概率论与数理统计习题集及答案-1

概率论与数理统计习题集及答案－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

《概率论与数理统计》作业集及答案

第1章概率论的基本概念

§1.1随机试验及随机事件1.(1)一枚硬币连丢3次，观察正面H﹑反面T出现的情形.样本空间是：S=

(2)一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数.样本空间是：S=2.(1)丢一颗骰子.A：出现奇数点，则A=；B：数点大于2，则B=(2)一枚硬币连丢2次，A：第一次出现正面，则A=；B：两次出现同一面，则=；C：至少有一次出现正面，则C=；b5E2RGbCAP；p1EanqFDPw.DXDiTa9E3d.

§1.2随机事件的运算

1.设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件：(1)A、B、C都不发生表示为：.(2)A与B都发生,而C不发生表示为：.RTCrpUDGiT(3)A与B都不发生,而C发生表示为：.(4)A、B、C中最多二个发生表示为：.5PCzVD7HxA(5)A、B、C中至少二个发生表示为：.(6)A、B、C中不多于一个发生表示为：.jLBHrnAILg2.设S?{x:0?x?5},A?{x:1?x?3},B?{x:2??4}：则（1）A?B?（4）A?B=，（2）AB?，（5）AB=，（3）AB?。，

xHAQX74J0X

§1.3概率的定义和性质

1.已知P(A?B)?0.8,P(A)?0.5,P(B)?0.6，则(1)P(AB)?,(2)(P(AB))=则P(AB)=,(3)P(A?B)=..LDAYtRyKfE

2.已知P(A)?0.7,P(AB)?0.3,

§1.4古典概型

1.某班有30个同学,其中8个女同学,随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,(2)最多有2个女同学的概率,(3)至少有2个女同学的概率.2.将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.

§1.5条件概率与乘法公式

1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7,则其中一颗为1的概率是2.已知P(A)?1/4,P(B|A)?1/3,P(A|B)?1/2,则P(A?B)?。。

§1.6全概率公式

1.

有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。Zzz6ZB2Ltk1/19

2.

第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中随机地取一个球，求取到红球的概率。dvzfvkwMI1

§1.7贝叶斯公式

1．

某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求（1）该厂产品能出厂的概率，（2）任取一出厂产品,求未经调试的概率。rqyn14ZNXI

2．将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，B被误收作A的概率为0.01，信息A与信息B传递的频繁程度为3:2，若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？EmxvxOtOco

§1.8随机事件的独立性

1.电路如图，其中A,B,C,D为开关。设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为p,求L与R为通路（用T表示）的概率。SixE2yXPq5ALCDBR

3.

甲，乙,丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为0.4,0.5和0.6，是否命中，相互独立，求下列概率:(1)恰好命中一次,(2)至少命中一次。6ewMyirQFL

第1章作业答案

§1.11：（1）S?{HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}；（2）S?{0,1,2：（1）A?{1,

2,3}

3,5}B?{3,4,5,6}；

（2）A?{正正，正反},B?{正正，反反},C?{正正，正反，反正}。§1.21：(1)ABC；(2)ABC；(3)ABC；(4)A?B?C；(5)AB?AC?BC；(6)AB?AC?BC或ABC?ABC?ABC?ABC；

2：(1)A?B?{x:1?x?4}；(2)AB?{x:2?x?3}；(3)AB?{x:3?x?4}；

2/19

（4）A?B?{x:0?x?1或2?x?5}；（5）AB?{x:1?x?4}。§1.31：(1)P(AB)=0.3,(2)P(AB)=0.2,(3)P(A?B)=0.7.2：P(AB))=0.4.

28101019810101910§1.41：(1)C8,(2)(,(3)1-(C22.C22/C30（C22?C8C22?C82C22）/C30?C8C22）/C30

2：P43/43.§1.51：.2/6；2：1/4。§1.61：设A表示第一人“中”，则P(A)=2/10设B表示第二人“中”，则P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=

21822????10910910

两人抽“中‘的概率相同,与先后次序无关。2：随机地取一盒，则每一盒取到的概率都是0.5，所求概率为：p=0.5×0.4+0.5×0.5=0.45§1.71：（1）94%（2）70/94；2：0.993；§1.8.1：用A,B,C,D表示开关闭合，于是T=AB∪CD,从而，由概率的性质及A,B,C,D的相互独立性P(T)=P(AB)+P(CD)-P(ABCD)=P(A)P(B)+P(C)P(D)–P(A)P(B)P(C)P(D)

?p2?p2?p4?2p2?p4

2：(1)0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38；kavU42VRUs(2)1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.

第2章随机变量及其分布

§2.1随机变量的概念，离散型随机变量

1一盒中有编号为1，2，3，4，5的五个球，从中随机地取3个，用X表示取出的3个球中的最大号码.,试写出X的分布律.2某射手有5发子弹，每次命中率是0.4，一次接一次地射击，直到命中为止或子弹用尽为止，用X表示射击的次数,试写出X的分布律。y6v3ALoS89

§2.2

0?1分布和泊松分布

1某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X是服从λ=4的泊松分布，求(1)每分钟恰有1次呼叫的概率；(2)每分钟只少有1次呼叫的概率；(3)每分钟最多有1次呼叫的概率；2设随机变量X有分布律：X23,Y～π(X),试求：p0.40.6（1）P(X=2,Y≤2)；(2)P(Y≤2)；(3)已知Y≤2,求X=2的概率。

§2.3

1

贝努里分布

一办公室内有5台计算机，调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6，计算机是否被使用相互独立，问在同一时刻M2ub6vSTnP(1)恰有2台计算机被使用的概率是多少？3/19

(2)至少有3台计算机被使用的概率是多少？(3)至多有3台计算机被使用的概率是多少？(4)至少有1台计算机被使用的概率是多少？2设每次射击命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于0.9？

§2.4

随机变量的分布函数

x??1?0?1设随机变量X的分布函数是：F(x)=?0.5?1?x?1?1x?1?

（1）求P(X≤0)；P?0?X?1?；P(X≥1)，(2)写出X的分布律。

2设随机变量X的分布函数是：F(x)=?1?x

?Ax???0

x?0x?0

,求（1）常数A,(2)P?1?X?2?.

§2.5

连续型随机变量

1设连续型随机变量X的密度函数为：f(x)??

?kx0?x?1?0其他

（1）求常数k的值；（2）求X的分布函数F(x)，画出F(x)的图形，（3）用二种方法计算P(-0.50.5).

§2.6

均匀分布和指数分布

4/19

1设随机变量K在区间(0,5)上服从均匀分布,求方程4x+4Kx+K+2=00YujCfmUCw有实根的概率。2假设打一次电话所用时间（单位：分）X服从??0.2的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试求你等待：（1）超过10分钟的概率；（2）10分钟到20分钟的概率。eUts8ZQVRd

2

§2.7

正态分布

P(X>3)；sQsAEJkW5T

1随机变量X～N(3,4),(1)求P(22),(2)确定c，使得P(X>c)=P(X

(2)P(X≥1)=0.981684,(3)P(X≤1)=1-P(X≥2)=1–0.908422=0.091578。2：(1)由乘法公式：

P(X=2,Y≤2)=P(X=2)P(Y≤2|X=2)=0.4×(e

?2

?2e?2?2e?2)=2e?2

（2）由全概率公式：P(Y≤2)=P(X=2)P(Y≤2|X=2)+P(X=3)P(Y≤2|X=3)zvpgeqJ1hk=0.4×5e

?2

+0.6×

17?3e=0.27067+0.25391=0.524582

（3）由贝叶斯公式：P(X=2|Y≤2)=

P(X?2,Y?2)0.27067??0.516P(Y?2)0.52458

§2.31：设X表示在同一时刻被使用的台数，则X～B(5,0.6),

2(1)P(X=2)=C50.620.4334(2)P(X≥3)=C50.630.42?C50.640.4?0.65

4(3)P(X≤3)=1-C50.640.4?0.65

(4)P(X≥1)=1-0.4

5

2：至少必须进行11次独立射击.

§2.41：（1）P(X≤0)=0.5；P?0?X?1?=0.5；P(X≥1)=0.5，

(2)X的分布律为：XP-10.510.5

2：(1)A=1,

(2)P?1?X?2?=1/6

x?00?x?1；x?1

00.5?0.50

?0?2§2.51：（1）k?2，（2）F(x)??x?1?

（3）P(-0.5

第3章多维随机变量

§3.1

1.

二维离散型随机变量

设盒子中有2个红球，2个白球，1个黑球，从中随机地取3个，用X表示取到的红球个数，用Y表示取到的白球个数，写出(X,Y)的联合分布律及边缘分布律。1nowfTG4KI

2.设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为：XY试根椐下列条件分别求a和b的值；(1)P(X?1)?0.6；(2)P(X?1|Y?2)?0.5；01

00.10.1

10.2b

2a0.2fjnFLDa5Zo

(3)设F(x)是Y的分布函数，F(1.5)?0.5。

§3.2

1.

二维连续型随机变量

?k(x?y)0?x?1,0?y?1(X、Y)的联合密度函数为：f(x,y)??其他?0

求（1）常数k；（2）P(X

1.(X,Y)的联合分布律如下，试根椐下列条件分别求a和b的值；(1)P(Y?1)?1/3；

XY12

11/6a

21/9b

31/181/9

(2)P(X?1|Y?2)?0.5；（3）已知X与Y相互独立。

2.(X,Y)的联合密度函数如下，求常数c，并讨论X与Y是否相互独立？

2?cxy0?x?1,0?y?1f(x,y)??其他?0

第3章作业答案

§3.1XY122：(1)a=0.1b=0.3HbmVN777sL10.40.30.7(2)a=0.2b=0.220.30.0.3(3)a=0.3b=0.10.70.31§3.21：(1)k=1；(2)P(X

3.设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为：XY已知E(XY)?0.65，0

00.1

10.2

2a

则a和b的值是：10.1b0.2AVktR43bpw（A）a=0.1,b=0.3；（B）a=0.3,b=0.1；（C）a=0.2,b=0.2；（D）a=0.15,b=0.25。ORjBnOwcEd

4．设随机变量(X,Y)的联合密度函数如下：求EX,EY,E(XY?1)。

?xy0?x?1,0?y?2f(x,y)??他?0其

§4.2

数学期望的性质

01230.4（D）4.则E(X2?2X?3)是：

1．设X有分布律：X

（A）1；

p0.1（B）2；

0.20.3（C）3；

?5?yx2?y?1f(x,y)?2.设(X,Y)有，试验证E(XY)?E(X)E(Y)，但X与Y不?4?其他?0

相互独立。

§4.3

方差

1．丢一颗均匀的骰子，用X表示点数，求EX,DX.

2．X有密度函数：f(x)??

?(x?1)/4?0

0?x?2其他

，求D(X).

9/19

§4.4

常见的几种随机变量的期望与方差

1．设X~?(2),Y~B(3,0.6),相互独立，则E(X?2Y),D(X?2Y)的值分别是：3．-1.6和4.88；（B）-1和4；（C）1.6和4.88；（D）1.6和-4.88.

2.设X~U(a,b),Y~N(4,3)，X与Y有相同的期望和方差，求a,b的值。（A）0和8；（B）1和7；（C）2和6；（D）3和5.

§4.6

独立性与不相关性

矩

1．下列结论不正确的是（）（A）X与Y相互独立，则X与Y不相关；（B）X与Y相关，则X与Y不相互独立；（C）E(XY)?E(X)E(Y)，则X与Y相互独立；（D）f(x,y)?fX(x)fY(y)，则X与Y不相关；2．若

COV(X,Y)?0，则不正确的是（

）

（A）E(XY)?E(X)E(Y)；（B）E(X?Y)?E(X)?E(Y)；（C）D(XY)?D(X)D(Y)；（D）D(X?Y)?D(X)?D(Y)；3．（X,Y）有联合分布律如下，试分析X与Y的相关性和独立性。X－101Y－11/81/81/801/801/8）11/81/81/8.

4．E(XY)?E(X)E(Y)是X与Y不相关的（

（A）必要条件；（B）充分条件：（C）充要条件；（D）既不必要，也不充分。5.E(XY)?E(X)E(Y)是X与Y相互独立的（）

3．必要条件；（B）充分条件：（C）充要条件；（D）既不必要，也不充分。6.设随机变量(X,Y)有联合密度函数如下：试验证X与Y不相关，但不独立。10/19

?21x2y/4x2?y?1f(x,y)??其他?0

第4章作业答案

§4.1§4.2§4.3§4.4§4.5§4.61：B；2：3/2,2,3/4,37/64；3：D；4：2/3，4/3，17/9；2MiJTy0dTT1：D；1：7/2,35/12；2：11/36；1：A；2：B；1：0.2，0.355；2：－1/144,－1/11；1：C；2：C；3：X与Y不相关，但X与Y不相互独立；4：C；5：A；

第5章极限定理

*§5.1大数定理§5.2中心极限定理

3.

一批元件的寿命（以小时计）服从参数为0.004的指数分布，现有元件30只，一只在用，其余29只备用，当使用的一只损坏时，立即换上备用件，利用中心极限定理求30只元件至少能使用一年（8760小时）的近似概率。gIiSpiue7A

4.

某一随机试验，“成功”的概率为0.04，独立重复100次，由泊松定理和中心极限定理分别求最多“成功”6次的概率的近似值。uEh0U1Yfmh

第5章作业答案

§5.22：0.1788；3：0.889，0.841；

第6章数理统计基础

§6.1

1．

数理统计中的几个概念

，

有n=10的样本；1.2，1.4，1.9，2.0，1.5，1.5，1.6，1.4，1.8，1.4，则样本均值X=样本均方差S?

2

，样本方差S?

2

。IAg9qLsgBX。

2．设总体方差为b有样本X1,X2,?,Xn，样本均值为X，则Cov(X1,X)?

§6.2

数理统计中常用的三个分布

，

2?0.1(5)=

1.查有关的附表，下列分位点的值：Z0.9=

2

，t0.9(10)=

。

2．设X1,X2,?,Xn是总体?(m)的样本，求E(X),

D(X)。

§6.3

一个正态总体的三个统计量的分布

11/19

1．设总体X~N(?,?2)，样本X1,X2,?,Xn，样本均值X，样本方差S，则

2

X??

?/n

1

n

~

，

X??~S/n

，

，

?

2

?(X

i?1

i

?X)2～

1

?

2

?(X

i?1

n

i

??)2～

，

第6章作业答案

§6.1§6.21．x?1.57,

s?0.254,s2?0.0646；2.Cov(X1,X)?b2/n；

2．E(X)?m,

1．-1.29，9.236，-1.3722；

D(X)?2m/n；

§6.31.N(0,1),t(n?1),

?2(n?1),?2(n)；

第7章参数估计

§7.1矩估计法和顺序统计量法

???x??0

??1

1.设总体X的密度函数为：f(x)??计。

0?x?1其他

，有样本X1,X2,?,Xn，求未知参数?的矩估

2.每分钟通过某桥量的汽车辆数X~?(?)，为估计?的值，在实地随机地调查了20次，每次1分钟，结果如下：次数：2345量数：95试求?的一阶矩估计和二阶矩估计。63

WwghWvVhPE

7

4

§7.2

极大似然估计

??(??1)x??0

?

1.设总体X的密度函数为：f(x)??极大似然估计。

0?x?1其他

，有样本X1,X2,?,Xn，求未知参数?的

§7.3

估计量的评价标准

??2X?1是a的无偏估计。3.设总体X服从区间(a,1)上的均匀分布，有样本X1,X2,?,Xn，证明a

4.设总体X～?(?)，有样本X1,X2,?,Xn，证明aX?(1?a)S2是参数?的无偏估计（0?a?1）。

§7.4

1.

参数的区间估计

测量其纤度为：1.36，?2),抽取9根纤维，

2

纤度是衡量纤维粗细程度的一个量，某厂化纤纤度X~N(?,

1.49，1.43，1.41，1.27，1.40，1.32，1.42，1.47，试求?的置信度为0.95的置信区间，（1）若?

?0.048

2

,

12/19

（2）若?未知asfpsfpi4k

2

2.

2.为分析某自动设备加工的另件的精度，抽查16个另件，测量其长度，得x?12.075㎜，s=0.0494㎜,设另件长度X