专题11空间向量及其运算11种常见考法归类（原卷版）

专题11空间向量及其运算10种常见考法归类思维导图核心考点聚焦考点一、有关空间向量的概念的理解考点二、空间向量的加减运算考点三、空间向量的数乘运算考点四、向量共线问题考点五、向量共面问题考点六、空间向量的数量积运算考点七、利用数量积求夹角考点八、利用数量积求距离考点九、利用数量积证明垂直关系考点十、空间投影向量的计算知识点1空间向量的概念(1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，a的起点是A，终点是B，则a也可记作，其模记为|a|或||.(2)几类特殊的空间向量①零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为。规定：与任意向量平行。②单位向量：长度为1的空间向量，即.③相等向量：方向相同且模相等的向量。④相反向量：方向相反但模相等的向量。⑤共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作．⑥共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。知识点2空间向量的加减运算及运算律如图，空间中的两个向量a，b相加时，我们可以先把向量a，b平移到同一个平面α内，以任意点O为起点作＝a，＝b，则＝＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b，＝－＝b－a.(1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算．＝＋＝a＋b＝－＝a－b＝＋＝＋＝a＋b(2)空间向量加法交换律a＋b＝b＋a空间向量加法结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)空间向量加法的运算的小技巧（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即：（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即：；知识点3空间向量的数乘运算(1)实数与向量的积与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|.②当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0.(2)空间向量数乘运算满足以下运算律①λ(μa)＝(λμ)a；②λ(a＋b)＝λa＋λb；③(λ1＋λ2)a＝λ1a＋λ2a(拓展)．知识点4共线向量与共面向量(1)平行(共线)向量定义表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：互相平行或重合充要条件对空间任意两个向量a，b(b≠0)，存在唯一实数λ，使a＝λb点P在直线l上的充要条件存在实数t满足等式＝＋ta在直线l上取向量＝a，则＝＋t向量a为直线的方向向量(2)共面向量定义平行于同一个平面的向量三个向量共面的充要条件向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)使p＝xa＋yb点P位于平面ABC内的充要条件存在有序实数对(x，y)，使＝x＋y对空间任一点O，有＝＋x＋y知识点5空间向量数量积的概念(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)交换律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c(3)空间向量的夹角①定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．②范围：〈a，b〉∈[0，π]．特别地：当〈a，b〉＝时，a⊥b.知识点6空间向量的数量积的性质两个向量数量积的性质①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0②若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|；若反向，则a·b＝－|a|·|b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝③若θ为a，b的夹角，则cosθ＝④|a·b|≤|a|·|b|知识点7投影向量的概念1、向量在向量上的投影对于空间向量任意两个非零向量，，设向量，，过点作，垂足为，上述由向量得到向量的变换称为向量向向量的投影，向量称为向量在向量上的投影向量。与平面向量的情形类似，我们有2、向量在平面上的投影向量，过，作平面的垂线，垂足为，，得到向量，我们把向量称为向量在平面上的投影向量，此时数量积有1、在空间，平面向量、向量的模、相等向量的概念和平面向量完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．2、根据向量相等的概念，向量运算时可以根据需要进行平移向量；化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则进行化简，在化简过程中遇到减法时可灵活应用相反向量转化成加法，也可以按减法法则进行运算，加减法之间可相互转化，另外化简的结果要在图中标注好．3、应用向量的加减法法则和数乘运算表示向量是向量运算的前提，表示向量时要注意选定向量，明确转化的目标．4、判定向量a，b(b≠0)共线，只需利用已知条件找到x，使a＝xb即可．证明点共线，只需证明对应的、向量共线．5、证明空间三点共线的三种思路：对于空间三点P、A、B可通过证明下列结论来证明三点共线（1）存在实数λ，使PA=λ（2）对空间任一点O，有OP=（3）对空间任一点O，有OP=x6、利用向量法证明四点共面，实质上是证明向量共面问题，解题的关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中要注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系．7、两向量的数量积，其运算结果是数量，而不是向量．零向量与任意向量的数量积为0.向量的数量积不满足结合律．8、求空间向量数量积的步骤（1）将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式，（2）利用向量的运算规律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积，（3）代入求解.9、求两个向量的夹角有两种方法：方法一：（1）结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围角的大小（2）先求，再利用公式求，最后确定.方法二：①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)②异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小10、利用空间向量求模长在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模：。将其推广：注：利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝eq\r(a·a)求解即可．考点剖析考点一、有关空间向量的概念的理解1．（2023上·山东日照·高二校考阶段练习）下列命题中为真命题的是（

）A．向量与的长度相等B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段D．不相等的两个空间向量的模必不相等2．（2023·高二课时练习）已知为三维空间中的非零向量，下列说法不正确的是（）A．与共面的单位向量有无数个B．与垂直的单位向量有无数个C．与平行的单位向量只有一个D．与同向的单位向量只有一个3．（2023上·福建泉州·高二统考期中）在正方体中，与向量相反的向量是（

）A． B． C． D．4．（2023上·山东聊城·高二校考阶段练习）给出下列命题：①空间向量就是空间中的一条有向线段；②在正方体中，必有；③是向量的必要不充分条件；④若空间向量满足，，则．其中正确的命题的个数是（

）．A．1 B．2 C．3 D．05．（2023上·高二课时练习）给出下列命题：①向量的长度与向量的长度相等；②向量与平行，则与的方向相同或相反；③两个有公共终点的向量，一定是共线向量；④若向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上；⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5考点二、空间向量的加减运算6．（2023上·湖北孝感·高二校考期末）如图，在长方体中，下列运算结果化简正确的是（

）A． B． C． D．7．（2023上·云南临沧·高二校考期末）如图，在空间四边形中，则（

）A． B． C． D．8．（2024上·辽宁辽阳·高二统考期末）如图，在三棱柱中，M为的中点，设，，，则（

）A． B． C． D．9．（2023上·湖南益阳·高二南县第一中学校考期末）在三棱柱中，为中点，若，，，则下列向量中与相等的是（）A． B．C． D．10．（2023上·江苏·高三校联考阶段练习）若空间中四点满足，则（

）A． B．3 C． D．考点三、空间向量的数乘运算11．（2023上·河南南阳·高二校考阶段练习）求为（

）A． B．C． D．12．（2023上·山东德州·高二统考期中）四面体ABCD中，E为棱BC的中点，则（

）A． B． C． D．13．（2023·高二课时练习）在三棱锥中，若为正三角形，且E为其中心，则等于（

）A． B． C． D．14．（2023上·陕西榆林·高二校联考阶段练习）在平行六面体中，设，，，，分别是，的中点，则（

）A． B．C． D．考点四、向量共线问题15．（2023上·福建福州·高二福州三中校考期中）已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（

）A．、、 B．、、C．、、 D．、、16．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（

）A．0 B．1 C．2 D．317．（2023上·辽宁·高二本溪高中校联考期中）设向量不共面，已知，，若三点共线，则（

）A．0 B．1 C．2 D．318．（2023上·河北石家庄·高二石家庄市第二十七中学校考阶段练习）若空间向量不共线，且，则xy＝（

）A．1 B．2 C．4 D．619．（2023上·河南洛阳·高二校联考阶段练习）在四面体中，点E满足F为BE的中点，且则实数λ=（

）A． B． C． D．考点五、向量共面问题20．（2024上·云南玉溪·高二统考期末）已知O，A，B，C为空间中不共面的四点，且，若P，A，B，C四点共面，则（

）A． B． C． D．21．（2023·全国·高二专题练习）八十年代初期，空间向量解决立体几何问题的思路得到了长足的发展，已知A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点（）A．不共面 B．不一定共面C．无法判断是否共面 D．共面22．（2023上·山东菏泽·高二菏泽一中校考阶段练习）已知三点不共线，对平面外的任一点O，下列条件中能确定点共面的是（

）A． B．C． D．23．（2023上·湖北黄冈·高二校联考期中）对空间任意一点和不共线三点，，，能得到，，，四点共面的是（

）A． B．C． D．24．（2023上·北京·高二北京铁路二中校考期中）已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（

）A．共线 B．共线C．共面 D．不共面25．（2023上·贵州·高二校联考期中）已知点为所在平面内一点，为平面外一点，若，则的值为（

）A． B． C． D．26．（2023上·四川宜宾·高二四川省宜宾市第一中学校校联考期中）在四面体中，空间的一个点满足，若四点共面，则等于（

）A． B． C． D．考点六、空间向量的数量积运算27．（2023上·江苏·高一校联考阶段练习）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（

）A．若且，则 B．C．若，且，则 D．28．（2023上·广东东莞·高二东莞市光明中学校考阶段练习）如图，面为矩形，连接，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（

）A．与 B．与C．与 D．与29．（2023上·天津静海·高二校考阶段练习）已知向量和的夹角为，且，，则（

）A．12 B． C．4 D．1330．（2023上·山东威海·高二校考阶段练习）在正四面体中，棱长为2，且是棱中点，则的值为（

）A． B．1 C．3 D．731．（2023上·天津河东·高二统考期中）如图，若正四面体的棱长为1，且，则（

）A． B． C． D．132．（2023上·福建·高二福建师大附中校考期中）在正四面体中，是的中心，，则等于（

）A． B． C． D．33．（2023上·福建福州·高二校联考期中）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则集合中的元素个数是（

）A．7 B．5 C．3 D．1考点七、利用数量积求夹角34．（2023下·高二课时练习）已知，，，则与的夹角.35．（2023·高二课时练习）已知空间向量，，，，且与垂直，则与的夹角为（

）A． B． C． D．36．（2023上·福建三明·高二福建省宁化第一中学校考阶段练习）如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，则的长为；异面直线与夹角的余弦值为．37．（2023下·湖北恩施·高一恩施土家族苗族高中校考期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且与的夹角都等于.若是的中点，则直线与所成角的余弦值为.38．（2023·高二课时练习）已知空间向量，则使向量与的夹角为钝角的实数的取值范围是．39．（2023上·江苏南京·高二期中）已知单位向量满足，若与的夹角为，则实数．考点八、利用数量积求距离40．（2023上·河北石家庄·高二校考期中）已知空间中三个单位向量两两夹角均为60°．OA的中点为M，BC的中点为N，则．41．（2023上·浙江·高二校联考阶段练习）如图，平行六面体各条棱长均为1，，，则线段的长度为.42．（2023上·江苏镇江·高二统考期中）在平行六面体中，，，则.43．（2023上·江苏无锡·高二江苏省太湖高级中学校考期中）已知平行六面体的所有棱长均为2，，为的中点，则向量的模长为（

）A． B．4 C． D．44．（2023上·辽宁鞍山·高二鞍山一中校考期中）如图，二面角等于是棱上两点，分别在半平面内，，且，则.考点九、利用数量积证明垂直关系45．（2023·全国·高二专题练习）棱长为1的正四面体ABCD中，直线AB与CD（

）A．相交 B．平行C．垂直 D．无法判位置关系46．（2023上·高二课时练习）已知非零向量分别为直线的方向向量，且，，则与的位置关系是（

）A．垂直 B．平行 C．相交 D．异面47．（2023·高二课时练习）在正方体中，是上底面的中心，则与的位置关系是()A．重合 B．垂直C．平行 D．无法确定48．（2023·全国·高二专题练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点．(1)求；(2)判断与是否垂直．考点十、空间投影向量的计算49．（2023上·河北唐山·高二校联考期中）在空间四边形中，，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．50．（2023下·安徽合肥·高二校考开学考试）已知空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．51．（2023上·广东·高二校联考阶段练习）如图所示，在正方体中，为的中点，则向量在向量上的投影向量是（

）A． B． C． D．52．（2023上·辽宁营口·高二统考期末）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影的数量为（

）A．2 B． C． D．53．（2023上·安徽合肥·高二校考期中）若空间向量满足，则在方向上投影的最大值是（）A． B． C． D．过关检测一、单选题1．（2022上·吉林长春·高二长春十一高校考期末）下列说法错误的是（

）A．设是两个空间向量，则一定共面B．设是两个空间向量，则C．设是三个空间向量，则一定不共面D．设是三个空间向量，则2．（2022上·陕西渭南·高二统考期末）给出下列四个命题，其中正确的有（1）若空间向量，满足，则；（2）空间任意两个单位向量必相等；（3）对于非零向量，由，则；（4）在向量的数量积运算中．A．0个 B．1个 C．2个 D．4个3．（2018·北京·高二北京八中校考期末）空间四边形中，（

）A． B．C． D．4．（2023上·新疆伊犁·高二校考期末）已知、、为空间三个不共面的向量，向量，，若与共线，则（

）A． B． C． D．5．（2024上·江苏·高二期末）如图，平行六面体的各棱长均为，，，则（

）A． B．C． D．6．（2019上·陕西西安·高二西安中学校考期末）平行六面体中，若则（

）A． B． C． D．7．（2023上·全国·高二期末）如图，在四棱锥中，底面，四边形是边长为1的菱形，且，则（

）A． B．C． D．8．（2023上·全国·高二期末）已知空间向量，，满足，，且，则与的夹角大小为（

）A．30° B．60° C．120° D．150°二、多选题9．（2022上·广东广州·高二广东广雅中学校考期末）给出下列命题，其中不正确的有（

）A．若，则是钝角B．若，则与一定共线C．若，则与为同一线段D．非零向量､､满足与，与，与都是共面向量，则､､必共面10．（2023上·江西吉安·高二井冈山大学附属中学校考期末）空间四点及空间任意一点，由下列条件一定可以得出四点共面的有（

）A． B．C． D．11．