高中数学北师大版选修2-2测评第二章4导数的四则运算法则

第二章DIERZHANG变化率与导数§4导数的四则运算法则课后篇巩固提升A组1.已知f'(x)是函数f(x)的导数,f(x)=x2+2xf'(1),则f'(0)等于()A.2 B.2 C.4 D.0解析∵f'(x)=2x+2f'(1),∴f'(1)=2+2f'(1).∴f'(1)=2.∴f'(x)=2x+2×(2)=2x4.∴f'(0)=4.答案C2.下列函数中,导函数是偶函数的是()A.y=sinx B.y=exC.y=lnx D.y=cosx1解析由y=sinx得y'=cosx为偶函数;∵当y=ex时,y'=ex为非奇非偶函数,∴B错;∵y=lnx的定义域为x>0,∴C错;D中y=cosx12时,y'=sinx为奇函数,故D错答案A3.已知函数f(x)=x+sinx+1,其导函数记为f'(x),则f(2021)+f'(2021)+f(2021)f'(2021)=()A.2021 B.2 C.1 D.0解析因为f'(x)=1+cosx,所以f'(x)为偶函数,所以f'(2021)f'(2021)=f'(2021)f'(2021)=0,所以原式等价于f(2021)+f(2021)=2021+sin2021+1+(2021sin2021+1)=2.故选B.答案B4.曲线y=2x36x上切线平行于x轴的点的坐标为()A.(1,4) B.(1,4)C.(1,4)或(1,4) D.(1,4)或(1,4)解析y'=6x26,由y'=0,得x=±1,分别代入y=2x36x,得y=4或y=4,即所求点为(1,4)或(1,4).答案D5.曲线y=3x+sinx在(0,0)点处的切线方程为.

解析对函数y=3x+sinx求导得y'=3+cosx,则y'|x=0=4,因此,曲线y=3x+sinx在(0,0)点处的切线方程为y=4x,即4xy=0.答案4xy=06.若f(x)=x22x4lnx,则f'(x)>0的解集为.

解析由f(x)=x22x4lnx,得函数的定义域为(0,+∞),且f'(x)=2x24x=2x2-2x-4x=2(x+1)(x-2)x,由f'答案(2,+∞)7.已知f'(x)是函数f(x)的导数,f(x)=f'(1)·3x+x2,则f'(2)=.

解析因为f(x)=f'(1)·3x+x2,所以f'(x)=f'(1)·3xln3+2x,得f'(1)=f'(1)·3ln3+2,则f'(1)=21所以f'(2)=21-3ln3×9ln3+4答案6ln3+48.若曲线C:y=x32ax2+2ax上任意一点处的切线的倾斜角都是锐角,则实数a的取值范围是.

解析∵曲线在任意一点处的切线的倾斜角都是锐角,∴y'=3x24ax+2a>0恒成立.∴Δ=16a224a<0.∴0<a<32答案0<a<39.求下列函数的导数:(1)y=x·cosx+x;(2)y=sin4x4+cos4x(3)y=lgx解(1)y'=(x·cosx)'+(x)'=cosxx·sinx+12(2)∵y=sin4x4+cos4=sin2x4+cos2=112sin2x2=112∴y'=34+14cos(3)y'=(=x=1-10.曲线C:y=ax3+bx2+cx+d在点(0,1)处的切线为l1:y=x+1,在点(3,4)处的切线为l2:y=2x+10,求曲线C的方程.解由已知得点(0,1)与点(3,4)均在曲线C上,∴d=1,27a+9b+3c+由导数的几何意义得c解得d=1,c=1,a=13,b=1所以曲线C的方程为y=13x3+x2+x+1B组1.直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值为()A.2 B.1 C.1 D.2解析由条件可知,点A(1,3)在直线y=kx+1上,则k=2.∵点A在曲线y=x3+ax+b上,∴a+b+1=3,即a+b=2.由y=x3+ax+b,得y'=3x2+a,∴3+a=k=2.∴a=1,b=3.∴2a+b=1.答案C2.(2021全国甲,理13)曲线y=2x-1x+2在点(1,解析由y=2x-1x+2,得y'=5(x+2)2,则在点(1,3)处的切线的斜率为5,所以切线方程为y+3=5(答案5xy+2=03.函数f(x)=(xa)(xb)(xc)(a,b,c是两两互不相等的常数),则af'(a)解析∵f(x)=x3(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)xabc,∴f'(x)=3x22(a+b+c)x+ab+bc+ca.∴f'(a)=(ab)(ac),同理f'(b)=(ba)(bc),f'(c)=(ca)(cb).代入原式,得af'(a答案04.对正整数n,设曲线y=xn(1x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为{an},求数列ann+1的前解∵y=xn(1x),∴y'=nxn1(1x)xn=nxn1(n+1)xn.∴当x=2时,y'=n·2n1(n+1)2n=(n+2)·2n1,f(2)=2n.∴所求的切线方程为y+2n=(n+2)·2n1(x2),令x=0,则y=(n+1)·2n.∴an=(n+1)·2n,ann+1=故数列ann+1的前n项和为2(1-5.设函数f(x)=x3+2ax2+bx+a,g(x)=x23x+2,其中x∈R,a,b为常数,已知曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线,求a,b的值,并