第14讲拓展二三角形中线角平分线问题

第14讲拓展二：三角形中线，角平分线问题题型01三角形中中线长（定值）【典例1】（2023下·辽宁·高一校联考期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量与平行．若，，则BC边上的中线AD为（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【详解】由于向量与平行，所以，由正弦定理得，由于所以，由于，所以.，两边平方得，所以.故选：D【典例2】（2023上·江苏淮安·高三校联考期中）已知的内角的对边分别为，若，，，则边上的中线AD的长为.【答案】【详解】由余弦定理可得，.在中，有，，由余弦定理可得，所以，.故答案为：.【典例3】（2023下·浙江杭州·高二校联考期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．(1)求A；(2)若，求中BC边中线AD长．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，由正弦定理得，即，即，所以，又，所以，又，所以；（2）由余弦定理得，即，所以，因为为中BC边的中线，所以，则，所以.【变式1】（2022·江苏南通·统考模拟预测）已知的面积为，则的中线长的一个值为.【答案】或【详解】因为的面积为，所以，故或；①当时，，故，因为，所以，故；②当时，，故，在中，由余弦定理可知，在中，由余弦定理可知，，故.综上所述，的中线长为或.故答案为：或.【变式2】（2023下·河北·高一校联考阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则中线AD的长为.【答案】【详解】如图，由余弦定理得，，又，两式相加得，即，化简得，所以.故答案为：【变式3】20．（2023上·安徽·高三宿城一中校联考阶段练习）在中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足.(1)求B；(2)若，且的面积为，是的中线，求的长.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，由正弦定理可得，即，即，又因为，所以，所以.又因为，所以，所以，所以.（2）因为，所以得，由余弦定理得：.又，所以，得，故的长为.题型02三角形中中线长（最值，范围）问题【典例1】（2023上·广西柳州·高一柳州高级中学校考开学考试）在中，，则边上的中线的长的取值范围是.【答案】【详解】解：延长到点，使，连接，如图所示：在和中，，，．在中，由三角形的三边关系，得，即，，故答案为：．【典例2】（2023下·江西萍乡·高一统考期中）在中，角A，，的对边分别为，，，若，，则边上的中线长度的最大值为．【答案】【详解】

在中有，故由正弦定理可得，由余弦定理得，由三角形中线的性质可得：，即，又，故，当且仅当时取得等号，所以.故答案为：.【典例3】（2023上·辽宁大连·高三大连市第一中学校考阶段练习）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.①2acosB+b2c=0；②；③.在以上三个条件中选择一个，并作答.(1)求角A；(2)已知△ABC的面积为，AD是BC边上的中线，求AD的最小值.【答案】(1)条件选择见解析，(2)【详解】（1）若选①，因为：，即：，则：，即：，所以：，因为：，故；若选②，原式等价于，即，即：，因为：，则，所以：，则：，故；若选③，原式等价于，即：，所以：，即：，即：，因为：，故.（2）因为，所以：，因为为的中点，则：所以：，则：当且仅当时，等号成立，因此：的最小值为.【变式1】（2023下·云南昆明·高一校考期中）已知AD是的中线，若，，则的最小值是．【答案】【详解】，，所以，当且仅当时等号成立.故答案为：【变式2】（2023上·浙江·高二校联考开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，且，.(1)求角；(2)求边上中线长的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）由，可得：，即，所以，而，从而；（2）解法1：设外接圆半径为R，则，如图所示，过点C作，交BD延长线于E，则∽，则，故，所以，，又因为，故，则，所以，即；解法2：由平行四边形性质可得，所以，因为，又因为，故，则，所以，则，即；解法3：因为，所以，所以，又因为，结合解法2可知，所以，即，当且仅当时取到最大值；解法4：如图所示，，，设外接圆半径为R，则，故有外接圆如图，D为的中点，则，由图可知，所以.题型03已知中线长，求其它元素【典例1】（2023·全国·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，且．(1)求角的大小；(2)若的中线，求的最大值．【答案】(1)(2)4【详解】（1）由题可得，，结合正弦定理可得，因为，所以，得，因为，所以．（2）易知，（技巧：向量的平行四边形法则）两边同时平方得，得．法一：可化为，因为，所以，所以，得，当且仅当时取等号．（点拨：运用基本不等式求最值时，注意等号是否可以取到）所以的最大值是4．法二：，令则，所以，当且仅当，即时等号成立．（点拨：三角函数的有界性）所以的最大值为4．【典例2】（2023上·河北邢台·高三邢台一中校考阶段练习）已知的内角，，的对边分别为、、，.(1)求；(2)已知为边上的中线，，，求的面积.【答案】(1)(2)【详解】（1），由，，，，所以，即，由于，所以.（2）在中，由，得，由，得，.则，由正弦定理得，，设，，由余弦定理得，故，在中，由余弦定理得，，即，解得，则，所以的面积.【典例3】（2023上·广东佛山·高三校考阶段练习）已知函数.(1)求的最小正周期和单调递减区间；(2)已知中，内角的对边分别为，若边的中线长为，求面积的最大值.【答案】(1)的最小正周期，的单调递减区间为；(2)【详解】（1），，故的最小正周期，由，得，的单调递减区间为；（2）由（1）得，，即，，又，，，，当仅时取等号，面积，面积的最大值为.【变式1】．（2023上·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考期中）在中，角，，所对的边分别为，，.已知.(1)求角；(2)的中线＝，＝，求AB.【答案】(1)(2)3【详解】（1）因为，所以，由正弦定理，有，化简可得，可得，因为是的内角，于是，故，解得.（2）延长至，使得，易知，于是，由余弦定理可得，即，解得或（舍去），于是，所以.【变式2】（2023上·山西晋中·高三校考阶段练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，满足(1)求角的大小；(2)若，边上的中线的长为，求的面积.【答案】(1)(2)【详解】（1）解：由已知及正弦定理得：，则，在中，，∴，又因为,故.（2）解法一：∵，为中点，则，∴由，得，在中，在中，∵，∴，∴，解得：，故的面积为.解法二：由，得，由题意得，则，即有，解得：，故的面积为.【变式3】（2023上·河南·高三校联考阶段练习）已知的内角的对边分别为．(1)求；(2)已知为边上的中线，，求的面积．【答案】(1)(2)【详解】（1）由正弦定理及，得，化简得，所以，由余弦定理可得，由于.所以．（2）在中，由，得，由，得．则，由正弦定理得，，设，由余弦定理得，故，在中，由余弦定理得，，即，解得，则，所以的面积．【变式4】（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.(1)求B；(2)若的中线BD长为，求的最大值.【答案】(1)(2)8【详解】（1）因为，所以，又，所以，所以，整理得，因为，所以，即，因为，所以，所以，得.（2）因为D为AC中点，所以，因为，所以，整理得，所以，得，即，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为8.题型04求角平分线长（定值）问题【典例1】（2023上·全国·高三专题练习）三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线内分对边，所得的两条线段与这个角的两边对应成比例．已知ABC中，AD为∠BAC的角平分线，与BC交于点D，AB＝3，AC＝4，BC＝5，则AD＝（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，满足，∴，故，∵AD是∠BAC的角平分线，∴，∴，在ABD中，由余弦定理，得，解得或者（舍去），故选：D．【典例2】（2023·江西上饶·统考二模）在中，的角平分线交于点，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】如图所示，在中，由余弦定理得，∴，∴为等腰三角形，，，又∵为角平分线，∴，∴在中，，由正弦定理得得，.故选：A．【典例3】（2023上·辽宁·高二校联考阶段练习）在中，，，，的角平分线交于，则．【答案】【详解】中，由余弦定理得，解得（舍去），是角平分线，则，所以，，又由余弦定理得：，，而，因此，，，．故答案为：．【典例4】（2023下·四川遂宁·高一四川省蓬溪中学校校考阶段练习）如图，的内角、、的对边分别为、、，且.(1)求角B的大小；(2)若，.（i）求的值；（ii）求的角平分线的长.【答案】(1)(2)（i）；（ii）.【详解】（1）解：，所以，，可得，又因为，故.（2）解：（i）因为，解得，由余弦定理可得，则，由正弦定理可得，所以，；（ii）因为，即，因此，.【典例5】（2022·北京·北京八十中校考模拟预测）在△ABC中，．(1)求B的值；(2)给出以下三个条件：①；②，；③，若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：（i）求的值；（ii）求∠ABC的角平分线BD的长．【答案】(1)(2)正确条件为①③，（i），（ii）【详解】（1）由题设，而，所以，故；（2）若①②正确，则，得或，所以①②有一个错误条件，则③是正确条件，若②③正确，则，可得，即②为错误条件，综上，正确条件为①③，（i）由，则，即，又，可得，所以，可得，则，故；（ii）因为且，得，由平分得，在中，，在中，由，得．【变式1】（2023下·吉林·高一吉林市田家炳高级中学校考期末）在中，，，，的角平分线交BC于D，则（

）A． B．2 C． D．【答案】B【详解】在中,由余弦定理得,则，即，解得，（负值舍），而AD平分，即，又，故，则，故选：B【变式2】（2023·全国·统考高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则．【答案】【详解】如图所示：记，方法一：由余弦定理可得，，因为，解得：，由可得，，解得：．故答案为：．方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：，由正弦定理可得，，解得：，，因为，所以，，又，所以，即．故答案为：．【变式3】（2023下·湖北恩施·高一利川市第一中学校联考期末）在中，角的对边分别为，，=，，点D在BC边上运动．(1)若D为BC边的中点，求AD．(2)若AD为的角平分线，求AD．【答案】(1)(2)2【详解】（1）由余弦定理推论可得，即．．∵D为BC边的中点，所以，即，所以．（2）不妨设，∵AD为的角平分线，由面积公式有，，得，．【变式4】（2023下·安徽滁州·高一统考期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.(1)求角A的大小；(2)若，，AD是△ABC的角平分线，求AD的长.【答案】(1)(2)【详解】（1）由正弦定理可知.由余弦定理可得，又，所以.（2）由题意知，所以，所以，解得.【变式5】（2023·陕西安康·陕西省安康中学统考模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，，，，外接圆面积为.(1)求；(2)若为角的角平分线，交于点，求的长.【答案】(1)(2)【详解】（1）由已知，∵，∴由正弦定理得，∴，∵，，∴，即.设外接圆半径为，则外接圆面积，∴，∴由正弦定理，得，，∵，∴或.当时，由余弦定理，∴，解得，∴（舍）；当时，由余弦定理，∴，解得，∴.综上所述，.（2）由第（1）问知，，若为角的角平分线，则，如图，设，，的面积分别为，，，则，∴∴，∴解得，.题型05求角平分线长（最值，范围）问题【典例1】（2019下·湖北武汉·高一校联考期中）已知△ABC的面积为,∠BAC=,AD是△ABC的角平分线,则AD长度的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】中，∠BAC=,AD是角平分线得，，而因此得而，所以故选D项.【典例2】（2023下·安徽·高一安徽省太和中学校联考阶段练习）在中，，是的角平分线，且交于点.若的面积为，则的最大值为.【答案】【详解】

设角A，B，C的对边分别为a，b，c.因为，所以.由已知可得，.又，，即，整理得，当且仅当时，等号成立.故AM的最大值为.故答案为：.【典例3】（2023下·江苏盐城·高一盐城市第一中学校联考期中）已知△的内角所对的边分别为，且．(1)求；(2)若△的面积为为内角A的角平分线，交边于点D，求线段长的最大值．【答案】(1)(2)．【详解】（1）由正弦定理，得，即，故根据余弦定理有.（2）因为为三角形内角，则由（1）知，因为的面积为，所以，即，解得，又因为，，所以，所以，所以．于是.那么．所以（当且仅当时等号成立）故的最大值为．【典例4】（2022下·河北保定·高一校联考阶段练习）记的内角，，的对边分别为，，，且.(1)求的大小；(2)若边上的高为，且的角平分线交于点，求的最小值.【答案】(1)(2)【详解】（1）由正弦定理得，得，因为，所以，即.（2）因为，所以.由余弦定理得，得（当且仅当时，等号成立），即.因为，所以.因为，所以.因为函数在上单调递增，所以，所以，即.故的最小值为.【变式1】（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期中）在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，点D在边上且为角A的角平分线，，则边的取值范围是．【答案】【详解】如图，设，则，，，在中，由正弦定理得，即，所以，在中，由，即得，所以，由于在上单调递减，所以，所以.故答案为：.【变式2】（2022下·湖北武汉·高一统考期末）已知，内角所对的边分别是，，的角平分线交于点.若，则，的取值范围是.【答案】【详解】由正弦定理得：，又，；为的角平分线，设，则；，即，；由余弦定理知：，，；（当且仅当时取等号），，即，又，，，即的取值范围为.故答案为：；.【变式3】（2023·广西柳州·高三统考阶段练习）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．(1)求；(2)若的面积为，求内角A的角平分线长的最大值．【答案】(1)(2)【详解】（1）由正弦定理，得，即，故，因为，所以，所以；（2）由（1）知，因为的面积为，所以，解得，在中，由正弦定理，得，在中，由正弦定理，得，因为AD为角A的角平分线，所以，又，所以，所以，不妨设，，则，故，延长至点E，使得，连接，则，又，所以，故，，则，，则，，在中，由余弦定理，得，即，因为，所以，其中，当且仅当，即时，等号成立，故，故.所以长的最大值为.题型06已知角平分线，求其它元素【典例1】（2022上·贵州·高三统考开学考试）已知的内角对应的边分别是，内角的角平分线交边于点，且.若，则面积的最小值是.【答案】【详解】∵，∴，即，又，，∴，即，又，∴，由题可知，，所以，即，又，即，当且仅当取等号，所以，即面积的最小值是.故答案为：【典例2】（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期中）在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，点D在边上且为角A的角平分线，，则边的取值范围是．【答案】【详解】如图，设，则，，，在中，由正弦定理得，即，所以，在中，由，即得，所以，由于在上单调递减，所以，所以.故答案为：.【典例3】（2023上·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）在中，内角的对边分别为，且.(1)求角的大小；(2)边上存在点，使为的角平分线，若，求的周长.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为在中，，所以，所以由正弦定理得，即，由余弦定理得，因为，所以.（2）因为，且所以，由余弦定理得：，整理得，解得或（舍去），所以，所以的周长为.【典例4】（2023上·全国·高三专题练习）在中，记角、、所对的边分别为、、，已知，中线交于，角平分线交于，且，，求的面积．【答案】【详解】解：因为，所以，，即，由正弦定理可得，因为的角平分线交于，则，所以，．又因为，，由可得，即，则，．在中，由余弦定理得，①在中，由余弦定理得．②因为，则①②可得，，即，即，即，解得，此时满足，故，所以，．【典例5】（2023上·江西赣州·高二校联考期中）已知的