2023年高考数学练习压轴题（新高考版）14 解三角形（解答题压轴题） （解析版）

专题14解三角形(解答题压轴题)

解三角形(解答题压轴题)

①三角形中线问题

②三角形角平分线问题

③三角形周长(边长)(定值，最值，范围问题)

④三角形面积(定值，最值，范围问题)

①三角形中线问题

1.(2022•湖南省临澧县第一中学高三阶段练习)在中，角A,8,C所对的边分别为a,。,c,其

外接圆的半径为6，且满足4√JsinBcosC=2a-c.

⑴求角8;

⑵若AC边上的中线长为求.,ABC的面积.

【答案】⑴60。

(2)2y∕3

(1)

由正弦定理a=2RsinA,h=2RsinB,c=22?sinC得：46SinBcosC=4√3sinA-2√3sinC,

GP2√3sinBcosC=2有Sin(B+C)-有SinC,

∣'∣J26sinCcosB=小sinC>因为SinCw0,

化简得CoSB=；,

Be(0,^),.∙.B=60o.

(2)

设AC边上的中线为30，则8O=；(84+BC)

2122

所以BO-=—(BA+BC"÷2BA∙BC),

4

IβD∣2≈ɪ(|BA∣2+1BC∣：+21BA∣∙IBC∣cosB)

即有：名=!(/+/+")①

44

乂b=2RsinB=3,

由余弦定理∕√=a2+c2-2〃CCoS8得9=/+c2一ac②

由①②得ac=8,

所以SAABC=^acsinB=2∖∣3.

2.（2022・湖北嗯施土家族苗族高中高一期末）如图，设ABC中角A,3,C所对的边分别为α,"c,AO

为BC边上的中线，已知C=I且2csinAcos8=αsinA-bsinB+ɪ⅛sinC,cos/BAD=ʒɪ∙

⑴求中线A。的长度;

【答案】（呼

2csinAcosB=tzsinA-bsinB+—⅛sinC,由正弦定理：2CQCOS3=/-⅛2+—he,

44

22Λ21«

由余弦定理：2ca-+〃-------=a2—⅛2+—Z?C=c2=-bcnb=4c,∖∙c=l,/.⅛=4.

2ac44

因为。为中点，所以AD=g(A8+AC),设AB,AC的夹角为。，

.∙.∣AD∣=∣∖∣AB2+AC2+2ABAC=ɪ√C2+⅛2+2⅛CCOS<9=CoSe,

又ABW吗AB+4c)=”+AB∙Ac)=y⅛TM

√21ABAD1+4CoSe

-~T=c°^bad==√17÷8cos^,即28co%+8cosOT=0'

解得cos，=4或cosS=-U,又1+4COSe>0cos。」,，AO=立;

21422

3.（2022•辽宁•高二阶段练习）在.45C中，AC=2,AB=3,A=60.

⑴求AfiC的外接圆的面积；

⑵在下述条件中任选一个，求AD的长.

①AO是ABC的角平分线；②AO是；ABC的中线.

1TT

【答案】（I）T

⑵答案见解析

（1）

由余弦定理得COSA=W黑泻

呜X,所以BC=J7,

设，ABC外接圆半径为R,由正弦定理得，匹=Xl=2K,

sinAsin60

所以R=叵

3

7π-

所以ABC外接圆的面积为乃心=彳.

(2)

若选择①，SABC=^AB∙ACsin/BAC=；x2x3x曰=普

同时S∕w∙=；AB∙AOsinZBAO+^AC-AD.smZCAD=∣AD,

所以^AO=毡，所以40=5叵.

425

若选择②，AD=^(AB+AC),

两边平方得A4=；(府+AC?+2W)=；(9+4+2x3x2x?=弓，

所以AQ=四.

2

4.(2022•全国•高三专题练习)在.ABC中，AB=2,AC=5,^BAC=60°,BC,AC边上的两条

中线AM,BN相交于点P.

⑴求AM∙BN;

(2)求NMPN的余弦值.

【答案】⑴3;

⑵噤

(1)

nun*1/UiinUinn

因为AΛ∕是BC上的中线，所以4Λ∕=5(A8+AC

山BN是AC卜.的中线，所以BM=IAC-AA,

2

Ae

AM.^=l(AB+AC).[lAC-^4^4^4^

Lχ5?一，x2?-Lχ2x5χL

4242

=3.

(2)

AMBN

/MPN为AM与BN夹角,cos/MPN=

AMHBNr

-ɔ1-21-21---

∖AMI2=-AB+-AC+2×-ABAC

444

=-×4÷-×25÷2×-×2×5×-

4442

4+25+1039

424T

所以IAMl=当

212

∣B7V∣2=ΛB^^+-AC-ABAC

)1“-1425U25I21

=4H—×25-2×5×-=4H-----5=----1=—

42444

所以IBM=呼

_________3_________

CoSNMPN=3x44√97

显屈√5^χ√7=3×√9?

~2-X-T^91

5.(2022・江苏•金沙中学高一阶段练习)在IlABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知

(a+c)(a—c)=b(b+c).

⑴求角A的大小；

(2)在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答.

若)=3,c=4,点。是BC边上的一点，且.

求线段AD的长.

①AZ)是：ABC的高；②AO是ABC的中线；③AO是:AfiC的角平分线.

【答案】⑴?

⑵答案见解析

(1)

在；ABC中，a,b,c分别为A,B,C所对的边，且

(α+c)(α—c)=6(b+c),+c1-a2=-bc,

由余弦定理可得CoSA="+d-'=一工

2bc2

OVAV兀，

.2π

/.A=—

3

(2)

选①：An是一ABC的高，

由余弦定理得/=<?+〃一28CeOSA=9+16+12=37,

所以α=后.

所以根据等面积法s=i⅛csinA=∙A。得，

22

12x6L

.C⅛csinA26√111；

AD=----------=——,—r'=--------

a炳37

选②：AD是，ABC的中线，

.∙.AD=∣(AB+AC),

.∙.∣AZ)∣2=ɪ(|AB∣2+1AC∣2+2AB∙AC),

。=3,c=4,A=与，

.∙.∣AZ)∣2=^-(⅛2+C2+2⅛∙C∙COSA)=∣9+16+2X3*4X(-；)]=?

•••网=孚

选③：A。是一ABC的角平分线.

山「SA8C=Sabd+Sadc,

11Δ1Δ

所以一OcsinA=—c∙ADsin-+-b`ADsin-,

22222

1_..2兀1..ɪʌπICArʌ.冗

一X3x4∙sιn——=-×AAD∙sin-÷—×3AD∙sin—

232323

12

解得AO=/

6.(2022•全国•高三专题练习)在一ABC中，点。在边BC上，AB=3,AC=2.

⑴若4短是NflAC的角平分线，求BD:DC；

(2)若A0是边BC上的中线，且AO=也，求8C.

2

【答案】⑴B£):£)C=3:2

(2)√19.

(1)

解：点£＞在边BC匕AB=3,AC=2.Ar)是NfiAC的角平分线，

在△∙£＞和"8中，由正弦定理可得二八口=.BLz.

sinZADBsinNBADsɪnZADCsinZ.DAC

.sinZBAD=sinZDAC,sinZADB=sin(l80o-ZADC)=sinZADC,

:.BD-.DC=3:2.

(2)

解：因为An是边Be上的中线,

设BD=CD=x,x>0,

AZ^+BQZ-AB?丁+厂9

8SZBDA+cosZADC=0,CoSNBD4

2ADBD

C°SZADC=AD2AD'JDC=—ɪ-

77,

4-----9+x?+—4....__219z≠∙n∕qJ]9∙,JT9

4_______4___0,化间可r得X=—»解得X=------或lK=--------（舍去），

√7x422

.∙.BC=2x=2×-=√19.

2

7.（2022•河南开封•高二期末（理））在ABC中，a,b,C分别为内角A,B,C的对边,

π卜。

sin2β+sin2C=sin2A+cosBS(J+C.

⑴求角A；

（2）若AD是BC边上的中线，45C的面积为2√?，求AD的最小值.

ɔjr

【答案】（l）A=g

⑵√∑

⑴

因为sin?θ+sin2C=sin2A+cosy-BIcos

所以sin?β+sin2C-sin2A=-sinBsinC,

由正弦定理，得b?+C?一/=_历,

b1+c2-a2-be

由余弦定理，得CoS4=ɪ

2bcIbc2

因为0<A<7t,所以A=?.

（2）

因为ABC的面积为26,

所以—besinA=—be=2邪,

24

所以be=8.

因为AO是BC边上的中线,

所以Ao=IΛB+'AC,

22

∣211

所以心=-AB+-ACABCf+-∖AC[+2--AB--AC

422

>—×(2⅛c)-^-⅛c=—be=2,

当且仅当IABI=IACI，即。〃时等号成立.

所以W4≥√Σ,即AD的最小值为友.

8.(2022•北京•清华附中高一期末),ABC中，已知GC陪-B)+cos(?+3)=0.AC边上的中线

为BD.

⑴求ZB;

(2)从以下三个条件中选择两个，使ABC存在且唯一确定，并求AC和80的长度.

条件①：a2-b2+c2-3c=0;条件②”=6；条件③SABC=I56.

【答案】(I)B=葛

⑵选择条件②和条件③；ΛC=14,BD=√19.

(1)

解：因为布COS(Jl-8卜COSE+B)=0,

则ʌ/ɜ^cosycosB+sinys*n+(cos看cos8-SinSin8)=0,

立CoSB-LSinB

—cosB+sin=GCOS8+sin3=2Sin=0,

I2f4

乂0<8<万，解得：B+^-=π,故8=4.

33

(2)

解：由(1)得NABC=等，

又余弦定理得：cos/ABC=-L所以/+c2-)2=-αc∙,

2ac2

而条件①中〃一炉+。2—3c=0,所以。=-3,显然不符合题意，即条件①错误,

由条件②。=6,条件③S.c=JacsinNABC=I5后，解得C=I0,

由余弦定理可得〃=α2+c2-2qccosZΛ8C=36+100+60=196,所以。=14.

b解得

在ABC中，山正弦定理可得一；“nA=*

sinAsinZABC

TT1S

XO<A<y,所以COSA弋,

因为8。为AC边上的中线，所以AD=CD=7,

在△∙£)中，由余弦定理可得BI)?=Aβ2+AE>2-2A8χAr>χcosA=19,解得8£>=加.

故AC=I4,BO=M.

D

②三角形角平分线问题

1.（2022•江苏南通•高一期末）在.ABC中，角A,3,C所对的边分别为“"，。，且SIMc+b

SinCa-b

⑴若α=2√J,h=2,求角8;

⑵设NfiAC的角平分线A。交BC于点£>,若，AfiC面积为6，求40长的最大值.

【答案】(I)B=J

O

(2)1

(1)

解：因为sinA+fBc+b

SinCa-b

依据正弦定理∙≠7=,

SinAsɪnBsɪnC

所以=n/-⅛2=bc+c2,

ca-b

BPb1÷c2-a2=-be,

由余弦定理变形知CoSA='+/一）=四ɪ

2hc2bc2

因为Ae(0,万)，所以4=子.

因为α=2jj,b=2,

则在ABC中，由正弦定理得：

ab262.1

------=--------=-f=-=-------=>sinBd=—

τ又7sinAsinB小SinB2，

~2~

因为匕<α=8vA,所以8=

6

(2)

法一：因为Sabc=；bcsin/BAC=^~bc=6nbe=4,

力。是ZBAC=笄的角平分线，

而Sabc—Sabd+sacd,

IπI7T12TT

所以一XABXAOXSin-+—xACxAOXSin-=-xABxACx——,

232323

即(/?+C)Ao=Ac,

所以3名,

因为b>0,c>0,h+c≥2∙Jbc.且历=4,故AD=T—VC片=1；

b+c2。be

当且仅当匕=c=2取等，

所以AD最大值为1.

答：当匕=c=2时，A。最大值为1.

法二：因为SABC=*csinNBAC=号be=6nbe=4,

设∙ZABD=e,θ∈^0,—^,

在443D,AACO中由正弦定理知：

_A__D_—_____c____(>__A_D_—______c____

sin。sinZADBSine.(乃)①，

sinθn+-J

____A_D___________b____〈.>_____A_D____—______h____

.(π∖sinZADC.(πΛ∙G∣吟②，

sin——ωθsin——θsinθ+-=

lɜJUJI3J

因为力0=4,所以①,②得，

AOjgin'sin(尹)=8sin"s陪一勾=2氐山2。+2/2。-2

sin2(y+0)l+cos(2。-。11+cos^20-yj

4sin(26>+?)-24cos∣2θ-^-∖-2,

L__3^=4_______9______,

l+cos(29-1)1+cosf20-—∖l+cos∣2θ-^-∖

4>∕=l+cosf26»-yLew(θ号

所以S="',易得此函数在T∣,2为单调递增函数,

所以当t=2oe=J时，A。最大值为L

6

2.(2022•福建南平•高二期末)ABC的角A,B,C所对的边分别为“，b,c,点。在BC上，AD=A

(1)若AO_LAC,cosC=√2sinB,求J

⑵若AD是HC的角平分线，ZBAC≈y,求ABC周长的最小值.

【答案】⑴4√Σ;

(2)16+8万

(1)

解：VADlAC,

71TC

..ZDAC=-ZADB=-+C

2f2

,∙,cosC=在SinB，

.∙,SinNAoB=SinG+0=cOSC=V∑sin8

在，ABC中，由正弦定理得

ABADAB_4

sinZADBsinB>∕2sinBSinB

.∙C=AB=4Λ∕Σ•

(2)

9TT

解:解法・：•「ZδAC=(,AO是㈤C的角平分线，

.∙∙ZBAD=ZDAC=-

3

由SABC=Sabd+Sadc得

-AB∙ACsin-=-AB∙ADsin-÷ɪAC∙ADsin-

232323

又Ao=4,4(Z?+C)=历，

在ZABC中，由余弦定理得

/=b2+c2+bc,则a=∖∣b2+c2+bc

设工ABC的周长为/,/=a+b+c=y∣b~÷c÷beH—be

4

由基本不等式得，4(b+c)=bc≥8瓜,当且仅当h=c时等号成立，

得仇∙≥64

l=a+b+c=Λ∕⅛2+C2+be+-bc≥∖∣3bc+Lc≥16+86

44

当且仅当匕=c=8时等号成立，

所以AHC的周长最小值为16+

2Tt

解法二：∙.∙∕R4C=∙y,A。是ZflAC的角平分线

π

..ZBAD=ZDAC=-

3

HlSABC=SABD+SADC得

LgACsin型」A3∙ADsin工+,ACADsin巴

232323

XAD=4,4(Z?+c)=Z?c

在，ABC中，由余弦定理得

a1=b2+c2+⅛c=(⅛+c)2-bc=-b2c2-be

v)16

设：ABC的周长为/,∕=q+Z?+C=Jab%?一be+%c

设6C=X,则∕=一x++

由基本不等式得，4(b+c)=bc≥8屈，当且仅当b=c=8时等号成立

得be≥64,即X≥64

根据一次函数和二次函数的性质可得，

当xN64时，/(X)=点/—X+；X单调递增

.∙.I=/(x)≥∕(64)=16+8√3

所以ABC的周长最小值为16+86.

3.(2022•江苏苏州•高一期末)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为〃，b,c,满足

SinAbsinB,

---------------+--------------------=1

sin8+sinCZ?sinA+csinZ?

⑴求角c；

⑵CD是ZAC8的角平分线，若CD=迪，ABC的面积为2√L求C的值.

3

TF

【答案】⑴c=§；

(2)c=2√3

⑴

由正弦定理得/一+，_=],即二+_2_=1,整理得a(α+c)+%S+c)=(α+c)(6+c),

b+cba+cbb+ca+c

化简得/+^一°2=必，由余弦定理得COSC="2+"-i=L又C∈(0,τr),则C=g；

⑵

SAcDJ—*CAJQ

5BCD--CBCDsm-CBBD

26

即丝，，则CD=CA+AO=CA+"-AB=C4+4-(C8-CA)=，^CA+/-CB,

BDaa+ba+b^fa+ha+b

1

∙>，CA+2b2

所以Co=CACB+CB,即

a+ha+h

16a2b2lab,1crb2

——-----------4^-----------ab∙—I-----------

3(a+b)2(〃+b)23(α+4

3a2h2

则"+/=(α+8)~-2cιb=20,

整理得彳=(6Z+Z?)2，又ab=8,解得4+b=6

222

由(1)⅛c=a+b-ab=20-S=∖29则c=2√^.

4.(2022•江苏宿迁•高一期末)在4?C中，角A,B,。的对边分别为〃，b,c,且

IO(Sin^≤)=7-cos2Λ.

I2J

⑴求角A的大小；

(2)若6=2,c=l,

①ZBAC的角平分线交BC于M,求线段AM的长；

②若O是线段BC上的点，E是线段84上的点，满足CO=；ICB,BE=/134,求AO∙CE的取值范围.

【答案】⑴4=。

⑵①AM=手；@[-3,-1]

⑴

/-,∖2

“sin8；Cz)=7-cos2A,则5(1-CoS(B+C))=7-cos2A,故5(1+cosA)=8-2cos?A,所以

2cos2Λ+5cosΛ-3=0,因为COSAV1,

ɪJF

可得COSA=—，由4e(0,乃)，所以A=—.

23

⑵

①法一：在AAMC与.ABMψ,

CMACBMAB

由正弦定理得

SinZCAM^SinZAWCsinNBAMsinZAMB

BP≡=≡=2故CM=2MB，

212421244

所以AW=—A3+—AC,AM=-AB÷-AC+-ABAC=-

339993f

所以AM=2叵

3

法二：在，ΛBC中，由AM是NR4C的角平分线

TT

所以∕84M=∕ΛMC=-

由^∆ABM+4^∆4Λ∕C=SAABC知：

-AB-AMSinZBAM+-AMACsinZMAC=--AB-ACsinZBAC

222

即一∙I∙AM∙sin—I—,2∙AM∙Sin—=—,1-2,sin—，解得AM=

2626233

②法一：由CO=2CB，得AO=4AB+(1-;I)AC,(2G[0,1])

又CE=AE-AC=(I-㈤AB-AC

所以AO∙CE=[∕lAB+(l-∕l)AC]1(l-4)AB-AC]=24-3e[-3,-l].

AOCE的取值范围为[-3,-1]：

法二：以AB所在直线为X轴，过点A垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，由

⅛=2,c=l,A=y.贝IJA(0,0),8(1,0),C(l,√J),AB=(1,0),AC=(1,√3)

因为CZ)=λCB,BE=ABA,

所以Ao=AC+CO=(1,√5-向),CE=BE-8C=(-Z-√J).

所以A。∙CE=-√-√J(石-值)=22-3

由2e[0,l],得4。.CE的取值范围为

y

5.(2022•浙江宁波•高一期中)已知点M(；sin2x,sin2x),N(2,2回O为坐标原点，函数

八X)=OM∙ON.

⑴求函数/(x)的解析式和最小正周期；

⑵在锐角AABC中，角A,B,C所对的边为4,b,c,AO为NBAC的角平分线，AB=2AC,BD=I,

若"A)=有，求AACQ面积.

【答案】(l)/(x)=2sin(2x-?)+6,万

⑵3(5+26)

26

⑴

∙,∙w^ɪsin2x,sin2χ},Na,2Mj,

OM=Qsin2x,sin?r),ON=^2,2^3j,

f^x)=OMON=sin2Λ+2ʌ/ɜsin2x=sin2x+√3(1-cos2x)

=Sin2x->∕JCoS2x+6=2—sin2x-----cos2x+Λ∕3=2sin2x--+5∕3

(22JI3J

T2τr2π

.∙∙T=ITT=k="

囱2

⑵

V/")=6,

.∙./(A)=2sinf2Λ-yU√3=√3,

.∙.sin(2A一5]=0,

TT

即.∙.2A--=kπf

3

πkπ

∙'∙A=—I------,攵1∈Z

62

•・・△ABC为锐角三角形,

π

A=一

6

如图,

;AO为/BAC的角平分线，AB=IAC,

.∙∙BD=2DC，

.∙.=BC=3,

d∆AβCɔ

设AC=X,AB=2x,

由余弦定理可知，cosZ.BAC=COS工=='+4∙y——2.

622×x×2x

.∙,9(5+26).

13

.C1,.乃129(5+2G)

-abc26226

6.(2022•江西•丰城九中高一期末)已知向量机=(SinX,1),〃=.令函数/(x)=(∕n+”)∙wι.

⑴求函数/(X)的最大值；

(2)ABC中，内角A,8,C的对边分别为a,b,c∙,NACB的角平分线交AB于。.其中，函数/(C)恰好

为函数/O)的最大值，且此时CO=f(C),求34+6的最小值.

【答案】(1)2

⑵4+空

3

(1)

m=(sinx,l),n=^5/3cosɪ,-ɪj,/.瓶+〃=(SinX+外COSX

.,./(x)=SinMSinX+6CoS∙x)+g

=sin2x+>^sinxcosΛ+^

l-cos2x>∕3.1_-f.πY

=------------+ɪ-sin2πx+-=Soln20vx--+11,

222k6J

∙∙∙∕(x)的最大值为2；

(2)

由/(C)恰好为函数/(X)的最大值可得"C)=sin(2Cf+1=2,

即sin(2C-工)=1,

__I»TCACTCIlTrJ._TCTT..TV

,0<C<π,r½--<2C--<——,故2C-7=U，故。=彳，

666623

又CD=f(C)=2,

因为SAS+Sbcd=SAC8，故gxCQxbsin300+JχCZ)xαsin30°=；4》sin60°,

整理得到：…邛而≡→i=τ∙

故3α+b=*(3α+%+目=专(4+与+*专(4+2电

当且仅当卮鸟艮小『,a=*时等号成立，

故3α+力的最力、值为4+更.

3

7.(2022•河南南阳•高一期中)记，ABC的内角AB,C的对边分别为。也c,已知A=,AO为边

BC上的中线，A的角平分线AE交BC于点E.

⑴若α=7,c=3,求Ao的值；

(2)若AE=6,求ABC面积的最小值.

【答案】⑴巫

2

(2)36√3

⑴

在,ABC中，A=—,α=7,c=3,

由余弦定理cosA=C+b_土9+⅛2-49ɪ

2hc2x3b2

得。2+劝-40=e+8)(〃-5)=0,解得b=5或6=—8(舍去)，

由题意得AO=；(A8+AC),

AB∣2^+2∣AB∣∙∣AC∣∙cosNBAC+14)

ɪɪ[9-2×3×5×-ɪ+25I=—,

4(2)4

所以34=半，即AZ)的值为孚,

(2)

因为SΔABC=ɪ6csinNBAC=^bAEsinNCAE+Jc∙AE∙sinZBAE,

所以bc=6(8+c).

因为bc=6e+c)≥12^/^,所以Ac≥144,

当且仅当6=c=12时，等号成立，

I∏

所以SdABC=—besinNBAC=-bc≥36√3,

故AABC面积的最小值为36√L

8.(2022•河南•汝州市第一高级中学模拟预测(文))在[ASC中，角A,B,C所对的边分别为α,

b,c,且疯∕sin8=6(2+cosA).

⑴求角A的大小；

L3

(2)若α=2√J,BA∙AC=pA。是.ABC的角平分线，求AZ)的长.

【答案】(1)4=看；

(2)日.

⑴

因为Λ^αsin5=A(2+cosA),由正弦定理得GSin3sinA=sinB(2+cos4).

因为3∈(0,乃)，所以sinB>0,所以JJSinA-COSA=2.

即sinA-ɪcosA)=2sin(A-∙^)=2,

因为A∈(0,τr),所以A—J=即A==.

623

(2)

3τr3

由BA∙AC=—,得仍COS-=—即be=3,a2=b2+c2—2bccosA=(ft+c)2-2bc+bc=12,

232

可得人+c=V12÷3=Viy，由Sabc=Sabd+Sacd,/?csin——⅛∙ΛD∙si∏y+-c∙AD-sin—,

.2π√3L

匕7CSln——3TT15

3=

所以A。=

(Z?+c)siny岳35

2

9.(2022•全国•高三专题练习)BC的内角A,B,C的对边分别为α,b,c.已知叵=I-COSB

ClsinA

⑴求R

(2)若a=2,c=ι,,求怛q.

在①。为AC的中点，②BD为NABC的角平分线这两个条件中任选一个，补充在横线上.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】⑴与

(2)答案见解析

(1)(1)由正弦定理得，5/3sinBsinΛ=sinA-sinAcosB.

因为SinAW0,所以6SinB=I-cos8,

所以GSin5+cos3=2sin(3+?)=1,即Sin(B+?)=；.

又3e(0,τ),贝IJB+9=当，所以B=?.

663

(2)

(2)选择条件①：因为BOMB”?。,所以|比＞『=；QBAj+2A4∙BC+Bq2),

=^-Γ12+2×1×2×(-1)+22')=∣,

∙∙∙IM=4-

选择条件②：

因为8。为NABC的角平分线，所以SMi)+S.cTO=SABC,

则;c∙∣Bqsin60o+gα∙∣80∣sin60o=gα∙csinl20o,

.∙.^∙l∙∣BD∣sin60o+^∙2∙∣BZ)∣sin60o=∣∙2∙l∙sinl20o

2

解得忸必=§.

10.(2022•全国•高三专题练习)在二ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知

a-bcosC=—csinB,角C的内角平分线与边AB交于点D.

3

(1)求角B的大小：

(2)记4BCD,∆ΛCQ的面积分别为耳，S2,在①c=2,b=&,②$0品=孚，b=布,A>C

这两个条件中任选一个作为已知，求务的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(呜

(2)答案见解析

(1)

解：因为a-6cosC=^CSinB,山正弦定理可得SinA-sinBcosC=^sinCsinB,

33

又由SinA=Sin[%—(3+C)]=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

可得cos3sinC=-SinCsinB,

3

因为Ce(O,幻，uʃ得SinC>0,所以COSB=且SinB，即tan8=G,

3

又因为3∈(0∕),可得6

(2)

解：选①：因为c=2,b=下,

由余弦定理可得cosB="一+「从=fl^+4-3=1,

Iac4。2

整理得a2—20÷l=0»解得α=1,

因为CD为ZAa的平分线，令ZACD=ABCD=θ,

则S=-BC-CDsinθ=-×∖×CDainθ,5,=-ACCDsmθ=-×-j3×CDsinθ,

2222

所以今=J==g故今的值为巨

S2√33S23

选②：SΔΛZJC=乎，⅛=√7，A>C,

由SZU)C=IaCSin8=1acsin工=,解得“c=3,

abc2234

又由b=",由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB,

BP7=a2+c2-2×3×p可得/+/=10，

又因为A>C,可得。>c,所以(a+。)？=/+/+2αc=10+2x3=16,即α+c=4,

α+c=4

联立方程组"=3,解得α=3,c=l,

a>c

由Co为N4C6的平分线，令NACD=4BCD=Θ,

所以S=,8C∙COSine=Lx3XCOSin6,1=JACCDSine=—XaXC力Sin

22-22

所以卷=/==芈，故兴的值为也.

S2√77S27

③三角形周长（边长）（定值，最值，范围问题）

1.（2022•广东佛山•高三阶段练习）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为“，b,c,己知A=^.

（1）若α=6,ABC的面积为2有，。为边BC的中点，求AZ）的长度；

⑵若E为边BC上一点,且AE=#,BE-.EC=2c-.h,求6+2C的最小值.

【答案】⑴括

（2）8√2

（1）

因为A=g,MC的面积为26，

所以SΛHC=—⅛csinA=ɪ⅛esin—=—be=2∙j3,

abc2234

212

即bc=8,又4=6,由余弦定理可得：a=b+c+bc,

BP36=⅛2+C2+8,得6+C2=28,

又■.£>为边BC的中点，.∙∙AD=^-{AB+AC),

2

211/22\

则AD=-(AB+AC)2=-∖AB^+2AB-AC+AC]

44\/

=^(C2+2C⅛COSA+⅛2)=^(C2-C⅛+⅛2)=^-(28-8)=5,

即|A。I=石，二中线Af)的长度为6.

(2)

..E为边BC上一点，BE-.EC=2cιb,

2c

∙∙BE=-------BC,

2c+h

.∙.AE-AB=-^-{AC-AB),Bp(2c+b)AE=2cAC+bAB,

2c÷⅛

∙∙∙(2c+b)2AE2^(,2cAC+bAB)2>乂AE=瓜,

6(2c+h)2=(2cAC+hAB)2=4h2c2-2h2c2+h2c2=3h2c2,

：.√2(2c+⅛)=⅛c,即2+，=走，

bc2

4cb∖

h+2c=Λ∕2(Z?+2c)+—+-34+2件斗8立

bc)

当且仅当4=L即b=2c∙=4√∑取等号，。+2C有最小值8√∑.

bc

2.（2022•安徽•合肥市第五中学模拟预测（理））在AABC中，a,6,c分别为内角A,B,C的对

边，AABC的面积S=Lc?.

4

⑴若y∕2ccosB=-Jla-b，求n）的值；

SsɪlnB

(2)求?的取值范围.

b

【答案】⑴√Σ+1或0-1

(2)[√2-l,√2+l]

(1)

因为V∑ccosB=J∑α-Z?，中止弦定理得：5/2sinCcosB=∙J1sinA-sinB，

即Λ∕2sinCcosB=7∑sin(B+C)-sinB,即y∣2sinBcosC=sinB，

因为SinBWO,所以›∕ΣcosC=l,即COSC=

JT

由C∈(0,π)得：C=-;

4

由S=，，2得：ɪ^sineɪɪe2,即立必=J∙c,即√^∕b=c2,

42444

由余弦定理可得：/=〃+h2-2tabcosC=a2+b2-y[lab=∙Jlab，

2

故a2+⅛2=2近Clb，则M+1=2Λ∕2×f,

h~b

令，=£，则/+1=2"，解得f二0±l，

b

由正弦定理得：出丝=?，故驾的值为JΣ+1或JΣ-1;

sinBbsinB

(2)

由S=：/得：-abs∖nC=-c2,lψ26r⅛sinC=c2,

424

由余弦定理可得：c1=a1+Ir-IabcosC=2而SinC，

即+⅛2=26f⅛(sinC+cosC)=2y∣2absin(C+—),

4

令f=q,l)∣lJr+l=2√2rsin(C+-),即⅛!∙=sin(C+工)，

b42√2r4

由Ce(O,π)得C+]ej>故Sin(C+；)∈(--ɪ,l]>

故-<—⅛"41,即得∙∕2—1≤Z<∖∣2+1>

22√2f

故多的取值范围是[√∑-1,√∑+1].

b

3.(2022•江西金溪一中高二阶段练习)在一ABC中，内角A,B,