预习03向量的数量积运算（六大考点）（原卷版）

预习03向量的数量积运算一、向量的夹角（1）如图,已知两个非零向量,O是平面上的任意一点,作,则叫做向量与的夹角.显然,当时,与同向;当时,与反向.（2）如果与的夹角是,我们说与垂直,记作.二、向量数量积的定义已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积),记作,则规定:零向量与任一向量的数量积为0.三、向量的投影向量（1）如图（1）,设是两个非零向量，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到，则称上述变换为向量在向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.（2）如图（2）,在平面内任取一点O,作,过点作直线的垂线,垂足为,则就是向量在向量上的投影向量.（3）设与方向相同的单位向量为,与的夹角为,对任意的,都有四、向量数量积的性质设向量与都是非零向量,它们的夹角为,是与方向相同的单位向量,则（1）；（2）；（3）；【注】当与同向时,；当与反向时，.（4）；（5）或五、数量积运算的运算律（1）；（2）；（3）考点01简单数量积运算【方法点拨】向量数量积的求法：（1）求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及向量的夹角,其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键；（2）根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算.【例1】“平面向量，平行”是“平面向量，满足”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【例2】单位向量相互垂直，则.【变式11】（多选）下列说法正确的是（

）A．对任意向量，都有B．若且，则C．对任意向量，都有D．对任意向量，都有【变式12】已知向量，满足，且与的夹角为，则（

）A．6 B．8 C．10 D．14【变式13】已知非零向量，，满足，且，对任意实数，，下列结论正确的是（

）A． B．C． D．考点02向量模的有关计算【方法点拨】求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用,勿忘记开方.【例3】已知单位向量与单位向量的夹角为，则（）A．2 B． C． D．【例4】已知向量满足，则（

）A． B． C． D．【变式21】已知向量，的夹角为，，，则．【变式22】已知单位向量满足，则.【变式23】已知向量满足，则．考点03向量夹角的有关计算【方法点拨】求向量,的夹角的思路（1）求向量的夹角的关键是计算及,在此基础上结合数量积的定义或性质计算,最后借助,求出值；（2）在个别含有与的等量关系式中,常利用消元思想计算的值.【例5】已知向量，满足，，则（

）A． B． C． D．【例6】已知向量，，，且，则（

）A． B． C． D．【变式31】已知，且，则向量夹角的余弦值为.【变式32】已知非零向量满足，且，则与夹角的余弦值为．【变式33】已知两个单位向量，满足，则．考点04向量垂直的有关计算【方法点拨】涉及已知两向量的互相垂直问题,常转化为两向量的数量积为0求解,求解时要注意借助向量数量积的运算律.【例7】若都为非零向量，且，，则向量的夹角为（

）A． B． C． D．【例8】已知向量，不共线，，．(1)若，求的值，并判断，是否同向；(2)若，与夹角为，当为何值时，．【变式41】对于任意非零向量，若在上的投影向量互为相反向量，下列结论一定成立的是（

）A． B．C． D．【变式42】已知，，与的夹角是.(1)计算；(2)当k为何值时，？【变式43】已知平面向量，满足，，且，则向量与的夹角的大小为.考点05投影向量的有关计算【方法点拨】将已知量代入在方向上的投影向量公式(是与方向相同的单位向量,且)中计算即可.【例9】已知，，与同向的单位向量为，若在上的投影向量为，则与的夹角（

）A．60° B．120°C．135° D．150°【例10】已知向量，满足，，且和的夹角为.(1)求；(2)求在上的投影向量的长度.【变式51】已知，且满足，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【变式52】已知．(1)求与的夹角；(2)若在方向上的投影向量为，求的值．【变式53】已知，，且，则在上的投影向量为.考点06几何与数量积运算【方法点拨】一般将参与数量积运算的向量利用线性运算转化成已知向量（夹角可知）【例11】等边边长为，，则（

）A． B． C． D．【例12】如图，在中，，且，点满足，则.【变式61】（多选）已知矩形的面积为，则（

）A．5 B．3 C． D．【变式62】（多选）在菱形中，是的中点，，则（

）A． B．C． D．【变式63】向量在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则＝.一、单选题1．已知两个单位向量与的夹角为，若，，且，则实数（

）A． B． C． D．12．已知非零向量满足，且，则与的夹角为（

）A． B． C． D．3．已知，，且，的夹角为，则（

）A．1 B． C．2 D．4．已知向量，若与的夹角为；若与的夹角为钝角，则取值范围为（

）A． B．C． D．5．已知向量在向量上的投影向量为，且，则的值为（

）A． B．1 C． D．6．已知向量，满足，，则的最大值为（

）A． B．2 C． D．4二、多选题7．如图，已知点O为正六边形ABCDEF的中心，下列结论中正确的是（）A．++B．（）·C．（+）·=·+·D．|+|=|+|8．已知是夹角为的单位向量，，，下列结论正确的是（

）A． B．C． D．在上的投影向量为9．设向量满足，则（

）A． B．C． D．三、填空题10．已知圆O的圆心在原点，半径为1，点A，B，C是圆O上的三个点，且满足，则.11．已知向量，满足，，，则.12．已知向量，且和的夹角为