9.12矩形的性质与判定大题专练（重难点培优）-2023-2024学年苏科版八年级下册数学尖子生同步培优练习（含答案解析）

第9章中心对称图形-平行四边形9.12矩形的性质与判定大题专练（重难点培优）姓名：_________班级：_________学号：_________注意事项：本试卷共24题，解答24道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题（共24小题）1．已知，如图，在菱形中，对角线、相交于点，，．（1）求证：四边形是矩形；（2）若，，求四边形的面积．2．如图，在菱形中，对角线、相交于点，过作，过作，与相交于点．求证：四边形为矩形．3．如图，在菱形中，对角线、相交于点，，．（1）求证：四边形是矩形；（2）若是边长为2的正三角形，求四边形的面积．4．如图，菱形的对角线交于点，点是菱形外一点，，．（1）求证：四边形是矩形；（2）连接交于点，当，时，求菱形的面积．5．如图，菱形的对角线与交于点，，，．（1）求的度数；（2）求证：四边形是矩形．6．如图，在菱形中，对角线，相交于点，，．（1）求证：四边形是矩形；（2）若菱形边长为10，面积为96，求矩形周长．7．如图，在菱形中，点是对角线的中点，过点的直线与边、交于点、，，连接、．（1）求证：四边形是矩形；（2）若，，直接写出四边形的面积．8．如图，在菱形中，，，点是边的中点，点是边上一动点（不与点重合），延长交射线于点，连接，．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）填空：①当的值为时，四边形是矩形；②当的值为时，四边形是菱形．9．在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，．（1）求证：四边形是矩形．（2）若，，，求证：平分．10．如图，在菱形中，对角线、交于点，过点作于点，延长至，使，连接．（1）求证：四边形是矩形；（2）若，，求的长．11．已知：如图，在中，，，．直线从点出发，以的速度向点方向运动，并始终与平行，与线段交于点．同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，设运动时间为．（1）当为何值时，四边形是矩形？（2）当面积是的面积的5倍时，求出的值．12．如图，在平行四边形中，对角线，交于点．（1）若，求证：四边形为矩形；（2）若于点，于点，求证：．13．如图，在四边形中，、相交于点，，，．（1）如图1，求证：四边形为矩形；（2）如图2，是边上任意一点，，，、分别是垂足，若，，求的值．14．如图，菱形的对角线交于点，点是菱形外一点，，．（1）求证：四边形是矩形；（2）连接交于点，当，时，求的长度．15．如图，在中，，是边的中线，平分的外角，，垂足为．（1）求证：四边形是矩形；（2）连接，交于点，若，，则的面积是：．16．如图，在平行四边形中，点是边上一点（不与，重合），，过点作，交边于点，连接．（1）若，求证：四边形是矩形；（2）在（1）的条件下，当，时，求的长．17．如图，在菱形中，，，点是边的中点，点是边上一动点（不与点重合），延长交射线于点，连接，．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）①当的值为时，四边形是矩形；②若，求证：四边形是菱形．18．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点停止，同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是每秒1个单位，连接、、．设点、运动的时间为秒．（1）当为何值时，四边形是矩形；（2）当时，判断四边形的形状，并说明理由．19．如图，平行四边形中，是的中点，是边上的动点，的延长线与的延长线交于点，连接，．（1）求证：四边形为平行四边形；（2）若，，，①当时，四边形是矩形；②当时，四边形是菱形．20．如图，平行四边形中，，，，是的中点，是边上的动点，的延长线与的延长线交于点，连接，．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）①时，四边形是矩形；②时，四边形是菱形．21．如图，菱形的对角线、相交于点，，，与交于点．（1）试判断四边形的形状，并说明理由；（2）若，，求菱形的面积．22．如图，菱形的对角线、相交于点，，，与交于点．（1）试判断四边形的形状，并说明理由；（2）若，，求菱形的面积．23．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、，连接交于点．（1）求证：；（2）若菱形的边长为8，，求的长．24．已知：如图，在菱形中，对角线、相交于点，，．（1）求证：四边形是矩形；（2）若，，求四边形的面积．参考答案一、解答题（共24小题）1．【分析】（1）根据菱形的性质得出，再根据平行四边形的判定定理得四边形为平行四边形，由矩形的判定定理得出四边形是矩形；（2）证明是等边三角形，得出，由勾股定理得出，由菱形的性质得出，即可求出四边形的面积．【解析】（1）证明：，，四边形是平行四边形，在菱形中，，平行四边形是矩形，故四边形是矩形；（2）解：，，，，是等边三角形，，在菱形中，由勾股定理，四边形是菱形，，四边形的面积2．【分析】根据平行四边形的判定定理和菱形的性质定理即可得到结论．【解析】证明：，，四边形是平行四边形，在菱形中，，，四边形为矩形．3．【分析】（1）根据题意可判断出四边形是平行四边形，再由菱形的性质可得出，即，继而可判断出四边形是矩形；（2）由菱形的性质和勾股定理求出，得出，由矩形的面积公式即可得出答案．【解析】（1）证明：，，四边形是平行四边形，四边形是菱形，，，四边形是矩形；（2）解：是边长为2的正三角形，，，四边形为菱形，，，，，，四边形是矩形，四边形的面积．4．【分析】（1）根据菱形的性质求出，根据平行四边形和矩形的判定得出即可；（2）根据矩形和菱形的性质即可得到结论．【解析】（1）证明：四边形是菱形，，即，，，四边形是平行四边形，四边形是矩形；（2）解：四边形是菱形，，四边形是矩形，，，，，，，，，菱形的面积．5．【分析】（1）由四边形是菱形，得到对边平行，且为角平分线，利用两直线平行得到一对同旁内角互补，根据已知角之比求出相应度数，进而求出度数；（2）由四边形是菱形，得到对角线互相垂直，利用两组对边平行的四边形是平行四边形，再利用有一个角为直角的平行四边形是矩形即可得证．【解析】（1）解：四边形是菱形，，，，，，；（2）证明：，，，，四边形是平行四边形，四边形是菱形，，，平行四边形是矩形．6．【分析】（1）根据题意可判断出四边形是平行四边形，再由菱形的性质可得出，即，可判断出四边形是矩形；（2）由菱形的面积和勾股定理求出，由矩形的性质即可得出答案．【解析】（1）证明：，，四边形是平行四边形，四边形是菱形，，，四边形是矩形；（2）解：菱形边长为10，面积为96，，，，，，，，，，，，四边形是矩形，，，矩形的周长．7．【分析】（1）求出，根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，再根据矩形的判定得出即可；（2）根据勾股定理得出，即，求出，即得出，根据勾股定理求出，再求出矩形的面积即可．【解析】（1）证明：，，四边形是菱形，，，，，，为的中点，，，四边形是平行四边形，，四边形是矩形；（2）解：设，四边形是菱形，，，，四边形是矩形，，在和中，由勾股定理得：，即，解得：，即，则，四边形的面积是．8．【分析】（1）求出，根据全等及时向的性质得出，根据平行四边形的判定得出即可；（2）①根据等边三角形的判定得出是等边三角形，根据等边三角形的性质求出，根据矩形的判定得出即可；②求出是等边三角形，求出和重合，根据菱形的判定得出即可．．【解析】（1）证明：点是边的中点，，四边形是菱形，，，在和中，，，，四边形是平行四边形；（2）解：①当时，四边形是矩形，理由是：连接，四边形是菱形，，，是等边三角形，，，，，，即，四边形是平行四边形，四边形是矩形，即当时，四边形是矩形，故答案为：1.5；②当时，四边形是菱形，理由是，此时，即和重合，由①知：是等边三角形，，四边形是平行四边形，四边形是菱形，故答案为：3．9．【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，即，根据平行四边形的判定得出四边形为平行四边形，根据矩形的判定得出即可；（2）根据矩形的性质求出，根据勾股定理求出，求出，推出，求出，即可得出答案．【解析】证明：（1）四边形为平行四边形，，即，又，四边形为平行四边形，又，，四边形为矩形；（2）四边形为矩形，，，，，，，，，，平分．10．【分析】（1）根据菱形的性质得到且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）设，则根据勾股定理即可得到结论．【解析】（1）证明：在菱形中，且，，，，，四边形是平行四边形，，，四边形是矩形；（2）解：设，则在中，，，．11．【分析】（1）由，可得，可求的长，当时，四边形是矩形，列出方程即可解决问题；（2）根据计算即可．【解析】（1）在中，，，，，，，，，当时，四边形是矩形，，解得．（2）当面积是的面积的5倍时，12．【分析】（1）根据平行四边形的性质和矩形的判定解答即可；（2）根据矩形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．【解析】证明：（1）四边形是平行四边形，，，，，，平行四边形是矩形；（2）四边形是平行四边形，，，，于点，于点，，在与中，，，．13．【分析】（1）先证四边形是平行四边形，得出，，再证出，即可得出结论；（2）由勾股定理可求，由面积法可求解．【解析】证明：（1），，，，，四边形是平行四边形，，，，，四边形是矩形；（2）如图，连接，，，，，，，，．14．【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再根据菱形的性质求出，即可得出结论；（2）证，得，由直角三角形的性质得，则，再根据勾股定理求出即可．【解析】（1）证明：，，四边形是平行四边形，四边形是菱形，，，四边形是矩形；（2）解：如图，四边形是菱形，，，四边形是矩形，，，，，在和中，，，，，，，．15．【分析】（1）证出四边形有三个直角即可；（2）由矩形的性质得，由勾股定理求出，再由三角形面积公式即可得答案．【解析】（1）证明：在中，，是边的中线，，，，为的外角的平分线，，，，，四边形为矩形；（2）解：是边的中线，，，由（1）得：四边形是矩形，，在中，，的面积；故答案为：12．16．【分析】（1）证出即可；（2）由证明，得出，设，则，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解析】（1）证明：，，，，，平行四边形是矩形；（2）解：四边形是矩形，，在和中，，，，设，则，在中，，，解得：，的长是．17．【分析】（1）由菱形的性质可得，再由点是边的中点，可得，从而可证明，则，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得答案；（2）①当的值为3时，四边形是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判定；②根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判定．【解析】（1）证明：四边形是菱形，，，点是边的中点，，在和中，，，，四边形是平行四边形；（2）①解：当的值为3时，四边形是矩形．理由如下：四边形为菱形，，点是边的中点，，，，是等边三角形，，，，四边形是平行四边形，四边形是矩形．故答案为：3；②证明：，，，，是等边三角形，，四边形是平行四边形，四边形是菱形．18．【分析】（1）由矩形性质得出，，由已知可得，，，当时，四边形为矩形，得出方程，解方程即可；（2）时，，，得出，，，，则四边形为平行四边形，由勾股定理求出，得出，即可得出结论．【解析】（1）在矩形中，，，，，由已知可得，，，在矩形中，，，当时，四边形为矩形，，解得：，当时，四边形为矩形；（2）四边形为菱形；理由如下：，，，，，，，四边形为平行四边形，在中，，，平行四边形为菱形，即当时，四边形为菱形．19．【分析】（1）证，推出，根据平行四边形的判定推出即可；（2）①求出，推出，根据矩形的判定推出即可；②求出是等边三角形，推出，根据菱形的判定推出即可．【解析】（1）证明：四边形是平行四边形，，，是的中点，，在和中，，，四边形是平行四边形；（2）①解：当时，平行四边形是矩形，理由是：过作于，，，，四边形是平行四边形，，，，，，在和中，，，，四边形是平行四边形，四边形是矩形，故答案为：7；②当时，四边形是菱形，理由是：，，，，，是等边三角形，，四边形是平行四边形，四边形是菱形，故答案为：4．20．【分析】（1）证，推出，根据平行四边形的判定推出即可；（2）①证明，推出，即可得出结论；②证明是等边三角形，推出，即可得出结论．【解析】（1）证明：四边形是平行四边形，，是的中点，，在和中，，，，又，四边形是平行四边形，（2）解：①当时，四边形是矩形；理由如下：过作于，如图所示：，，，，四边形是平行四边形，，，，，，在和中，，，，平行四边形是矩形，故答案为：8；②当时，四边形是菱形，理由如下：，，，，，是等边三角形，，平行四边形是菱形，故答案为：4．21．【分析】（1）先证四边形为平行四边形，再由菱形的性质得，从而可得四边形是矩形；（2）根据勾股定理和菱形的面积公式解答即可．【解析】（1）四边形是矩形，理由如下：，四边形是平行四边形．又菱形对角线交于点，即．四边形是矩形；（2）四边形是菱形，，，，四边形是矩形，，，，菱形的面积．22．【分析】（1）由菱形的性质可证明，然后再证明四边形为平行四边形，从而可证明四边形是矩形；（2）根据勾股定理和三角形的面积公式解答即可．【解析】（1）四边形是矩形．证明：，四边形是平行四边形．又菱形对角线交于点，即．四边形是矩形．（2）菱形，，，，，的面积，菱形的面积的面积．23．【分析】（1）先求出四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出，证明是矩形，可得；（2）根据菱形的性质以及勾股