复习篇第3讲函数的奇偶性和单调性2024年高一寒假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019）

第3讲函数的奇偶性和单调性本讲义整体上难度中等偏上，题目有一定的分层，题量略大！1函数单调性的概念(1)增函数和减函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，区间D∈I:如果∀x1,x2∈D，当x1<x2时，都有f(如果∀x1,x2∈D，当x1<x2时，都有f2单调性概念的拓展①若y=f(x)递增，x2>x②若y=f(x)递增，fx2≥f(y=f(x)递减，有类似结论！3判断函数单调性的方法①定义法解题步骤(1)任取x1,x(2)作差fx(3)变形(通常是因式分解和配方)；(4)定号(即判断差f(x1)(5)下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)．②数形结合③性质法增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数；但增函数×增函数不一定是增函数，比如y=x，y=x-2均是增函数，而y=x(x-2)不是.④复合函数的单调性(1)如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称为f、(2)同增异减设函数u=g(x)(x∈A)的值域是M，函数y=f(u)(u∈M)若y=fu,u=g(x)在各自区间单调性相同，则复合函数y=f[g(x)]在区间若y=f(u),u=g(x)在各自区间单调性不同，则复合函数y=f[g(x)]在区间A上递减.4函数奇偶性的概念(1)一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.(2)一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.由奇偶函数的概念可知道其定义域I是关于原点对称的.5函数奇偶性的性质①偶函数关于y轴对称；②奇函数关于原点对称；③若奇函数f(x)定义域内含有0，则f(0)=0；④在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数．6判断函数奇偶性的方法①定义法先判断定义域是否关于原点对称，再求f(-x),看下与f(x)的关系：若f-x=f(x)，则y=fx是偶函数；若f-x②数形结合若函数关于原点对称，则函数是奇函数；若函数关于y轴对称，则函数是偶函数.③取特殊值排除法(选择题)比如：若根据函数得到f(1)≠f(-1)，则排除f(x)是偶函数.④性质法偶函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为偶函数；奇函数的和、差(分母不为0)仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数；两个奇函数的商(分母不为0)为偶函数；一个奇函数与偶函数的积为奇函数.【题型1】函数单调性和奇偶性的判断【典题1】下列函数中，既是偶函数，又在(0，+∞)上单调递增的是()A．f(x)=1-x2 C．f(x)=解析A：f(x)=1-x2在B：f(x)＝x-1C：f(x)=log12D：f(x)=2故选：D．【巩固练习】1.(★★)下列函数中，既是奇函数，又在(1,+∞)上单调递减的是()A．f(x)=x B．f(x)=ln1|x| C答案C解析对于A，其在定义域上为增函数，不符合题意，舍去；对于B，其在定义域上为偶函数，不符合题意，舍去；对于C，其是奇函数，又在(1,+∞)上单调递减，符合题意；对于D，f(2)=-4，f(3)=33-18=9，其在故选：C．2.(★★)下列函数中，既是偶函数，又在(﹣∞,0)内单调递增的函数为(A．y=x2+2x B．y=e|x| C答案D解析根据题意，依次分析选项：对于A，y=x2+2x，为二次函数，其对称轴为x=对于B，y=e|x|=对于C，y=2x-对于D，y=1-lg⁡|x|=&1-故选：D．3.(★★★)已知f(x)是R上的奇函数且单调递增，则下列函数是偶函数且在(0,+∞)上单调递增的有()①y=|f(x)|A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④答案B解析因为f(x)是R上的奇函数且单调递增，故当x>0时，f(x)>f(0)=0，①g(-x)=|f(-x)|=|f(x)|=g(x)为偶函数，且当x>0时，g(x)=|f(x)|=f(x)单调递增，符合题意；②g(-x)=f(x③g(-x)=f(|-x|)=f(|x|)=g(x)，且x>0时g(x)=f(x)单调递增，符合题意；④g(-x)=e满足偶函数，且x>0时，f(x)>0，ef根据对勾函数的单调性可知g(x)=e故选：B．【题型2】函数单调性和奇偶性的性质【典题1】已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0,+∞)单调递增则()A．f(log2π)>f(loC．f(2-π解析∵f(x)是偶函数，∴flog∵1<log2⁡3<log2∵f(x)在[0,+∞)为增函数，∴f2即f2故选：A．【典题2】设函数f(x)=lg(x2+1)，则使得f(3x-2)>f(x-4)成立的x的取值范围为A．(13,1)解析根据题意，函数f(x)=lg(x2+1)有f(-x)=lg(x2+1)=f(x)设t=x2+1在区间[0,+∞)上，t=x2+1为增函数且t≥1，y=lgt则f(x)=lg(x2+1)f(3x-2)>f(x-4)⇒f(|3x-2|)>f(|x-4|)⇒|3x-2|>|x-4|，解可得：x<-1或x>32，即x的取值范围为故选：D．【巩固练习】1.(★★)如果奇函数f(x)在区间[1,5]上是减函数，且最小值为6，那么f(x)在区间[-5,-1]上是()A．减函数且最大值为-6 B．增函数且最大值为C．减函数且最小值为-6 D．答案A解析当-5≤x≤-1时1≤-x≤5，∴f(-x)≥6，即-f(x)≥6．从而f(x)≤-6，又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同，故f(x)在[-5,-1]是减函数．故选：A．2.(★★)若偶函数f(x)在(-∞,-1]上是减函数，则()A．f(-32)<f(-1)<f(2) BC．f(2)<f(-1)<f(-32) 答案B解析根据题意，f(x)为偶函数，则f(2)=f(-2)，又由函数f(x)在(-∞,-1]上是减函数，则f(-1)<f-32故选：B3.(★★★)函数f(x)的定义域为，若f(x+1)是奇函数，f(x-1)是偶函数，则()A．f(x)是奇函数 B．f(x+3)是偶函数 C．f(3)=0 D．f(x)=f(x+3)答案B解析由奇函数条件得f(x+1)=-f(-x+1)，由偶函数条件得f(x-1)=f(-x-1)⇒f(x+1)=f(-x-3)，∴-f(-x+1)=f(-x-3)⇒f(x)+f(x+4)=0，则f(x+8)=-f(x+4)=f(x)，即周期为8；另一方面f(x+5)=-f(x+1)=f(-x+1)⇒f(x+3)=f(-x+3)，即f(x+3)是偶函数．故选：B．4.(★★★)已知函数f(x)为(-1,1)上的奇函数且单调递增，若f(2x-1)+f(-x+1)>0，则x的值范围是()A．(-1,1) B．(0,1)答案B解析根据题意，f(x)为(-1,1)上的奇函数且在(-1,1)单调递增，则f(2x-1)+f(-x+1)>0⇔f(2x-1)>f(x-1)，则有-1<2x-1<1,-1<x-1<1,2x-1>x-1,解可得即x的值范围是(0,1)；故选：B．5.(★★★)函数f(x)是R上的增函数且f(a)+f(b)>f(－a)+f(－b)A．a>b>0 B．a答案C解析设a+b≤0，则a≤－b，∵f(x)是R上的增函数，∴f(a)≤f(－b)，∴f(a)+f(b)≤f(－这与题设f(a)+f(b)>f(－∴a+b>0故选：C．6.(★★)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数，满足f(1-x)=f(1+x)，若f(1)=2A．-50 B．0 C．2 D．50答案C解析∵f(x)是奇函数，且f(1-x)=f(1+x)，∴f(1-x)=f(1+x)=-f(x-1)，f(0)=0，则f(x+2)=-f(x)，则f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，即函数f(x)是周期为4的周期函数，∵f(1)=2，∴f(2)=f(0)=0，f(3)=f(1-2)=f(-1)=-f(1)=-2，f(4)=f(0)=0，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2+0=2，故选：C．7.(★★★)已知函数f(x)=ln|x|+x2，设a=f(-2),b=f(1),c=f(20.3)A．a>b>c B．a>c>b答案B解析根据题意，函数f(x)=ln|x|+x2，其定义域为且有f(-x)=ln⁡|x|+x则a=f(-2)=f(2)，又由x>0时，f(x)=ln⁡x+x则有f(1)<f2故与a>c>b；故选：B．8.(★★★)已知函数f(x)=x2+(4a-3)x+3a,x<0loga(x+1)+1,x≥0(a>0且a≠1)在A．[34,1) 答案C解析由题意，分段函数是在R上单调递减，可得对数的底数需满足0<a<1，根据二次函数开口向上，在(-∞,-b2a)即-4a-32≥0且x故而得3a≥1，解得a≥1∴a的取值范围是13,39.(★★★)已知函数f(x)=x|x|+4x+1,x∈R，若f(a)+f(a2-1)<2，则实数a的取值范围答案(解析设g(x)=x|x|+4x，x∈R，则g(x)=-x又g(-x)=(-x)|-x|+4(-x)=-(x|x|+4x)=-g(x)，∴g(x)为R上的奇函数，且为增函数；由f(x)=g(x)+1，∴不等式f(a)+fa2-1即ga2-1∴a2-1<-a，，即∴a的取值范围是(-1-【题型3】函数图像的判断【典题1】已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是()A．f(x)=cos(2x)x B．C．f(x)=12x2解析由图象看出，在x的正半轴函数f(x)有增有减，选项C，D的函数在(0，+∞)上都是减函数，∴排除选项C，D，由图象看出，f(x)在x正半轴的第一个零点在(0，1)区间上，选项B不满足，选项B的f(x)在正半轴的第一个零点为x=π选项A的在x轴的第一个零点为x=π∴排除选项B，选项A正确．故选：A．【巩固练习】1.(★★)已知函数y＝f(x)的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能是()A．f(x)＝x(ex+e﹣x) B．f(x)＝ln(ex+e﹣x) C．f(x)=|x|x2+1+1 D．f(x)答案B解析根据图象看出，f(x)为偶函数，且定义域为R，在[0，+∞)上单调递增，选项A的函数为奇函数，选项D的函数定义域为{x|x≠0}，∴选项A，D都错误，选项B，C的函数都是偶函数，选项C的函数在[0，+∞)上显然不是增函数．故选：B．2.(★★)如图，已知函数f(x)的图象关于坐标原点O对称，则函数f(x)的解析式可能是()A．f(x)＝x2|x| B．f(x)＝xln|x|| C．f(x)=e|x|x D．f(答案D解析根据f(x)关于原点对称可知该函数为奇函数，对于A选项f(﹣x)＝x2ln|x|＝f(x)，为偶函数，不符合；对于B选项定义域不对；对于C选项当x＞0的时候，f(x)＞0恒成立不符合该函数图象，故错误；对于D选项，f(-x)=ln|x|故选：D．3.(★★)已知函数y＝f(x)的部分图象如图，则f(x)的解析式可能是()A．f(x)＝x+tanx B．f(x)＝x+sin2x C．f(x)＝x-12sin2x D．f(x)＝x-答案C解析由图象可知，函数的定义域为R，故排除A；又f(0)＝0，故排除D；若选择B，则f(π故选：C．4.(★★★)函数f(x)=sinx⋅ln(x2+1-x)A． B． C． D．答案C解析根据题意，f(x)=sinx⋅ln(x则f(﹣x)＝sin(﹣x)•ln(x2+1+x)＝sinx•ln(x2+1-x)即函数f(x)为偶函数，排除A、B，f(x)=sinx⋅ln(x2+1-x)=sinx•ln在区间(0，π)上，sinx＞0，ln(1x2+1+x)＜0，则f(x)＜故选：C．【题型4】函数的最值【典题1】已知函数f(x)=2x+1x-1，其定义域是[-8,-4)，则下列说法正确的是(A．f(x)有最大值53，无最小值 B．C．f(x)有最大值75，无最小值 D解析函数f(x)=2x+1即有f(x)在[-8,-4)递减，则x=-8处取得最大值，且为53由x=-4取不到，即最小值取不到．故选：A．【典题2】函数f(x)=log2(xA．[1,1+C．[1,2]解析由复合函数的单调性可知，函数f(x)在[0,1]上单减，在[1,3]又f0=log∴函数值域为[1,1+log故选：A．【巩固练习】1.(★★)若函数y=x2-5x-1的定义域[0,m]，值域为[-29A．(0，5] B．[5,294] C．[答案D解析根据题意，函数y=x函数的对称轴为x=52且有又由函数的定义域[0,m]，值域为[-294,-1]即m的取值范围[52故选：D．2.(★★)函数f(x)=12x2-6x+5A．(0,16] B．[16,+∞)答案A解析x2设t=x2-6x+5则y=12t故函数的值域为(0,16]，故选：A．3.(★★)函数y=x+1-1-x的值域为A．(-∞,2] B．[0,2] C．答案C解析要使函数有意义，需满足x+1≥01-x≥0，解得－所以函数的定义域为[－根据函数的解析式，x增大时，x+1增大，1-x减小，-1-x增大，所以y所以最小值为f(-1)=-2，最大值为f(1)=所以值域为[-2故选：C．4.(★★)已知定义在R上的函数f(x)=3sinx-2x+1，则f(x)的最大值与最小值之和等于()A．0 B．1 C．2 D．3答案C解析根据题意，设g(x)=f(x)-1=3sinx-2x，有g(-x)=3sin(-x)－即函数g(x)为奇函数，其图象关于原点对称，则g(x)则有f(x)变形可得f(x)即f(x)的最大值与最小值之和等于2；故选：C．5.(★★★)已知函数y=sin2x－A．[2,3] B．[2,4]答案D解析y=sin∴sinx=－1时，ymax=6；∴原函数的值域为[2,6]．故选：D．5.(★★★)已知函数f(x)=a+log2(x2－A．a∈(4,5) B．a∈(5,6)答案B解析函数f(x)=a+log2(可得x2显然a=1时f(x)的最小值不为8；a>1时，由对数函数的性质可得当x=1时，f(x)的最小值为a+log由题意可得a+log设g(a)=a+log2⁡(a-1)，g(a)g(5)=5+log可得a∈(5,6)，故选：B．【题型4】综合练习【典题1】已知定义在R奇函数f(x)=2(1)求a,b的值；(2)判断并证明f(x)在R上的单调性；(3)求该函数的值域．解析(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以&f(0)=0&f(-1)=-f(1)(2)即&1-a1+b=0由(1)知f(x)=2x-12x则fx因为y=2x是R上的增函数，且x1又2x所以fx1-f所以f(x)在R上是增函数；(3)f(x)=2由2x>0，得2x所以-1<1-22x所以函数f(x)的值域为(-1,1)．【典题2】定义在R上的单调增函数f(x)满足：对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立(1)求f(0)的值(2)求证：f(x)为奇函数(3)若f(1+2x)+f(t∙3x解析(1)令x=y=0，则f(0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0．(2)令y=-x，则f(0)=f(x)+f(-x)，∵f(0)=0，∴f(-x)=-f(x)，∴f(x)为奇函数．(3)∵f(t∙3∴f(t∙3x)>f(-1-∴t>-(1而-(13)从而t>-1．【巩固练习】1.(★★★)函数f(x)=ax+b1+x2是定义在区间(1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明：f(x)在区间(-1,1)上是增函数；(3)解不等式：f(t-1)+f(t)<0．答案(1)f(x)=x1+x2；(2)略解析(1)由题意知&f(0)=0&f12=2故f(x)=x(2)任取-1<x1<fx2-fx1=x21+x∵-1<x∴-1<x于是fx∴f(x)为区间(－(3)f(t－∵f(x)在区间(－∴－1<t－2.(★★★)已知函数f(x)=(1)计算f(f(log(2)讨论函数f(x)的单调性，并写出f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)=f(x)+c，若函数g(x)有三个零点，求实数c的取值范围．答案(1)2；(2)f(x)的单调增区间是(-∞,-1)和(0,+∞)，单调减区间是[-1,0]；(3)(-3,-1).解析(1)由已知得flog∴fflog(2)当x≤0时，函数f(x)=-2x根据抛物线的性质知，f(x)在区间(-∞,-1)上单调递增，在区间[-1,0]上单调递减；当x>0时，函数f(x)=x+1，显然f(x)在区间(0,+∞)综上，f(x)的单调增区间是(-∞,-1)和(0,+∞)，单调减区间是[-1,0]，(3)作出f(x)的图象，如图：函数g(x)有三个零点，即方程f(x)+c=0有三个不同实根，又方程f(x)+c=0等价于方程f(x)=-c，∴当f(x)的图象与直线y=-c有三个交点时，函数g(x)有三个零点．数形结合得，c满足，1<-c<3，即-3<c<-1．因此，函数g(x)有三个零点，实数c的取值范围是(-3,-1).3.(★★★★)对于定义域为R的函数g(x)，若函数sin[g(x)]是奇函数，则称g(x)为正弦奇函数．已知f(x)是单调递增的正弦奇函数，其值域为R,f(0)=0．(1)已知g(x)是正弦奇函数，证明：“u0为方程sin[g(x)]=1的解”的充要条件是“-u0为方程sin[g(x)]=(2)若fa=π(3)证明：f(x)是奇函数．答案(1)略；(2)0；(3)略.解析证明(1)∵g(x)是正弦奇函数，故sin[g(x)]是奇函数，当：“u0为方程sin[g(x)]=1的解”时，sin则sin⁡g-u0=-1，即“故：“u0为方程sin[g(x)]=1的解”的必要条件是“-u0为方程sin[g(x)]=当：“-u0为方程sin[g(x)]=－1的解则sin[g(u即“u0为方程sin[g(x)]=1的解”故：“u0为方程sin[g(x)]=1的解”的充分条件是“-u0为方程sin[g(x)]=综上可得：“u0为方程sin[g(x)]=1的解”的充要条件是“-u0为方程sin[g(x)]=解：(2)∵f(x)是单调递增的正弦奇函数，f(a)=π则sin[f(a)]＋sin[f(b)]=1－1=0，则证明：(3)∵f(x)是单调递增的正弦奇函数，其值域为R，故sin⁡[f(-x)]+即sin⁡[f(-x)]=-则f(－故f(x)是奇函数．4.(★★★★)已知函数f(x)定义域为[-1,1]，若对于任意的x,y∈[-1,1]，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x>0时，有f(x)>0.（Ⅰ）证明函数f(x)是奇函数；（Ⅱ）讨论函数f(x)在区间[-1,1]上的单调性；（Ⅲ）设f(1)=1，若f(x)<m2-2am+1，对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立，求实数答案(1)略；(2)单调递增函数；(3)m<-2或m>2.解析（Ⅰ）因为有f(x+y)=f(x)+f(y)，令x=y=0，得f(0)=f(0)+f(0)，所以f(0)=0，令y=-x可得：f(0)=f(x)+f(-x)=0所以f(-x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数.（Ⅱ）∵f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数，由题意设-1≤x则f由题意x>0时，有f(x)>0，∴f∴f(x)是在[-1,1]上为单调递增函数；（Ⅲ）因为f(x)在[-1,1]上为单调递增函数，所以f(x)在[-1,1]上的最大值为f(1)=1，所以要使f(x)<m2-2am+1只要m2-2am+1>1，即m2-2am>0令g(a)=由&g(-1)>0&g(1)>0得&2m+∴m<-2或m>2.1.(★★)下列函数中为偶函数且在(0,+∞)上是增函数的是()A．y=12x 答案C解析根据题意，依次分析选项：对于A，y=12|x|对于B，y=|lnx|，其定义域为(0,+∞)，不是偶函数，不符合题意；对于C，y=x2+且当x>0时，f(x)=x对于D，y=x|x|，有f(-x)=-x|x|=-f(x)，为奇函数，不符合题意；故选：C．2.(★★)设f(x)是周期为2的奇函数，当0⩽x⩽1时，f(x)=2x(1-x)，则f-A．-12 B．-14 C．1答案A解析∵f(x)是周期为2的奇函数，当0⩽x⩽1时，f(x)=2x(1-x)，∴f-523.(★★)如图，已知函数f(x)的图象关于坐标原点对称，则函数f(x)的解析式可能是()A．f(x)＝x2ln|x| B．f(x)＝xlnx C．f(x)=ln|x|x D答案C解析∵f(x)的图象关于原点对称；∴函数f(x)是奇函数；f(x)＝x2ln|x|为偶函数，f(x)＝xlnx是非奇非偶函数，∴A，B都错误；∵x＞0时，f(x)=e|x|x＞故选：C．4.(★★)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x+2x-a，则f(-1)＝A．3 B．-3答案B解析根据题意，函数f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)=0，则有f(0)=20-a=1-a=0则f(1)=2+2-a=4-1=3，又由f(x)为奇函数，则f(-1)=-f(1)=-3；故选：B．5.(★★★)设f(x)定义在实数集R上的函数，满足条件y=f(x+1)是偶函数，且当x≥1时，f(x)=(12)x-1，则A．f(23)>f(C．f(32)>f(2答案A解析∵y=f(x+1)是偶函数，∴f(-x+1)=f(