高考数学（理）一轮复习课时训练第13章推理与证明算法复数65

【课时训练】第65节直接证明与间接证明一、选择题1．(2018滨州模拟)若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是()A．lg(1＋a2)>0 B．a2＋b2≥2(a－b－1)C．a2＋3ab>2b2 D．eq\f(a,b)<eq\f(a＋1,b＋1)【答案】B【解析】在B中，∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．2．(2018山东济南模拟)用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设()A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°【答案】B【解析】应假设“三个内角都大于60°”，故选B.3．(2018咸阳模拟)已知m>1，a＝eq\r(m＋1)－eq\r(m)，b＝eq\r(m)－eq\r(m－1)，则以下结论正确的是()A．a>b B．a<bC．a＝b D．a，b大小不定【答案】B【解析】∵a＝eq\r(m＋1)－eq\r(m)＝eq\f(1,\r(m＋1)＋\r(m))，b＝eq\r(m)－eq\r(m－1)＝eq\f(1,\r(m)＋\r(m－1)).而eq\r(m＋1)＋eq\r(m)>eq\r(m)＋eq\r(m－1)＞0(m＞1)，∴eq\f(1,\r(m＋1)＋\r(m))<eq\f(1,\r(m)＋\r(m－1))，即a<b.4．(2018广东七校联考)①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下正确的是()A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确；②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确【答案】D【解析】反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p＋q＞2，所以①不正确；对于②，其假设正确．5．(2018天津河西模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，a，b是正实数，A＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))，B＝f(eq\r(ab))，C＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ab,a＋b)))，则A，B，C的大小关系为()A．A≤B≤C B．A≤C≤BC．B≤C≤A D．C≤B≤A【答案】A【解析】∵eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)≥eq\f(2ab,a＋b)，又f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在R上是减函数，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))≤f(eq\r(ab))≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ab,a＋b))).6．(2018长沙一模)设a，b，c均为正实数，则三个数a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)()A．都大于2 B．都小于2C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2【答案】D【解析】∵a＞0，b＞0，c＞0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,c)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,a)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,c)))≥6，当且仅当a＝b＝c＝1时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.二、填空题7．(2018吉林九校联考)eq\r(6)＋eq\r(7)与2eq\r(2)＋eq\r(5)的大小关系为________．【答案】eq\r(6)＋eq\r(7)>2eq\r(2)＋eq\r(5)【解析】要比较eq\r(6)＋eq\r(7)与2eq\r(2)＋eq\r(5)的大小，只需比较(eq\r(6)＋eq\r(7))2与(2eq\r(2)＋eq\r(5))2的大小，即比较6＋7＋2eq\r(42)与8＋5＋4eq\r(10)的大小，只需比较eq\r(42)与2eq\r(10)的大小，只需比较42与40的大小，∵42>40，∴eq\r(6)＋eq\r(7)>2eq\r(2)＋eq\r(5).8．(2018贵州贵阳二模)用反证法证明命题“a，b∈R，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是_______________________________________________________________________________________________________________________.【答案】a，b都不能被5整除9．(2018九江调研)下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0.其中能使eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2成立的条件的序号是________．【答案】①③④【解析】要使eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2，只需eq\f(b,a)>0成立，即a，b不为0且同号即可，故①③④能使eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2成立．10．(2018山东日照质检)如果aeq\r(a)＋beq\r(b)>aeq\r(b)＋beq\r(a)，则a，b应满足的条件是________．【答案】a≥0，b≥0且a≠b【解析】∵aeq\r(a)＋beq\r(b)－(aeq\r(b)＋beq\r(a))＝eq\r(a)(a－b)＋eq\r(b)(b－a)＝(eq\r(a)－eq\r(b))(a－b)＝(eq\r(a)－eq\r(b))2(eq\r(a)＋eq\r(b))．∴当a≥0，b≥0且a≠b时，(eq\r(a)－eq\r(b))2(eq\r(a)＋eq\r(b))>0.∴aeq\r(a)＋beq\r(b)>aeq\r(b)＋beq\r(a)成立的条件是a≥0，b≥0且a≠b.三、解答题11．(2018吉林实验中学月考)若a，b，c是不全相等的正数，求证：lgeq\f(a＋b,2)＋lgeq\f(b＋c,2)＋lgeq\f(c＋a,2)＞lga＋lgb＋lgc.【证明】∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)＞0，eq\f(b＋c,2)≥eq\r(bc)＞0，eq\f(a＋c,2)≥eq\r(ac)＞0.又上述三个不等式中等号不能同时成立．∴eq\f(a＋b,2)·eq\f(b＋c,2)·eq\f(c＋a,2)＞abc成立．上式两边同时取常用对数，得lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)·\f(b＋c,2)·\f(c＋a,2)))＞lg(abc)，∴lgeq\f(a＋b,2)＋lgeq\f(b＋c,2)＋lgeq\f(c＋a,2)＞lga＋lgb＋lgc.12．(2018河南师大附中期末)设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？(1)【证明】假设数列{Sn}是等比数列，则Seq\o\al(2,2)＝S1S3，即aeq\o\al(2,1)(1＋q)2＝a1·a1·(1＋q＋q2)，因为a1≠0，所以(1＋