新版高中数学北师大版必修1习题第二章函数2.4.2.2

第2课时二次函数在闭区间上的最值课时过关·能力提升1若函数f(x)=x22x+1在区间[a,a+2]上的最小值为4,则a的取值集合为()A.[3,3] B.{1,3}C.{3,3} D.{1,3,3}解析:函数f(x)=x22x+1=(x1)2,对称轴x=1,∵区间[a,a+2]上的最小值为4,∴当a≥1时,ymin=f(a)=(a1)2=4,解得a=3或a=1(舍去);当a+2≤1时,即a≤1,ymin=f(a+2)=(a+1)2=4,解得a=3或a=1(舍去);当a<1<a+2时,ymin=f(1)=0≠4,故a的取值集合为{3,3}.答案:C2已知函数f(x)=x2+4x在区间[m,n]上的值域是[5,4],则m+n的取值范围是()A.[1,7] B.[1,6]C.[1,1] D.[0,6]解析:∵f(x)=x2+4x=(x2)2+4,∴f(2)=4.又由f(x)=5,得x=1或5.由f(x)的图像知1≤m≤2,2≤n≤5.因此1≤m+n≤7.故选A.答案:A3函数y=-x2-6xA.[0,2] B.[0,4]C.(∞,4] D.[0,+∞)解析:因为y=-x2-6x-5答案:A4已知函数f(x)=x22x+3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是()A.[1,+∞) B.[0,2]C.[1,2] D.(∞,2]解析:因为二次函数的解析式已确定,而区间的左端点也确定,故要使函数在区间[0,m]上有最大值3,最小值2,只有画出草图来观察,如图.因为f(x)=x22x+3=(x1)2+2,f(0)=3,f(1)=2,且f(2)=3.可知只有当m∈[1,2]时,才能满足题目的要求.答案:C5对于函数f(x)=3x2+k,当实数k属于()时,才能确保一定存在实数对a,b(a<b<0),使得当函数f(x)的定义域为[a,b]时,其值域也恰好是[a,b].A.[2,0) B.-C.-112,解析:因为f(x)=3x2+k,x∈[a,b](a<b<0),所以f(x)在[a,b]上是增加的.所以f(a)=a,f(b)=b,即3x2所以Δ>0,x1答案:D6已知函数f(x)=ax2+2(a2)x+a4,当x∈(1,1)时,恒有f(x)<0,则a的取值范围为()A.a≤2 B.a<2C.0<a<2 D.a<2且a≠0解析:当a=0时,f(x)=4x4,则此时f(x)在(1,1)上是减少的,且f(1)=0,则当x∈(1,1)时,恒有f(x)<f(1)=0,即a=0符合题意,排除C,D;当a=2时,f(x)=2x22,由于x∈(1,1),则有f(x)=2x22<f(1)=f(1)=0.即a=2符合题意,排除B,故选A.答案:A7若函数f(x)=x22x+m在区间[2,+∞)上的最小值为3,则实数m的值为.

解析:因为f(x)=x22x+m=(x1)2+m1,所以f(x)=x22x+m在区间[2,+∞)上是增加的.所以f(x)min=f(2)=m=3.答案:38若函数f(x)=x22x,x∈[2,4),则f(x)的值域是.

解析:函数f(x)=x22x=(x1)21,∴函数在区间(∞,1]上是减少的,在[1,+∞)上是增加的,∵x∈[2,4),∴函数在[2,4)上是增加的.又f(2)=0,f(4)=168=8,∴f(x)的值域是[0,8).答案:[0,8)9已知二次函数y=f(x)=x22ax+a在区间[0,3]上的最小值为2,求a的值.解:f(x)=(xa)2+aa2,对称轴为直线x=a,按a是否在[0,3]中分三种情况讨论.(1)当a<0时,ymin=f(0)=a=2,经验证,a=2符合题意;(2)当0≤a≤3时,ymin=f(a)=aa2=2,解得a=2或a=1,但1∉[0,3],所以a=2;(3)当a>3时,ymin=f(3)=95a=2,解得a=115,但115<3,综上所述,a=±2.10已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=bx,其中a,b,c∈R,且满足a>b>c,f(1)=0.(1)证明:当a=3,b=2时,函数f(x)与g(x)的图像交于不同的两点A,B;(2)若函数F(x)=f(x)g(x)在[2,3]上的最小值是9,最大值为21,试求a,b的值.(1)证明:由已知3x2+2x+c=2x,即3x2+4x+c=0,又f(1)=0,∴a+b+c=0,∴c=5,∴Δ=424×3×(5)=76>0.因此,函数f(x)与g(x)的图像交于不同的两点A,B.(2)解:由题意知,F(x)=ax2+2bx+c,∴函数F(x)的图像的对称轴为直线x=ba∵a+b+c=0,∴x=a+ca=1+c又a>0,∴F(x)在[2,3]上是递增的.∴F即3a+311已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b是常数且a≠0)满足条件f(2)=0,且方程f(x)=x有等根.(1)求f(x)的解析式.(2)问是否存在实数m,n(m<n)使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[2m,2n]?如果存在,求出m,n的值;如果不存在,请说明理由.解:(1)∵方程ax2+(b1)x=0(a≠0)有等根,∴Δ=(b1)24a×0=0,∴b=1.又f(2)=0,∴4a+2b=0,∴a=12∴f(x)=12x2+x(2)假设存在实数m,n(m<n),使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[2m,2n].则f(x)=12(x1)2+1