2022-2023学年八年级数学知识点串讲（苏科版）：二次根式（解析版）

专题08二次根式

一.选择题（共8小题）

1.（2023∙金坛区二模）若式子√7二4有意义，则X的取值范围是（）

A.XV4B.x>4C.x≤4D.x》4

【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数得出关于X的不等式，求出X的取值范围

即可.

【解答】解：；式子√5Γq有意义，

.∙.x-420,

解得x24.

故选：D.

【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果所给式子中含有分母，则除了保

证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零.

2.（2023•宝应县一模）若二次根式√∑=l有意义，则实数X的取值范围是（）

A.xe2B.x>2C.xeOD.x>O

【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案.

【解答】解：由题意得：x-2三O,

解得：x≥2,

故选：A.

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解

题的关键.

3.（2023春•海安市月考）二次根式E中，字母X的取值可以是（）

A.OB.1C.2D.5

【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数，可得：χ-4Z0,求出X的取值范围，进

而判断出二次根式中X-4字母X的取值可以是哪个即可.

【解答】解：根据题意，得x-420,

.".JC≥4,

V0<-4,]<4,2<4,5>4,

.∙.字母X的取值可以是5.

故选：D.

【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式

中的被开方数是非负数.

4.（2023春•天宁区校级期中）若二次根式√7K有意义，则X的取值范围是（）

A.x>5B.xN-5C.x<5D.x25

【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数进行求解即可得.

【解答】解：由题意X-520,

解得x25,

故选：D.

【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数为非负数是解题

的关键.

5.(2022秋•江都区期末)下列计算正确的是()

A.√4=±2B.Vz64=-4C.√(-4)2=-4D.V16=4

【分析】分别根据二次根式的性质以及立方根的定义解答即可.

【解答】解：A.√4=2,故本选项不符合题意；

B.V-64--4,故本选项符合题意；

C.J(-4)2=4,故本选项不符合题意：

D.V16=2√2,故本选项不符合题意.

故选：B.

【点评】本题考查了二次根式的性质与化简以及立方根，掌握相关定义是解答本题的关

键.

6.(2023∙滨湖区一模)在下列各式中，计算正确的是()

A.√(-9)2=-9B.3√2-√2=3C.(-√2)2=-2D.VzT=-I

【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简，进而得出答案.

【解答】解：A.√(≡9)2=9,故此选项不合题意；

B.3√2-√2=2√2,故此选项不合题意；

C.(-√2)2=2,故此选项不合题意；

D.V→=-l,故此选项符合题意.

故选：D.

【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简各数是解题关键.

7.(2023•钟楼区校级模拟)己知帅<0,则√≡再化简后为()

A.-ayf—bB.-ayfbC.aVbD.aV-b

【分析】根据二次根式的性质即可求出答案∙

【解答】解：..Zb<O,-α2⅛>0,

Λa>0,

.∙.*<o

二原式=Ial>Λ工,

=a∖Γ^b,

故选：D.

【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题

型.

8.(2023春•如东县期中)下列各数中，化简结果为-2023的是()

A.-(-2023)B.V(-2023)3C.|-20231D.√(-2023)2

【分析】利用去括号法则、二次根式的性质及绝对值的意义，先计算每个选项，再根据

计算结果得结论.

【解答】解：A.-(-2023)=2023,故选项A的化简结果不为-2023；

B.J(-2023)3=-2023,故选项B的化简结果为-2023；

C.-2003∣=2023,故选项C的化简结果不为-2023；

D.√(-2023)2=2023,故选项D的化简结果不为-2023.

故选：B.

【点评】本题考查了实数的化简，掌握去括号法则、绝对值的意义及二次根式的性质是

解决本题的关键.

二.填空题(共12小题)

9.(2023•鼓楼区二模)式子Ql有意义，则X的取值范围是在2.

【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案.

【解答】解：由题意得，X-220,

解得G2.

故答案为：x≥2.

【点评】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的

关键.

10.(2023•祁江区一模)已知X+J(X-2023)2=2023,则尤的取值范围是x≤2023.

【分析】根据二次根式的性质即可求出答案.

【解答】解：由题意可知：J(X-2023)2=2023-x,

.∙.2023-x》0,

Λx≤2023,

故答案为：x≤2023.

【点评】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于

基础题型.

11.(2023•工业园区二模)若√IF在实数范围内有意义，则实数X的取值范围是x≤寺

【分析】根据二次根式有意义的条件得出1-3x20,再求出答案即可.

【解答】解：要使，在实数范围内有意义，必须1-3x20,

解得：∙r≤^

故答案为：X≤

【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，能熟记√H中是解此题的关键.

12.（2023春•沐阳县月考）当有意义时，X的取值范围是Q-3.

【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答

案.

【解答】解：由题意得：x+3>0,

解得：x>-3,

故答案为：x>-3.

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分

母不为0是解题的关键.

√3-X

13.（2023春•江都区期中）在式子中，字母X的取值范围是xW3且x#2.

χ-2

【分析】根据分母不能为0、二次根式的被开方数大于或等于。列出式子求解即可得.

【解答】解：由题意得：x-2≠0且3-x20,

解得xW3且xW2,

故答案为：x≤3且x≠2.

【点评】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握分式和二次根式的定

义是解题关键.

14.（2023春•祁江区月考）已知∣2022—α∣+Va—2023=α,则a-2022?=2023.

【分析】先根据二次根式有意义的条件得到a22023,则α-2022+√α-2023=α,由

此求出a-2023=20222,据此即可得到答案.

【解答】解：；∣2022-α∣+√α-2023=α有意义,

：.a-2023>0,即a>2023,

∙"∙CL—2022+Va—2023=a,

Λ√a-2023=2022,

Λd-2023=20222,

：.a-20222=2023,

故答案为：2023.

【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，正确得到a>2023是解

题的关键.

15.（2023•祁江区校级二模）若J（X—1）2=l-χ,则X的取值范围是x≤l.

【分析】直接利用二次根式的性质得出I-χ›0,进而得出答案.

【解答】解：V√（x-1）2=I-X,

.∙.1-x20,

解得：x≤1.

故答案为：xWl.

【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简,正确得出I-X的取值范围是解题关键.

16.(2023春•秦淮区校级月考)若7三在实数范围内有意义，则实数X的取值范围是Λ-

√x-2——

>2.

【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答

案.

【解答】解：由题意得：χ-2>0,

解得:x>2,

故答案为：x>2.

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分

母不为0是解题的关键.

17.(2022秋•句容市期末)已知y=J(x-3)2—广4,当X分别取1,2,3,......,2022时，

所对应y值的总和是2028.

【分析】根据二次根式的性质进行化简，然后再求和即可求出答案.

【解答】解：当Λ≤3时，y=-(x-3)-x+4=-x+3-x+4=-2x+7,

当x>3时，y=x-3-x+4—1,

二当X分别取I,2,3,……，2022时，所对应y值的总和是

(5+3+1)+2019×1

=9+2019

=2028,

故答案为：2028.

【点评】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是分类讨论y的表达式，然后再

分别求和，本题属于基础题型.

18.(2023•南京二模)若式子SF-2在实数范围内有意义,则X的取值范围是Gl.

【分析】根据“负数没有平方根”即可求出自变量X的取值范围.

【解答】解：由于式子√Σ二口一2在实数范围内有意义，

所以X-120,

即x21,

所以X的取值范围是

故答案为：Λ›I.

【点评】本题考查二次根式有意义的条件，掌握“负数没有平方根”是正确解答的关键.

19.（2023春•崇川区校级月考）已知y=√x-3+√3-x+1,则x+y的平方根是±2.

【分析】根据二次根式的非负性可求出X,y的值，进而可求出答案.

【解答】解：∙.∙y=√Γ*+√J=7+1,且根号下不能为负，

.'.X-3=0,3-χ=0,

•∙x~~3j

'∙y=1>

.'.x+y=4,

.∙.χ+y的平方根是±2,

故答案为：±2.

【点评】本题考查二次根式的非负性，以及计算一个数的平方根，能够根据二次根式的

非负性计算出未知数的值是解决本题的关键.

20.（2022春•兴化市月考）若实数〃2满足|4一m∣+后=％=m,则m=22.

【分析】先根据二次根式有意义得，620,即再根据绝对值的性质得到足|4-

m∖+yjm—6=m,即∙√zn-6=4.再求m的值即可.

【解答】解：根据题意，得：

m-620,

即∕n⅛=6>

由14-/nI+√m—6=m,

得|4—m∣+yjm-6=m,即∙√m—6=4,

两边平方，得加-6=4?,

."=22.

故答案为：22.

【点评】本题考查了二次根式的意义和性质以及绝对值的性质.概念：式子G（。20）

叫二次根式.性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义.

三.解答题（共11小题）

21.（2022春•丹阳市校级月考）化简：

（1）怦

（2）√（X-3）2-√X2-8X+16（3≤X≤4）.

【分析】（1）根据二次根式的乘法即可求出答案.

（2）根据二次根式的性质即可求出答案.

___3ct∖[a

【解答】解：（1）原式=2j3αb∙---

=36z2√3b.

(2)原式=IX-3I-；X-4,

V3≤x≤4,

.∙.χ-320,χ-4≤0,

原式=元-3+(x-4)

=x-3+x-4

=2χ-7.

【点评】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的性质以及

二次根式的乘除运算，本题属于基础题型.

22.(2023春•海安市期中)若y=2√7=I+√Σ≡M+g,求正+后的值.

【分析】根据二次根式的被开方数是非负数得到X的值，进而求得y的值，然后代入求

值即可.

【解答】M：V(2^ξζθ

Ix—2≥0

Λx=2,

._1

•3,

Λ√x+λ∕y=√2+ɪ.

【点评】本题考查了二次根式的意义和性质.概念：式子√HQ20)叫二次根式.性质：

二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义.

23.(2022春•亭湖区校级月考)实数mb,C在数轴上的对应点如图所示：

(1)比较大小：a-⅛>0；b-c<0：a+b<O.

2

(2)化简：∖a-b∖-y∕(^b-c)-∖a+b.

bcOα

【分析】(1)根据数轴可得a,b,C的符号、大小及绝对值的大小可得此题结果；

(2)利用(1)题结果进行化简即可.

【解答】解:(1)由数轴可得，a>c>b,且㈤>∣a∣>∣c∣,

.,.a-b>0,b-CV0,a+⅛<0.

故答案为：>,<,<:

(2)由第(1)题结果可得，

la-/?-yj(,b—c)2—a+b∖

=a-h+b-c+a+b

-2a+b-c.

【点评】此题考查/利用数轴进行实数的比较和化简能力，关键是能运用数形结合思想

得到实数的相关信息.

24∙(2022春•兴化市月考)先阅读材料，然后回答问题.

(1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简泗-2低

经过思考，小张解决这个问题的过程如下：

√5-2√^=j2-+3①

=J(√2)2-2√2×√3+(√5)2②

=J(√2-√5)2③

=√2-√3(4)

在上述化简过程中，第④步出现了错误,化简的正确结果为一遮

(2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简①/9—4西；②J8+4®

【分析】(1)根据材料思考二次根式的化简对于后的形式，先化为㈤再求结果;

(2)根据(1)中的材料化筒①②.

【解答】解：(1)泗-2乃=-2√ΣV^用①

=J(√Σ)2-2√2×√3+(√3)2(g)

vɜ—V2.

故答案为：④；λ∕3—V2；

①原式=

(2)J(√5)2-(√¾-2×2×√5

-J(Λ∕5—√4)2

=V5-2；

②58+46

=√2+√6.

【点评】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握被开方数化成完全平方的形式，利用

二次根式的性质进行化简是解题的关键.

25.(2022春•灌云县期末)√滔=Ial是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答以下

问题:

(1)化简：√F如=3_，、"3—ττ)2=π-3；

(2)已知实数”,b,C在数轴上的对应点如图所示，化简-∣c-α∣+J(b—c)2.

-----•----•----•------•---►

abOc

【分析】(1)根据二次根式的性质进行求解即可；

(2)由数轴可得“<6<0<c,从而可得c-a>O,b-c<0,再进行化筒即可.

【解答】解：(1)√(-3)2

=I-31

=3,

√(3-τr)2

=∣3-πI

=H-3,

故答案为：3,π-3；

(2)由数轴得：a<h<O<cf

Λc-a>O,b-CV0,

・•・-∣c-d∣+√(b-c)2

=-(c-a)+c-b

=-c+α+c-b

=a-b.

【点评】本题主要考查二次根式的化简，数轴，解答的关键是对相应的知识的掌握.

26.(2022春•仪征市期末)对实数α,b,定义：aΛb^a2b-ab+b,如：3∙2=32χ2-3X

2+2=14.

(1)求(-3)∙√Σ的值；

(2)若2■机<-6,试化简：√(m+2)2+√m2.

【分析】(1)原式利用题中的新定义计算即可求出，

(2)利用题中的新定义求出机的范围，再化简即可.

【解答】(1)(-3)H√2=(-3)2×√2-(-3)×√2+√2=9√2+3√2+√2=13√2.

(2),.'2Um<-6,

/.Am-2m+m<-6,

.*./?/<-2.

2

.*.λ∕(τn÷2)+ʌ/mɪ=—tn-2-m=-2m-2.

【点评】此题主要考查了实数运算，正确将原式变形是解题关键.

27.(2022秋•姑苏区校级期中)己知实数X,y满足y=√x—13+√13—X+5,求：

(1)X与y的值；

(2)/的平方根.

【分析】(I)根据二次根式的被开方数是非负数求出X的值，进而可以得到y的值；

(2)求出代数式的值，再求平方根即可.

【解答】解：⑴根据题意得：x-1320,13-χN0,

Λx=13,

∙∖y=5;

(2)jr-y2

=132-52

=169-25

=144,

144的平方根为±12,

.∙.∕-y2的平方根为±]2.

【点评】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的

关键.

28.(2023春•海门市月考)已知2χ-4与3χ-1是α的平方根，√b-3与Ic+21互为相反数,

d=>Je—2+√2—e—3.求a+b+c+d+e的平方根.

【分析】根据二次根式的性质以及有意义的条件、平方根的性质、相反数的性质、绝对

值的非负性解决此题.

【解答】解：由题意得，2x-4+3x-1=0或Zr-4=3x-I,√b-3+c+2∣=0.

；.x=l或-3,b=3,C—-2.

.∙.3χ-1=2或-10.

.∖α=4或100.

,.*d=y/e—2+√2—e—3,

.∙.e-220,e-2-0.

.'.e=2.

'.d=√e-2+√2-e-3=-3.

...α+Z>+c+d+e=4+3+(-2)+(-3)+2=4或a+b+c+d+e=100+3+(-2)+(-3)+2=

100.

.,.a+b+c+d+e的平方根是±2或±10.

【点评】本题主要考查二次根式、平方根的性质、相反数、绝对值，熟练掌握二次根式

的性质以及有意义的条件、平方根的性质、相反数的性质、绝对值的非负性是解决本题

的关键.

29.(2022春•海州区校级期末)材料：如何将双重二次根式Ja±2&(4>0,b>Q,a±2√6

>0)化简呢？如能找到两个数加，〃(m>0,及>0),使得(√^i)2+(√n)2=a,即相+〃

=〃，且使诉I∙Vn=Vb,即m∙n=b,那么α±2Vh=(ʌ/m)2+(Vn)2±2Vm∙Vn=(Vm

±√n)2Λ√α±2√h=∣√πi±√n∣,双重二次根式得以化简.

例如化简：√3±2√20⅛3=1+22=1×2Λ3±2√2=(√1)2+(√2)2±2√1×√2

，3±2&=∣1+V2I.

由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成Ja土2伤的形式,且能找到〃?，〃(”>0,

〃>0)使得帆+〃=〃，且那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式.

请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：

(1)填空：√5±2√6=-√3⅛√2-,√12±2√35=_夕±小_;

(2)化简：√9±6√2;

(3)计算：√3—V5+√2+√3.

【分析】(1)仿照阅读材料，把被开方数变形成完全平方式，即可得答案；

(2)把6√Σ变形成2g,仿照阅读材料的方法可得答案；

(3)将病变形成2电,6变形成2电，再把被开方数变形成完全平方式，即可算得答

案.

【解答】解：(1)√5±2√6=J(√3±√2)2=√3±√2,√12+2√35=J(√7±√5)2=√7

+√5,

故答案为：√3+√2,√7÷√5i

(2)√9±6√2=√9±2√18=/(√6±√3)2=√6±√3;

(3)√3-√5÷√2+√3

同+乃

-2-

同理可得二泥+√2^=同+『姓.

【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是读懂题意，能仿照阅读材料将被开方

数变形乘完全平方.

30.（2021春•工业园区校级期末）观察下列各式:

请你根据上面三个等式提供的信息，猜想:

（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n为正整数）表示的等式:

ɪ+n2+（n+l）2^1+k（u+l）-，

（3）利用上述规律计算：、傻+＞（仿照上式写出过程）

【分析】（1）根据提供的信息，即可解答；

（2）根据规律，写出等式；

（3）根据（2）的规律，即可解答.

【解答】解：⑴Il+-7+-?