《2.2 基本不等式》课件及同步练习

人教A版必修第一册2.2基本不等式（共2课时）第二章一元二次函数、方程和不等式课程目标1.掌握基本不等式的形式以及推导过程，会用基本不等式解决简单问题。2.经历基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理能力。3.在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性。数学学科素养1.数学抽象：基本不等式的形式以及推导过程；2.逻辑推理：基本不等式的证明；3.数学运算：利用基本不等式求最值；4.数据分析：利用基本不等式解决实际问题；5.数学建模：利用函数的思想和基本不等式解决实际问题，提升学生的逻辑推理能力。

2.2基本不等式（第1课时）1、会标2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标情境导学思考1：这图案中含有怎样的几何图形？思考2：你能发现图案中的相等关系或不等关系吗？2、弦图三国时期吴国的数学家赵爽，用来证明勾股定理。情境导学（1）大正方形边长为___________，

面积S为______________（2）四个直角三角形________，面积和S’为_______________（3）S与S’的大小关系是_________，故有_______（4）S与S’可能相等吗？满足什么条件时相等？探究新知上述结论可描述为：此不等式称为重要不等式探究新知1、基本不等式替换后得到：即：即：基本不等式基本不等式注意：基本不等式基本不等式的几何解释ABCDEabO如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______③OD与CD的大小关系怎样?OD_____CD≥几何意义：半径不小于半弦长射影定理当点C在什么位置时OD=CD？此时a与b的关系是？基本不等式的证明证明：要证只要证只要证只要证显然,上式是成立的.当且仅当a=b时取等。

证明不等式：分析法重要不等式与基本不等式的比较适用范围文字叙述“=”成立条件a=ba=b两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两数的平方和不小于它们积的2倍a,b∈Ra>0,b>0利用基本不等式求最值解：典例解析解：典例解析基本不等式的使用条件一正典例解析二定解：解:

∵0<x<,∴1-2x>0.12∴y=x(1-2x)=∙2x∙(1-2x)12≤

∙[]22x+(1-2x)21218=.

当且仅当

时,取“=”号.2x=(1-2x),即

x=

14∴当

x=时,

函数

y=x(1-2x)

的最大值是.1418三等方法：配凑法跟踪训练解：利用基本不等式求最值的条件：一正、二定、三相等。跟踪训练达标检测1、重要不等式与基本不等式的内容：2、基本不等式的应用条件：一正、二定、三相等3、基本不等式的应用：求最值课堂小结2.2基本不等式（第2课时）小试牛刀问题1.用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？ABDC问题探究解：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，

则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.

因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.结论1：两个正变量积为定值，则和有最小值，当且仅当两变量值相等时取最值.简记“积定和最小”.问题2.用段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则2（x+y）=36,x+y=18矩形菜园的面积为xym2当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立

因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m2结论2：两个正变量和为定值，则积有最大值，当且仅当两变量值相等时取最值.简记“和定积最大”.例1:某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为4800m3,深为3m.如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少?3m均值不等式在实际问题中的应用解:设底面的长为xm,宽为ym,水池总造价为z元.根据题意,有:由容积为4800m3,可得:3xy=4800，因此xy=1600

当x=y,即x=y=40时,等号成立.所以,将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低,最低总造价为297600元.即：跟踪训练跟踪训练归纳总结利用基本不等式证明简单的不等式分析:结合条件a+b=1,将不等式左边进行适当变形,然后利用基本不等式进行证明即可.跟踪训练归纳总结D

当堂达标A

2、利用基本不等式求最值时，要注意1、已知

x,y

都是正数,P,S

是常数.(1)xy=P

x+y≥2P(当且仅当

x=y时,取“=”号).(2)x+y=S

xy≤S2(当且仅当

x=y时,取“=”号).14一正二定三相等实际情境，提出问题，建立模型，求解模型，检验结果，实际结果课堂小结3、数学建模需注意的问题《2.2

基本不等式》同步练习阅读课本44-45页，思考并完成以下问题1.重要不等式的内容是？2.基本不等式的内容及注意事项？3.常见的不等式推论？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。aabbb几何解释

2.基本不等式(1)基本不等式成立的条件:____________.(2)等号成立的条件:当且仅当______时取等号.a>0,b>0a=b3.几个重要的不等式

(1)a2+b2≥_______(a,b∈R).(2)≥____(a,b同号).(3)(a,b∈R).(4)(a,b∈R).4.算术平均数与几何平均数设a>0,b>0，则a,b的算术平均数为,几何平均数为______，基本不等式可叙述为：_____________________________________________.2ab2术平均数不小于它们的几何平均数两个正数的算

题型分析举一反三题型一利用基本不等式求最值例1

求下列各题的最值.（1）已知x>0,y>0,xy=10,求的最小值；（2）x>0,求的最小值；（3）x<3，求的最大值；解

（1）

由x>0,y>0,xy=10.当且仅当2y=5x,即x=2,y=5时等号成立.(2)∵x>0,等号成立的条件是即x=2,∴f(x)的最小值是12.(3)∵x<3,∴x-3<0,∴3-x>0,当且仅当即x=1时，等号成立.故f(x)的最大值为-1.解题方法（利用基本不等式求最值）

(1)通过变形或“1”的代换，将其变为两式和为定值或积为定值；

(2)根据已知范围，确定两式的正负符号；(3)根据两式的符号求积或和的最值.总而言之，基本不等式讲究“一正二定三等”.[跟踪训练一]（1）已知x>0,y>0，且求x+y的最小值；（2）已知x<求函数的最大值;（3）若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值.解（1）∵x>0,y>0,当且仅当时，上式等号成立，∴x=4,y=12时，(x+y)min=16.(2)∵x<∴5-4x>0,≤-2+3=1,当且仅当即x=1时，上式等号成立，故当x=1时，ymax=1.(3)由2x+8y-xy=0,得2x+8y=xy,当且仅当