2023年上海市高考数学试卷真题（解析版）（春季卷）

202年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共有2题，满分54分，第-6题每题4分，第7-2题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

.已知向量a→=3,4

2.不等式x−

.已知圆C的一般方程为x2+2x

4.已知事件A的对立事件为A，若PA=0.5

5.已知正实数a、b满足a+4b=

6.某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为186 cm，最小值为154 cm，根据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为．

7.设1−2x4

8.已知函数fx=2−x

9.为了学习宣传党的二十大精神，某校学生理论宣讲团赴社区宣讲，已知有4名男生，6名女生，从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为．

0.已知z1,z2∈C且z1

.已知OA→、OB→、OC→为空间中三组单位向量，且OA→⊥OB→，OA→⊥OC→，OB→与二、选择题（本大题共有4题，满分8分，−4题每题4分，第5−6题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸相应的位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

.下列函数是偶函数的是（）A.y=sinx B.y=cosx C.

2.如图为207﹣202年上海市货物进出口总额的条形统计图，则下列对于进出口贸易额描述错误的是（）

A.从208年开始，202年的进出口总额增长率最大B.从208年开始，进出口总额逐年增大C.从208年开始，进口总额逐年增大D.从208年开始，2020年的进出口总额增长率最小

.如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点A.DD1 B.AC C.AD1 D.

4.已知无穷数列an的各项均为实数，Sn为其前n项和，若对任意正整数k>A.a1,aB.a1,aC.a1,aD.a1,a三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。

.已知三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AB=3，AC=4，M为BC中点，过点M分别作平行于平面PAB的直线交（）求直线PM与平面ABC所成角的大小；（2）求直线ME到平面PAB的距离．

2.在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，其中b（）若A+C=120∘（2）若A−C=15∘

.为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数”S=F0V0（）若有一个圆柱体建筑的底面半径为R，高度为H，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建筑体的“体形系数”S；（结果用含R、H的代数式表示）（2）定义建筑物的“形状因子”为f=L2A，其中A为建筑物底面面积，L为建筑物底面周长，又定义T为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）．设n为某宿舍楼的层数，层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为S=f⋅n T+13n

4.已知椭圆Γ:x2（）若m＝2，求椭圆（2）设A1、

A2为椭圆Γ的左右顶点，椭圆Γ上一点E的纵坐标为1，且EA（）过椭圆Γ上一点P作斜率为3的直线l，若直线l与双曲线y25m

5.已知函数fx=ax3−a+1x2+x，gx=kx+m（其中a≥0，（）若a＝2，gx=x，试判断函数y＝g（2）若a＝0，曲线y=fx在x=14处的切线为直线y=ℎx（）若曲线y=fx在x=x0，x0∈0,1

参考答案与试题解析202年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共有2题，满分54分，第-6题每题4分，第7-2题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．.【答案】1【考点】平面向量的坐标运算【解析】根据平面向量的坐标运算法则，计算即可．【解答】解：因为向量a→=3,4，b→=1,2.【答案】[−【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】运用x≤a⇔−a≤【解答】解：不等式x−1≤2即为−2≤x−1≤2，

.【答案】1【考点】圆的标准方程与一般方程的转化【解析】把圆C的一般方程化为标准方程，可得圆C的圆心和半径．【解答】解：根据圆C的一般方程为x2+2x+y2=0，可得圆C的标准方程为x+12+y4.【答案】0.5【考点】互斥事件的概率加法公式互斥事件与对立事件【解析】利用对立事件概率计算公式直接求解．【解答】解：事件A的对立事件为A，

若PA=0.5，则PA=5.【答案】1【考点】基本不等式【解析】直接利用基本不等式求出结果．【解答】解：正实数a、b满足a+4b=1，则ab=14×a⋅6.【答案】7【考点】频率分布直方图【解析】计算极差，根据组距求解组数即可．【解答】解：极差为186−154=32，组距为5，且第一组下限为153.5，

325=6.47.【答案】17【考点】二项式定理的应用【解析】根据二项式定理及组合数公式，即可求解．【解答】解：根据题意及二项式定理可得：

a0+a4=8.【答案】x【考点】函数的零点与方程根的关系分段函数的应用【解析】分x≥0和【解答】解：当x≥0时，gx=2⇔log2x+1=2，解得x=3；

当x9.【答案】0.5【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】根据古典概型求解即可．【解答】解：从10人中任选3人的事件个数为C103=10×9×83×2×1=120，

恰有1名男生2名女生的事件个数为0.【答案】[【考点】共轭复数复数的模【解析】引入复数的三角形式，将问题转化为三角函数的值域问题求解．【解答】解：设z1−1=cosθ+isinθ，则z1=1+cosθ+isinθ，

因为z1=i⋅z2¯，所以z2=sin.【答案】21【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】将问题坐标化，表示出OA→、OB→、OC→【解答】解：设OA→=0,0,1，OB→=32,12,0，OC→=0,1,0，

OP→=x,y,z，不妨设二、选择题（本大题共有4题，满分8分，−4题每题4分，第5−6题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸相应的位置，将代表正确选项的小方格涂黑..【答案】B【考点】函数奇偶性的判断【解析】根据偶函数的定义逐项分析判断即可．【解答】解：对于A，由正弦函数的性质可知，y=sinx为奇函数；

对于B，由正弦函数的性质可知，y=cosx为偶函数；

对于C，由幂函数的性质可知，y=x32.【答案】C【考点】统计表扇形统计图【解析】结合统计图中条形图的高度、增量的变化，以及增长率的计算方法，逐项判断即可．【解答】解：显然202年相对于2020年进出口额增量增加特别明显，故最后一年的增长率最大，A对；

统计图中的每一年条形图的高度逐年增加，故B对；

2020年相对于209的进口总额是减少的，故C错；

显然进出口总额202年的增长率最大，而2020年相对于209年的增量比209年相对于208年的增量小，

且计算增长率时前者的分母还大，故2020年的增长率一定最小，D正确．

故选：C．.【答案】B【考点】空间中直线与直线之间的位置关系异面直线的判定【解析】根据空间中的两条直线的位置关系，判断是否为异面直线即可．【解答】解：对于A，当P是A1C1的中点时，BP与DD1是相交直线；

对于B，根据异面直线的定义知，BP与AC是异面直线；

对于C，当点P与C1重合时，BP与AD1是平行直线；

对于D，当点P与4.【答案】C【考点】等差数列与等比数列的综合【解析】对任意正整数k>2022，都有Sk>Sk+1，可以知道a2022,a2033,a2024,⋯,an不可能为等差数列，若d＝0，an=0，则Sk=Sk+1，矛盾；若d＝0，an<0，当n→+∞，Sn→−∞，k使得Sk+1>Sk，矛盾；若d＝0，an>0，当n→+∞，Sn→+∞，必有k使得Sk【解答】解：由对任意正整数k>2022，都有Sk>Sk+1，可以知道a2022,a2033,a2024,⋯,an不可能为等差数列，

因为若d＜0，当n→+∞，an→−∞，Sn→−∞，必有k使得Sk+1>Sk，矛盾；

若d＝0，an=0，则Sk=Sk+1，矛盾；

若d＝0，an<0，当n→+∞，Sn→−∞，k使得Sk+1>三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。.【答案】解：（）连接AM，PM，

∵PA⊥平面ABC，

∴∠PMA为直线PM与平面ABC所成的角，

在△PAM中，∵AB⊥AC，∴BC=32+42=5，

（2）由ME//平面PAB，MF//平面PAB，ME∩MF=M，

∴平面MEF//平面PAB，∵ME⊂平面MEF，∴ME//平面PAB，

∵PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，

∴PA⊥AC，∵AB⊥AC，PA∩AB=A，PA,AB⊂平面PAB，

∴AC⊥平面PAB，∴AE为直线ME到平面PAB的距离，

∵ME//平面【考点】直线与平面所成的角点、线、面间的距离计算【解析】（）连接AM，PM，∠PMA为直线PM与平面ABC所成的角，在△（2）先证明AC⊥平面PAB，可得AE为直线ME到平面PAB的距离．进则求AE【解答】解：（）连接AM，PM，

∵PA⊥平面ABC，

∴∠PMA为直线PM与平面ABC所成的角，

在△PAM中，∵AB⊥AC，∴BC=32+42=5，

（2）由ME//平面PAB，MF//平面PAB，ME∩MF=M，

∴平面MEF//平面PAB，∵ME⊂平面MEF，∴ME//平面PAB，

∵PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，

∴PA⊥AC，∵AB⊥AC，PA∩AB=A，PA,AB⊂平面PAB，

∴AC⊥平面PAB，∴AE为直线ME到平面PAB的距离，

∵ME//平面2.【答案】解：（）∵A+C=120∘，且a=2c，

∴sinA=2sinC=2sin120（2）a=2csinA，则sinA=2sinCsinA，

sinA>0，∴sinC=22，

∵A−C=15【考点】解三角形正弦定理两角和与差的正弦公式余弦定理三角形的面积公式【解析】（）由已知结合和差角公式及正弦定理进行化简可求A、B、C，然后结合锐角三角函数即可求解；（2）由已知结合正弦定理先求出sinC，进而可求C，再由正弦定理求出a【解答】解：（）∵A+C=120∘，且a=2c，

∴sinA=2sinC=2sin120（2）a=2csinA，则sinA=2sinCsinA，

sinA>0，∴sinC=22，

∵A−C=15.【答案】解：（）由圆柱体的表面积和体积公式可得：

F0=2πRH+πR（2）由题意可得S=18n10000+13n=32n100+13n，n∈N∗，

（2）由题意可得S=18n10000+13n=32n100+13n，n∈N∗，

所以S'=32200n−13【考点】柱体、锥体、台体的体积计算棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积根据实际问题选择函数类型利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值【解析】（）利用圆柱体的表面积和体积公式，结合题目中S的定义求解即可；（2）利用导函数求S的单调性，即可求出S最小时n的值．【解答】解：（）由圆柱体的表面积和体积公式可得：

F0=2πRH+πR（2）由题意可得S=18n10000+13n=32n100+13n，n∈N∗，

所以S'=32200n−13n2=92n32−200600n2，

令4.【答案】解：（）若m＝2，则a2=4，b2=（2）由已知得A1−m,0，A2m,0，设Ep,1，

∴p2m（）设直线y=3x+t，联立椭圆可得x2m2+3x+t23=1，

整理得3+3m2x2+23tm2x+t2−3m2【考点】椭圆的离心率直线与椭圆结合的最值问题直线与椭圆的位置关系【解析】（）由题意可得a，b，c，可求离心率；（2）由已知得A1−m,0，A2m（）设直线y=3x+t，与椭圆方程联立可得t【解答】解：（）若m＝2，则a2=4，b2=（2）由已知得A1−m,0，A2m,0，设Ep,1，

∴p2m（）设直线y=3x+t，联立椭圆可得x2m2+3x+t23=1，

整理得3+3m2x2+23tm2x+t2−3m25.【答案】解：（）fx=2x3−3x2+x，设ℎx=fx−gx=2x3−3（2）fx=−x2+x，f14=316，f'x=−2x+1，f'14=12，

证明：（）fx=ax3−a+1x2+x，f'x=3ax2−2a+1x+1，

y=fx在x=x0x0∈0,1处的切线为tx，

tx=f'x0x−x0+fx0，tx0=fx0，t1=0⇒f1=0，

f'x0=3ax0​2−2a+1x0+1⇒f'x01【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的单调性利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】