x=xo处有极值的()。

A.必要条件B.充要条件C.充分条件D.无关条件

7对函数/(x,ʃ)=√x2+/.原点(0,0)

A.A.是驻点，但不是极值点B.是驻点且是极值点C不是驻点，但是极

大值点D.不是驻点，但是极小值点

lim∕i÷AΓ=

9.若随机事件A与B相互独立，而且P(A)=O.4,P(B)=O.5,则P(AB)=

A.0.2B.0.4C.0.5D,0.9

10.当X—>0时,若sin?与Xk是等价无穷小量，则k=

A.A.1∕2B.1C.2D.3

设/(H,y)=1n(H+j).则/',(I」)=(j

A.In2

RJ

C-In2

lλ■∙y

11.

已知函数/(x)=?,则lim∕(l÷Δr)-∕(Ds

12.I∆x()o

A.-3B.0C.lD.3

13.设IOO件产品中有次品4件，从中任取5件的不可能事件是

()O

A.“5件都是正品”B.“5件都是次品”C，至少有1件是次品”D.“至少有

1件是正品”

IyI设函数Z=Sin(Xy2),则24等于().

1Q・ər

A.y4cos(xy2)

B.-y4cos(xy2)

C.y4sin(xy2)

D.-y4sin(xy2)

B.'

丁97

当”fl时，定是1一石的

16.[]A.高阶无穷小B.

低阶无穷小C.等价无穷小D.不可比较

*设/(X)为连续函数，则(/'(2x)dx=

A.∕(2)√(0)

B2[f(2)√(O)]

ɪ[f(2)√(O)]

C.2

ɪ[/-(ɪ)√(O)]

D.2

若/（才）为偶函数，则「/（，）山是

JO

A.奇函数B.偶函数C非奇非偶函数D.周期函数

19.

设函数八工）=产二工号1贝∣J/Cr）在Z=I处

（X—1,x<l

A.不连续

a连续但不可导

c.连续且∕z（i）=一ι

D.连续且/（1）=1

20.反常积分∫“白dx等于（）.

A.A.1B.l/2C.-l∕2D.+∞

91函数》=2尸+3/-121+1的单调递减区间是

22设函数I=In(X+y),则称L“=().

A.0B.1/2C.ln2D.1

(5√+2)<lr=

23√,

A.lB.3C.5D.7

24当工-O时∙si∏3x是2”的

A.低阶无穷小量B.等价无穷小量C.同阶但不等价无穷小量D.高阶无

穷小量

ɔ-⅛5∫∕(x)dx=e^2,*l+C,则J∕(2x+Ddx=

∕3∙X)O

A.""+C

B.Y"*'+C

/(2Ax)~∕(0)

26设函数/(“)=Um与，则‘吧等于().

A.-2B.-lC.0D.2

若./Q)CLr=F(τ)+C∙则SiTLry(COSʃ)dʃ等十()

Λ.F(siar),(,

B.FCsiru)一('

CF(cosjr)LC

FI).^F(cos√)+C

28.下列广义积分收敛的是O0

dɪ

InIZlCLr

CJ-OO

∙+∞

eʃdɪ

1

设加是常数，则Iim史装等于

29.I1()o

A.0

B.1

C.m

1

2

D.zn

30.

已知y=2∙+∕+J,则，等于().

,

A.2,+2x+eB.2*lnx+2x+2e

C.2"ln2+2xD.«∙2"^,+2*

二、填空题（30题）

.二元函数Z=—½-的定义域是

1÷⅛

31.

32.

设f(cos2x)=sin%,且/(0)=0,则/(ɪ)等于

33.

设y=∖n,y-2x∖nx确定函数y=y(∙r),则y'=.

34.

设Z=(SinZ)Co”(0VJrVTt),则dz=

35.曲线y=sin(x+l)在点GLo)处的切线斜率为

_,∫'-----------dx=.

36.J"L+3x+2--------------

37.

设Z=且/“）可微.则-=

39.

设Z=“InV,而U=CoSx,v=ej>则业=

dx

40.

〃一1

41.设产=4+3,则产'

设函H/(ɪ)可导11/(0)-。.则hm㈢

42A∙∕<χ>a∕<o>c./(0)∏fZco>

若Iim电史∙=5,则八____________.

43.…kx

44设y=lnx-x,求dy.

45.黑(嚼

46.设函数f(x)=ex+lnx,贝∣Jf'(3)=

47.

48.

49.设f'(sinX)=CoS2χ,贝IJf(X)=o

50.

函数U=2τy-3x:-3yi+20在其定义域上

A.有极大值，无极小值B.无极大值,有极小值

C.有极大值,有极小值D.无极大值，无极小值

JJ

丁［(t÷arctant)d:=________・

5LdxJo

52.

设函数9(I)=Jt∙e'd/<H∣］tp'(.x)—

,1,

A.τe∙B.-j-e^C.2je∙,D.-2x3e'

I⅛dr^-------------

53.

54.

不定积分［±8sɪdɪ=--------------

计算

55.

56.

函数ʌ,=|sɪnɪI在H=O处的导数为

A.-1B.0C.1D.不存在

57.函数曲线y=xe”的凸区间是

58.

ZSinX

设/(x)=,则/(χ)=

1+COSx

59.

设函数y≈2x2+ax+3在点x=l处取得极小值，则α=.

60.

ə7

设z=arccot(x+),则痴=.

三、计算题(30题)

61.①求曲线y=x2(x≥0),y=l与X=O所围成的平面图形的面积S:

②求①中的平面图形绕Y轴旋转一周所得旋转体的体积Vy.

62.

计算二重积分/=+_/+3y)d∙rdy.其中D=((J>>)|÷≤u∖x≥0).

设函数/(r)-一£/♦1】.求/(工)在1-1.2］上的最大值与最小值.

63.3J

求“yc"cLrdy∙其中区域D由y≡=y9y=2,工Hl及N=2所围成.

Aq设函数之=(2］+J)，.',求dz.

66已知八°〉=/(0)=一1./(2)=∕(2)=I.求［.""""Lr.

计算定积分，/2Z一工&.

67.

ɪ.工)0，,

求jʃ(ɪ-1)&・

设∕ɑ)

ɪ<0∙

I÷e/

68.

的导致条

求函数.V=Jj

69.

rc求定积分

70.

设下述积分在全平面上与路径无关:

一号卜

J1ɪ/f(ɪ)dʃ+[6N)dy,

71.其中函数仪力具有连续导致.并且6D=1.求函数6工).

72.什咪/^必

73.求函数/(ɪ)=Her在定义域内的最大值和最小值.

求微分方程,y,=*+—曲的通解.

74.CoSy

75.求解微分方程∙r∣n∙rdy+(y-lnɪ)dʃ=0满足条件>(e)=1的特解.

76.设函数y=χ4sinx,求dy.

设z=(%y)是由方程x,+√-e'=O所确定的Ift函数,求生.

//.aɪ

计算不定积分I工^27+Tir.

/O.-

79.设曲线y=4-x2(x≥0)与X轴，y轴及直线x=4所围成的平面图形为

D(如

图中阴影部分所示).

①求D的面积S;

②求图中X轴上方的阴影部分绕y轴旋转一周所得旋转体的体积Vy.

求极限物(若总1+ST)c°4>

计算定积分/codJrSinɪdʃ.

81.

求不定不分j,4二亍山

82.Jɪ,1+工

83求微分方程2，"+5y'=5/-2J-I的通解.

2

求?乳产Q

84.

求极限Iim

85.

求极限Iim(J-ɪ-).

86.'∙*hsJ-1

87.求函数z=x2+y2+2y的极值.

88.求微分方程3/5J'—5y'=°的通解.

求极限IimJ

89.…’

设D是由曲线N-ʃ(ɪ)与直线y=0.y-3圈成的区域,其中

(**.x≤2.

/(ɪ)-J

6X∙∙r>2・

90.求D绕P”艇转形成的旋*体的体积.

四、综合题(10题)

设平面图形D是由曲线y=直线y=C及"轴所围成的•求：

(1>平面图形D的面枳I

91(2)平面图形D绕y轴旋转一周所形成的旋转体的体枳.

92证明方程/-3工一1=O在1与2之间至少有一个实根•

93.求函数八，)Jz'注定义域内的最大值和最小值.

94.

一房地产公司有50套公寓要出租,当月租金定为2000元时.公寓会全部租出去，当月

租金每增加100元时•就会多一套公寓租不出去,而租出去的公寓每月需花费200元的维修

瘠.试问租金定为多少可获得最大收入？最大收入是多少？

Q<M方程e*-⅛-∫:rhdl=°在区间((M)内有*的实根•

CN求函Hy-蚂的单■区间.俄值及此函数曲蛾的凹凸区间•拐点和渐近线•

VO.,

97.

设函数y=αr3-60r2+6在［—1,2］上的最大值为3,最小值为一29,又α>0.求

Q只求函数V=^6>一P的单调区间和极值.

证明：当工>0时,ln(l+G>+-.

99.ɪ+∙r

100,时论函数/U）=ɜʃ-ʃ的单调性.

五、解答题（10题）

101.

甲乙两人独立地向同一目标射击,甲乙两人击中目标的概率分别为0.8与0,两人各射击

一次,求至少有一人击中目标的概率.

102.

设/=（tanɪ）ʃ,求dy.

103.（本题满分8分）

104.

盒中装着标有数字1,2,3,4的乒乓球各2个，从盒中任意取

出3个球，求下列事件的概率。

（I）A=｛取出的3个球上最大的数字是4｝.

（2）8=｛取出的3个球上的数字互不相同｝.

孑2

105.设『'存在，z=l∕xf(xy)+yf(x+y),求在Iθ∙v

106.

求函数z=2d+3变在工=10,y=8,Ar=0.2,Ay=0.3时的全增量与全微分.

107.求由曲线y=j2JE2^J=I所围成的平面图形的面积。

108.（本题满分10分）已知函数∕6）=αd+bJ+CX在点%处取得极大值5,其导函数y=

/'（"）的图像经过点（1,0）和（2,0）（如图2-1-1所示）.

（1）求极值点%的值；

设函数/（x）=A'HX；）,求常数公使/（X）在点X=O处连续.

2x^aX70

[ZrAr

no.求下列不定积分：∙ακ

六、单选题（0题）

UL已知却C）]+MK）等于（）∙A.-2B.-1C.l/2D.1

参考答案

v≡≡*一√?y≡X-√2

JL∙

2.B

3.D

因为f'(x)=(l+2x)e2fχ-1∖f'(l)=3,则切线方程的斜率k=3,切线方程为

y-l=3(x-l),即3x-y-2=0,故选D。

4.D利用函数在一点可导的定义的结构式可知图&生产人尸(》

注意到本题中/(X)=T是常数函数,所以((X)=0,所以选D.

5.D

2j,2

/(Z)=(X-l)+LUf(x)=6x(?-D14∙f'(x)=0,得鸵点ɪɪ=-ltz2=0tχj=1,

当0<r<l时/(z)>0,当z>l时j'(z)>O,故/(工)⅛τ3=1处不取极值.

6.C

7.D

由于'(X'62+y2庆7‘

显然，f；(0,0)、4(0,0)均不存在.

在原点的某邻域内，当(x,>)W(O,0)时，总有/(X..=Jx2+八O=/(0,0),

所以，原点(0,0)不是驻点，但是极小值点.

8.e'e'

9.A

10.C

当⅛=2时,有Iim叫F=Iimf电竺］=I.即sin~~χ2,选C.

>→oχi>→β<X)

11.B

12.D

∣im'd+竺=/，(刈=3X2∣=3.

∆ι→oʌrJIE∣ι≡ι

13.B

不可能事件是指在一次试验中不可能发生的事件。由于只有4件次

品，一次取出5件都是次品是根本不可能的，所以选B。

14.D

Z对X求偏导时应将y视为常数，则有

∣∣=cos(xy2)∙y2,£j=-y2sin(x√).「=∙√sin(√i),所以选口.

15.B

Hf亡卜子患.

16.C

1一1

由Iim———X-Iimɪ=1,所以当ɪ-►1时，ɪ.ɪ与1—Jx是等价无穷小.

ʃ-ɪj-JJCχ-ι1+X1+ɪ

17.C

本题的关键是/'(2x)=当俘，.

d(2x)

困为∕,(2x)d(2x)=d∕(2x),

所以J"'(2x)dx=，j7'(2x)d(2r)=ɪ/(2Λ),=ɪ[/(2)-/(0)].

2202

18.A

记F(x)=ʃ/(z)drt

则F(-χ)=ʃθɪʃ(/)dz----[y(-M)(-du)(0/(ɪ)为偶函数•故f(z)=f(—Z))=-J：f(〃)du=-F(z).

所以F(I)是奇函数.

19.D

20.D

本题考查的知识点是反常积分收敛和发散的概念.

直接计算：f—dx=Iim[r-ɪ-d(lnx)≡Iimln(Inx)∣*=Iimln(ln6)=÷∞,

J・xlnxJ∙∙J.InxJ∙∙

所以反常积分是发散的，选D.

21.(-21)

22.B此题暂无解析

23.B

24.C

25.C

2t2,u,-,,

∫∕(2x+l)d⅛=∣∫∕(2x+l)d(2x+!)=le^*'+C=∣e^'+C.

先求出/(x),再计算不定枳分也可以.

因为/(x)=-2e3,

则/(2x+1)=-2e2c

=-2e"∣.

所以J∕(2x+Ddχ=-2∫c4*^'dχ

=le*->+c.

2

26.D

根据函数在一点导数定义的结构式可知

Iim〃2丝-皿，(0)=2(tanx)'|=2—ɪɪ-=2,

A∙→O∆xI>>ecosX∙∙β

选D.

27.D

28.B

29.A

30.C

答应选C.

提示用基本初等函数的导致公式•

31.

11

3252ʃ~2

2j(1+lnz)2j(1+lnz)

33.1-y1-5,

34.cosxcosy(sinx)cosy-ldx-siny(sinx)cosy-l∙lnsinxdy

由丁=cosy∙(sinz)c05rl∙COSJ,—=(si∏j)σβy∙lnsinɪ•(-Siny),所以dz=

əɪ∂y

COSJCOSy(Sinɪ)Ey1dr-siny(sinx)ωljrInsinxdy.

35.1

因为y,=cos(x+l),则y,(-1)=1.

36.21n2-1∏3

［解析］「r-------Ck=「------ʌ-------dr

J°X2+3X+2JO(X+D(X+2)

=£ɪ-ɪ-----^^dx=［ln(x+l)-In(x+2)］

=2In2-In3.

37.

38.

3xif(xj-/)

［解析］生=粤Q］"=3x?r(Xf，).

∂x∂u∂x

39.cosx-xsinx

方法

dz∂zdu∂zdv.,.u

—=----F~~—,—=i1nV,(—sinX)4~一∙cx

dxσudxσvdxv

.ιcosx

=-sinxInex÷-------ex=-Λsmx+cosx

ex

方法二

=cosx,v=ejc代入z="InV中，得

z=Cosxlnex=XCoSJC

贝IJ-=cosx-xsinx

dx

40.1

Iim=IimJ(P—D=1.

jy∣t—1/^*1√Z—1

41.

【答案】应填-/x^τ-cosX.

【解析）本题考查的知识点是由函数的n-2阶导数求n阶导数.

由于3"力"=*,则有

产）=(•/»+coβX)♦=(ɪɪ^7-sinx)=--^∙x^τ-cosx.

42.B

43.

解y,=--2xdy=(-^--2x)dx

44.XX

45.

48.

x--^-xj+Cx--xi-∖-C

49.33

50.A

51.x+arctanx.

52.C

53.

∣lnτ+C

-sin工+C-sin工+C

54.ɪɪ

211-jc_i1

解lim(------------)=Iim-=Iim------=—

55HXZ5-]χ-l*→ιX2-1IlJC+12

56.D

57.(-∞2)

58.

z+sinz

1+cosH

59.-4

60.

-及-=-------1------a(JC+y)、=------1----

∂yI-F(X-Fy)2∂yl÷(Λ+y)2

61.①由已知条件画出平面图形如图阴影所示

S=((I-√)<k=[x-^j∣^=∣,

②旋转体的体积

l>f*dy=∫:Ddy吟”:唠

由对称性知』3y<Lrdy=0,所以

U

I=∣T(JJ÷yi)drdy

62..

由对称性知』3"kdy=0,所以

U

It,

I=∣],(J+y)djrd-v—2[d^ʃrdr=ɪɑ'.

63.

∕v(j)=>-51+4.令/(ʃ)=0,得脏点Jj=1.4=4.

由于40[-1.2],因此应该舍掉.又/U)=⅛√<-l)=-⅛.∕(2)-ɪ

OOO

可知/(∙Γ)在[1.2]上的最大值点为∙Γ=1,最大值/<1)=弓；最小值点为∙r=-I.最

小值为八一口=⅛.

O

z

f(j)=/-5jr+4.令/(ʃ)=0.得驻点ɪɪ=l.Jl=4.

由于40[-1.2],因此应该舍掉.又/(I)=⅛.∕(-D=-⅛.∕C2)=⅜.

OOO

可知/(J∙)在[-T.2]上的最大值点为∙Γ=1,最大值/(I)=最小值点为I――1♦最

小值为/(-D=⅛.

D

64.

画出枳分区域图Q,如图所示，

考虑到被积函数的情况.先对工积分较宜.

∣>ez*dʃd,v=ʃd>J>eoCLr+ʃ：dyjIerjɪ

2vJ:,

=ʃ(e∙-Cydy÷ʃι(e-e)dɔr

=⅛e'~e,∙

画出枳分区域图D∙如图所示，

考虑到被枳函数的情况•先对ʃ枳分较宜.

rvo,f

f]›edxd>r=ʃd>J>e(Lr+ʃιdvʃiyetdʃ

(e2∙ψ—<√)dy÷jɪ(e:,-e)ʤr

=⅛e'-e*∙

65.

方程两边取对数.得

Irw=(ʃ+2y)ln(2j÷y)•

两端微分有

ɪdʃ=(dr÷2dy>ln(2<r+›)+(ɪ÷2y)----•

所以dz=(2J+y)i”(□n(2∙r+y)+2∙+[2ln(2j+>)+

Zi+yZx÷>

方程两边取对数,得

lnʃ=(ʃ+2ty)ln(2x+›)•

两端微分有

ɪdʃ=(dʃ⅜2dy)ln(2*+y)+(ʃ+2›)----

ɪι∙y

所以dr=(2J-+>)^{[IΠ(2J+>)+2•+[2ln(2j÷+5-⅛2ld>∙

d*iyCtX,ιy

ʃ产/*《1)CLr=Jjd/(i)=[J∕'(N)[-ʃf(ɪ)dʃ

=2/(2)-[八叫：=2-2=0.

ʃjcf^(ɪ)dɪ=ʃɪdf,(ʃ)=^ɪ/'(ɪ)ʃ—J∕z(x)dr

=2/(2)—[/(x)"∣=2-2=0.

Jy∕2x—X,dɪ=fʌ/l~(ɪ—l)2d(j—1)=√T-7rd∕

J0J-I

令f-Ninλf0

’・一cosΛ∙cos∕ιdΛ

JT

=-ɪ-ʃJ1+COS2Λ)dΛ

=钉1产+£[\皿2人*2/»)-

N手+%的∣lf=?

67.

ʃ∙∕2J—xidx—ʃ、/1-("一l)'d(<r—1)=y/1-rd/

J-I

.∣nACO

cosΛdΛ

JT

=⅛Γ√

1÷cos2A)dλ

dΛ+y^cos2Λd(2Λ)'

=t÷⅛sin2λl^=f∙

令hI1―〃・则CLr=(I〃■当工S[θ∙2]时W[―ɪ∙1].于是

原式=J/(ɪ—1)dʃ

=Jf(,u)du

=Jf(u)du÷ʃf(u)du

=Γɪdʃʌɪdɪ

J-I1÷eJo1÷ɪ

68.=ln(1÷e).

令.1≡=U,则CLr=C1“,当IS[0・2]时・〃£[―1.1].于是

原式二J/(ɪ—ɪ)dʃ

=J/(u)du

=ʃ/(tt)du÷ʃ/(u)du

=「ɪdʃ4,rɪlr

J-l1+eʃJo1+工

=ln(1+c).

两边取自然对数得

InIjI=2lnIɪ1+ɪ[ɪnI1—ʃ|—In|1+ɪ|],

两边对，求导得

i

y1/=72+,τl[rπ-l^-τ+ɪ7j1∙

u/F2I11η

即ny=>[τ÷3(7→)-3(T+T)}

故

啦二[2,∕ΣΞΞΓ1—ɪ-------------ɪ—1

dʃVl+ʃ[ɪ+ɜ(ʃ-1)ɜ(ɪ÷1)J∙

69.

两边取自然对数得

ln∣j∣=2ln∣j∣+-∣∙[ln1—x∣-ln∣1÷J∣],

两边对，求导得

即vz=V「2-I------1--------------1—1.

即yy|_x3(x-1)ɜ(ʃ+1)J,

故

dy=sVl-ɪr2,____1_____]

d/=工√ΓT^[7ɜ(ʃ-1)-ɜ(ɪ+1)

「贤"=L谭公+「当业

〃Γ∙,

≡-ʃιlru*d(2√Cr)÷Jlnxd(2ʌ/ɪ)

=-2√ɪlnɪI1+J^zxlɪ+2√G^rκr

―}+4,+4eT√7∣:=8(1-j)∙

dj

「号&=L谭&+J：⅛

h—∖lru*d(2√7)+flnxd(2√Cr)

J∙Jl

=Tanɪn[,2dʃ+2ʤJ-ʃɪ,dɪ

rIfβ8(1^⅛)∙

——+4.f+4e-44

,1

JP=-∣∙y9><x).Q=俨工)—y^V.

由积分与路径无关,得

刈=更.

ðɪ∂y

即

(φz(j)—•x)y-3>ψ(x)或φ/(j)-3φ(j)≈ʃ.

得

』*

φ(x)=e-Hq_rd_r+C]

=e-,∙^∫xe*u<Lr+C]

=叫一ɪʃɪde^+C]

=e*,[-j(xe^,*-ʃe-^dʃ)+C]

=e"[-⅛(-u÷⅛e")+c]

=—ɪ—ɪ-+Ce”.

«)∙z

由φ>(l)=1得.1=—[-]+mc二号厂.故有

^<x)≡.f-⅛÷⅛ejl'π∙

71.

P=y∕φ(x)∙Q=[6工)一ɪ!V.

由积分与路径无关,得

迨=也

ðɪ∂y*

即

(√(j)—ɪ)ʌr≡≡3yφ(x)或φ/(x)-3φ(j)=ʃ.

得

φ(jc∖>H。-卜如[卜』-山<!工+勺

=e-"[&e-"<lr+c]

=/[-yjjde^κ,+Cj

≡叫一j(xe^1,-∫e^udj)+C]

=叫T(i+W)+q

由g(D=I得.]=_ɪ—y+CeL解得C=导「放有

ɪ1113Xr1>

φ(x)=--^3^7+Ve•

用换元积分法.令∙r=tan/.则

2

----------jdʃ=I'—J-------------------secZdr

Jt.J∖+12Jftan^∕∙sec/

=ʃ:cscZ∙COttdr

,ɪ3√2-2√3

=-CSCZ=—―5——•

72.τJ

用换元积分法.令」=tan/・则

『一L=U1，

-----------sectdjt

Jl*z∙/Γ+JrJftan/∙sec/

=ʃ:CSCZ

•cotzd∕

ɪ_3√2-2√3

=­CSa

?3,

73.

,j

函数/(ʃ)=Je^的定义域为《-8.+8),且/(j∙)处处可导;

因为∕,(jr)=e^,—ʃe4=e'(l—工)，令f(x)=O

得驻点工=1.且JrVl时.，(才)>0.J>1H∙t.∕(j-)<O

所以/(1)=e,=ɪ为函数ʃ(ɪ)的最大值.

e

又Iim/(ɪ)=IimereF=-81

Iim/(ʃ)=Iimʃej=Iim===Iimɪ=0.

上i・r∙∙∣∙3尸e∙'e

于是f(x)定义域内无最小值。

函数/(x)=τe~1的定义域为(—8,+00),且/(ʃ)处处可导;

因为f,(.Jr)≈e~*—are'=bFl一工).令f(ʃ)=O

得驻点1=1.且zV1时.∕∖J∙)>0,j∙>1B∙t.∕(j-)<O

所以/(1)=e,=ɪ为函数ʃ(ɪ)的最大值.

C

又Iim/(ɪ)=Iimɪer=-81

Iim/(ʃ)=Iimɪej=Iim工=Iimɪ=0.

于是f(x)定义域内无最小值。

74.

方程两边同乘以COSy,则得cosy∙y's=∙r+1—siny,即

d(sinv),..

—五产—Fsɪnɔ/=X+1.

令U=Sinw则方程化为“=∙r+l∙属线性方程,用求通解公式得

u=e^Id,[j(j÷l)e∫,u+C]

=e-[J(∙x+1)eʃdʃ+C]

=e^ʃɛ(ɪ+De*—er+C]

rz

=c*(je÷C)4

则原方程的通解为siny=c,(xej+C).

方程两边同乘以COSy•则得CoSy∙y'=l+1-Siny,即

⅛^÷siny=x÷l.

dʃ

令U=Siny,则方程化为,+〃=*+1.属线性方程,用求通解公式得

u=e-IAr[[(J+l)eld4+C]

=e^[ʃ(ɪ+1)crdr+C]

=e^ʃɛ(ɪ+De,—e'+CJ

则原方程的通解为

将微分方程改写为案+加7

这是一阶线性微分方程，我们用公式法求解.

y=e-J^d,[Jɪeʃɪɪ^^dɪ+C

=i⅛(I3"+C)

β⅛lnx+⅛

将y(e)=1代人.解得C=；.所以特解为

y,=⅛(lrur+⅛)∙

将微分方程改写为定+j⅛y=j

这是一阶线性微分方程，我们用公式法求解.

1,,C

=Rn∙r+后'

将y(e)=1代入,解得C=3.所以特解为

.1lnj÷⅛)∙

y=2

76.因为y,=4x3sinx+x4cosx,所以dy=(4x3sinx+x4cosx)dx

77.设F(x,y,z)=x2+y2-ez,

则g=2χ,

∂F

所以∂z∂x2x

—="----=—i.

∂×arc

aɪ

令北7+1=〃•即r=-ɪ-(U4—ɪ)*cLr=4<∕du.于是

JJr>∕2x+ɪdʃ=ʃɪ(ui-1)∣4∙-∣it2dα

一u∣)du=—ɪtt*+C

—^(2jr+l)T-^(2x÷υ÷÷C

78.

令42Jr+I=".即∙τ=-ɪ-(u—1)vcLr≡,/du•于是

t

ʃɪYLJt+Idz=ʃ-∣-(MJ-I)U∙-∣-tt*dtt

^27f<w<u1)du=ɪu7-ɪn'+C

4JZo16

l°l⅜^⅛(2x+n÷-⅛(2x+l)÷+C.

4010

79.

①S=f(4-X2)dx-J(4-x2)dx

J0

4

=(4x-⅜)L-(X*T)L=16,

4i

②匕=πj×dy=πj(4-y)dy

=n(4y-4√)I=8U.

COSyI≤1.

V当∙T∙→O时是无穷小W,

：•lim(ej-1)cosɪ=0.

，・。X

而IimE-e7e"+e'ɪ

r-*08Isin3x8•3∙eosɜʃ3

:•原式=J+0=[

80.OJ

COSyI≤1,

V当“f0时是无穷小鼠,

:∙IimS—1)cos—≈Q.

-e=Iim7e"÷<x=I

而Iim-ι

*♦0I8sin3jrLO8∙3∙CoS31

ʌ原式=W+°=V∙

Ou

设U=cθλr∙则du=—Sinj∙cLr♦当jr≡≡O时U=11当Jr=5时,〃=0

_.原式=-u`du

81.T4

设〃=cow■则du=-sinɪdʃ•当Jr==O时V=1.当工=£•时∙u=0

原式=_Juydu=—:

：・4*

1令，.tan/

Qr――^≡≡≡≡≡≡----∙-----------∙sec2rd/

Jr1∙√T+7rtanr∙seel

d(sin/)

1八变■同代