2023届初升高数学衔接讲义第七讲 集合间的基本关系（讲义）含解析

2023隼新高中新接素养理升专理辨义

第七讲集合间的基本关系(精讲)(原卷版)

【知识点透析】

一、子集与真子集的定义与表示

1、子集：如果集合4中的任意一个元素都是集合6的元素，那么集合｛叫做集合6的子集,

记作/忆次或做A),读作aA包含于6”(或“8包含A").

2、真子集：如果集合力是集合6的子集，并且6中至少有一个元素不属于4那么集合/

叫做集合6的真子集。记作4^6或(£34)

【注意】

(1)子集是刻画两个集合之间关系的，它反映的是局部与整体之间的关系(而元素与集合之

间的关系是个体与整体之间的关系).

(2)并不是任意两个集合之间都具有包含关系.

例如：∕=｛1,2｝,8=｛1,3｝,因为2∈4,但2阵8,所以/不是6的子集；

同理，因为3C8,但344所以8也不是4的子集.

二、空集

1、定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为0,

并规定：空集是任何集合的子集.

在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念，可以得到：

(1)空集只有一个子集，即它本身：

(2)空集是任何非空集合的真子集.

2、0,｛0｝,0,｛。｝的关系

。与O__________0与{0}___________0与｛。｝

都表示无

相同点都是集合都是集合

的意思

0是集合；。中不含任何元素；。不含任何元素;

不同点

O是实数｛0｝含一个元素O｛。｝含一个元素，该元素是0

关系0$00≠{0}0≠{0}或Qe同

三、子集的性质

(1)规定：空集是任意一个集合的子集.也就是说，对任意集合4都有。=4

(2)任何一个集合4都是它本身的子集，即/U4

(3)如果HU5,医G则IUC

(4)如果？¢6,i⅞G则A^C

【注意】空集是任何集合的子集，因此在解/IU6(回。)的含参数的问题时，要注意讨论1

=0和/No两种情况，前者常被忽视1,造成思考问题不全面.

四、子集的个数

如果集合A中含有n个元素，则有

(1)/的子集的个数有2"个.

(2)4的非空子集的个数有2"—1个.

(3)4的真子集的个数有2"—1个.

（4）/的非空真子集的个数有2"—2个.

五、韦恩图

在数学中，我们经常用平面上的封闭曲线的内部表示集合，这种图叫做Venn图。

【注意】

（1）表示集合的韦恩图是是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线。

（2）维恩图的有点是形象直观，缺点是公共特征不明显，画图时要注意区分大小关系。

【知识点精讲】

题型一集合间关系的判断

【例题1】.（2022•四川绵阳高一单元测试）已知集合4=⅛2-2x=θ},则下列选项中说法

不正确的是（）

A.0⊂AB.-2GAC.{θ,2}⊂AD.A⊂∣γ∣y<3}

【例题2】.（2022•山东泰安高一检测）己知集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3},集合A与B

的关系如图所示，则集合B可能是（）

A.{2,4,5}B.{1,2,5}C.{1,6}D.{1,3}

【变式1］（2022•宝鸡市高一检测模拟）已知集合A={x∣x≥-2},B≈{x∣-2<x≤l},则下

列关系正确的是（）

A.A=BB.AcBC.BcAD.AB=0

【变式2］（2022•山东济宁模拟）已知集合A={x∣x>l},则下列关系中正确的是（）

A.0⊂AB.{0}⊂AC.0⊂ΛD.{0）∈A

题型二子集、真子集、空集的概念

【例3】（2022•南京市第十三中学高一月考）已知集合A={x∣xeN，-χ2+χ+2N0},则集合

A的真子集个数为（）

A.16B.15C.8D.7

【例题4】.（2022•河南郑州高一期末）定义A*8={Z∣Z=ΛV+1,X∈A,yeβ）,设集合A

={0,1},集合8={1,2,3},则A*B集合的真子集的个数是（）

A.14B.15C.16D.17

【例5】（2023•渝中•重庆巴蜀中学高三月考）已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2,3},非空集合P

满足：（1）P⊂M；（2）若XeP,则一XeP,则集合户的个数是（）

A.7B.8C.15D.16

【变式1］（2023•江苏无锡高一专题检测）已知集合{1,2}qAg{1,2,3,4,5,6},则满足条件

的A的个数为（)

A.16B.15C.8D.7

【变式2］（2022•福建省南安市柳城中学高一月考）已知集合A=卜卜€乂急€吊，则集合

A的真子集个数为（）

A.32B.4C.5D.31

题型三与空集有关的问题

【例题6】.（2022•湖北武汉一中高一期中）以下四个选项中，所表示的集合不是空集的是

A.0B.{0}C.{xeR*-x+l=θ}D.{x∣y=Jx-3+j2-x}

【例7】（2023•江苏高一专题练习）已知集合A={x∣-3≤x≤4},B={x∣2m-l<x<m+l},且

8tA,则实数m的取值范围是.

【变式1］（2022•陕西宝鸡高一课时练习）下列命题：

①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若0θA,

则.其中正确的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【变式2］（2022•银川一中高一课时练习）下列四个集合中，是空集的是（）

A.{x∣x+3=3}B.{（x,y）∣y2=-V,x,yeR}

C.卜*40}D.∣x∣x2-x+l=0,x≡/?}

题型四集合关系的应用

【例8】.（2020•广西•象州县中学高一阶段检测）已知A=k-+5x-6=θ},

8={x∣χ2+pχ+q=o},B=A,且8不是空集，

（1）求集合8的所有可能情况；（2）求。、4的值.

【例9】.(2021•河北保定高一检测)设X,yeR,集合A=[3,x2+xy+y},B={l,x2+Λy+x-3),

且A=B,求实数％y的值

【例题10］.（2022•江苏常州高一月考）设集合A={x∣-l≤x≤6},B^{x∖m-∖≤x<2m+∖},

且3口A.

⑴求实数小的取值范围；（2）当x∈N时•，求集合A的子集的个数.

【变式1】.（2022•银川一中高一课时检测）已知集合M={1,4,x},N={l,d},若N=M,

则实数X组成的集合为（

A.{θ}B.{-2,2}C.{-2,0,2}D.{-2,0,1,2)

【变式2].（2020•曲靖市关工委麒麟希望学校高一期中）已知M={x∣-2≤rW5},N={x∣

a+↑<x≤2a-∖}.

（1）若MJN,求实数。的取值范围；（2）若M垃N,求实数。的取值范围.

题型五：根据集合的相等关系求参数

【例题11].（2023•山西大同高三专题模拟）已知集合M={1,0},则与集合M相等的集合

为（）

fx-y=-ll,-----,-----

A.<（x,y）<B.{（x,y）ly=∖∣x-}+√l-x）

Ix+y=∖J•

[I（-1）M-1Jf.nπ」

C.↑x∖x=----------,n∈/V>D.<yy=sm——,nwN

∖I2∫1-2∫

【例12】（2022•四川绵阳高一专题练习）

（1）已知集合人=,+1。+^,“—…},当1∈A,求2020"的值；

（2）已知集合A={x∣l<x<2019},8={x∣x<4},若Agb,求实数”的取值范围.

【变式1].（2022•江苏高一检测）已知集合„，1}与集合{“2,a+h,0}是两个相等的集合，

求a2020+b2020的值

【变式2】.（2023•湖北武汉高一检测）（1）已知集合A={jφnχ2-2r+3=0,m∈R）,若A

有且只有两个子集，求〃?的值.

(2)若4,⅛∈R,集合{l,α+6,α}=,求Z;-4的值.

2023隼新高中新接素养理升专理辨义

第七讲集合间的基本关系(精讲)(解析版)

【知识点透析】

一、子集与真子集的定义与表示

1、子集：如果集合4中的任意一个元素都是集合6的元素，那么集合｛叫做集合6的子集,

记作/忆次或做A),读作aA包含于6”(或“8包含A").

2、真子集：如果集合力是集合6的子集，并且6中至少有一个元素不属于4那么集合/

叫做集合6的真子集。记作4^6或(£34)

【注意】

(1)子集是刻画两个集合之间关系的，它反映的是局部与整体之间的关系(而元素与集合之

间的关系是个体与整体之间的关系).

(2)并不是任意两个集合之间都具有包含关系.

例如：∕=｛1,2｝,8=｛1,3｝,因为2∈4,但2阵8,所以/不是6的子集；

同理，因为3C8,但344所以8也不是4的子集.

二、空集

1、定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为0,

并规定：空集是任何集合的子集.

在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念，可以得到：

(1)空集只有一个子集，即它本身：

(2)空集是任何非空集合的真子集.

2、0,｛0｝,0,｛。｝的关系

。与O__________0与{0}___________0与｛。｝

都表示无

相同点都是集合都是集合

的意思

0是集合；。中不含任何元素；。不含任何元素;

不同点

O是实数｛0｝含一个元素O｛。｝含一个元素，该元素是0

关系0$00≠{0}0≠{0}或Qe同

三、子集的性质

(1)规定：空集是任意一个集合的子集.也就是说，对任意集合4都有。=4

(2)任何一个集合4都是它本身的子集，即/U4

(3)如果HU5,医G则IUC

(4)如果？¢6,i⅞G则A^C

【注意】空集是任何集合的子集，因此在解/IU6(回。)的含参数的问题时，要注意讨论1

=0和/No两种情况，前者常被忽视1,造成思考问题不全面.

四、子集的个数

如果集合A中含有n个元素，则有

(1)/的子集的个数有2"个.

(2)4的非空子集的个数有2"—1个.

(3)4的真子集的个数有2"—1个.

（4）/的非空真子集的个数有2"—2个.

五、韦恩图

在数学中，我们经常用平面上的封闭曲线的内部表示集合，这种图叫做Venn图。

【注意】

（1）表示集合的韦恩图是是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线。

（2）维恩图的有点是形象直观，缺点是公共特征不明显，画图时要注意区分大小关系。

【知识点精讲】

题型一集合间关系的判断

【例题1】.（2022•四川绵阳高一单元测试）已知集合4=⅛2-2x=θ},则下列选项中说法

不正确的是（）

A.0⊂AB.-2GAC.{θ,2}⊂AD.A⊂∣γ∣y<3}

【答案】B

【分析】根据元素与集合的关系判断选项B,根据集合与集合的关系判断选项A、C、D.

【详解】由题意得，集合A={O,2}.所以—2eA,B错误；

由于空集是任何集合的子集，所以A正确；

因为A={0,2},所以C、D中说法正确.

故选：B.

【例题2】.（2022•山东泰安高一检测）已知集合U={1,2,3,4,5,6},A={l,2,3},集合A与8

的关系如图所示，则集合B可能是（）

C.{1,6}D.{1,3}

【答案】D

【解析】由图可得BqA,由选项即可判断.

【详解】解：由图可知：B⊂A,

A={1,2,3},

由选项可知：{1,3}⊂A,

故选：D.

【变式1］（2022•宝鸡市高一检测模拟）已知集合A={x∣x≥-2},B≈{x∣-2<x≤l},则下

列关系正确的是（）

A.A=BB.AcBC.BcAD.AB=0

【答案】C

【解析】因为集合A={x∣x≥-2},β={x∣-2≤x≤l},

所以根据子集的定义可知B=A,故选：C.

【变式2】（2022•山东济宁模拟）已知集合A={x∣x>l},则下列关系中正确的是（）

A.0⊂AB.{0}⊂AC.0⊂AD.（0}∈A

【答案】C

【解析】,集合A={x∣x>1},

A中，0是一个元素，元素与集合之间是属于或者不属于关系，故A错误；

3中，0>1不成立，.∙.{0}αA不对，故5错误；C中，空集是任何集合的子集，故C正确；

。中，集合与集合之间是真子集或者子集以及相等关系，故。错误；

故选C.

题型二子集、真子集、空集的概念

【例3】（2022•南京市第十三中学高一月考）已知集合A={x∣xwN,-d+x+2±θ},则集合

A的真子集个数为（）

A.16B.15C.8D.7

【答案D

【解析】由题意得集合A=卜|x∈N,-χ2+χ+2N0}={x|x€N,-ɪ≤x≤2}={0,l,2}所以集合

A的真子集个数为：2:1=7.

故选:D.

【例题4】.（2022•河南郑州高一期末）定义A*8={Z∣Z=Λy+l,x∈A,γ∈B},设集合A

={0,1},集合8={1,2,3},则A*8集合的真子集的个数是（）

A.14B.15C.16D.17

【答案】B

【分析】先求出集合∕*8={1,2,3,4）,由公式2"-1求出集合心6的真子集的个数

【详解】VJ={0,1},B={l,2,3）,

."*8={Z∣Z=ΛTH,x≡A,y∈8}={l,2,3,4},

则4*8集合的真子集的个数是2-1=15个，

故选：B

【例5】（2023•渝中•重庆巴蜀中学高三月考）己知集合M={-3,-2,7,0,1,2,3},非空集合尸

满足：（1）PcM；（2）若xeP,则一XeP,则集合P的个数是（）

A.7B.8C.15D.16

【答案】.C

【解析】满足条件的集合户应同时含有-3,3或-2,2或-1,1或0,又因为集合P非空，所以集

合P的个数为2^t-l=15个

【变式1】（2023•江苏无锡高一专题检测）已知集合{1,2}αA={1,2,3,4,5,6},则满足条件

的A的个数为（）

A.16B.15C.8D.7

【答案】A

【分析】根据题意/中必须有1,2这两个元素，因此/的个数应为集合{3,4,5,6}的子集

的个数.

【详解】解：因为{L2}GAq{1,2,3,4,5,6},

集合力中必须含有1,2两个元素，可以含有元素3,4,5,6,

因此满足条件的集合力为{L2},{1,2,3),{1,2,4),{1,2,5),{1,2,6),{1，2,3,4},

{1>2,3,5},

{1,2,3,6},{1,2,4,5),(1,2,4,6},{1,2,5,6},{1,2,3,4,5},{1,2,3,4,6),

{1>2,3,5,6},{1,2,4,5,6},{1，2,3,4,516}共16个.

故选：A.

【变式2](2022•福建省南安市柳城中学高一月考)已知集合A=yFeN,%G∈N[,则集合

A的真子集个数为()

A.32B.4C.5D.31

【答案】.D

12

【解析】解：因为片wN,且12的约数有1,2,3,4,6,12,

6-x

1212

当^—=1时，6-x=12,则无=-6eN,故7—=1不符题意，舍去，

6-xO-X

1212

当^---=2时，6-x=6,则X=OWN,故二---=2符合题意，

6-xO-JV

当卢12_=3时，6-x=4,则x=2eN,故1;2-=3符合题意，

6-xO-X

当1产2=4时，6-x=3,则x=3∈N,故产12=4符合题意，

6-x6-x

1212

当^—=6时，6-x=2,则x=4∈N,故^—=3符合题意，

6-x6-x

当/1_2=12时，6-x=l,则x=5∈N,故占12=12符合题意，

6-x6-x

所以A=[x]x∈N，E≡N∣={2,3,4,6,12),

所以集合力的真子集个数为25-1=31.故选：D.

题型三与空集有关的问题

【例题6】.(2022•湖北武汉一中高一期中)以下四个选项中，所表示的集合不是空集的是

A.0B.{0}C.{x∈Λ∣x2-x+l=0∣D.{x∣y=Jx-3+√2-x}

【答案】B

【分析】根据空集含义逐一判断.

【详解】。表示空集，{0}表示以空集为元素的集合，不是空集；因为x2-x+l=O无实数

X—3≥0

解，所以{χ∈R∣χ2-x+l=θ}=0;：.XG0：.{xIy=Vx-3+√2-Λ∣=0

2-x≤0

故选：B

【例7】（2023•江苏高一专题练习）已知集合A={x∣-3≤x≤4},B={x∣2"i-l<x<m+l},且

BcA,则实数机的取值范围是.

【答案】•机≥-1

【解析】解：分两种情况考虑：

①若8不为空集，可得：2m-l<∕π+l,解得：m<2,

5=A,A={xI-3≤X≤4},

.∙.2∕n-1≥-3且团+1≤4,解得：-l≤"z≤3,

②若〃为空集，符合题意，可得：2m-l≥m+↑,解得：加≥2.

综上，实数力的取值范围是m≥T.

【变式D（2022•陕西宝鸡高一课时练习）下列命题：

①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若0θA,

贝IJA≠0.

其中正确的个数是（）

A.0B.IC.2D.3

【答案]B

【解析】①错，空集是任何集合的子集，有0£0;②错，如。只有一个子集；③错，空集

不是空集的真子集；④正确，因为空集是任何非空集合的真子集.

故选：B.

【变式2]（2022•银川一中高一课时练习）下列四个集合中，是空集的是（）

A.{x∣x+3=3}B.{（x,y）∣V=-∕,χ,yeR}

C.∣x∣x2≤θjD.∣x∣x2-x+l=0,x∈/?|

【答案】.D

【解析】选项A,{x∣x+3=3}={0};选项B,{（x,y）∣y2=-x2,x,y∈Λ}={（O,O）};

选项C,{x∣Y≤o}={θ};选项D,X2-X+1=0,Δ=1-4=-3<0,方程无解，ʌ

∣x∣x2-x+l=0,x∈=0,选:D.

题型四集合关系的应用

【例8】.（2020•广西•象州县中学高一阶段检测）已知A=NX2+5χ-6=θ},

B=∣X∣Λ2+p%+√=θj,B⊂A,且6不是空集，

（1）求集合B的所有可能情况；（2）求。、9的值.

、[p=12fp=—2fp=5

【答案】⑴B=（-6或B={l}或B=（-6,1；⑵，“或,或〈

[q=36国=114=-ð

【解析】（1）解出集合A,根据BUA且3H0可得出所有可能的集合B;

（2）根据（1）中集合5所有可能的情况，结合韦达定理可求得P、q的值.

【详解】（I）A=k∣χ2+5x-6=θ}={-6,l},8=4且8X0,

则B={-6}或8={1}或B={-6,l};

.、f2×(-6)=-p[n=12

(2)若B=-6,由韦达定理可得，，解得用

(-6)=q[夕=36

若B={l},由韦达定理可得E）Xl二一。，解得

U~=4l⅛=l

—6+1=­pP=5

若B={-6,l},由韦达定理可得，K-6)χl=√解得

(7=—6

，蓝或或U

综上所述,

夕=361q=1[]=-6

【例9】.（2021.河北保定高一检测）设兑γ€夫，集合4={3,/+孙+»,B={l,/+孙+χ-3},

且A=8,求实数X,y的值

”=3或《=一；

【答案1

y=-2[γ=-6

【解析】

∕χ"+y=，解得产3

由A=B得

X+xy+x-3=3[γ=-2

【例题10】.（2022・江苏常州高一月考）设集合4={幻-4/46},8={心/«-14彳42%+1},

且8uA.

（1）求实数机的取值范围；（2）当XeN时，求集合A的子集的个数.

【答案】（l）{w""<-2或0≤机≤g}（2）128

【分析】（1）按照集合B是空集和不是空集分类讨论求解；

（2）确定集合A中元素（个数），然后可得子集个数.

（1）当他一1>2a+1即机<一2时，B=0,符合题意；

m-∖<2zn+1

解得O≤,"≤3∙

当3≠0时，有<m-l≥-1

2m+1≤6

综上实数机的取值范围是{m∣m<-2或0。三3；

（2）当x∈N时，A={0,1,2,3,4,5,6},所以集合A的子集个数为2?=128个.

【变式1】.（2022•银川一中高一课时检测）已知集合M={1,4,x},N={l,χ2},若N=M,

则实数X组成的集合为（）

A.{0}B.{-2,2}C.{-2,0,2}D.{-2,0,1,2)

【答案】C

【分析】若NaM,所以X=XZ或丁=4,解出X的值，将X的值代入集合，检验集合的元

素满足互异性.

【详解】因为NqM,所以x=x"解得x=0,X=I或/=4,解得x=±2,

当X=O时，M={l,4,0},N={l,0},NjM,满足题意.

当x=l时，M={1,4,1},不满足集合的互异性.

当x=2时，M={1,4,2},N={l,4},若NqM,满足题意.

当x=-2时，Λ/={1,4,-2),N={l,4},若NqM,满足题意.

故选：C.

【变式2].（2020•曲靖市关工委麒麟希望学校高一期中）已知M={x|-2≤rW5},N={x∖

a+l<χ≤2a-∖}.

（1）若MJN,求实数。的取值范围；（2）若MRN,求实数〃的取值范围.

【答案1.（1）空集；（2）{α∣α≤3}.

【解析】（1）由MaN得:

tz+l≤-2a≤-3

2a-l≥5=<α≥3无解；故实数。的取值范围为空集;

。+1≤2。一1a≥2

(2)由〃卫N得：

当N=0时，即α+l>2α-l=αv2;

当N≠0时，

a+]≤2a-\a≥2

<2+1>—2=a≥-3,故2≤α≤3;

2a-l<5a<3

综上实数。的取值范围为{α∣4≤3}.

题型五：根据集合的相等关系求参数

【例题11].（2023•山西大同高三专题模拟）已知集合M={1,0},则与集合M相等的集合为

（）

B.{(x,γ)∣y=√x-l