高中数学北师大版必修二课时分层作业1-7-1柱锥台的侧面展开与面积

课时分层作业十二柱、锥、台的侧面展开与面积一、选择题(每小题5分，共25分)1.圆台的母线长扩大为原来的n倍，两底面半径都缩小为原来的QUOTE倍，那么它的侧面积变为原来的 ()A.1倍 B.n倍 C.n2倍 D.QUOTE倍【解析】选A.由S侧=π(r′+r)l，当r，r′缩小QUOTE倍，l扩大n倍时，S侧不变.2.底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为QUOTE，体对角线长为QUOTE，则这个棱柱的侧面积是 ()A.2 B.4 C.6 D.8【解析】选D.底面边长为1，侧棱长为QUOTE=2.所以S侧=1×2×4=8.3.已知圆锥的侧面展开图为半圆，半圆的面积为S，则圆锥的底面面积是()A.2S B.QUOTE C.QUOTES D.QUOTES【解析】选B.设圆锥的底面半径为r，母线长为l.则由题意，得S=QUOTEπl2，S=πrl，所以QUOTEπl2=πrl，于是l=2r，代入S=πrl，得S=2πr2，所以圆锥的底面面积πr2=QUOTE.4.半径为15cm，圆心角为216°的扇形围成圆锥的侧面，则圆锥的高是 ()A.14cm B.12cm C.10cm D.8cm【解析】选B.设圆锥的底面半径为r，则QUOTE·360°=216°，解得r=9，所以圆锥的高h=QUOTE=12(cm).5.(2018·全国卷I)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A.12QUOTEπ B.12π C.8QUOTEπ D.10π【解析】选B.截面面积为8，所以高h=2QUOTE，底面半径r=QUOTE，所以该圆柱表面积S=π·(QUOTE)2·2+2π·QUOTE·2QUOTE=12π.二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为QUOTE，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为5QUOTE，则该圆锥的侧面积为_________.

【解析】如图：设SA=SB=l，底面圆半径为r，因为SA与圆锥底面所成角为45°，所以l=QUOTEr，在△SAB中，AB2=SA2+SB22SA·SB·cos∠ASB=QUOTEr2，AB=QUOTEr，AB边上的高为QUOTE=QUOTEr，△SAB的面积为5QUOTE，所以QUOTE·QUOTEr·QUOTEr=5QUOTE，解得r=2QUOTE，所以该圆锥的侧面积为πrl=πQUOTEr2=40QUOTEπ.答案：40QUOTEπ7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_________.

【解析】根据三视图还原后的几何体为一个长方体中挖去一个圆柱，此长方体长、宽、高分别为4、3、1，圆柱底面半径为1，高为1，所以S=2(3×4+3×1+4×1)2π+2π×1×1=38.答案：388.如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥PABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是_________.

【解析】显然正六棱锥PABCDEF的底面的外接圆是球的一个大圆，于是可求得底面边长为2.依题意可得正六棱锥PABCDEF的高为2，以此可求得侧面积为6QUOTE.答案：6QUOTE三、解答题(每小题10分，共20分)9.一个几何体的三视图及其相关数据如图所示，求这个几何体的表面积.【解析】这个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半.根据题干图中数据可知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为QUOTE，母线长为2，几何体的表面积是两个半圆的面积、圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和，故这个几何体的表面积为S=QUOTEπ×12+QUOTEπ×22+QUOTEπ×(1+2)×2+QUOTE×(2+4)×QUOTE=QUOTE+3QUOTE.10.如图是一建筑物的三视图，现需将其外壁用油漆刷一遍，已知每平方米用漆0.2千克，则需要油漆多少千克？(尺寸如图，单位：米，π取3.14，结果精确到0.01千克)【解析】建筑物为一组合体，上面是底面半径为3米，母线长为5米的圆锥，下面是底面边长为3米，高为4米的正四棱柱.圆锥的表面积=πr2+πrl，≈3.14×32+3.14×3×5=28.26+47.1=75.36.四棱柱的一个底面积=32=9，四棱柱的侧面积=4×4×3=48.所以外壁面积S≈75.369+48=114.36(平方米).故需油漆114.36×0.2=22.872≈22.88(千克).答：需要约22.88千克油漆.一、选择题(每小题5分，共25分)1.若圆锥的底面直径为6，高是4，则它的侧面积为 ()A.12π B.24π C.15π D.30π【解析】选C.由已知得，圆锥的母线长为QUOTE=5，于是侧面积S=π×3×5=15π.2.正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为6，高为QUOTE，则该四棱台的表面积为 ()A.92 B.52+20QUOTEC.40 D.50+20QUOTE【解析】选A.因为正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为6，高为QUOTE，则该四棱台的斜高为QUOTE=2.S表=S侧+S上+S下=QUOTE(6+4)×2×4+16+36=92.3.轴截面为正方形的圆柱的侧面积与表面积的比是 ()A.1︰2 B.2︰3 C.1︰3 D.1︰4【解析】选B.设圆柱的底面半径为r，母线长为l，依题意得l=2r，而S侧面积=2πrl，S表面积=2πr2+2πrl，所以S侧面积︰S表面积=2πrl∶(2πr2+2πrl)=2︰3.4.一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为 ()A.2 B.2QUOTE C.4 D.8【解析】选C.设圆台的母线长为l，上、下底面半径分别为r，R，则l=QUOTE(r+R)，又32π=π(r+R)l=2πl2，所以l2=16，l=4.5.圆柱的底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是 ()A.4πS B.2πS C.πS D.QUOTEπS【解析】选A.设底面半径为r，则S=πr2，则r=QUOTE，所以底面周长为2πr=2πQUOTE，又侧面展开图为一个正方形，故母线长为2πr=2QUOTE·π，所以S侧=2πr·l=(2πr)2=4π2·r2=4π2QUOTE=4πS.【补偿训练】(2017·武汉高一检测)将若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面高度为6cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面高度为 ()A.6QUOTEcm B.6cmC.2QUOTEcm D.3QUOTEcm【解析】选B.由题设可知两种器皿中的水的体积相同，设圆锥内水面高度为h，圆锥的轴截面为正三角形，可设边长为a，由图可得，QUOTE=QUOTE，所以r=QUOTEh.故V圆柱=6×π×22=24π(cm3)，V圆锥=QUOTEπ·QUOTE·h.又V圆柱=V圆锥，所以h=6cm.二、填空题(每小题5分，共20分)6.轴截面是正方形的圆柱，轴截面面积为S，则它的表面积是_________.

【解析】设圆柱的母线长为a，则a2=S，所以a=QUOTE.设底面圆半径为r，则2r=a=QUOTE，所以r=QUOTE.所以圆柱的表面积为2·πr2+2πr·a=2π·QUOTE+2π·QUOTE·QUOTE=QUOTEπS.答案：QUOTEπS7.若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，则其表面积等于_________.

【解析】根据题意可知，该棱柱的底面边长为2，高为1，侧棱和底面垂直，故其表面积S=QUOTE×22×2+2×1×3=6+2QUOTE.答案：6+2QUOTE8.正四棱台的上、下两底面边长分别是方程x29x+18=0的两根，其侧面积等于两底面面积之和，则其侧面梯形的高为_________.

【解析】方程x29x+18=0的两个根为x1=3，x2=6，设侧面梯形的高为h，则由题意得，QUOTE×(3+6)×h×4=32+62，解得h=QUOTE.答案：QUOTE9.已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为_________.

【解析】设上底面半径为r，则下底面半径为4r，高为4r，因为母线长为10，所以有102=(4r)2+(4rr)2，解得r=2，所以S圆台侧=π(r+4r)×10=100π.答案：100π三、解答题(每小题10分，共30分)10.如图，已知平行四边形ABCD，AB=8，AD=6，∠DAB=60°，以AB为轴旋转一周，得旋转体，求旋转体的表面积.【解析】如图(1)，作DH⊥AB于点H，在Rt△ADH中，AD=6，∠DAH=60°，所以DH=QUOTE×AD=3QUOTE，如图(2)，所得旋转体的表面积是一个圆柱的侧面积与两个圆锥侧面积的和.即S表=2π×DH×DC+π×DH×AD×2=2π×3QUOTE×8+π×3QUOTE×6×2=48QUOTEπ+36QUOTEπ=84QUOTEπ，即旋转体的表面积为84QUOTEπ.11.已知正三棱锥VABC的主视图、俯视图如图所示，其中VA=4，AC=2QUOTE，求该三棱锥的表面积.【解析】由主视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图所示，且VA=VB=VC=4，AB=BC=AC=2QUOTE.取BC的中点D，连接VD，则VD⊥BC，有VD=QUOTE=QUOTE=QUOTE，则S△VBC=QUOTE×VD×BC=QUOTE×QUOTE×2QUOTE=QUOTE，S△ABC=QUOTE×(2QUOTE)2×QUOTE=3QUOTE，所以，三棱锥VABC的表面积为3S△VBC+S△ABC=3QUOTE+3QUOTE=3(QUOTE+QUOTE).12.如图，ABCDA′B′C′D′是一个纸皮箱，AB=a，BC=b，BB′=c，