传输过程的控制方程

3传输过程控制方程3.1 连续性方程连续性方程是传输过程的质量控制方程。连续性方程是物理学上质量守恒定律在流体运动学内的数学表达。一切有意义的合理流动都必须遵守连续性原理。3传输过程控制方程3.1 连续性方程根据质量守恒定律，对于空间固定的封闭曲面，稳定流时，流入的流体质量必然等于流出的流体质量，非稳定流时流入与流出的流体质量之差，应等于封闭曲面内流体质量的变化量。连续性方程表述的是流体在单位时间内流出与流入单位体积空间的质量差与单位体积内部质量变化的代数和为零。无论对于单组分的流体，或整个多组分流体，还是对于多组分流体中的每一组分，质量守恒定律都是成立的。3传输过程控制方程3.1.1 连续性方程及其导出在流场中建立直角坐标系，并取一六面体作为微元控制体，其边长为dx，dy和dz，分别平行于x，y和z轴。设流过此六面体的流体密度为

，在六面体顶点m(x，y，z)上，流体速度u沿x，y和z方向的分量分别为ux，uy和uz。3传输过程控制方程3.1.1 连续性方程及其导出单位时间流入微元体的质量－单位时间流出微元体的质量＝单位时间微元体内质量的积累根据质量守恒定律：3传输过程控制方程x轴方向：x处的平面流入的质量流量：

uxdydz

x+dx处的平面流出的质量流量：单位时间内流过的流体质量即为质量流量，是流体的体积流量与密度的乘积。dt时间内沿x向从六面体x处与x+dx处输入与输出的质量差为：3传输过程控制方程同样，对y和z方向分别有：dt时间内，微元体dxdydz内的质量积累为x，y和z三方向上的净增量之和：3传输过程控制方程另一方面，由于微元体积不变，微元体内的质量积累必然引起其中的流体密度的变化，在流体开始流动之前微元体内m(x,y,z)点上流体密度为

，在dt时刻则变为：这样，在dt时间内六面体中因密度变化而引起的总的质量变化为：3传输过程控制方程根据质量守恒定律有：3传输过程控制方程将上式展开，并利用密度对时间的全微分展开式，可写成：以上各式即为流体的连续性方程。

连续性方程物理意义：流体在单位时间内流经单位体积空间输出和输入的质量差与其内部质量变化的代数和为零。给出了流体运动的速度场必须满足的条件，是一个运动学方程。3传输过程控制方程连续性方程的简化形式：可压缩流体：微元六面体中不同地方流体的密度一般情况下不一样，即至少在一个方向上密度变化率不为零：稳定流：微元六面体中的流体质量不随时间变化，即微元体内流体密度不随时间变化。迁移密度当地密度3传输过程控制方程连续性方程的简化形式：对可压缩流体的稳定流，则：3传输过程控制方程连续性方程的简化形式：不可压缩流体：微元六面体中流体的密度不仅不随时间变化，同时也不随空间位置而变化：3传输过程控制方程连续性方程的简化形式：对不可压缩流体，密度为常数：速度矢量的散度处处为零，即为无源场，所以方程为无源无汇时的连续性方程。3传输过程控制方程一维总流的连续性方程：在dt时间内流体流入与流出流束的质量差值为零微小流束与一维总流3传输过程控制方程一维总流的连续性方程：微小流束与一维总流利用平均速度概念vm，并引入平均密度

m对不可压缩流体，密度为常数，则有：一维总流在不可压缩流体稳定流条件下的连续性方程。3传输过程控制方程一维总流的连续性方程应用例子：一化铁炉的送风系统如右图。将风量50m3/min的冷空气经风机送入冷风管，在经过炉胆换热器被炉气加热至250

C，然后经风管送到风箱中。冷风管与热分管内经相等。计算两管实际风速。3传输过程控制方程一维总流的连续性方程应用例子：压力引起的密度变化不大，可忽略不计。根据可压缩流体的连续性方程：解：u1=Q/A=(50/60)/(0.3)2x3.14/4=11.8m/sr2均=r1均/(1+bpt)=1.293/(1+250/273)kg/m3=0.674kg/m3u2=r1均u1A1/(r2均A2)=1.293x11.8/0.674m/s可见u2=u1(1+btt)3传输过程控制方程连续性方程的柱坐标与球坐标表达式：柱坐标一般形式不可压缩流体稳定流3传输过程控制方程连续性方程的柱坐标与球坐标表达式：球坐标一般形式不可压缩流体稳定流3传输过程控制方程3.1.2 多元混合物流体中各组分的连续性方程对于混合物流体，存在浓度梯度的组分将以分子扩散的形式和整体流动的对流形式进行质量传递。对于每个组分，质量守恒定律依然成立。如果在传质过程中还发生化学反应，那么在考虑组分质量守恒时还应包括化学反应引起的该组分的生成量或减少量。对于混合流体的组元A，根据质量守恒定律：流入微元体的组分A的质量速率－流出微元体的组分A的质量速率＋由化学反应引起的组分A的质量速率＝微元体内组分A的质量积累速率3传输过程控制方程流入和流出微元体的组分A的质量速率分别为：dt时间内微元体在x方向上的净流入量为：3传输过程控制方程对y和z方向分别有：dt时间内，微元体内的质量积累为x，y和z三方向上的净增量之和：3传输过程控制方程若单位时间内微元体内因化学反应引起的组分A的质量为rA，kg/(m3

s)，dt时间内，微元体内组分A的质量增量为rAdxdydzdt。当A为生成物时，rA>0；为反应物时，rA<0。在dt时间内微元体中因密度变化而引起的总质量变化为：根据质量守恒，有：3传输过程控制方程3传输过程控制方程由密度的全微分有：若混合物中组元A的扩散系数DAB为常数，则上式可写成：此即以质量浓度表示的组分A的连续性方程，也称组分A的质量传输微分方程。即：或3传输过程控制方程若同时无化学反应发生，则：对二元均质不可压缩混合流体，

为常数对于静止流体(u=0)，同时无化学反应发生，则：即为质量浓度表示的菲克第二定律。

菲克第二定律更经常用摩尔浓度表示，即：质量传输微分方程的简化形式：质量传输微分方程的几种不同形式3传输过程控制方程3传输过程控制方程3.2 运动方程

N-S方程连续性方程是速度场满足的条件。流体的运动方程是力和动量与流体参量之间的关系，是动量控制方程。实际流体的运动方程即为纳维尔(Navier)－斯托克斯(Stockes)方程，简称N-S方程（因1821年纳维尔和1845年斯托克斯分别导出而得名）。根据动量守恒定律：作用在微元体上合外力对微元体内流体的冲量速率

＋微元体的净输入动量速率＝微元体内流体动量的增量速率3传输过程控制方程动量通量

对流动量通量：单位时间通过单位面积所传递的对流动量(类似与对流换热、对流传质)，即粘性动量通量（即牛顿黏性定律）：单位时间通过单位面积所传递的黏性动量(类似与导热、分子扩散)，即动量传递两种方式：黏性动量传输和对流动量传输。3.2 运动方程

N-S方程3传输过程控制方程3.2 运动方程

N-S方程

x方向的动量mux若在z方向存在动量梯度必然引起z方向上的动量通量，即同理3传输过程控制方程3.2 运动方程

N-S方程

x方向的动量mux若在x方向存在动量梯度必然引起x方向上的动量通量，即3传输过程控制方程动量通量热量通量质量通量黏性动量通量(牛顿黏性定律)导热引起的热通量(傅里叶定律)分子传质引起的质量通量(菲克第一定律)对流动量通量对流引起的热通量(牛顿冷却定律)对流传质引起的质量通量(对流传质过程基本定律)3.2 运动方程

N-S方程3传输过程控制方程3.2 运动方程

N-S方程(1)质量力的分量为：3传输过程控制方程3.2 运动方程

N-S方程(2)表面应力包括压应力和剪切应力：3传输过程控制方程那么，单位时间内作用在微元体x方向上的冲量(即合力)为：3传输过程控制方程x方向单位体积动量为

ux，单位时间内流体在x方向运动的距离为ux，所以单位时间内流体在x方向垂直通过单位面积的动量为

uxux，称为对流动量通量。则从x方向净流入的沿x方向的动量为：同样，从y方向和z方向净流入的沿x方向的动量分别为：3传输过程控制方程微元体净流入的沿x方向的动量为流体流动而导致的微元体内沿x方向的单位时间内的净动量输入量，为：同理，由流体黏性剪应力而导致的微元体单位时间内沿x方向的黏性动量净输入量为：可理解为作用在法线为x,y,z的面上，方向为x的剪切力的代数和或导致的x方向动量增量。3传输过程控制方程微元控制体内单位时间内x方向上的动量变化量为：由于应力张量为对称张量，上式可写成：可理解为作用在法线为x的面上，不同方向剪应力导致的x方向的动量增量。3传输过程控制方程微元体内x方向上的动量守恒关系为：3传输过程控制方程同理有：一般情况下流体流动过程中的动量守恒方程。得：3传输过程控制方程对于不可压缩流体,密度为常数，即那么，x方向上的动量守恒关系简化为：式中右边第三项可以写成：3传输过程控制方程利用ux的全微分(即全加速度)表示式，x方向上的动量守恒关系简化为：同理，y和z方向的动量守恒简化为：3传输过程控制方程写成矢量形式为：据牛顿黏性定律,上式可以写成：其分量式为：以上各式即为N-S方程，是不可压缩流体的运动微分方程。3传输过程控制方程质量力只有重力的情况下，单位质量力f=g，则：同理，若为可压缩流体的三维层流，切应力可用斯托克斯黏度关系式表示，也可以得到相应的运动微分方程。3传输过程控制方程3传输过程控制方程欧拉方程（1755年Euler提出）对于理想流体，流场中不存在黏性力,N-S方程简化为：上式即为理想流体的动量平衡方程，又名欧拉(Euler)方程。其适用范围是可压缩理想流体和不可压缩理想流体的稳定流或非稳定流。分量式为：当速度u=0时，可进一步简化为：即为流体静力学的欧拉平衡方程。3传输过程控制方程欧拉方程（1755年Euler提出）由欧拉方程和连续性方程，结合具体问题的初值和边界条件原则上就可以解决理想不可压缩流体的流动问题。但在实际应用中常常需要求解的是稳定流问题，把该方程在稳定条件下进行某种积分可使应用更加方便。这是下面要讨论的伯努利方程。3传输过程控制方程伯努利(Bernoulli)方程伯努利方程是流体动量守恒方程在一定条件下的积分形式，动量的积分即为动能，因此，伯努力方程是能量的范畴，表述了流体所具有的能量以及各种能量之间的转换规律，不过针对的是稳定流流体的总能量衡算。理想流体的伯努利方程欧拉方程只能在特定条件下进行积分，其积分条件为：(1)单位质量力f为定常有势的，势函数W＝W(x,y,z)=－U(x,y,z)的全微分为：3传输过程控制方程(2)流体为稳定流，此时，迹线与流线重合，即dx=uxdt，dy=uydt和dz=uzdt,则:uzdx=uxdz，

uydx=uxdy那么，欧拉方程中各式分别乘以dx，dy和dz，再相加，有：伯努利(Bernoulli)方程理想流体的伯努利方程由于是稳定流，展开左边第一项为：同理，展开左边第二项与第三项分别为：因此，一般情况下的伯努利方程微分形式。3传输过程控制方程并利用:uzdx=uxdz，

uydx=uxdy3传输过程控制方程对于不可压缩流体，

为常数，则：沿流线进行积分，得：表明，在有势质量力作用下，不可压缩理想流体定常流动时，函数值沿流线不变。因此，在同一流线上一定距离的任意两点1和2，有：3传输过程控制方程在质量力只有重力，势能仅为重力势能时，即F=­gz，其中，z为所研究的流线距重力势能零点的距离，考虑密度与重度关系，得到：同理：即为质量力只有重力时，不可压缩理想流体稳定流动时沿流线的运动方程的积分形式，即理想流体伯努利方程。(1738年发表)

3传输过程控制方程实际流体沿流线的的伯努利方程实际流体的伯努利方程是实际流体动量方程(N-S方程)的积分形式。由N-S方程中的各方程对应乘以dx，dy和dz，并相加，整理得：其左边为：3传输过程控制方程则黏性力所作的功,为负功-dWR

有：沿流线积分实际流体运动微分方程的伯努利积分

3传输过程控制方程表明在有势质量力作用下实际不可压缩流体稳定流动时，函数值沿流线的函数值不变。在同一流线上任取两点，可得：当质量力只有重力时，则：设表示单位质量的实际流体自点1运动到点2的过程中，内摩擦力所做的功。则或质量力只有重力时的黏性流体运动的伯努利方程

－单位重量的流体质点流经给定点时以速度u向上喷射时所能达到的高度(速度头)。－单位重量的流体质点流经给定点时所受压力作用而能上升的高度(压力水头，简称压头)3传输过程控制方程伯努利方程的几何意义与物理意义几何意义：z－单位重量流体质点流经给定点时所具有的位置高度(位置水头，简称位头)3传输过程控制方程伯努利方程的几何意义与物理意义以上各量均具有长度量纲。位头、压头和速度头三者之和称为总水头，用H表示，则：－单位重量流体在流动过程中所产生的水头损失伯努利方程可理解为：单位重量理想流体在整个流动过程中，其总水头为一个不变的常数，而实际流体在整个流动过程中其总位头有一定损失，总水头沿着流向降低。物理意义：与几何意义相对应，伯努利方程中各项均有相应的能量意义。各项分别为单位质量流体流经给定点时所具有的位置势能(比位能)、压力能(比压能)和动能(比动能)。对理想流体，三个能量项可相互转化，但总机械能不变。对实际流体，则存在机械能损失。3传输过程控制方程3传输过程控制方程3传输过程控制方程3传输过程控制方程伯努利方程的几何意义与物理意义几何意义：位头压头速度水头总水头水头损失比位能比压能比动能总比能比能损失物理意义：3传输过程控制方程实际流体总流的伯努利方程缓变流：是指流道中流线之间的夹角

很小，流线趋于平行，流线的曲率很小，趋于直线。可以认为缓变流是流线为平行直线的流动。反之为急变流。缓变流特点：缓变流的向心加速度很小，引起的惯性离心力很小，故对缓变流场，质量力只有重力，其三个分量为fx=0，fy=0和fz=－g，且内摩擦力在其有效断面上几乎没有分量，因此，其有效断面上的压强分布符合流体静压强分布规律，即流道有效断面上任何点的压力在各个方向都相同且(z+p/g)都为常数。3传输过程控制方程实际流体总流的伯努利方程在流道的缓变流区对应的有效断面上对伯努利方程进行积分：其左边写成：则：动能修正系数

根据一维总流的连续性方程，Q1=Q2=Q，若令则：或即为实际流体经流道流动的伯努利方程。它与连续性方程、以及后面将要讨论的稳定流的动量方程一起用于解决许多工程实际问题。hw－通过流道截面1和2之间距离时，单位质量流体的平均能量损失。－动能修正系数

通常均大于1。流道中的流速越均匀，

值越趋近于1。在一般工程情况下，流速都比较均匀，

为1.05~1.10，所以可取

=1。3传输过程控制方程3传输过程控制方程伯努利方程的应用应用条件：必须为不可压缩流体(一般气流平均流速小于50m/s即可按不可压缩流体处理)；必须是稳定流；沿流程的流量不变，对于有分支流或汇流时可按总能量守恒和转化列出能量方程；有效断面符合缓变流条件，但断面之间的流动可以是急变流。3传输过程控制方程伯努利方程的应用应用注意事项：(1)在应用实际流体总流的伯努利方程时，经常要与总流的连续性方程联合使用；(2)有效断面一般选待求未知量所在的断面，另一选选已知量较多的断面；(3)可任选零势能基准面，同一个问题必须使用同一个基准面；(4)方程中的压强可为相对压强也可是绝对压强，但必须一致；(5)在所讨论的两有效断面之间没有能量输入与输出。3传输过程控制方程系统中有风机或泵时E取正，若装水轮机向外输送能量时E取负。在所讨论的两有效断面之间没有能量输入与输出，否则用以下修正式：DanielBernoulli1700inNetherlands-1782inSwitzerlandThesonofJohannBernoulli.HewasborninGroningenwhilehisfatherheldthechairofmathematicsthere.HisolderbrotherwasNicolaus(II)BernoulliandhisunclewasJacobBernoullisohewasbornintoafamilyofleadingmathematiciansbutalsointoafamilywheretherewasunfortunaterivalry(竞争),jealousy(嫉妒)andbitterness(苦涩).

3传输过程控制方程(a)原理图(b)结构示意图图3-7毕托管图3-8文丘里管看书3传输过程控制方程稳定流的动量方程在实际工程实践中，除了要确定运动流体的流速和流量之外，还常常要涉及运动流体与固体壁面之间的相互作用力的计算问题，如水等在弯管中流动对管壁的冲击等。这就需要应用运动流体的动量方程来分析。根据质点系的动量定理：这个动量变化就是流束段1'-2'的动量M1'-2'与流束段1-2的动量M1-2之差，但因是稳定流动，在dt时间内经过流束段1'-2的流体动量不变化，所以流束段由1-2的位置运动到1'-2'位置时的整个流束段的动量变化，应等于流束段2-2'与流束段1-1'两者的动量差：3传输过程控制方程稳定流的动量方程设一总流中任选一条流束段1-2，其过水断面分别为1-1和2-2，以p1和p2分别表示作用于过水断面1-1和2-2上的压强；u1和u2分别表示流经过水断面1-1和2-2时的速度，经dt时间后，流束段运动到1'-2'的位置，流束段的动量因而发生变化。推广到总流中由于所以其中，

为动量修正系数，3传输过程控制方程动量修正系数大小取决于断面上流速分布的均匀程度，其实验值为1.02~1.05，通常取

=1。则不可压缩流体稳定流动总流的动量方程：作用于所研究的流体上的外力总和等于单位时间内流出与流入的动量之差。3传输过程控制方程图3-10液流对弯管壁的作用力图3-11射流冲击固体壁面看书3传输过程控制方程3传输过程控制方程3.3 能量控制方程能量守恒与转化定律（热力学第一定律）：自然界一切物质都是具有能量，能量有各种不同的形式，能够从一种形式转化为另一种形式，在转化与能量的数量不变。热力学第二定律：凡牵涉为热现象的过程都是不可逆的，即，对于挑选的某一不可逆过程，指明它所产生的效果不论利用什么方法也不可能完全恢复原状而不引起其他变化。推论一：过程的不可逆不仅是过程本身的性质，而且指出过程的初态与终态的相互关系是：不可能用任何办法由终态回到初态而不引起其他变化。推论二：自然界的不可逆过程是相互关联的，由一个过程的不可逆可以推断另一过程的不可逆。3传输过程控制方程热力学第二定律几种说法：克劳修斯说法(1850年)：

不可能把热从低温物体传到高温物体而不引起其他变化。(传热过程的不可逆性)开尔文说法(1851年)：不可能从单一热源取热使之完全变为有用的功而不产生其他影响即，第二类永动机是不可能实现。(摩擦生热过程的不可逆性)普朗克说法：不可能造一个机器，在循环动作中把一重物升高而同时使一热库冷却。喀喇氏(Caratheodory)说法(1909年)：

一个物体系的任一给定的平衡态的附近总有这样的态存在，从给定的态不可能经绝热过程达到。

3传输过程控制方程热力学第三定律：不可能用有限的手续使一个物体冷却到绝对温度的零度。3传输过程控制方程3.3 能量控制方程能量方程是能量守恒定律在传输现象中的具体体现，又称为热量传递微分方程。3.1.1能量方程的导出单位时间控制体内流体总能量的增量等于单位时间净流入控制体的总能量和传入控制体内流体的热量及作用在控制体内流体上的各力做功之和。3传输过程控制方程(1)单位时间内净流入控制体的总能量单位质量流体的总能量(总比能)Et，在x方向上单位时间内通过dydz面流入控制体的质量为3传输过程控制方程由x+dx处的平面dydz流出的总能量为则在x方向进入控制体的净总能量为在y和z方向的净总能量分别为单位时间内净流入控制体的总能量为3传输过程控制方程(2)外力对控制体内流体所做的功表面力所做的功：包括剪应力与压力单位时间单位面积剪切力(剪应力)

ij所做的功为

ijuj(uj为单位时间的位移。3传输过程控制方程一种方法：考虑具有相同法线方向的面的作用力在x处dydz面上单位时间x方向的剪切力所做的功为：则作用在dydz面上单位时间x方向的剪切力所做的功为：3传输过程控制方程在x+dx处dydz面上单位时间x方向的剪切力所做的功为：作用在dydz面上单位时间y方向的剪切力所做的功为：3传输过程控制方程同理，作用在dydz面上单位时间z方向的剪切力和压力所做的功分别为：单位时间作用在dxdz面和dxdy面上的剪切力和压力所做的总功为：3传输过程控制方程则单位时间作用在dydz面上的剪切力和压力所做的总功为：单位时间作用在控制体上的表面力对流体所做的功为：3传输过程控制方程(2)外力对控制体内流体所做的功表面力所做的功：包括剪应力与压力作用力为x方向的表面力如图：3传输过程控制方程另一种方法：考虑不同面上作用力方向相同的作用力在dydz面上单位时间x方向的剪切力所做的功为：3传输过程控制方程在dxdz面上单位时间x方向的剪切力所做的功为：3传输过程控制方程在dxdy面上单位时间x方向的剪切力所做的功为：在dydz面上的单位时间压力(x方向)所做的功为：则单位时间不同表面上x方向的剪切力和压力所做的总功为：同理，单位时间不同表面上y方向或z方向的剪切力和压力所做的总功分别为：3传输过程控制方程则，单位时间不同表面上的剪切力和压力所做的总功为：两种方法结果一致。3传输过程控制方程作用在控制体上的质量力在单位时间内所做的功为(3)由于热传导传递的热量设单位时间单位面积所传递的热量(热通量)为q，进入控制体的净热量速率为：若控制体表面与周围流体进行的热传导只是分子扩散传递所引起，并忽略热辐射(很小)，由傅里叶定律，上式可以写成：3传输过程控制方程当各

相同并为常数时，上式可以写成：

(4)由于内热源的存在所产生的热量

设S为单位时间内，单位体积中热源生成的热量，称为内热源速率，单位为J/(m3

s)，则由于内热源传给控制体内流体的热量为Sdxdydz

(5)

总比能Et在单位时间内的积累量为：3传输过程控制方程(6)

总能量平衡方程为：3传输过程控制方程矢量式为：根据总能量Et定义及全微分，其左边可写成：又由N-S方程，有：3传输过程控制方程代入总能量平衡方程，得到：3传输过程控制方程矢量式为：用应力表示的能量方程(1)。将斯托克斯的黏度关系式代入上式，可得：又由连续性方程式知：则以热力学第一定律表示的能量方程(2)

3传输过程控制方程其中黏性耗散项为对单位质量物质，则有：则此式为以净焓表示的能量方程(3)，也是能量微分方程的一般形式。3传输过程控制方程根据物性参数的热力学关系，有：代入以净焓表示的能量方程，得：以温度和热容表示的能量方程(4)

3传输过程控制方程其中3传输过程控制方程3.1.2能量方程的简化除了高速下运动或具有高黏度的流体之外，一般来说，黏性耗散项

是不大的，可以忽略不计对导热系数为常数的不可压缩流体，d

/dt=0，同时，对不可压缩流体，则所以3传输过程控制方程3.1.2能量方程的简化无热源时不可压缩流体的能量方程。与菲克第二定律有相同的形式。3传输过程控制方程对于导热系数为常数的恒压流体无热源时，可简化为：对于固体或静止流体，其密度一般恒定，并且速度为零，此时的传热问题即为无内热源时的导热问题，其能量方程简化为：有均匀热源时，能量方程为：在固体或静止流体内稳态导热时：泊松(Poisson)方程

3传输过程控制方程无热源时，能量方程在柱坐标和球坐标中的表达式分别为：SiméonDenisPoisson(1781-1840),FranceFewpeoplecanhaveachievedacademicsuccessasquicklyasPoissondid.Whenhebegantostudymathematicsin1798attheÉcole

Polytechnique.HisteachersLaplaceandLagrangequicklysawhismathematicaltalents.In1823Poissonpublishedonheat,producingresultswhichinfluencedSadiCarnot.MuchofPoisson'sworkwasmotivatedbyresultsofLaplace.3.4控制方程准数形式控制方程组是二阶非线性偏微分方程组，只能在为数不多的情况下求得其精确解，而多数情况下是求其近似解。将控制方程无量纲化是可行而且是必要的。通过相似变换，可以把控制方程组在直角坐标系中的表达式转变为无量纲的形式。设彼此相似的两个不可压缩流体的流动系统：实际系统和模型系统。前者的所有变量均用(

)表示，后者均用(

)表示，则两个系统中的连续性方程分别为：做相似变换，有：3传输过程控制方程3.4控制方程准数形式两个系统中的动量传输方程分别为：：做相似变换，有：3传输过程控制方程由(2)和(3)有：由(2)和(4)有：由(2)和(5)有：将相似变换代入这些结果中可得准数：3传输过程控制方程由(1)和(2)有：则均时数Ho是速度为u的流体质点通过系统中某一定形尺寸l距离所需的时间t。Ho相等，则速度场随时间改变的快慢相似。弗劳德(Froude)数Fr的分子部分反映了单位质量(或单位体积)流体的重力位能，分母为单位质量(或单位体积)流体的动能的两倍，故Fr为流体在流动过程中重力位能与动能的比值，重力位能与动能又分别与重力和惯性成正比，故Fr也表示流体在流动过程中的重力与惯性力的比值，是重力起作用的相似准则。雷诺(Reynolds)数Re表示流体流动过程中的惯性力与黏性力的比值，是摩擦力起作用的相似准则。欧拉(Euler)数Eu为流体惯性力与黏性力的比值，是压力起作用的相似准则。实际流体动量准数方程的一般式为：3传输过程控制方程由(2)和(3)，得：3传输过程控制方程同样地，对导热率恒定的无热源不可压缩流体能量方程做相似变换：由(1)和(3)，得：傅里叶(Fourier)数Fo是与时间有关的准数。它表征不稳定导热时温度场随时间的变化，其分子与分母分别为导入的热量与热焓变化。Fo越大，温度场越容易趋于稳定。它可理解为相对稳定度，是不稳定导热中的一个重要准