八年级数学上册期末压轴100题：第十四章20题(含答案)

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页八年级数学上册期末压轴100题：第十四章20题1．若x2+mx+9＝（x﹣3）2，则m的值为（）A．6 B．﹣6 C．±6 D．32．下列因式分解正确的是（）A．3ab2﹣6ab＝3a（b2﹣2b） B．x（a﹣b）﹣y（b﹣a）＝（a﹣b）（x﹣y）C．a2+2ab﹣4b2＝（a﹣2b）2 D．﹣a2+a﹣＝﹣（2a﹣1）23．下列因式分解正确的是（）A．2p+2q+1＝2（p+q）+1 B．m2﹣4m+4＝（m﹣2）2C．3p2﹣3q2＝（3p+3q）（p﹣q） D．m4﹣1＝（m²+1）（m²﹣1）4．下列运算正确的是（

）A．a3+a3=a6 B．（a﹣b）2=a2﹣b2 C．（﹣a3）2=a6 D．a12÷a2=a65．如图，正方形的边长为，将此正方形按照下面的方法进行剪贴：第一次操作，先沿正方形的对边中点连线剪开，然后粘贴为一个长方形，其中叠合部分长为1，则此长方形的周长为_______，第二次操作，再沿所得长方形的对边（长方形的宽）中点连线剪开，然后粘贴为一个新的长方形，其中叠合部分长为l，……如此继续下去，第n次操作后得到的长方形的周长为________．

6．已知10a＝2，10b＝3，则102a＋3b＝______．7．分解因式：=__________．8．已知，，则______．9．分解因式：______．10．已知xm＝6，xn＝2，则xm﹣n＝___．11．若一个四位正整数满足：，我们就称该数是“交替数”，如对于四位数3674，∵，∴3674是“交替数”，对于四位数2353，，∴2353不是“交替数”．（1）最小的“交替数”是________，最大的“交替数”是__________．（2）判断2376是否是“交替数”，并说明理由；（3）若一个“交替数”满足千位数字与百位数字的平方差是12，且十位数字与个位数的和能被6整除．请求出所有满足条件的“交替数”．12．阅读材料：1261年，我国南宋数学家杨辉著《详解九章算法》，在注释中提到“杨辉三角”解释了二项和的乘方规律．在他之前，北宋数学家贾宪也用过此方法，“杨辉三角”又叫“贾宪三角”．这个三角形给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序、b的次数由小到大的顺序排列）的系数规律．例如：在三角形中第三行的三个数1、2、1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1、3、3、1，恰好对应展开式中各项的系数等．从二维扩展到三维：根据杨辉三角的规则，向下进行叠加延伸，可以得到一个杨辉三角的立体图形．经研究，它的每一个切面上的数字所对应的恰巧是展开式的系数．（1）根据材料规律，请直接写出的展开式；（2）根据材料规律，如果将看成，直接写出的展开式（结果化简）；若，求的值；（3）已知实数a、b、c，满足，且，求的值．13．任何一个正整数n都可以这样分解：（p、q是正整数，且），则n的所有这种分解中，如果两因数p，q之差的绝对值最小，我们就称是n的最佳分解，并规定：．例如：18可以分解成或，则．（1）计算：、．（2）如果一个三位正整数（，x，y为自然数），交换其个位上的数与百位上的数得到的新三位正整数加上原来的三位正整数所得的和恰好能被11整除，那么我们称这个数t为“心意数”．①求所有满足条件的“心意数”t；②对于满足“心意数”t中的x，y，设，求的最小值．14．在平面直角坐标系中，A(a，0)，B(0，b)分别是x轴负半轴和y轴正半轴上一点，点C与点A关于y轴对称，点P是x轴正半轴上C点右侧一动点．（1）当2a2+4ab+4b2+2a+1＝0时，求A，B的坐标；（2）当a+b＝0时，①如图1，若D与P关于y轴对称，PE⊥DB并交DB延长线于E，交AB的延长线于F，求证：PB＝PF；②如图2，把射线BP绕点B顺时针旋转45o，交x轴于点Q，当CP＝AQ时，求∠APB的大小．15．知直线，一块直角三角板的顶点A在直线a上，B，C两点在平面上移动，其中，．请解答下列问题：

（1）如图1，若点C在直线b上，点B在直线b的下方，，求的度数：（2）如图2，若三角板的位置绕着点A进行转动，使得点C在直线a，b之间，点B在直线b的下方．①请说明和的数量关系；②若图中两个角的度数和之间满足关系式，求x，y的值．16．定义：若一个整数能表示成a2＋b2（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如：因为13＝32＋22，所以13是“完美数”；再如：因为a2＋2ab＋2b2＝（a＋b）2＋b2，所以a2＋2ab＋2b2也是“完美数”．（1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是；（2）判断53（请填写“是”或“否”）为“完美数”；（3）已知M＝x2＋4x＋k（x是整数，k是常数），要使M为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由；（4）如果数m，n都是“完美数”，试说明mn也是“完美数”．17．一个三位或者三位以上的整数，从左到右依次分割成三个数，记最左边的数为a，最右边的数为b，中间的数记为m，若满足m＝a2+b2，我们就称该整数为“空谷”数．例如：对于整数282．∵22+22＝8，∴282是一个“空谷”数，又例如：对于整数121451，∵122+12＝145∴121451也是一个“空谷”数．满足m＝2ab，我们就称该整数为“幽兰”数；例如：对于整数481，∵2×4×1＝8，∴481是一个“幽兰”数，又例如：对于整数13417，∵2×1×17＝34，∴13417是一个“幽兰”数．（1）若一个三位整数十位数字为9，且为“空谷”数，则该三位数为；若一个四位整数为“幽兰”数，且中间的数为40，则该四位数为；（2）若是一个“空谷”数，是一个“幽兰”数，求a2﹣b2的值．（3）若一个整数既是“空谷”数，又是“幽兰”数，我们就称该整数为“空谷幽兰”数．请写出所有的四位“空谷幽兰”数．18．材料一：一个正整数x能写成（a，b均为正整数，且），则称x为“雪松数”，a，b为x的一个平方差分解，在x的所有平方差分解中，若最大，则称a，b为x的最佳平方差分解，此时．例如：，24为雪松数，7和5为24的一个平方差分解，，因为，所以9和7为32的最佳平方差分解，．材料二：若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，但四个数字不全相同，则称这个四位数为“南麓数”，例如4334，5665均为“南麓数”．根据材料回答：（1）请直接写出两个雪松数，并分别写出它们的一对平方差分解；（2）试说明10不是雪松数；（3）若一个数t既是“雪松数”又是“南麓数”，并且另一个“南麓数”的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是t的一个平方差分解，请求出所有满足条件的数t．19．已知，．（1）求的值．（2）求的值．20．我们常利用数形结合思想探索整式乘法的一些法则和公式．类似地，我们可以借助一个棱长为的大正方体进行以下探索：（1）在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图1所示，则得到的几何体的体积为________；（2）将图1中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图2所示，∵，，，∴长方体①的体积为．类似地，长方体②的体积为________，长方体③的体积为________；（结果不需要化简）（3）将表示长方体①、②、③的体积相加，并将得到的多项式分解因式的结果为________；（4）用不同的方法表示图1中几何体的体积，可以得到的等式为________．（5）已知，，求的值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案1．B【分析】根据完全平方公式，可求得m的值．【详解】解：，可得m=-6．故答案选B．【点睛】本题主要考查完全平方公式，关键在于记住口诀“首平方，尾平方，积的二倍放中央，符号看前方”．2．D【分析】根据因式分解的定义及方法即可得出答案.【详解】A：根据因式分解的定义，每个因式要分解彻底，由3ab2﹣6ab＝3a（b2﹣2b）中因式b2﹣2b分解不彻底，故A不符合题意．B：将x（a﹣b）﹣y（b﹣a）变形为x（a﹣b）+y（a﹣b），再提取公因式，得x（a﹣b）﹣y（b﹣a）＝x（a﹣b）+y（a﹣b）＝（a﹣b）（x+y），故B不符合题意．C：形如a2±2ab+b2是完全平方式，a2+2ab﹣4b2不是完全平方式，也没有公因式，不可进行因式分解，故C不符合题意．D：先将变形为，再运用公式法进行分解，得，故D符合题意．故答案选择D.【点睛】本题考查的是因式分解，注意因式分解的定义把一个多项式拆解成几个单项式乘积的形式.3．B【分析】利用提取公因式法、平方差公式和完全平方公式法分别因式分解分析得出答案．【详解】解：A、2p+2q+1不能进行因式分解，不符合题意；B、m2-4m+4=（m-2）2，符合题意；C、3p2-3q2=3（p2-q2）=3（p+q）（p-q），不符合题意；D、m4-1=（m2+1）（m2-1）=m4-1=（m2+1）（m+1）（m-1），不符合题意；故选择：B【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．4．C【分析】根据整式的加法、完全平方公式、幂的乘方以及同底数幂的除法计算即可得出答案．【详解】A、原式，不符合题意；B、原式，不符合题意；C、原式，符合题意；D、原式，不符合题意，故选C．【点睛】本题考查了整式的运算，涉及合并同类项、完全平方公式、幂的乘方、同底数幂的除法等，熟练掌握相关运算法则是解决本题的关键．5．【分析】先求出长方形的长与宽，再根据长方形的周长公式即可得；然后利用同样的方法求出第二次、第三次操作后得到的长方形的周长，归纳类推出一般规律即可得．【详解】解：第一次操作后得到的长方形的宽为，长为，则第一次得到的长方形的周长为，第二次操作后得到的长方形的宽为，长为，第三次操作后得到的长方形的宽为，长为，归纳类推得：第次操作后得到的长方形的宽为，观察发现，第一次操作后得到的长方形的长为，第二次操作后得到的长方形的长为，第三次操作后得到的长方形的长为，归纳类推得：第次操作后得到的长方形的长为，则第次操作后得到的长方形的周长为，故答案为：，．【点睛】本题考查了图形规律探索、同底数幂的乘法，正确归纳类推出长与宽的一般规律是解题关键．6．108【分析】逆用同底数幂的乘法，幂的乘方计算即可【详解】解：∵10a＝2，10b＝3，∴102a＋3b＝(10a)2•（10b)3＝4×27＝108，故答案为108.【点评】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法，掌握运算法则是解题的关键．7．【分析】先提取公因式，再用平方差公式进行因式分解即可得出答案.【详解】，故答案为.【点睛】本题考查的是因式分解，熟练掌握平方差公式是解决本题的关键.8．18【分析】本题要求代数式a3b-2a2b2+ab3的值，而代数式a3b-2a2b2+ab3恰好可以分解为两个已知条件ab，（a-b）的乘积，因此可以运用整体的数学思想来解答．【详解】解：a3b-2a2b2+ab3=ab（a2-2ab+b2）

=ab（a-b）2

当a-b=3，ab=2时，原式=2×32=18，

故答案为：18【点睛】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．9．【分析】运用完全平方公式分解即可；【详解】解：原式==故答案为：【点睛】本题主要考查了用完全平方公式进行因式分解，熟练掌握完全平方公式分解因式的方法是解题的关键．10．3【分析】逆向运用同底数幂的除法计算法则进行计算求解．【详解】解：，故答案为：3【点睛】本题考查同底数幂的除法运算，理解运算法则，注意逆向运用运算法则是解题的关键．11．（1）1001，9999；（2）是，理由见解析；（3）满足条件的“交替数”是4224或4257．【分析】（1）根据新定义，即可得出结论；（2）根据新定义，即可得出结论；（3）根据题意知，求得和的值，再根据题意是6的倍数，结合，取舍即可求得所有满足条件的“交替数”．【详解】（1）根据题意：一个四位正整数满足：，我们就称该数是“交替数”，最小的正整数是1，最大的正整数是9，∵，，∴最小的“交替数”是1001，最大的“交替数”是9999，故答案为：1111，9999；（2）是，理由如下：∵，∴2376是“交替数”；（3）设这个“交替数”为，为正整数，依题意得：，，且，由，知，且，，即或或，解得：(舍去)，或或(舍去)，∵，，，∴取1或2或3，当取1时，即，，，∵，即，即，∴，解得：，∴“交替数”是4224；当取2时，即，，，∵，即，即，∴，解得：，∴“交替数”是4257；当取3时，即，，，∵，即，即，∴，解得：(不合题意，舍去)；综上，满足条件的“交替数”是4224或4257．【点睛】本题主要考查了新定义，倍数问题，二元一次方程的整数解的求解，平方差公式的应用，理解新定义是解本题的关键．12．（1）；（2），=1或9；（3）或【分析】（1）依据规律进行计算即可；（2）分子分母同时除以可化为，得出，从而求得，即可求得，代入即可求解；（3）将式子通过完全平方式变形为，设，，，通过与的关系联立阅读材料可求得的值．【详解】解：（1）；（2）∵∴，即，可得，∵，可得当时，=当时，=（3）∵整理得到∵设，，，则，解得∴∴∴当时，；当时，；∴或【点睛】本题考查了乘法公式的运用；解题的关键是根据题目式子的形式进行恰当变形，从而求解，注意平方根的个数．13．（1）F（24）=，F（270）=；（2）①627，649，616，638；②【分析】（1）把24因式分解为1×24，2×12，3×8，4×6再由定义即可得F（24），同理可得F（270）；（2）①首先表示出交换其个位上的数与百位上的数得到的新三位正整数加上原来的三位正整数所得的和，再得到相应的x和y值，即可得到“心意数”t；②将①中x和y值代入m=10x+y，再分别求出相应的F（m），比较即可．【详解】解：（1）∵24=1×24=2×12=3×8=4×6，其中4与6的差的绝对值最小，∴F（24）=；∵270=1×270=2×135=3×90=5×54=9×30=10×27，其中10与27的差的绝对值最小，∴F（270）=；（2）①t=10x+y+600，交换其个位上的数与百位上的数得到的新三位正整数是10x+100y+6，∵交换其个位上的数与百位上的数得到的新三位正整数加上原来的三位正整数所得的和恰好能被11整除，则10x+y+600+10x+100y+6=20x+101y+606，即20x+101y+606恰好能被11整除，1≤x＜y≤9，经计算可得：或或或，∴所有满足条件的“心意数”t为627，649，616，638；②∵m=10x+y，∴m可以取27，49，16，38，F（27）=，F（49）=1，F（16）=1，F（38）=，求的最小值为．【点睛】此题考查了列代数式，解决第（2）小题时，能根据“心意数”的定义，找出三位数中的所有的“心意数”是关键．14．（1）；（2）①见解析；②∠APB＝22.5°【分析】（1）利用非负数的性质求解即可；（2）①想办法证明∠PBF＝∠F，可得结论；②如图2中，过点Q作QF⊥QB交PB于F，过点F作FH⊥x轴于H，可得等腰直角△BQF，证明△FQH≌△QBO（AAS），再证明FQ＝FP即可解决问题．【详解】解：（1）∵2a2+4ab+4b2+2a+1＝0，∴（a+2b）2+（a+1）2＝0，∵（a+2b）2≥0，（a+1）2≥0，∴a+2b＝0，a+1＝0，∴a＝﹣1，b＝，∴A（﹣1，0），B(0，）．（2）①证明：如图1中，∵a+b＝0，∴a＝﹣b，∴OA＝OB，又∵∠AOB＝90°，∴∠BAO＝∠ABO＝45°，∵D与P关于y轴对称，∴BD＝BP，∴∠BDP＝∠BPD，设∠BDP＝∠BPD＝α，则∠PBF＝∠BAP+∠BPA＝45°+α，∵PE⊥DB，∴∠BEF＝90°，∴∠F＝90°﹣∠EBF，又∠EBF＝∠ABD＝∠BAO﹣∠BDP＝45°﹣α，∴∠F＝45°+α，∴∠PBF＝∠F，∴PB＝PF．②解：如图2中，过点Q作QF⊥QB交PB于F，过点F作FH⊥x轴于H．可得等腰直角△BQF，∵∠BOQ＝∠BQF＝∠FHQ＝90°，∴∠BQO+∠FQH＝90°，∠FQH+∠QFH＝90°，∴∠BQO＝∠QFH，∵QB＝QF，∴△FQH≌△QBO（AAS），∴HQ＝OB＝OA，∴HO＝AQ＝PC，∴PH＝OC＝OB＝QH，∴FQ＝FP，又∠BFQ＝45°，∴∠APB＝22.5°．【点睛】本题考查完全平方公式、实数的非负性、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是综合运用相关知识解题．15．（1）50°；（2）①∠α+∠β=90°；②x=130，y=70【分析】（1）利用平行线的性质得到∠ACD，从而得出结果；（2）①过点C作CD∥a，利用内错角的性质得到∠α=∠ACD，∠β=∠BCD，相加可得结果；②利用∠α+∠β=90°进行等量代换，得到x-y=60，再根据得到方程组，解之即可．【详解】解：（1）∵∠2=40°，∠ACB=90°，∴∠ACD=50°，∵a∥b，∴∠1=∠ACD=50°；（2）①如图，过点C作CD∥a，∵a∥b，∴CD∥b，∴∠α=∠ACD，∠β=∠BCD，∴∠α+∠β=∠ACD+∠BCD=90°；②∵∠α=180°-x°-30°，∠β=y°，∠α+∠β=90°，∴180°-x°-30°+y°=90°，∴x-y=60，①∵，∴x+y=200，②①+②得：2x=260，解得：x=130，②-①得：2y=140，解得：y=70．【点睛】本题考查了平行线的性质，平方差公式，二元一次方程组，解题的关键是添加辅助线得到∠α+∠β=90°，再进行等量代换得到x和y的关系．16．（1）2或5或8；（2）是；（3）k=5，理由见解答过程；（4）见解析【分析】（1）2=12+12，5=22+12，8=22+22，这些数都是小于10的“完美数”；（2）利用53=22+72即可判断；（3）由M=x2+4x+k得M=（x+2）2+k-4，则使k-4为一个完全平方数即可；（4）设m=a2+b2，n=c2+d2，则mn=（a2+b2）（c2+d2），进行整理可得：mn=（ac+bd）2+（ad-bc）2，从而可判断．【详解】解：（1）根据题意可得：2=12+12，5=22+12，8=22+22，故2，5，8都是“完美数”，且都小于10，故答案为：2或5或8（写一个即可）；（2）53=22+72，故53是“完美数”，故答案为：是；（3）k=5（答案不唯一），理由：∵M=x2+4x+k∴M=x2+4x+4+k-4M=（x+2）2+k-4则当k-4为完全平方数时，M为“完美数”，如当k-4=1时，解得：k=5．（4）设m=a2+b2，n=c2+d2，则有mn=（a2+b2）（c2+d2）=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2+2abcd-2abcd=（ac+bd）2+（ad-bc）2故mn是一个“完美数”．【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键．17．（1）390；4405或5404；（2）136或-136；（3）1021或2082或3183或4324或5505或6726或7987．【分析】（1）根据“空谷”数，“幽兰”数的特点进行分析并解答即可；（2）据题意可得：a2+b2=586，2ab=570，从而可求得a+b与a-b的值，进而可求a2-b2的值；（3）由题意可得：a2+b2=2ab，整理可得a=b，再由这个数是四位数，分析可得出结果．【详解】解：（1）∵这个三位数是“空谷”数，且十位数字为9，∴a2+b2=9，∴有，（不符合题意），∴这个三位数是390；∵这个四位数是“幽兰”数，且中间数为40，∴2ab=40，则ab=20，∴有，，（不符合题意），（不符合题意），∴这个四位数是：4405或5404；故答案为：390；4405或5404；（2）∵是一个“空谷”数，是一个“幽兰”数，∴a2+b2=586，2ab=570，∴(a+b)2=a2+b2+2ab=586+570=1156，则a+b=34，(a-b)2=a2+b2-2ab=586-570=16，则a-b=4，∴a2-b2=(a+b)(a-b)=34×4=136或a2-b2=(a+b)(a-b)=34×(-4)=-136；（3）由题意得：，则有a2+b2=2ab，整理得：(a-b)2=0，则有a=b；∵这个整数是一个四位数，∴1≤a≤9，1≤b≤9，中间数是两位数，则有：a=b=1时，这个四位数是1021；a=b=2时，这个四位数是2082；a=b=3时，这个四位数是3183；a=b=4时，这个四位数是4324；a=b=5时，这个四位数是