平面向量数量积的教案和平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计

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一、教学目标

（一）知识与技能目标

1、理解平面向量数量积的含义及其物理意义

2、知道平面向量的数量积与向量在轴上的射影的关系

3、能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直、共线关系

（二）过程与方法目标

经历概念的形成过程，解题的思维过程，让学生亲身体验数形结合思想的指导作用。

（三）情感、态度与价值观目标

通过本节的自主性学习，让学生尝试数学研究的过程，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力，有助于发展学生的创新意识。

二、教学重点和难点

本节的重点是向量的数量积的定义及性质，难点是对向量数量积的定义及性质的理解和应用。

三、教学方法

倡导“自主、合作、探究”的学习方式，采用自主探究、讲议结合、多媒体辅助教学。

四、教学过程

教学

环节教学内容师生互动设计意图

引

导

自

学，感

知

知

识1、一个力作用于一个物体，力的方向与前进方向有一个夹角，则力使物体位移所做的功___________

2、已知两个非零向量、，作，，则______称作向量和的夹角，记作_______，并规定它的范围是________

3、在轴上的正射影的坐标记作__，向量的方向与轴的___所成的角为，则_

4、（1）叫做向量和的数量积（内积），记作，即___________

要求同学们在8分钟之内阅读教材、积极思考，完成老师设置的问题。

使同学们通过充分的自主参与，对教材知识有个初步了解，带着问题进入下一步的学习，以充分调动学生的学习兴趣。

教学

环节教学内容师生活动设计意图感知知识

引导自学，（2），其中是_________，叫做_______，叫做________

5、叙述平面向量数量积的性质

师

生

互

动

，

理

解

知

识1、两个向量的夹角

已知两个非零向量、，作＝，＝，则∠ＡＯＢ称作向量和向量的夹角，记作：

（1）注意求两向量的夹角，须先将两个向量平移至公共起点。

（2）两个向量夹角的范围：0

（3）当＝０时，与同向；

当＝π时，与反向。

（4）当＝时，与垂直，

记⊥.

（5）规定：零向量与任一向量垂直.

利用多媒体展示出不同位置关系的几组向量，借助几何直观对概念进行强调说明。

（1）向量同起点

（2）范围

（3）特殊情况

（4）突出一规定

借助几何直观加深学生对两向量夹角的理解，为学习向量数量积的定义奠定基础。

突出一规定在向量数量积定义中就可不用再强调非零向量、.教学

环节教学内容师生活动设计意图

师

生

互

动

，

理

解

知

识2、

向量在轴上的正射影

（1）概念：已知向量和轴，作，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，则向量叫做向量在轴上的正射影（简称射影）。

（2）正射影的数量：

即向量在轴上的正射影的数量，记作

设向量的方向与轴的正向所成的角为，则

强调：正射影是一个向量，该射影在轴上的坐标才是一个数量。

（3）时，；

时，；

时，；

时，；

时，.

师生共同回顾自学时所认识的向量在轴上的正射影的概念。

在正射影的概念的基础上给出正射影的数量的概念。

借助多媒体形象地展现正射影的数量，它可正、可负、可为零。

在两个概念的基础上，学生自主探索发现夹角和正射影数量的关系。教师可来回巡视，进行指导。

加强几何直观，有利于学生理解概念。

区别正射影与正射影的数量两个概念。

学生在已有知识的基础上,自主探索发现,发展认知,提高自主学习的能力。同时进一步加深对向量在轴上的正射影的理解。

教学

环节教学内容师生活动设计意图

师

生

互

动

，

理

解

知

识3、

向量数量积的定义

概念：叫向量和的数量积（或内积），记作，即有

探究1：两个向量的数量积与数乘向量有什么区别？

两个向量的数量积是一个实数，符号由的符号所决定；而数乘向量是一个向量。

探究2：两个向量的数量积与两个实数的乘法有什么区别?

①书写：实数乘积或；

在实数中，若a?0，且a×b=0，则b=0；但是在数量积中，若，且，不能推出，因为其中cosq有可能为0.

②已知实数a、b、c(b?0)，则ab=bc?a=c，但是

③在实数中，有(a×b)c=a(b×c)，但是

4、向量数量积的性质

（1）如果是单位向量，则

;

（2）

且

;

（3）或;

（4）;（5）.两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关。

教师提出问题，学生以小组为单位进行探究。

对于探究2此处重点强调书写的区别，其它性质或运算律的区别学生若想不到可在后面例1中展现。

教师采用“由特殊到一般”的方法展现向量数量积的性质：让即得到性质（1）；让即得到性质（2）；当时即为性质（3）；性质（4）实为公式变形；利用余弦函数有界性即可得性质（5）。

学习新概念与问题讨论相结合，进一步加深学生对新概念的理解与掌握。

提出问题引导学生去探究，培养学生的探索精神。

通过对书写的强调，体现数学的严谨性。

让学生体会“由特殊到一般，再由一般到特殊”的思维方法，发展学生的理性思维能力。

教学

环节教学内容师生活动设计意图

师

生

互

动，理

解

知

识性质的应用：

（2）可解决两向量的垂直问题；

申：解决两向量共线的问题：

且

（3）可求向量的长度；

（4）可求两向量的夹角，同时也建立了向量与三角的联系；

（5）建立了向量与不等式之间的联系.

学生自主观察性质特点，自主总结性质的应用价值，也可以以小组为单位进行探究。

培养学生自主探究、合作交流的能力，变“学会”为“会学”。

典

例

探

究

，

掌

握

知

识例1、判断正误：

①若，则对任一向量，有.

(√)

②若，则对任一非零向量，有.

(×)

③若，则、至少有一个为零.

(×)

④若，，则.

(×)

⑤若，则当且仅当时成立.

(×)

⑥对任意向量、、，有

.

(×)

⑦对任意向量，有.

(√)

⑧对任意向量，有.

(×)

教师出示8个判断题,学生进行分析、判断,教师提问个别同学进行回答,根据回答情况进行强调和纠正。

通过题目帮助学生更准确的认识向量的数量积，并养成缜密推理的好习惯。

教学

环节教学内容师生活动设计意图

典

例

探

究

，

掌

握

知

识例2、已知，，

当①，②，③与的夹角是30°时，分别求.

例3、在正三角形中，边长为3，求（1）

（2）

强调：

第（2）问是个易错点，此两向量首尾相接，所以两向量的夹角不再为，而应为.

教师出示例题,由学生到黑板上板演，最后师生共同点评完成。

教师出示例题，由学生进行口头分析，充分展示学生的思维过程。

让学生在掌握向量数量积公式的基础上，进一步认识两个向量垂直、共线的充要条件，因为它是用“向量法”解决解析几何、立体几何中有关两直线位置关系问题的重要工具。

自

我

实

践，应

用

知

识练基础：

1、若，则与的夹角的取值范围是___________.

2、已知,=4，，则=__________.

3、已知

=2，在方向上的正射影的数量为-4，则___________.

4、已知=3，，且，则在方向上的正射影的数量为________.

学生独立完成，教师核对答案，并关注学生的数学表达。

这些练习源于课本例、习题，充分体现以本为本。

教学

环节教学内容师生活动设计意图

自

我

实

践，

应

用

知

识练能力：

1、在四边形中，，且，则四边形是（

）

梯形

菱形

矩形

正方形

2、在中，，，且，则的形状为_________.

练应用：

1、已知平面上三点、、满足，，，求的值.

2、已知一个与水平夹角为的力，的大小为50，拉着一个重80的木块在摩擦系数为的水平面上运动了20，求拉力、摩擦力做的功分别为多少？

通过反馈练习，学生自我检验所学的效果，找出问题，进行弥补。

教材以力做功为背景引入新知识，练习以计算力做功而结束，首尾相应，并体现数学的应用价值。

归

纳

总

结一、知识：

1、两个向量的夹角

2、向量在轴上的正射影及正射影的数量

3、向量数量积的定义及性质

二、能力：

1、运用数量积的定义及性质解决问题

2、探究问题的能力、合作交流的意识

三、数学思想：

1、数形结合思想

2、由特殊到一般，再由一般到特殊

学生反思本节内容，对知识进行总结，教师再强调补充。

让学生学会学习，养成自我总结、自我反思的习惯。重视数学思想方法在分析问题和解决问题中的作用。

<《平面向量数量积的物理背景及其含义》教学设计一、整体设计思路本节课从总体上讲是一节概念教学课，依据新课程改革应关注知识的发生和发展过程的理念，结合本节课知识的特点，充分利用课件辅助教学，改变相关内容的呈现方式，增加课堂容量。并设计合理板书，加深对主要知识的印象，使学生清楚本节内容知识间的逻辑关系，形成知识网络。并采用启发类比和探究-建构教学相结合的教学模式。1．情境设置生活化本着新课程的教学理念，考虑到高一学生的心理特点以及初、高中教学的衔接，让学生初步了解“数学来源于生活”，采用运用学生熟悉的物理课中功的概念背景，创设问题情景，意在营造和谐、积极的学习气氛，激发学生的探究欲。2．问题探究活动化教学中本着以学生发展为本的理念，充分给学生想的时间、说的机会以及展示思维过程的舞台，通过他们自主学习、合作探究,展示学生解决问题的思想方法，共享学习成果，体验数学学习成功的喜悦。通过师生之间不断合作和交流，发展学生的数学观察能力和语言表达能力，培养学生思维的发散性和严谨性。3．辨析质疑结构化在理解概念的基础上,及时类比辨析探索、归纳总结，强化了概念理解，促进学生主动建构，有助于学生形成新的知识系统，优化知识结构。二、教学背景分析平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛。本节内容教材共安排两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节课是第一课时。本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力。其中数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。这为学生学习数量积做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。三、教学目标分析1．知识与技能：阐明平面向量的数量积及其几何意义。了解一个向量在另一个向量上投影的概念，运用平面向量数量积的性质、运算律进行相关的运算和判断。2．过程与方法：以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，从数与形两方面引导学生对向量数量积定义进行探究，通过作图分析，使学生明确向量的数量积与数的乘法的联系与区别。3．情感态度与价值观：由具体的功的概念到向量的数量积，再到共线、垂直时的数量积，使学生学习从特殊到一般，再由一般到特殊的认知规律，体会数形结合思想，类比思想，体验法则学习研究的过程，培养学生学习数学的兴趣及良好的学习习惯。四、教学重难点分析1、重点：平面向量数量积的概念。在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，也是本节课教学的重点。2、难点：平面向量数量积的定义的理解。相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个有形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了，学生对这一点是很难接受的；由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对数量积理解上的偏差，特别是对性质和运算律的理解。因而本节课教学的难点是数量积的概念。五、教学基本流程概念引入概念引入概念获得概念获得简单运用简单运用算律探究算律探究理解掌握理解掌握运用提高运用提高六、教学过程设计1．创设情境，引入课题【问题】：如图所示，如果一个物体在力F的作用下，产生的位移为S，那么请问力F在这个运动过程中所做的功？（1）力F所做的功W=。（2）请同学们分析公式的特点：W（功）是量，F（力）是量，S（位移）是量，θ是。（3）师生共同探讨以引出向量乘以向量。【设计意图】设计意图在于使学生了解数量积的物理背景，让学生知道，我们研究数量积绝不仅仅是为了数学自身的完善，而是有其客观背景和现实意义的，从而产生了进一步研究这种新运算的愿望。同时，也为抽象数量积的概念做好铺垫。2．步步探索，形成概念（1）概念的明晰已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，我们把数量︱︱·︱︱cosθ叫做与的数量积（或内积），记作：·【问题1】：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？【问题2】：向量的数量积是一个数量，那么它何时为正？何时为负？它能等于零吗？【问题3】：请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积。【设计意图】问题1，2使学生不但在形式上认识数量积的定义而且从细节上进一步理解数量积的定义。问题3使学生理解了数量积的物理意义。例题训练教材例1（由学生独立完成）【设计意图】通过计算巩固对定义的理解。（2）探讨数量积的几何意义给出投影的概念并提问：【问题1】两向量的夹角对投影的正负有什么影响？【【问题2】由向量投影的定义你得到数量积的几何意义是什么？【设计意图】：这样做不仅让学生从“形”的角度重新认识数量积的概念，从中体会数量积与向量投影的关系，同时也更符合知识的连贯性，而且也节约了课时。同时也为数量积的性质埋下伏笔。（3）数量积性质的发现教材中关于数量积的三条性质是以探究的形式出现的，为了很好地完成这一探究活动，在完成上述问题后，我不失时机地提出：【问题】：比较︱·︱与︱︱×︱︱的大小，你有什么结论？在学生讨论交流的基础上，教师进一步明晰数量积的性质，然后再由学生利用数量积的定义给予证明，完成探究活动。（4）明晰数量积的性质【设计意图】：体现了教师只是教学活动的引领者，而学生才是学习活动的主体，让学生成为学习的研究者，不断地体验到成功的喜悦，激发学生参与学习活动的热情，不仅使学生获得了知识，更培养了学生由特殊到一般的思维品质。（5）运算律的发现关于运算律，教材仍然是以探究的形式出现，为此，首先提出下面问题【问题】：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？让学生自己写运算律，可能学生的答案有遗漏或错误，教师以此强调运算律学习的重要性。(6)明晰数量积的运算律(7)证明运算律学生独立证明运算律（1）、（2）。师生共同证明运算律（3）。运算律（3）的证明对学生来说是比较困难的，为了节约课时，这个证明由师生共同完成，我想这也是教材的本意。【设计意图】：在这个环节中，我仍然是首先为学生创设情景，让学生在类比的基础上进行猜想归纳，然后教师明晰结论，最后再完成证明，这样做不仅培养了学生推理论证的能力，同时也增强了学生类比创新的意识，将知识的获得和能力的培养有机的结合在一起。3．典例剖析，巩固提高例2、（学生独立完成）对任意向量，是否有以下结论：（1）(+)2=2+2·+2（2）(+)·(-)=2—2例3、（师生共同完成）已知︱︱=6，︱︱=4,a与的夹角为60°，求（+2）·（-3），并思考此运算过程类似于哪种运算？例4、（师生共同完成）已知︱︱=3，︱︱=4,且与不共线，k为何值时，向量+k与-k互相垂直？并思考：通过本题你有什么收获？【设计意图】：我根据学生实际在这里安排了教材后三道例题，并对例3和例4增加了题后反思。例2先要求学生自己猜测给出的两个公式，再由学生独立完成证明，一方面这并不困难，另一方面培养了学生通过类比这一思维模式达到创新的目的。例3是数量积的性质和运算律的综合应用，教学时，我重点从对运算原理的分析和运算过程的规范书写两个方面加强示范。完成计算后，进一步提出问题：此运算过程类似于哪种运算？目的是想让学生在类比多项式乘法的基础上掌握这种运算。例4的主要作用是，在继续巩固性质和运算律的同时，教给学生如何利用数量积来判断两个向量的垂直，是平面向量数量积的基本应用之一，教学时重点给学生分析数与形的转化原理。4．知识迁移，创新演练为了使学生更好的理解数量积的含义，熟练掌握性质及运算律，并能够应用数量积解决有关问题，再安排如下练习：（1）有四个式子：⑴⑵⑶⑷其中正确的个数为（）A、4个B、3个C、2个D、1个（2）已知、都是单位向量，下列结论正确的是（）A、B、C、∥D、（3）有下列四个关系式：⑴⑵⑶⑷，其中正确的个数是（）A、1B、2C、3D、4【设计意图】安排练习（1）（2）（