物理人教版必修2学案5-4圆周运动

4圆周运动知识点一描述圆周运动的物理量1．线速度(1)物理意义：描述质点沿圆周运动(通过弧长)的快慢．(2)定义：质点沿圆弧通过的弧长与所用时间的比值，叫做线速度．(3)公式：v＝eq\f(Δs,Δt).(4)方向：质点在圆弧某点的线速度方向，沿圆弧该点的切线方向．2．匀速圆周运动物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫做匀速圆周运动．3．角速度(1)物理意义：描述质点绕圆心转动(扫过角度)的快慢．(2)定义：质点与圆心连线扫过的角度与所用时间的比值，叫做角速度．(3)公式：ω＝eq\f(Δθ,Δt).(4)单位：国际单位制中角度的单位是弧度，符号是rad；角速度的单位是弧度每秒，符号是rad/s或rad·s－1.4．转速与周期(1)转速n：转速是指物体单位时间转过的圈数，单位为转每秒(r/s)或转每分(r/min)．(2)周期T：做匀速圆周运动的物体，转过一周所用的时间叫周期．(3)周期T与转速n的关系：T＝eq\f(1,n)(式中n的单位使用r/s)．直线运动的速度公式是v＝Δx/Δt，圆周运动线速度的定义式是v＝Δs/Δt，这两个公式中的Δx和Δs的物理意义是否相同？若不同，请找出其不同之处．提示：直线运动的速度公式v＝eq\f(Δx,Δt)和圆周运动线速度的定义式v＝eq\f(Δs,Δt)中的Δx和Δs的物理意义不相同，公式v＝eq\f(Δx,Δt)中的Δx表示Δt时间内的位移，是矢量，圆周运动线速度的定义式v＝eq\f(Δs,Δt)中的Δs表示Δt时间内质点通过的弧长，是标量，圆周运动线速度的定义式v＝eq\f(Δs,Δt)只定义了做圆周运动的物体沿圆周运动的快慢，并未定义运动的方向．知识点二线速度与角速度的关系1．线速度与角速度的关系是：v＝rω.2．线速度与角速度关系的推导过程：由线速度的定义式v＝eq\f(Δs,Δt)，角速度的定义式ω＝eq\f(Δθ,Δt)，圆心角与弧长的关系式Δs＝rΔθ，三式联立可得v＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(rΔθ,Δt)＝rω.考点一描述圆周运动的各物理量之间的关系1．描述圆周运动的物理量线速度角速度周期转速定义或意义描述圆周运动的物体运动快慢的物理量描述物体绕圆心转动快慢的物理量物体沿圆周运动一周所用的时间物体单位时间内转过的圈数标量、矢量是矢量、方向和半径垂直，和圆弧相切是矢量，有方向，但中学阶段不研究是标量是标量公式v＝eq\f(Δs,Δt)ω＝eq\f(Δθ,Δt)T＝eq\f(2πr,v)n＝eq\f(转过圈数,所用时间)单位m/srad/ssr/min或r/s2.各物理量之间的关系【例1】如图所示，圆环以直径AB为轴匀速转动，已知其半径R＝0.5m，转动周期T＝4s，求环上P点和Q点的角速度和线速度．圆环及环上各点都绕AB轴做匀速圆周运动，P、Q两点的角速度相等，P、Q两点做圆周运动的圆心分别为由P和Q向AB分别作垂线的垂足，P做圆周运动的半径为rP＝R·sin30°，Q做圆周运动的半径为rQ＝R·sin60°，然后再由v、ω、r之间的关系求解．【解析】整个圆环以AB为轴匀速转动，环上各点的角速度相同．求线速度，则需找出P点和Q点做圆周运动的半径．P点和Q点的角速度相同，其大小是ω＝eq\f(2π,T)≈1.57rad/s.P点和Q点绕AB做圆周运动，其圆心不同．P点和Q点的圆半径分别为rP＝R·sin30°＝eq\f(1,2)R，rQ＝R·sin60°＝eq\f(\r(3),2)R.故其线速度分别为vP＝ω·rP≈0.39m/s，vQ＝ω·rQ≈0.68m/s.【答案】角速度都为1.57rad/sP点的线速度为0.39m/sQ点的线速度为0.68m/s总结提能解决此类题目首先要确定质点做圆周运动的轨迹所在的平面，以及圆周运动圆心的位置，从而确定圆周的半径，然后由v、ω的定义式及v、ω、R的关系式来计算．做匀速圆周运动的物体，10s内沿半径为20m的圆周运动100m，试求物体做匀速圆周运动时：(1)线速度的大小；(2)角速度的大小；(3)周期的大小．解析：(1)依据线速度的定义式v＝eq\f(Δs,Δt)可得v＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(100,10)m/s＝10m/s.(2)依据v＝ωr解得ω＝eq\f(v,r)＝eq\f(10,20)rad/s＝0.5rad/s.(3)依据ω＝eq\f(2π,T)解得T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,0.5)s＝4πs.答案：(1)10m/s(2)0.5rad/s(3)4πs考点二圆周运动周期性的应用1．当圆周运动与其他运动相结合时，必然有一个物理量起桥梁作用，而该物理量常常是圆周运动的周期．2．由于圆周运动具有周期性，处理问题时要注意题目的多解性．【例2】如图所示，在同一竖直平面内有A、B两物体，A物体从a点起以角速度ω沿顺时针方向做半径为R的匀速圆周运动，同时B物体从圆心O自由下落，要使A、B两物体在d点相遇，求角速度ω必须满足的条件．本题可按以下思路进行分析：【解析】B物体从圆心O到d点的运动是自由落体运动，B物体从O到d所用的时间t1满足R＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,1)，所以t1＝eq\r(\f(2R,g))A物体做匀速圆周运动，从a运动到d转过的角度应满足θ＝2nπ＋eq\f(3,2)π(n＝0,1,2，…)所用时间为t2＝eq\f(θ,ω)＝eq\f(2nπ＋\f(3,2)π,ω)由t1＝t2可得eq\r(\f(2R,g))＝eq\f(2nπ＋\f(3,2)π,ω)解得ω＝eq\f(4n＋3π,2)eq\r(\f(g,2R))(n＝0,1,2，…)．【答案】eq\f(4n＋3π,2)eq\r(\f(g,2R))(n＝0,1,2，…)总结提能解答有关圆周运动的问题时，要注意圆周运动具有周期性，因此可能会出现多种符合题意的情况，这是解答此类问题时需要注意的地方．如图所示，质点P以O为圆心做匀速圆周运动，运动半径为R，周期为T，当质点过图中位置的一瞬间，另一质量为m的质点受力F作用而开始做初速度为零的匀加速直线运动，为使上述两质点在某时刻速度相同，则力F必须满足什么条件？解析：两质点速度相同，即速度的大小方向均相同．因此质点P只有运动到图中的a点位置时，才有可能与质点m的速度相同，即从图中现在位置开始计时，运动时间应满足t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(3,4)))T(n＝0,1,2…)．质点m在恒力F作用下的加速度a＝eq\f(F,m).因而经时间t后的速度vt＝at，而P做圆周运动的线速度v＝eq\f(2πR,T)，则应有vt＝v，即eq\f(F,m)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(3,4)))T＝eq\f(2πR,T)，所以力F应满足关系F＝eq\f(8πmR,3＋4nT2)(n＝0,1,2…)．答案：F＝eq\f(8πmR,3＋4nT2)(n＝0,1,2…)1．(多选)对于做匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是(BCD)A．线速度不变 B．角速度不变C．速率不变 D．周期不变解析：匀速圆周运动是一种匀速率曲线运动，其线速度的方向在时刻改变，故选项A错误，C正确．转速、周期和角速度不变，故选项B、D正确．2．物体在做匀速圆周运动的过程中，关于其线速度的说法正确的是(A)A．大小保持不变，方向时刻改变B．大小时刻改变，方向保持不变C．大小、方向均保持不变D．大小、方向均时刻改变解析：做匀速圆周运动的物体，其线速度大小不变，方向沿轨迹切线方向，时刻变化，故选项A正确，B、C、D错误．3．(多选)甲、乙两个做匀速圆周运动的质点，它们的角速度之比为31，线速度之比为23，那么下列说法中正确的是(AD)A．它们的半径之比为29B．它们的半径之比为12C．它们的周期之比为23D．它们的周期之比为13解析：由v＝ωr得r＝eq\f(v,ω)，故eq\f(r甲,r乙)＝eq\f(v甲,v乙)×eq\f(ω乙,ω甲)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝29，选项A正确，B错误；由ω＝eq\f(2π,T)，得T∝eq\f(1,ω)，故T甲T乙＝13，选项C错误，D正确．4．如图所示，如果把钟表上的时针、分针、秒针的运动看成匀速圆周运动，那么，从它的分针与秒针第一次重合至第二次重合，中间经历的时间为(C)A.eq\f(59,60)minB．1minC.eq\f(60,59)minD.eq\f(61,60)min解析：由于分针、秒针的转动周期分别为1h＝3600s与1min＝60s，则由ω＝eq\f(2π,T)可知分针与秒针的角速度分别为ω分＝eq\f(2π,3600)rad/s，ω秒＝eq\f(2π,60)rad/s.设两次重合的时间间隔为Δt，由于秒针比分针多转一圈，即θ秒－θ分＝2π，且θ分＝ω分Δt，θ秒＝ω秒Δt，故得Δt＝eq\f(2π,ω秒－ω分)＝eq\f(2π,\f(2π,60)－\f(2π,3600))s＝eq\f(3600,59)s＝eq\f(60,59)min，C正确．5．(多选)如图甲所示是中学物理实验室常用的感应起电机，它是由两个大小相等直径约为30cm的感应玻璃盘起电的．其中一个玻璃盘通过从动轮与手摇主动轮链接如图乙所示，现玻璃盘以100r/min的转速旋转，已知主动轮的半径约为8cm，从动轮的半径约为2cm，P和Q是玻璃盘边缘上的两点，若转动时皮带不打滑，下列说法正确的是(BC)A．P，Q的线速度相同B．玻璃盘的转动方向与摇把转动方向相反C．P点的线速度大小约为1.6m/sD．摇把的转速约为400r/min解析：线速度也有一定的方向，由于线速度的方向沿曲线的切线方向，由图可知，P，Q两点的线速度的方向一定不同，故A错误；若主动轮做顺时针转动，从动轮通过皮带的摩擦力带动转动，所以从动轮逆时针转动，所以玻璃盘的转动方向与摇把转动方向相反，故B正确；玻璃盘的直径是30cm，转速是100r/min，所以线速度：v＝ωr＝2nπr＝2×eq\f(100,60)×π×eq\f(0.3,2)m/s＝0.5πm/s≈1.6m/s，故C正确；从动轮边缘的线速度：vc＝ω·rc＝2×eq\f(100,60)×π×0.02m/s＝eq\f(1,15)πm/s，由于主动轮的边缘各点的线速度与从动轮边缘各点的线速度的大小相等，即vz＝vc，所以主动轮的转速：nz＝eq\f(ωz,2π)＝eq\f(\f(vz,rz),2π)＝eq\f(\f(1,15)π,2π×0.08)r/s＝eq\f(1,2.4)r/s＝25r/min，故D错误．eq\o(\s\up7(),\s\do5(学科素养培优精品微课堂,——思想方法系列四))常见传动装置的特点[方法解读]1．共轴传动做圆周运动的物体，若绕同一转轴转动，则各点的角速度ω相同，周期T和频率f也相同．如图所示，A点和B点在同轴的一个圆盘上，则当圆盘转动时，A点和B点的线速度、角速度、周期之间存在关系：ωA＝ωB，eq\f(vA,vB)＝eq\f(r,R)，TA＝TB，并且转动方向相同．2．皮带传动如图所示，A点和B点分别是两个轮子边缘上的点，两个轮子用皮带连起来，并且皮带不打滑，则当轮子转动时，A点和B点的线速度、角速度、周期之间存在关系：vA＝vB，eq\f(ωA,ωB)＝eq\f(r,R)，eq\f(TA,TB)＝eq\f(R,r)，并且转动方向相同．3．齿轮传动如图所示，A点和B点分别是两个齿轮边缘上的点，两个齿轮啮合，则当齿轮转动时，A点和B点的线速度、角速度、周期之间存在关系：vA＝vB，eq\f(ωA,ωB)＝eq\f(r2,r1)＝eq\f(n2,n1)，eq\f(TA,TB)＝eq\f(r1,r2)＝eq\f(n1,n2)，式中n1、n2分别表示两齿轮的齿数．两点转动方向相反．4．摩擦传动如图所示，两摩擦轮靠摩擦进行传动，A点和B点分别是两轮边缘上的点，传动时如果两摩擦轮在接触处没有相对滑动，则两轮在接触处的线速度大小相等，此时A点和B点的线速度、角速度、周期之间存在关系：vA＝vB，eq\f(ωA,ωB)＝eq\f(r,R)，eq\f(TA,TB)＝eq\f(R,r).在处理传动装置中各物理量之间的关系时，关键是确定相同的量(线速度或角速度)，然后根据描述圆周运动的各物理量之间的关系，确定其他各量间的关系．【例】如图所示为皮带传动装置，皮带轮为O、O′，RB＝eq\f(1,2)RA，RC＝eq\f(2,3)RA，当皮带轮匀速转动时，皮带与皮带轮之间不打滑，求A、B、C三点的角速度之比、线速度之比、周期之比．[解析]由题意可知，A、B两点在同一皮带轮上，因此ωA＝ωB，又皮带不打滑，所以vA＝vC，故可得ωC＝eq\f(vC,RC)＝eq\f(vA,\f(2,3)RA)＝eq\f(3,2)ωA，所以ωAωBωC＝ωAωAeq\f(3,2)ωA＝22