等腰三角形的判定

学习目标理解并掌握等腰三角形的判定方法灵活运用等腰三角形的判定方法进行证明和计算ABC如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得∠B=∠C如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？情景引入已知：如图，在△ABC中,∠B=∠C,那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系建立数学模型：CABAB=AC你能验证你的结论吗？知识精讲在△ABD与△ACD，∠1=∠2，∴△ABD≌△ACD∠B=∠C，AD=AD，∴AB=AC过A作AD平分∠BAC交BC于点D证明：CAB21D（（知识精讲∴AC=AB即△ABC为等腰三角形∵∠B=∠C，等腰三角形的判定方法如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）已知等角对等边在△ABC中，几何语言：BCA知识精讲ABCD21∵∠1=∠2,∴BD=DC（等角对等边）∵∠1=∠2,∴DC=BCABCD21（等角对等边）错，因为都不是在同一个三角形中辨一辨：如图,下列推理正确吗知识精讲例1求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC．求证：AB=AC．证明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）．又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．ABCE（（12D典例解析例2已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC求证：AB=ADBADC证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD【点睛】角平分线遇平行线必出现等腰三角形典例解析例3如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠∥BC交AB于E，交AC于F探究EF、BE、FC之间的关系OABEF解：EF=BECF理由如下：∵EF∥BC,∴∠EOB=∠CBO，∠FOC=∠BCO∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠CBO＝∠ABO，∠BCO＝∠ACO，∴∠EOB＝∠ABO，∠FOC＝∠ACO，∴BE＝OE，CF=OF，∴EF=EOFO＝BECFABCOEF若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？结论还成立吗？【点睛】判定线段之间的数量关系，一般做法是通过全等或利用“等角对等边”，运用转化思想，解决问题典例解析1在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形的是（）A∠A＝50°，∠B＝70°B∠A＝70°，∠B＝40°C∠A＝30°，∠B＝90°D∠A＝80°，∠B＝60°B2如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，则CD等于_______3cm针对练习3如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？BCADE是由折叠可知，∠EBD=∠CBD∵AD∥BC，∴∠EDB=∠CBD，∴∠EDB=∠EBD，∴BE=DE，△EBD是等腰三角形针对练习例4已知等腰三角形底边长为a,底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形ah作法：=a，交AB于点D，使DC=h，BC，则△ABC即为所求ABCMND典例解析例4如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．证明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠EAC，∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．【点睛】“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．典例解析课堂练习3、求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．已知：CD是△ABC的中线，CD=AB．求证：△ABC是直角三角形ADCB12与同伴交流你在探索思路的过程中的具体做法ACBDE开启智慧下例各说法对吗？为什么？等腰三角形两底角的平分线相等等腰三角形两腰上的中线相等等腰三角形两腰上的高相等ACBNMACBHG3、已知：△ABC中，AB=AC，D是AB上一点，延长AC至点E，使CE=BD，连结DE交BC于F求证：DF=EFHABCDEF1如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有A．5个B．4个C．3个D．2个2一个三角形的一个外角为130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍这个三角形是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形CA达标检测13如图，直线a、b相交于点O，∠1=50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有（）A．1个B．2个C．3个D．4个OabDA达标检测4如图，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则∠DBC=_____，∠BDC=_____，图中的等腰三角形有_______________________36°72°△ABC、△DBA、△BCDABCD5如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为_____9第4题图第5题图达标检测6如图,上午10时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=40°，∠NBC=80°求从B处到灯塔C的距离解：∵∠NBC=∠A∠C，∴∠C=80°-40°=40°，∴∠C=∠A，∴BA=BC（等角对等边）∵AB=20×（12-10）=40海里,∴BC=40海里答：B处距离灯塔C40海里80°40°NBAC北达标检测7已知：如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D求证：BC＝CD证明：连接BD∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB∵∠ABC=∠ADC，∴∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB，即∠DBC=∠BDC，∴BC=CD达标检测8在△ABC中，AB=AC，