物理人教版选修3-2学案第四章微专题培优（二）电磁感应中的电路和图像问题

eq\a\vs4\al(电磁感应中的电路和图像问题)电磁感应中的电路问题1.题型特点在电磁感应现象中，闭合电路中磁通量发生变化(或部分导体切割磁感线)，在回路中将产生感应电动势和感应电流。在题目中常涉及电流、电压、电功等的计算，还可能涉及电磁感应与力学、能量等知识的综合分析。2．解题思路(1)明确哪部分导体或电路产生感应电动势，该导体或电路就是电源，其他部分是外电路。(2)用法拉第电磁感应定律或切割公式确定感应电动势的大小，用楞次定律或右手定则确定感应电动势的方向。(3)画出等效电路图。注意分清内外电路。(4)运用闭合电路欧姆定律、串并联电路特点、电功率、电热等公式联立求解。[例1]如图所示，用相同的均匀导线制成的两个圆环a和b，已知b的半径是a的两倍。若在a内存在着随时间均匀变化的磁场，b在磁场外，M、N两点间的电势差为U；若该磁场存在于b内，a在磁场外，M、N两点间的电势差为多大？(M、N在连接两环的导线的中点，该连接导线的长度不计)[思路点拨]解答本题时可按以下思路分析：eq\x(\a\al(确定,电源))→eq\x(\a\al(感应电动,势的大小))→eq\x(\a\al(内、外电阻,的大小))→eq\x(\a\al(路端,电压))[解析]磁场的变化引起磁通量的变化，从而使闭合电路产生感应电流。由题意，磁场随时间均匀变化，设磁场的变化率为eq\f(ΔB,Δt)，a的半径为r，则b的半径为2r，线圈导线单位长度电阻为R0。线圈a的电阻为Ra＝2πrR0，线圈b的电阻为Rb＝4πrR0。因此有Rb＝2Ra。磁场在线圈a中时，a相当于电源，根据法拉第电磁感应定律，电动势为Ea＝eq\f(ΔB,Δt)πr2，当磁场在线圈b中时，b相当于电源，所以Eb＝eq\f(ΔB,Δt)π(2r)2＝4Ea，U是a为电源时的路端电压，由闭合电路欧姆定律，U＝eq\f(Ea,Ra＋Rb)Rb，设Ub是b为电源时的路端电压，同理有：Ub＝eq\f(Eb,Rb＋Ra)Ra，将上面各式联立解得：Ub＝2U。[答案]2U电磁感应中的图像问题1.图像问题图像类型(1)磁感应强度B、磁通量Φ、感应电动势E和感应电流I随时间t变化的图像，即B­t图像、Φ­t图像、E­t图像和I­t图像。(2)对于导体切割磁感线产生感应电动势和感应电流的情况，还常涉及感应电动势E和感应电流I随导体位移x变化的图像，即E­x图像和I­x图像。问题类型(1)由给定的电磁感应过程选出或画出正确的图像。(2)由给定的图像分析电磁感应过程，求解相应的物理量。应用知识安培定则、左手定则、楞次定律、右手定则、法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿运动定律及数学知识。注意事项(1)电磁感应中的图像能够定性或定量地表示出所研究问题的函数关系。(2)在图像中E、I、B等物理量的方向通过物理量的正负来反映。(3)画图像时要注意横、纵坐标的单位长度定义或表达。2．解决此类问题的一般步骤解决电磁感应的图像问题常采用定性分析与定量计算相结合的方法分段处理。需特别注意物理量的大小、正负，图像为直线还是曲线，有什么样的变化趋势等。具体步骤如下：[例2]如图甲所示，固定在水平桌面上的光滑平行金属导轨cd、eg处于竖直向下的匀强磁场中，长为L的金属杆ab与金属导轨接触良好。在两根导轨的端点d、e之间连接一电阻，其阻值为R，其他部分电阻不计。现用一水平向右的外力F作用在金属杆ab上，使金属杆由静止开始向右在导轨上滑动，运动中金属杆ab始终垂直于导轨。图乙为一段时间内金属杆受到的安培力F安随时间t的变化关系，则下列选项可以表示外力F随时间t变化的图像是()[解析]由感应电动势E＝BLv，电流I＝eq\f(E,R)得到安培力F安＝BIL＝eq\f(B2L2v,R)，由题图可知F安∝t，则v∝t，说明金属杆ab做匀加速运动，那么v＝a1t，根据牛顿第二定律得F－F安＝ma1，则F＝F安＋ma1＝eq\f(B2L2a1t,R)＋ma1，选项B正确。[答案]B[例3]如图所示，在空间中存在两个相邻的、磁感应强度大小相等、方向相反的有界匀强磁场，其宽度均为L。现将宽度也为L的矩形闭合线圈，从图中所示位置垂直于磁场方向匀速拉过磁场区域，则在该过程中，下列选项中能正确反映线圈中所产生的感应电流或其所受的安培力随时间变化的图像是()[思路点拨]解决线框进出磁场的问题可以借鉴以下思路(1)观察线框是什么形状的，判断切割磁感线的有效长度是否变化、如何变化；(2)若只有一个磁场且足够宽，关注两个过程即可：进入磁场的过程，离开磁场的过程；(3)若有两个不同的磁场，还需注意两条边分别在不同磁场时产生感应电流方向的关系。[解析]由楞次定律可知，当矩形闭合线圈进入磁场和出磁场时，磁场力总是阻碍线圈的运动，方向始终向左，所以外力始终水平向右，因安培力的大小不同且在中间时最大，故选项D是正确的，选项C是错误的。当矩形闭合线圈进入磁场时，由法拉第电磁感应定律判断，感应电流的大小在中间时是最大的，所以选项A、B是错误的。[答案]D1．[多选]一匀强磁场，磁场方向垂直于纸面，规定向里为正方向，在磁场中有一金属圆环，圆环平面位于纸面内，如图所示。现令磁感应强度B随时间t变化，先按如图所示的Oa图线变化，后来又按照图线bc、cd变化，令E1、E2、E3分别表示这三段变化过程中的感应电动势的大小，I1、I2、I3分别表示对应的感应电流，则()A．E1>E2，I1沿逆时针方向，I2沿顺时针方向B．E1<E2，I1沿逆时针方向，I2沿顺时针方向C．E1<E2，I2沿顺时针方向，I3沿顺时针方向D．E3＝E2，I2沿顺时针方向，I3沿逆时针方向解析：选BCbc段与cd段磁感应强度的变化率相等，大于Oa的磁感应强度变化率。E1<E2，由楞次定律及安培定则可以判断B、C正确。2.[多选]如图所示，矩形金属框架三个竖直边ab、cd、ef的长都是L，电阻都是R，其余电阻不计，框架以速度v匀速平动地穿过磁感应强度为B的匀强磁场，设ab、cd、ef三条边先后进入磁场时ab边两端电压分别为U1、U2、U3，则下列判断结果正确的是()A．U1＝eq\f(1,3)BLv B．U2＝2U1C．U3＝0 D．U1＝U2＝U3解析：选AB当ab进入磁场时，I＝eq\f(E,R＋\f(R,2))＝eq\f(2BLv,3R)，则U1＝E－IR＝eq\f(1,3)BLv。当cd也进入磁场时，I＝eq\f(2BLv,3R)，U2＝E－Ieq\f(R,2)＝eq\f(2,3)BLv。三边都进入磁场时，U3＝BLv，故选项A、B正确。3.在xOy平面内有一条抛物线形金属导轨，导轨的抛物线方程为y2＝4x，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面向里，一根足够长的金属棒ab垂直于x轴从坐标原点开始，以恒定速度v沿x轴正方向运动，运动中始终与金属导轨保持良好接触，如图所示，则下列选项中能表示回路中感应电动势大小随时间变化的图像是()解析：选B金属棒ab沿x轴以恒定速度v运动，因此x＝vt，则金属棒ab在回路中的有效长度L＝2y＝4eq\r(x)＝4eq\r(vt)，由法拉第电磁感应定律得回路中感应电动势E＝BLv＝4Beq\r(v3t)，即E2∝t，选项B正确。4．一矩形线圈位于一随时间t变化的匀强磁场内，设磁场方向垂直线圈所在的平面(纸面)向里为正，如图甲所示，磁感应强度B随t的变化规律如图乙所示。以i表示线圈中的感应电流，以图甲中线圈上箭头所示方向的电流为正，则以下的i­t图中正确的是()解析：选A在0～1s内，磁感应强度B均匀增大，根据楞次定律和法拉第电磁感应定律可判断，产生的感应电流大小恒定，方向为逆时针，B、C错误；在4～5s内，磁感应强度B不变，闭合电路磁通量不变化，无感应电流，D错误，A正确。5．[多选]有一个垂直于纸面的匀强磁场，它的边界MN左侧为无场区，右侧是匀强磁场区域，如图甲所示，现让一个金属线框沿ab方向在纸平面内以垂直于MN的恒定速度从MN左侧进入匀强磁场区域，线框中的电流随时间变化的i­t图像如图乙所示，则进入磁场区域的金属线框可能是下图的()解析：选BC导体切割磁感线产生的感应电动势E＝BLv，设线框总电阻是R，则感应电流I＝eq\f(BLv,R)，由题图乙所示图像可知，感应电流先均匀变大，后恒定，最后均匀减小，由于B、v、R是定值，则导体的有效长度L应先均匀变长，后恒定，最后均匀减小。A图中闭合圆环匀速进入磁场时，有效长度L先变大，后变小，且L不随时间均匀变化，不符合题意，故A错误；B图中六边形线框进入磁场时，有效长度L先均匀增大，后恒定，最后均匀减小，符合题意，故B正确；C图中梯形线框匀速进入磁场时，有效长度L先均匀增加，后不变，最后均匀减小，符合题意，故C正确；D图中三角形线框匀速进入磁场时，有效长度L先均匀增大，后均匀减小，不符合题意，故D错误。6．粗细均匀的电阻丝围成的正方形线框置于有界匀强磁场中，磁场方向垂直于线框平面，其边界与正方形线框的边平行，现使线框以同样大小的速度沿四个不同方向平移出磁场，如图所示，则在移出过程中线框的一边ab两点间电势差绝对值最大的是()解析：选B将线框等效成直流电路，设线框的边长为l，线框每条边的电阻为r，A、B、C、D对应的等效电路图分别如图甲、乙、丙、丁所示。四种情况中产生的电动势E相同。Uab甲＝eq\f(E,R总)·r＝eq\f(Blv,4r)·r＝eq\f(1,4)Blv，Uab乙＝eq\f(E,R总)·3r＝eq\f(Blv,4r)·3r＝eq\f(3,4)Blv，Uab丙＝eq\f(E,4r)·r＝eq\f(E,4)＝eq\f(1,4)Blv，Uab丁＝eq\f(E,4r)·r＝eq\f(1,4)Blv。故Uab乙中ab两点间电势差最大，B选项正确。7.如图所示，竖直放置的螺线管与导线abcd构成回路，导线所围区域内有一垂直纸面向里的变化的磁场，螺线管下方水平桌面上有一导体环，导线abcd所围区域内磁场的磁感应强度按下列选项中的哪一图线所示的方式随时间变化时，导体环将受到向上的磁场作用力()解析：选A根据法拉第电磁感应定律得E＝eq\f(ΔΦ,Δt)＝eq\f(ΔB,Δt)S，又根据楞次定律可得，当导体环受到向上的磁场力时，说明穿过线圈的磁通量正在减小，所以导线abcd中的电流正在减小，由I＝eq\f(E,R)＝eq\f(ΔBS,ΔtR)可知，eq\f(ΔB,Δt)正在减小，即B­t图像上各点切线的斜率随时间减小，应选A。8．如图，虚线框内存在均匀变化的匀强磁场，三个电阻R1、R2、R3的阻值之比为1∶2∶1，导线的电阻不计。当S1、S2闭合，S3断开时，闭合回路中的感应电流为I；当S2、S3闭合，S1断开时，闭合回路中的感应电流为3I；当S1、S3闭合，S2断开时，闭合回路中的感应电流为()A．0 B．4IC．6I D．7I解析：选C因为R1∶R2∶R3＝1∶2∶1，可以设R1＝R，R2＝2R，R3＝R。由电路图可知，当S1、S2闭合，S3断开时，电阻R1与R2组成闭合回路，设此时感应电动势为E1，由闭合电路欧姆定律可得E1＝3IR。当S2、S3闭合，S1断开时，电阻R2与R3组成闭合回路，设感应电动势为E2，由闭合电路欧姆定律可得E2＝3I×3R＝9IR。当S1、S3闭合，S2断开时，电阻R1与R3组成闭合回路，此时感应电动势E＝E1＋E2＝12IR，则此时的电流I′＝eq\f(E,2R)＝eq\f(12IR,2R)＝6I，故选项C正确，A、B、D错误。9.[多选]如图所示，M、N为同一水平面内的两条平行长直导轨，左端串接电阻R，金属杆ab垂直导轨放置，杆和导轨的电阻不计，且杆与导轨间无摩擦，整个装置处于竖直方向的匀强磁场中。现对金属杆ab施加一个与杆垂直的水平方向的恒力F，使杆从静止开始运动。在运动过程中，杆的速度大小为v，R上消耗的总能量为E，则下列关于v、E随时间变化的图像可能正确的是()解析：选AD对金属杆ab施加一个与杆垂直的水平方向的恒力F，使杆从静止开始运动。由于金属杆切割磁感线产生感应电动势和感应电流，受到随速度增大而增大的安培力作用，所以金属杆做加速度逐渐减小的加速运动，当安培力增大到等于水平方向的恒力F时，金属杆做匀速直线运动，故A正确，B错误。由功能关系知，水平方向的恒力F做的功，开始时一部分使金属杆动能增大，另一部分转化为电能，被电阻R消耗掉；当金属杆匀速运动后，水平方向的恒力F做的功等于R上消耗的能量；因此R上消耗的总能量E随时间变化的图像可能正确的是D。10.[多选]半径为a右端开小口的导体圆环和长为2a的导体直杆，单位长度电阻均为R0。圆环水平固定放置，整个内部区域分布着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B。杆在圆环上以速度v平行于直径CD向右做匀速直线运动，杆始终有两点与圆环良好接触，从圆环中心O开始，杆的位置由θ确定，如图所示。则()A．θ＝0时，杆产生的电动势为2BavB．θ＝eq\f(π,3)时，杆产生的电动势为eq\r(3)BavC．θ＝0时，杆受到的安培力大小为eq\f(2B2av,(π＋2)R0)D．θ＝eq\f(π,3)时，杆受到的安培力大小为eq\f(3B2av,(5π＋3)R0)解析：选AD根据法拉第电磁感应定律可得E＝Blv，其中l为有效长度，当θ＝0时，l＝2a，则E＝2Bav；当θ＝eq\f(π,3)时，l＝a，则E＝Bav，故选项A正确，B错误；根据通电直导线在磁场中所受安培力大小的计算公式可得F＝BIl，根据闭合电路欧姆定律可得I＝eq\f(E,r＋R)，当θ＝0时，l＝2a，E＝2Bav，r＋R＝(π＋2)aR0，解得F＝eq\f(4B2av,(π＋2)R0)；当θ＝eq\f(π,3)时，l＝a，E＝Bav，r＋R＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)＋1))aR0，解得F＝eq\f(3B2av,(5π＋3)R0)，故选项C错误，D正确。11.如图所示，直角三角形导线框abc固定在匀强磁场中，ab是一段长为l、电阻为R的均匀导线，ac和bc的电阻可不计，ac长度为eq\f(l,2)。磁场的磁感应强度为B，方向垂直于纸面向里。现有一段长度为eq\f(l,2)、电阻为eq\f(R,2)的均匀导体杆MN架在导线框上，开始时紧靠ac，然后沿ab方向以恒定速度v向b端滑动。滑动中始终与ac平行并与导线框保持良好接触。当MN滑过的距离为eq\f(l,3)时，导线ac中的电流是多大，方向如何？解析：设MN滑过的距离为eq\f(l,3)时，它与bc的接触点为P，如图所示，由几何关系可知MP的长度为eq\f(l,3)，MP中的感应电动势E＝eq\f(1,3)Blv，MP段的电阻r＝eq\f(1,3)R。MacP和MbP两支路的并联电阻为r并＝eq\f(\f(1,3)×\f(2,3),\f(1,3)＋\f(2,3))R＝eq\f(2,9)R由闭合电路欧姆定律得PM中的电流I＝eq\f(E,r＋r并)ac中的电流Iac＝eq\f(2,3)I解得Iac