5.2导数的运算（七大考点）

5.2导数的运算1.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.2.能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数3.理解复合函数的求导法则,并能求简单的复合函数的导数.一、导数的计算1.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数基本初等函数导函数（为常数）2.导数的运算法则若存在，则有：加减运算乘法运算除法运算，则．3.复合函数的导数复合函数的导数和函数，的导数间关系为：二、求切线方程1.求曲线“在”点处的切线方程：第一步：计算切点的纵坐标；第二步：计算切线斜率；第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率；第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：.2.求曲线“过”点处的切线方程第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数；第三步：利用Q在曲线上和，解出及；第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：.考点01基本初等函数的导数及运算法则1．下列导数公式不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据基本初等函数的导数公式直接判断即可．【详解】根据基本初等函数的导数公式可知，ABD正确；C错误，应为.故选：C.2．（多选）下列求导运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】利用求导公式及导数的运算法则逐项计算即得.【详解】对于A，，A错误；对于B，，B错误；由求导公式得C正确，由商的导数运算法则得D正确.故选：CD3．已知函数，若，则．【答案】1【分析】对函数求导，求出，解方程即可得出答案.【详解】因为，所以，又，所以，解得．故答案为：.4．已知，则.【答案】【分析】求出函数的导函数，再代入计算可得.【详解】因为，所以，则.故答案为：5．求下列函数的导函数．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)．(3)(4)【分析】根据求导公式及导数的运算法则进行求导即可.【详解】（1）.（2）.（3）因为，所以.（4）因为，所以.6．函数，如果为奇函数，则的取值范围为【答案】【分析】求出，结合函数奇偶性的定义判断可得出结果.【详解】由可得，即函数的定义域为，则，又因为函数为奇函数，对任意的，，对任意的实数都满足条件，故实数的取值范围是.故答案为：.7．已知函数，若，则.【答案】/【分析】利用导数的运算法则及求导公式求出导数，再由给定的导数值求出.【详解】函数，求导得，于是，所以.故答案为：考点02复合函数的导数8．设函数（）的导函数的最大值为2，则在上的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出函数的导数，依题意可得，利用余弦函数性质可求出的最小值.【详解】∵的最大值为2，∴．∴，，∴，∴，即，的最小值为．故选：D.9．（多选）下列函数的导数计算正确的是（

）A．若函数，则B．若函数（且），则C．若函数，则（e是自然对数的底数）D．若函数，则【答案】BCD【分析】根据复合函数的求导法则，结合基本初等函数求导公式以及求导法则即可逐一求解.【详解】对于A，，所以，A错误，对于B，，故B正确，对于C，，C正确，对于D，，D正确，故选：BCD10．（多选）下列导数运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用基本函数和复合函数的求导法则求解即可.【详解】选项A，，故A正确；选项B，，故B错误；选项C，，故C正确；选项D，，故D错误.故选：AC.11．已知，则．【答案】【分析】利用复合函数求导函数方法求解即可.【详解】由，故答案为：12．盐城沿海滩涂湿地现已发现高等植物559种、动物1665种，经研究发现其中某生物种群数量的增长规律可以用逻辑斯谛模型刻画，其中是该种群的内禀增长率，若，则时，的瞬时变化率为.【答案】/【分析】求时的瞬时变化率，即求在处导数值，求导，代入计算即可.【详解】当时，，则，则时，的瞬时变化率为.故答案为：.13．求下列函数的导数．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】（1）利用复合函数求导运算求解即可；（2）利用复合函数求导运算求解即可；（3）利用复合函数求导运算求解即可；（4）诱导公式和二倍角公式先化简，再直接求导；（5）利用复合函数求导运算求解即可；（6）利用复合函数求导运算求解即可.【详解】（1）由，则.（2）由，则.（3）由，则.（4）由，则.（5）由，则.（6）由，则.考点03解析式中含14．已知函数，则在处的导数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】对求导，将代入求即可.【详解】由已知可得，所以，所以故选：A.15．若函数，则（

）A． B． C．1 D．3【答案】B【分析】利用导数的运算法则求得，从而求得.【详解】因为，所以，则，所以，故选：B．16．已知，则（

）A．0 B． C． D．【答案】C【分析】求导代入直接计算即可.【详解】求导得：，所以，即，解得：.故选：C17．已知函数，则=.【答案】【分析】首先求函数的导数，并求，再根据函数的解析式，即可求解.【详解】，则，得，所以，故.故答案为：18．设函数的导数为，且，则.【答案】【分析】根据求导法则，建立方程，可得答案.【详解】由题意，可得，所以，即，解得：，所以.故答案为：.考点04“在”点的切线方程19．已知函数是偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先由奇偶性求得时的解析式，再结合导数的几何意义求切线方程即可.【详解】因为，，，又由是偶函数，，令，则，根据是偶函数，，得到时，，所以，时，，，故曲线在处的切线方程为，即.故选：C.20．函数在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用导数的几何意义即可求解.【详解】由，得，在点处的切线斜率为，所以切线方程为，即.故选：A.21．已知，则曲线在处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将换成，与原式联立得到，利用换元法求出函数的解析式，进而写出的解析式，从而求得切线方程.【详解】因为①，将换成，得②，，得，令，，则，故，故，则，所以，，故切点为，切线斜率为，故切线方程为.故选：C.22．曲线在点处的切线与坐标轴围成的图形的面积为.【答案】/0.25【分析】先求出切线方程，后求围成的三角形面积即可.【详解】易知的定义域为，而，故切点为，设切线斜率为，且，故，切线方程为，化简得，当时，，当时，，易知围成的图形是三角形，设面积为，故.故答案为：23．曲线在点处的切线方程为.【答案】【分析】通过求导得出在点的切线斜率，即可求出在点处的切线方程.【详解】由题意，在中，，当时，，∴在点处的切线方程为：，即：，故答案为：.24．已知函数，则在点处切线方程为．【答案】【分析】对求导可得计算出得，再根据题意利用导数的几何意义求解即可.【详解】对求导可得，则，解得，，，切线方程为，整理得.故答案为：.考点05“过”点的切线方程25．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先由导数求切线的斜率，再求出切点，结合点斜式方程写出即可.【详解】由，得，所以，又，故曲线在点处的切线的方程为，即.故选：A.26．函数为上的奇函数，过点作曲线的切线，可作切线条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．不确定【答案】A【分析】根据奇函数确定，求导得到导函数，设出切点，根据切线方程公式计算，计算切线得到答案.【详解】，故，，，，设切点为，则，且，整理得到，解得，，故切线方程为，故选：A27．（多选）过点与函数相切的直线为（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】当为切点时，根据的值和直接求解出切线方程；当不是切点时，设出切点，然后根据斜率的表示求解出的坐标，则切线方程可求.【详解】因为，所以；若A点是切点，则，则切线方程为，即，故C正确；若A点不是切点，设切点，则B处切线斜率为，又因为直线AB的斜率为，则，，化简可得，所以或（舍去，此时重合），所以点B为，故切线斜率为，则切线方程为，即，故D正确．故选：CD．28．若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是.【答案】【分析】先利用导数求曲线过坐标的切线方程，再列出关于的不等式，进而求得的取值范围.【详解】由得，设切点坐标为，则切线斜率，切线方程为，又因为切线过，所以，整理得，又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个实数解，所以，解得或，所以的取值范围是，故答案为：.29．过原点与曲线相切的一条切线的方程为.【答案】或或(写出其中一条即可)【分析】根据曲线表示抛物线的一部分，设其切线方程为，利用判别式法求解；设的切线的切点为，利用导数法求解.【详解】解：设曲线表示抛物线的一部分，设其切线方程为，代入，得.由，得.当时，，符合题意，当时，，均符合题意，所以切线方程.设的切线的切点为.由，得，，得切线方程为.将的坐标代入切线方程，得，所以，所以切线方程为.故答案为：或或(写出其中一条即可)30．已知曲线.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求曲线过点的切线方程.【答案】(1)(2)和【分析】（1）先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，利用点斜式即可得到切线方程；（2）设过点的切线与曲线相切于点，然后根据曲线在点处切线的切线方程，求出切点坐标，从而可求出结果．【详解】（1）由题意得，则在点处的切线的斜率，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）设曲线与过点的切线相切于点，设切线的斜率为，则由点斜式得直线方程为，又因为切点为，则，解得或，则曲线过点处的切线方程为和.考点06已知切线(斜率)求参数31．已知函数在点处的切线方程为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据导数的几何意义求解即可.【详解】因为函数在点处的切线方程为，所以，且，所以，所以．故选：A.32．已知直线与曲线相切，则的值为（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】设切点为，再根据切点在直线与切线上，导数的几何意义列式求解即可.【详解】的导函数，设切点为，则，故，即，则.易得函数为增函数，且，故.故.故选：A33．若直线是曲线（）的一条切线，则实数b的值为（）A．4 B．C． D．【答案】C【分析】先求得曲线的导函数，由导函数几何意义及直线方程可求得切点坐标，再代入直线方程即可求得b的值.【详解】∵的导数，∴令，得，∴切点为．代入直线，得，即．故选：C34．已知，若曲线与直线相切，则．【答案】【分析】设出切点，利用切点在曲线上也在直线上和切点处的导数等于斜率列方程求解。【详解】设，与直线相切的切点为，则，故在点处的切线方程可写为，即，若切线为，则且，得，所以，设则，所以，所以，所以又因为，所以解得．故答案为：35．函数的图象在点处的切线与直线垂直，则实数．【答案】0【分析】根据导数得几何意义，先求导，所以在点处的切线斜率为，再根据直线的垂直关系，即可得解.【详解】由题可得，，所以在点处的切线斜率为，又切线与直线垂直，所以，解得．故答案为：36．已知抛物线，求：(1)抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为45°？(2)抛物线上哪一点处的切线平行于直线?(3)抛物线上哪一点处的切线垂直于直线?【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）运用导数的几何意义，结合直线斜率与直线倾斜角之间的关系进行求解即可；（2）运用导数的几何意义，结合互相平行直线的性质进行求解即可；（3）运用导数的几何意义，结合互相垂直直线的性质进行求解即可；【详解】（1）由，设切点为，因为切线的倾斜角为45°，所以切线的斜率为，因此有；（2）由，设切点为，因为切线切线平行于直线，所以切线的斜率为，因此有；（3）由，设切点为，因为切线线垂直于直线，所以切线的斜率为，因此有考点07利用相切关系求最短距离37．若点P是曲线上任一点，则点P到直线的最小距离是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用导数求出与直线平行的直线与曲线的切点，再由点到直线的距离公式求解．【详解】解：设与直线平行的直线与曲线切于，由定义域为，得，则，由，解得（舍去负值）．，则点到直线的最小距离是．故选：C．38．已知函数为偶函数，当时，，则曲线上的点到直线的最小距离为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求的解析式，根据条件求的点，再求点到直线的距离的最小值.【详解】当时，设点，，解得：，，此时点到直线的距离，设，，因为函数是偶函数，所以，设点，，解得：，，此时点到直线的距离，因为，所以曲线上的点到直线的最小距离为.故选：B39．若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离是．【答案】【分析】作直线的平行线，使得与曲线相切，设切点为，根据导数的几何意义求得切点为，结合点到直线的距离公式，即可求解.【详解】作直线的平行线，使得与曲线相切，设切点为，因为函数，可得，所以曲线在点处的导数为，即切线的斜率为令，解得，则，即切点为，又由点到直线的距离公式，可得切线到直线的距离为，即到直线的最小距离为.故答案为：.40．若点是曲线上任意一点，点是直线上任意一点，则的最小距离为.【答案】/【分析】利用导数的几何意义处理即可.【详解】令，则，即曲线在处的切线方程为：，即,如下图所示，当时的最小值为点到直线的距离（为垂足）.故.故答案为：41．若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为.【答案】【分析】由已知，先在曲线上设出点，然后写出以点为切点的曲线的切线方程，根据题意，找到距离直线最近的点，即，从而求解出切点以及切线方程，最后计算两条平行线之间的距离即可.【详解】由已知，设点曲线上一点，则有，因为，所以，所以，所以曲线在处的切线斜率为，则曲线在处的切线方程为，即．要求得曲线上任意一点，到直线的最小距离即找到曲线上距离直线最近的点，即，解得或（舍去），此时，以点为切点，曲线的切线方程为：，此时，切点为曲线上距离直线最近的点，即点与点重合，最小距离为直线与直线之间的距离，设最小距离为，所以.故答案为：.42．设点是曲线上的任意一点，则到直线的最小距离是．【答案】【分析】对函数求导，由题意得在点的切线与直线平行，从而求出点坐标，根据点到直线的距离进行求解即可【详解】由题意得在点的切线与直线平行设曲线上与直线平行的切线的切点，由的斜率为，则由，解得，故切点为切点到的距离．故答案为：基础过关练1．下列式子错误的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意，依次计算选项函数的导数，综合即可得答案．【详解】对于A：，故正确；对于B：，故错误；对于C：，故正确；对于D：，故正确，故选：B．2．已知函数，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】在等式两边求导，令，可求得的值，可得出的表达式，代值计算可得出的值.【详解】因为，则，所以，，解得，所以，，因此，.故选：A.3．曲线在点处的切线与直线平行，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】确定曲线在点处的切线的斜率，求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案.【详解】因为曲线在点处的切线与直线平行，故曲线在点处的切线的斜率为2，因为，所以，所以，故选：C.4．若点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用导数求得平行于直线与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式，即可求解.【详解】由函数，可得，令，可得，因为，可得，则，即平行于直线且与曲线相切的切点坐标为，由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离为.故选：B.5．（多选）下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】BCD【分析】由导数的四则运算和复合函数的导数公式计算.【详解】对A,若，则，A选项不正确；对B,若，则，B选项正确；对C,若，则，C选项正确．对D,若，则，D选项正确．故选：BCD6．（多选）已知直线l与曲线相切，则下列直线中可能与l平行的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根据导数的几何意义和平行关系的斜率关系对选项一一分析即可.【详解】，，则，当且仅当即等号成立，根据导数的几何意义知，切线的斜率，因为切线与直线l平行，所以l的斜率，选项A中直线的斜率为，符合题意；选项B中直线的斜率为，不符合题意；选项C中直线的斜率为，符合题意；选项D中直线的斜率为，符合题意；故选：ACD.7．已知函数的导数为，则的图象在点处的切线的斜率为．【答案】1【分析】利用导数的运算法则，结合导数的几何意义，即可求解.【详解】因为，所以，则，解得．所以的图象在点处的切线的斜率为1.故答案为：18．已知直线是曲线的一条切线，则.【答案】2【分析】分和两种情况，设切点，由导数的几何意义得到切点坐标，从而代入，求出答案.【详解】，当时，，，设切点为，则切线斜率为，故切线斜率不可能为，舍去，当时，，，设切点为，则切线斜率为，令，解得，则切点为，将代入中得，，解得.故答案为：29．已知点是函数图象上的任意一点，直线，则点到直线的距离的最小值是.【答案】【分析】设直线与平行，且与函数相切，从而求出切点坐标，则求出切点到直线的距离，从而可求解。【详解】因为，所以.令，得，则，故点到直线的距离.故答案为：10．求下列函数的导数：(1)(2)【答案】(1)；(2).【分析】（1）应用导数加减、乘法及简单复合函数导数求法求函数的导函数；（2）应用导数除法法则求函数的导函数.【详解】（1）（2）11．已知曲线．(1)求平行于直线且与曲线相切的直线方程；(2)求过点且与曲线相切的直线方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）设过点的切线与直线平行，求出函数的导函数，依题意可得，即可求出切点坐标，从而求出切线方程；（2）设切点为，由求出、，从而求出切线方程.【详解】（1）因为，所以，设过点的切线与直线平行，则，解得，所以，所以切线方程为，即.（2）设切点为，则，所以，解得或，所以切点为或，当切点为时切线的斜率，所以切线方程为；当切点为时切线的斜率，所以切线方程为；所以过点且与曲线相切的直线方程为或.12．已知曲线在处的切线与曲线在处的切线互相平行，求的值．【答案】或【分析】利用导数的几何意义求解即可.【详解】对于曲线，，在处的切线斜率为对于曲线，，在处的切线斜率为.由题意得，解得或经检验，均符合题意．能力提升练1．以正弦曲线上一点P为切点得切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是（

）A．∪ B．C． D．∪【答案】A【分析】根据导数求解点的斜率，然后结合三角函数与直线倾斜角范围判断；【详解】因为，所以，∴切线的斜率范围是，∴倾斜角的范围是∪，故选：A.2．设曲线在处的切线为，若的倾斜角小于，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义，结合切线倾斜角范围建立不等式，再求解不等式即得.【详解】令，求导得，则切线的斜率为，由的倾斜角小于，得切线的斜率或，即或，解得，解得或，所以实数的取值范围是.故选：B3．已知函数，其导函数为，则的值为（

）A．0 B．2 C．2021 D．【答案】B【分析】利用函数解析式可求出，求导可得，满足，即可得出结论.【详解】