2023年四川省达州市中考数学试题（含答案解析）

达州市2023年高中阶段学校招生统一考试暨初中学业水平考试

数学

本考试为闭卷考试，考试时间120分钟，满分150分.本试卷分为第I卷（选择题）和第∏卷

（非选择题）两部分，共8页.

第I卷（选择题共40分）

一、单项选择题（每小题4分，共40分）

1.一2023的倒数是（）

2.下列图形中，是长方体表面展开图是（）

3.某市政府在2022年着力稳定宏观经济大盘,全市经济发展取得新成效,全年生产总值实现2502.7亿

元.数据2502.7亿用科学记数法表示为（）

A.2502.7×10iiB.2.5027×10"C.2.5027×1O,°D.2.5027×103

4.一组数据2,3,5,2,4,则这组数据众数和中位数分别为（）

A.3和5B.2和5C.2和3D.3和2

5.如图，AE//CD,AC平分NBCZ),N2=35°,NO=60。则Ng=()

A.52°B.50°C.45°D.25°

6.下列计算正确的是（)

A.a+a1=aiB.a2-a3=a6C.(2α3⅛)3=6a9b3D.aβ÷α4=a1

7.某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱,也是馈赠亲友的尚佳礼品，首批“脆红李”成熟后，当地某电商

用12000元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用IlooO元购进第二

批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40

件，求购进的第一批“脆红李”的单价.设购进的第一批“脆红李”的单价为X元/件，根据题意可列方程为

I

120∞11000C12000C11000

A.--------=-----------4Z0IB.----------4Z0I=--------

Xx-5Xx+5

-12000C11000110∞C12000

C.--------+40=---------D.--------+4Z0I=---------

x+5XXx—5

8.下列命题中，是真命题的是（）

A.平行四边形是轴对称图形

B.对角线互相垂直的四边形是菱形

C.到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

D.在./BC中，若NC=3:4:5,则=ABC是直角三角形

9.如图，四边形ABe。是边长为T的正方形，曲线D44GR4是由多段90°的圆心角的圆心为C,半径

为eg；CQ的圆心为o,半径为。G,Z）A、A4、8£、Ca的圆心依次为A、B、a。循环，则

）

ɑ2023万

A.B.20234D.2022兀

2,4

10.如图，抛物线y=0γ2+0x+c（α,4c为常数）关于直线x=l对称.下列五个结论：①次（＞0；②

2a+b-0;③4a+2Z>+c>0；④am*+b，n>a+b；⑤3α+c>0.其中正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

第π卷（非选择题共110分）

二、填空题（每小题4分，共20分）

2

H.函数y=-^―的自变量X的取值范围是________.

VX—1

12.已知牛当是方程2丁+乙一2=0的两个实数根，且（％—2）（9-2）=10,则左的值为.

13.如图，乐器上的一根弦AB=80cm,两个端点AB固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分

割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，C,D之间的距离为.

2

2

14.如图，一次函数y=2x与反比例函数y=—的图象相交于A3两点，以AB为边作等边三角形ABC,

X

若反比例函数y=-的图象过点C,则％的值为.

X

15.在一ABC中，AB=4石，NC=60°,在边BC上有一点P,且BP=IAC,连接AP,则AP的最

小值为.

三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤(共90分)

16.(1)计算：√12+I^l-(2∞3-Æ)0-2cos30o；

(2)先化简，再求值；∖a+2—一∖]÷其中。为满足0<“<4的整数.

ka-2)2α-4

17.在深化教育综合改革、提升区域教育整体水平的进程中，某中学以兴趣小组为载体，加强社团建设，艺

术活动学生参与面达1(X)%,通过调查统计，八年级二班参加学校社团的情况(每位同学只能参加其中一

项)：A.剪纸社团，B.泥塑社团，C.陶笛社团，D.书法社团，E.合唱社团，并绘制了如下两幅不完整

的统计图.

(1)该班共有学生_________人，并把条形统计图补充完整；

(2)扇形统计图中，m=,〃=,参加剪纸社团对应的扇形圆心角为_______度；

(3)小鹏和小兵参加了书法社团，由于参加书法社团几位同学都非常优秀，老师将从书法社团的学生中选取

2人参加学校组织的书法大赛，请用“列表法”或“画树状图法”，求出恰好是小鹏和小兵参加比赛的概

率.

18.如图，网格中每个小正方形的边长均为1,ABC的顶点均在小正方形的格点上.

3

（O将一ABC向下平移3个单位长度得到^A4G,画出

（2）将./3C绕点C顺时针旋转90度得到443G,画出AA2AC?;

（3）在（2）的运动过程中请计算出ABC扫过的面积.

19.莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱.如图所示，秋千链子的

长度为3m,当摆角/80C恰为26。时，座板离地面的高度为0.9m,当摆动至最高位置时，摆角

/AOC为50°，求座板距地面的最大高度为多少m?（结果精确到0.1m；参考数据：sin26o≈0.44,

cos26o≈0.9.tan26o≈0.49.sin50o≈0.77,cos50o≈0.64,tan50o≈1.2）

20.如图，在Rtz∖ABC中，/ACB=90°,AB=5,BC=亚・

（1）尺规作图：作/84C角平分线交BC于点P（不写做法，保留作图痕迹）；

（2）在（1）所作图形中，求ABP的面积.

21.如图，ABCJAB。内接于，O,AB=BC,P是OB延长线上的一点，ZPAB=ZACB,AC.BD

相交于点E.

4

(I)求证：AP是(。的切线；

(2)若BE=2,DE=4,ZP=30°,求AP的长.

22.某县著名传统土特产品“豆笋”、“豆干”以“浓郁豆香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜

爱.已知2件豆笋和3件豆干进货价为240元，3件豆笋和4件豆干进货价为340元.

(1)分别求出每件豆笋、豆干的进价；

3

(2)某特产店计划用不超过10440元购进豆笋、豆干共200件，且豆笋的数量不低于豆干数量的二，该特

2

产店有哪几种进货方案？

(3)若该特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元，在(2)的条件下，怎样进货可使该特产店

获得利润最大，最大利润为多少元？

23.【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流

大小，完成控制灯泡L(灯丝的阻值RL=2。)亮度的实验(如图)，已知串联电路中，电流与电阻R、R1

1212

(2)【探究】根据以上实验，构建出函数y=--(x>0),结合表格信息，探究函数y=一(xN0)的

x+2x+2τ

图象与性质.

12

①在平面直角坐标系中画出对应函数y=m(χ≥o)的图象：

7

6

5

4

3

2

②随着自变量X的不断增大，函数值y的变化趋势是

5

123

（3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当x≥0时，一^≥-=x+6的解集为________

x+22

24.如图，抛物线,=必2+笈+°过点4（-1,0）,3（3,0）,。（0,3）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点P是直线BC上方抛物线上一点，求出一PBC的最大面积及此时点尸的坐标；

（3）若点”是抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，是否存在以BC为边，点3、aM.N

为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

25.（1）如图①，在矩形ABCz）的AB边上取一点E，将VADE沿。E翻折，使点A落在BC上A'处，若

AB=6,BC=IO,求士的值:

图①图②图③

（2）如图②，在矩形ABS的BC边上取一点E,将四边形ABEO沿DE翻折，使点B落在QC的延长线

上6'处，若5C∙CE=24,A5=6,求BE的值；

（3）如图③，在乙ABC中，ZBAC=45o,AT>±BC,垂足为点0,AO=10,AE=6,过点E作

EFIAD交AC于点F,连接。尸，且满足NOEE=2NZMC,直接写出8D+gκ∕的值

6

参考答案

第I卷（选择题共40分）

一、单项选择题（每小题4分，共40分）

1.【答案】C

【分析】根据相乘等于1的两个数互为倒数，即可求解.

【详解】解：-2023的倒数是一——,

2023

2.【答案】C

分析】根据长方体有六个面，以及Z字型进行判断即可.

【详解】解：A中展开图有7个面，不符合要求；

B中展开图无法还原成长方体，不符合要求；

C正确，故符合要求；

D中展开图有5个面，不符合要求，

3.【答案】B

【分析】科学记数法的表示形式为αX10"的形式，其中l≤∣α∣<10,W为整数.确定〃的值时，要看把原数

变成。时，小数点移动了多少位，"的绝对值与小数点移动的位数相同.

【详解】解：2502.7亿元=2502700000∞元

250270000000=2.5027×10"

4.【答案】C

【分析】根据众数和中位数的概念求解.

【详解】解：将数据重新排列为2,2,3,4,5,

所以这组数据的众数为2,中位数3,

5.【答案】B

【分析】根据平行线的性质得出N1=N2=35°,再由角平分线确定NBCD=70°,利用三角形内角和定理求

解即可.

【详解】解：∙..AE"CD,

Nl=/2=35。，

,/AC平分NBCO,

/.NBCD=2/1=70°,

,//0=60°,

NB=180。—NfiCr）—ND=5（）。，

6.【答案】D

【分析】分别利用合并同类项、同底数幕的乘法、积的乘方和基的乘方、同底数基的除法运算法则逐项判断即

可作出选择.

7

【详解】解：A、。与“2不能合并，故本选项计算错误，不符合题意;

B、a2-a3=a5,故本选项计算错误，不符合题意；

C、仅成丫=8/凡故本选项计算错误，不符合题意;

642

D、a÷a=a,故本选项计算正确，符合题意.

7.【答案】A

【分析】设购进的第一批“脆红李”的单价为X元/件，则购进第二批“脆红李”的单价为(x-5)元/件，根据

购进的第二批这种“脆红李”比第一批多购进了40件，列出方程即可.

【详解】解：设购进的第一批“脆红李”的单价为X元/件，则购进第二批“脆红李”的单价为(x-5)元/

件，根据题意得:

1200011000,八

----------40故A正确.

XX—5

8.【答案】C

【分析】根据平行四边形的性质及菱形的判定、垂直平分线的性质、三角形内角和定理依次判断即可.

【详解】解：A、平行四边形是中心对称图形，选项是假命题，不符合题意；

B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，

C、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，是真命题，符合题意；

D、设NZA=3x,N3=4x,∕C=5x,

：三角形内角和为180°,

3x+4x+5x=180°，

.∙.χ=15o

∙∙∙5x=75°,则一ABC为锐角三角形，

该选项为假命题，不符合题意.

9.【答案】A

【分析】曲线D4由G24…是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+；,得到

AQT=A4=4χg("-l)+g,%,=B纥=4x；(〃-1)+1,得出半径，再计算弧长即可.

【详解】解：由图可知，曲线DAgGAA2…是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+；,

13

AD=AA=-,BAl=BBI=1,CB=CC,=-,DC=DD=2,

t22111

13

AD1=A42=2+-,BA2=BB2=2÷1,CB2=CC2=2÷pDC2=DD2=2+2,

8

ADn^=AAn=4xg(〃-l)+g,BA11=BBn=4xg(n7)+l,

故‰‰的半径为％。23=β‰=4×∣×(2023-1)+1=4045,

…一,904045

&)23/3的弧长=丽X4045»=­n.

IoUZ

10.【答案】B

【分析】由抛物线的开口方向、与y轴交点以及对称轴的位置可判断0氏C的符号，由此可判断①正确；

由抛物线的对称轴为x=l,得到-2=1,即可判断②；可知x=2时和X=O时的y值相等可判断③正确;

2a

由图知X=I时二次函数有最小值，可判断④错误；由抛物线的对称轴为尤=1可得人=—2。，因此

y=ax2-2ax+c,根据图像可判断⑤正确.

【详解】①抛物线的开口向上，

.∙.1>0.

Y抛物线与y轴交点在y轴的负半轴上，

.∙.c<0.

b

由---->O得，Z?<O,

2a

二.abc>O,

故①正确；

②抛物线的对称轴为x=l,

.∙.-A=ι,

2a

∙*∙h--2a，

∙∙∙2α+h=0,故②正确；

③由抛物线的对称轴为x=l,可知X=2时和尤=O时的)，值相等.

由图知x=()时∙，y<0,

.∙.x=2时，y<0.

即4a+2b+c<0.

故③错误；

④由图知X=I时二次函数有最小值，

.∖a+h-}-c≤am2+bm-∖-c，

.∖a+h≤am2+bm，

a+h<m(ax+⅛),

故④错误；

9

h

⑤由抛物线的对称轴为X=1可得-一二1,

2a

:.b=-2a,

.∙.y=ax1-2ax+c,

当X=-I时，y=a+2a+c=3a+c.

由图知X=-I时y>0,

.∙.3Q+C>0.

故⑤正确.

综上所述：正确的是①②⑤，有㈠个，

第π卷(非选择题共UO分)

二、填空题(每小题4分，共20分)

11.【答案】x>l

【详解】分析：一般地从两个角度考虑：分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中

同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分.

解答：解：根据题意得到：X-I>0，

解得x>1.

12.【答案】7

【分析】根据根与系数的关系求出占+々与玉Z的值，然后整体代入求值即可.

［详解】%,,x2是方程2炉+乙一2=0的两个实数根，

.bkc-2

∙∙X∣+%2==，X∣%2=-==-ɪf

a2a2

V(xl-2)(x2-2)=10,

.∙.xlx2-2x1-Ix1+4=10,

x1x2-2(玉+/)-6=0,

一1—2x(一升6=0,

解得k=7.

13.【答案】(80√5-160)cm

【分析】黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比.其

比值是一个无理数，用分数表示为正二ɪ,由此即可求解.

2

【详解】解：弦AB=80cm,点C是靠近点B的黄金分割点，设3C=x,则AC=80-x,

.∙∙吐土=避二L解方程得，x=120-40√5，

802

10

点。是靠近点A的黄金分割点，设AO=y,则80=80—y,

.∙.四二»=避二ɪ,解方程得，y=120-40√5,

802

.∙.C,。之间的距离为80-x-y=80-120+40b一120+40褥=806—160,

14.【答案】—6

y=2x

【分析】过点A作ADLX轴交X轴于点。，过点。作CEL尤轴于点E,连接OC,首先联立J2求出

y=一

X

A(l,2),B(-l,-2),然后利用勾股定理求出AO=BO=6，OC=>]AC3-OAr=√15-然后证明出

NOCE^NAOD,利用相似三角形性质得到CE=√J,OE=2邪，最后将(一2石,石)代入y=f求解

即可.

【详解】如图所示，过点4作X轴交X轴于点O,过点C作CE,X轴于点E,连接OC，

2

Y一次函数y=2%与反比例函数y=—的图象相交于AB两点,

X

y=Ix

2

・・・联立《2，即2工=一，

y=-X

、X

，解得x=±l,

ΛA(l,2),B(-l,-2),

/.OD=∖,AD=2,

∙'∙OA-Vl2+22=Λ∕5'

AO=Bo=B

•••△ABC是等边三角形，

ΛCOYAB,ZACO=ZBCO=-ZACB=30°,

2

；•AC=2OA=2√5，

11

OC=y∣AC2-OA2=√15，

∙∙∙∕AOC=90°,

.∙.ZAoD+NCOE=90。，

∙.∙ZAr)O=90°,

.∙.ZAOD+ZOAD=90o,

：.NOAD=NCOE,

又∙.∙NeEO=NoD4=90。，

.∙.NoCE尔AoD，

.OCCEOEnrl√15CEOE

••==，HlJ—f=-=-，

AOODAD√512

解得CE=√J,OE=2有，

点C的坐标为卜26,6)，

；♦将/ɔ代入y——得，k=-26X币=—6.

15.【答案】2而-2

【分析】如图，作ABC的外接圆，圆心为"，连接AA/、BM、CM,过M作Mr>_LAB于O,过B作

BNIAB,交5P的垂直平分线于N,连接AN、BN、PN,以N为圆心，BN(PN)为半径作圆；结合

圆周角定理及垂径定理易得AM=BM=CM=4,再通过圆周角定理、垂直及垂直平分线的性质、三角形

内角和定理易得/4MC=NPg，从而易证qAΛ∕C二PNe可得C"=AC=Z即PN=』CM=2勾股定理即

PNPB12

可求得AN=2在二APN中由三角形三边关系AP≥AN-PN即可求解.

【详解】解：如图，作一ASC的外接圆，圆心为M,连接AM、BM、CM,过M作用DLAB于。，过

B作BNLAB,交BP的垂直平分线于N,连接AN、BN、PN,以N为圆心，BN(PN)为半径作圆；

∙NC=60°,M为一ABC的外接圆的圆心，

.∙.ZAΛ∕B=120o.AM=BM，

.∙.ΛMAB=ZMBA=30°,

MDAM,

2

MDlAB,

AD=^AB=2y∣3,

在RtZSAOM中，

AM2MD2+AD2<

12

∙∙.AM2=（;AMJ+仅⑹2，

「.AM=4,

即ΛM=8Λ∕=CM=4,

由作图可知BN，”，N在3尸的垂直平分线上，

o

..ZPBN=ZBPN=QO-ZABCf

NPNB=180o-（ZPBN+ZBPN）=2AABC,

又∙M为.A3C的外接圆的圆心，

.∖ZAMC=2AABC1

:.ZAMC=4PNB,

CMAM

~PN~~BNf

.∖^AMC_PNB,

.CMAC

''~PN~~PBy

BP=-AC,

2

CMAC2

/.=——=-，

PNPB1

即PN=-CM=2,

2

:.PN=BN=2,

在RtZXABN中，

222

AN=√AB+BN="4可+2=2√13,

在，APN中，

AP≥AN-PN=2岳-2,

即AP最小值为2JB-2,

三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分）

16.【答案】（D√3+3（2）-2«-6,-8

【分析】（1）先将二次根式及绝对值、零次嘉、特殊角的三角函数化简，然后进行加减运算即可;

（2）根据分式的运算法则化简，然后选择合适的值代入求解即可.

详解】解：（1）√12+I^l-（2003-π）°-2cos30o

=2√3+4-l-2×y^

=2√3+3-^^

13

=ʌ/ɜ÷3;

⑵(a+2—--3-Q

Iα—22a-4

QQ2)—52(cι—2)

=-(--+--2-)(--------×-------

Q—23-Q

a1-92(«-2)

=---------X-------------

U—23—Ci

2(Q+3)(α—3)

一3≡Σ

=—2a—6

为满足0<“<4的整数且。一2#0,3-。#0,

.∙.a≠2,a≠3,

，取α=l,原式=—2χ1—6=—8.

17.【答案】(1)50,详见图示；

(2)20.10,144；

⑶—；

10

【分析】（1）利用C类人数除以所占百分比可得调查的学生人数；用总人数减去其它四项的人数可得到D的

人数，然后补图即可；

（2）根据总数与各项人数比值可求出机，〃的值，A项目的人数与总人数比值乘360°即可得出圆心角的度数；

（3）画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出恰好选中小鹏和小兵的结果数，然后利用概率公式求

解.

【小问1详解】

本次调查的学生总数：5÷10%=50（人），

D、书法社团的人数为：50—20—10—5—10=5（人），如图所示

Aλtt

图1

故答案为：50；

【小问2详解】

由图知，10÷50=20%,5÷50=10%,20÷50×360o=144°,

14

.∙.加=20,〃=10,参加剪纸的圆心角度数为144。

故答案为：20,10,144

【小问3详解】

用A8,C,D,E表示社团的五个人，其中A,8分别代表小鹏和小兵树状图如下:

开始

共20种等可能情况，有（AB）,（8,A）2种情恰好是小鹏和小兵参加比赛,

21

故恰好选中小鹏和小兵的概率为二二二

2010

18.【答案】（1）见解析（2）见解析

/、5+5万

(3)-----

2

【分析】（1）先作出点力、B、C平移后的对应点4，Bi、C1,然后顺次连接即可;

（2）先作出点A、8绕点C顺时针旋转90度的对应点4,B2,然后顺次连接即可;

9Q?×(√iθ)2

（3）证明JlBC为等腰直角三角形，求出SABC=LABxBC=*,q=出_,根据旋

22J扇形

C½Λ3602

转过程中—ABC扫过的面积等于_ABC的面积加扇形C44∣的面积即可得出答案.

【小问1详解】

解：作出点A、B、C平移后的对应点4，用、C1,顺次连接，则4AgG即为所求，如图所示:

【小问2详解】

解：作出点A、B绕点C顺时针旋转90度的对应点4,B2,顺次连接，则G即为所求，如图所示:

【小问3详解】

15

解：「==，AC=ʌ/ɜ2÷12=ʌ/lθ,BC=Vl2÷22=Λ∕5,

，AB=BC,

v(√5)2+(√5)2=ιo=(√io)2.

∙,∙AB2+βC2=AC2，

∙∙∙.ABC为等腰直角三角形，

∙,.SAaC=-AB×BC=—,

abc22

根据旋转可知，NACa=90。，

=竺回上，

扇形c∕v⅜23602

在旋转过程中.ABC扫过的面积为S=Sabc+S^caa2=^γ--

19.【答案】座板距地面的最大高度为1.7m.

【分析】过点A作AjD_LMN于点。，过点A作AE_LQN于点E,过点8作B尸J_ON于点凡利用26。

和50°的余弦值求出QE=QB∙cos26o=3×0.9=2.7m,OE=Q4∙cos50°=3χ0.64=1.92m,然后利

用线段的和差和矩形的性质求解即可.

【详解】如图所示，过点A作A。！.MN于点。，过点A作AE_LON于点E,过点B作BEJ_ON于点

由题意可得，四边形BMNF和四边形硒D4是矩形,

：.FN=BM=0.9m,EN=AD,

Y秋千链子的长度为3m,

∙'∙OB=OA—3m,

∙.∙ZBOC=26o,BF±ON,

.∙.OF=OBcos26o=3×0.9=2.7m,

.∙.ON=Of'+/W=2.7+0.9=3.6m,

VZAOC50°,AEA.ON,

.∙.OE=O4∙cos50°=3x0.64=L92m,

.,.ETV=ON—QE=3.6-1.92=1.68m,

16

∙*.AD=EN=1.68m≈1.7m.

・•・座板距地面的最大高度为1.7m.

20.【答案】（1）见解析⑵SAPB=当~

【分析】（I）以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AB，在以两交点为圆心，以大于它们T长度为

半径画弧，交于一点，过A于该点做射线交BC于点P,则AP即为所求；

（2）过点P作AB，根据Sacb=Sacp+Sapb和题中条件可求出的面积，再结合角平分线的

性质即可求解.

【小问1详解】

解：以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AB，在以两交点为圆心，以大于它们T长度为半径画

弧，交于一点，过A于该点做射线交BC于点P,则AP即为所求.

【小问2详解】

解：过点尸作PD_LAB，如图所示，

YZACB=90o,AB=5,BC=亚,

•••AC=^52-(√21)2=2，

•ς—qɪς

•∙UACB-°ACPTUAPB'

∙.∙S4CB=gXAC/BC=；X2X-Jli-,

：.-×AC×PC+-×AB×PD=JTi,即Lχ2χPC+Jχ5χPO=√ΣT,

2222

,.∙PC=PD,

,PD=返,

7

•C-IΛDnn-ɪ2向_5旧

apb2277

21.【答案】(1)证明见解析

(2)6

【分析】(1)由AB=BC,OB为半径，可知O8_LAC,NC48=NAC8,则NCAB+NABO=90°,

17

ZACB+ZABO=90°,ZPAB+ZABO=90°,如图1,连接Q4,由Q4=QB,可得

ZOAB=ZABO,则N∕¾5+NQ45=90°,即NOAP=90°,进而结论得证；

（2）如图2,记。8与AC交点为M,连接。。，过。作ONLDB于N,证明一ABO是等边三角形，则

AB=OB=OA,ZABM=60。，设Oo半径为〃，则JBM=ABeoS二工人由03=8,

2

[Jr¾Ajfy¼τr^ɪ

ONVDB,可得BN=LBD=3,证明,BMES,3NO,则且一=—,即2,解得『=2△或

2BNBoq=一

3r

n∆

r=-2√3（舍去），根据AP=---------,计算求解即可.

tanNP

【小问1详解】

解：如图，连接。4,OC,

-AB=BC'

.∙.ZAOB=ZCOB,

：.OBLAC,由等边对等角可得NC4B=ZACB,

ZCAB+ZABO=90°,

：.ZACB+ZABO=90°,

•：ZPAB=ZACB,

.∙.ZPAB+ZABO=9Q°,

'：OA=OB,

：.ZOAB^ZABO,

：.ZPAB+ZOAB=90°,即ZOAP=90°,

又∙.∙Q4是半径，

AP是。。的切线;

【小问2详解】

18

解：如图2,记OB与AC交点为M,连接0Q,过。作ONLDB于N,

-：NP=30。，

ZAOP=60°,

ABO是等边三角形，

.∙.AB=OB=OA,ZABM=60°,

设。。半径为，

,/AMYBM,

：.BM=AB-cosAABM=-r,

,：OB=OD,

：.BOr）是等腰三角形,

又•：ON工DB,

,：ZBME=4BNO=90o,/EBM=ZOBN,

：.JBMES_BNO,

*'•―――»即2’2,解得r=26或厂=—（舍去）,

RMRC--V

3r

:.AP的长为6.

22.【答案】（1）豆笋、豆干的进价分别是60元/件，40元/件

（2）有3种进货方案：豆干购进78件，则豆笋购进122件；豆干购进79件，则豆笋购进121件；豆干购进80

件，则豆笋购进120件

19

(3)购进豆干购进78件，则豆笋购进122件，获得最大利润为3610元

【分析】(1)设豆笋、豆干的进价分别是“元/件、b元/件，根据等量关系列出方程组，解方程组即可；

(2)设豆干购进〃件，则豆笋购进(200-〃)件，根据不等关系列出不等式组，解不等式组，再根据〃取整

数，即可求得进货方案；

(3)设总利润为W元，豆干购进”件，求得W关于X的函数关系式为W=—5〃+4(XX),根据一次函数的性

质即可求得总利润最大的进货方案.

【小问1详解】

解：设豆笋、豆干的进价分别是4元/件、b元/件，

2a+3b=240fα=60

则《，解得《，

[3a+4b=34Q[⅛=40

故豆笋、豆干的进价分别是60元/件，40元/件.

【小问2详解】

设豆干购进n件，则豆笋购进(2(X)-〃)件，

40H+60(200-Π)≤10440

200-n≥-n

I2

解得78≤“≤80,

；.〃=78时，200—〃=122,即豆干购进78件，则豆笋购进122件，

〃=79时，2(X)—〃=121,即豆干购进79件，则豆笋购进121件，

〃=80时，200-〃=120,即豆干购进80件，则豆笋购进120件.

【小问3详解】

设总利润为W元，豆干购进n件，

则W=(55-40)〃+(80-60)(200-〃)

=-5∕ι+4000(78≤∕≤80且〃为整数)，

∙∙∙-5<0,

当78≤"W80时，W随〃的增大而减小，

当〃=78时，卬取最大值，为W=-5χ78+4000=3610∙

此时，购进豆干购进78件，则豆笋购进122件，获得最大利润为3610元.

23.【答案】(1)2,1.5

(2)①见解析；②函数值V逐渐减小

(3)x≥2或X=O

【分析】(1)根据解析式求解即可；

(2)①根据表格数据，描点连线画出函数图象；②根据图象可得出结论；

(3)求出第一象限的交点坐标，结合图象可得结论.

20

【小问1详解】

12

解：由题意，/=-----,

R+2

12

当/=3时，由3=-----得a=2,

tz+2

当R=6时，b=I2=1.5,

6+2

故答案为：2,1.5；

【小问2详解】

1ɔ

解：①根据表格数据，描点、连线得到函数y=S^(χ≥O)的图象如图:

②由图象可知，随着自变量X的不断增大，函数值y逐渐减小，

故答案为：函数值逐渐减小；

【小问3详解】

3

解：当χ=2时，y=--×2+6=3,当X=O时∙，y=6,

193

函数y=7*(X≥0)与函数＞=一：》+6的图象交点坐标为(2,3),(0,6),

3

在同一平面直角坐标系中画出函数y=-jχ+6的图象，如图，

21

123

即当x≥0时，-~τ≥-=x+6的解集为χN2或X=0，

x+22

24.【答案】（1）y=-x2+2x+3

27（315、

（2）.PBC的最大面积为一，P∖

8U4J

⑶存在，'（2,2）或卜,、何或卜,一折）或（一2,如+3）,（-2,-ΛA4+3）,见解析

【分析】（1）利用待定系数法代入求解即可；

（2）利用待定系数法先确定直线BC的解析式为y=-尤+3,设点P（Xf+2x+3）（0<x<3）,过点P作

PO,X轴于点。，交BC于点E,得出PE=—f+3χ,然后得出三角形面积的函数即可得出结果；

（3）分两种情况进行分析：若BC为菱形的边长，若BC为菱形的对角线，分别利用菱形的性质及全等三角

形的判定和性质求解即可.

【小问1详解】

解：将点4（一1,0）,3（3,0）,。（0,3）代入解析式得：

a-b+c=O

<9。+3Z?+C=O,

c=3

a=-1

解得：3=2,

。二3

・・・抛物线的解析式为y=-√÷2x+3;

【小问2详解】

设直线BC的解析式为y=丘+。，将点8、C代入得：

22

'3k+b=Q

'b=3'

k——ɪ

解得：1'

[b=3

∙∙.直线BC的解析式为y=-x+3,

V8(3,0),

OB=3，

设点P(X,-χ2+2χ+3)(0<χ<3),过点P作PDLX轴于点交8C于点E,如图所示:

.φ.E(x,-x+3),

PE——f+2χ+3—(—X+3)=—%?+3x,

I1ɔQQ/

=-×PE×OB=-×(-x2+3x)×3=——X2+-X=——x——+—,

22`,222(2j8

327

・・.当冗=7时，PBC的最大面积为—，

2o

-x2÷2x+3=-----F3+3=—，

44

【小问3详解】

存在，N(2,2)或(4,炳)或(4,一旧)或卜2,TiZ+3),卜2,—JiZ+3),证明如下:

V8(3,0),C(0,3),

V抛物线的解析式为y=+2χ+3,

.'・对称轴为：x=l,

设点M(IJ),N(x,y),

若BC为菱形的边长，菱形BCMN,

mBC2=CM2,即18=F+(33)2,

23

解得：tl=√Π+3,t2=-√Γ7+3,

3+1=0+x

[θ+∕=3+y,

・•・x=4,y=，一3,

.∙.^Vl(4,√Γ7),7V2(4,-√∏);

若BC为菱形的边长，菱形BCNM,

则8。2=期2,即18=(3—if+*，

解得：G=V14»Z2=—5/14»

3+x=0+1

[θ+y=3+，'

・•・X=-2,y=3+Z,

Λ(-2,√14+3),/V4(-2,-714+3)；

若BC为菱形的对角线，

3+0=x÷l

0+3=y+t'

.∙.X=2,y=3—t,

-BM2=CM2,即22+∕=ι2+(3-f)2,

解得：t=↑,

.∙.y=3—1=2,

.∙.N5(2,2);

525

25.【答案】(1)-；(2)5；(3)—

43

【分析】(1)由矩形性质和翻折性质、结合勾股定理求得A'3=2,设A£=4E=X则

BE=AB-AE=6—X，RLABE中利用勾股定理求得X=W,则AE=W,6E=6—W=§,进而求

3333

解即可；

(2)由矩形的性质和翻折性质得到NEB'C=NB'D4',证明_£8'。6二37)4,利用相似三角形的性质求得

BC=4,则87)=10,在RrABZ)中，利用勾股定理求得40=8,

进而求得BC=8,CE=3可求解；

(3)证明2\/4£/64仞。得到。。=9£；/，则5。+9后口=8。+O)=