高中数学北师大版练习第七章概率单元体验闯关练

第七章单元体验·闯关练1．(2020·海南高考)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A．62%B．56%C．46%D．42%【解析】选C.记喜欢足球的学生为事件A，喜欢游泳的学生为事件B，则P(A∪B)＝0.96，P(A)＝0.60，P(B)＝0.82，因为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以P(AB)＝0.60＋0.82－0.96＝0.46.2．(2020·江苏高考)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是__________．【解析】总事件数为6×6＝36，满足条件的事件有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)共4种，则点数和为5的概率为eq\f(4,36)＝eq\f(1,9).答案：eq\f(1,9)3．(2019·北京高考)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付金额支付方式不大于2000元大于2000元仅使用A27人3人仅使用B24人1人(1)估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数．(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率．(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合(2)的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．【解析】(1)由已知，样本中，仅使用A的有27＋3＝30(人)，仅使用B的有24＋1＝25(人)，都不使用的有5人，所以都使用的有100－30－25－5＝40(人)，所以估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为1000×eq\f(40,100)＝400(人).(2)样本中仅使用B的有25人，其中支付金额大于2000元的有1人，所以该学生上个月支付金额大于2000元的概率为eq\f(1,25).(3)参考答案1：不能认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化．若人数没有变化，则样本中仅使用B的学生有25人，支付金额大于2000元的有1人，由(2)知，随机抽取1人，支付金额大于2000元的概率为eq\f(1,25)，虽然此事件是小概率事件，但也有发生的可能性．这体现了概率的随机性．参考答案2：可以认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化．若人数没有变化，则样本中仅使用B的学生有25人，支付金额大于2000元的有1人，由(2)知，随机抽取1人，支付金额大于2000元的概率为eq\f(1,25)，此事件发生的可能性很小，所以认为有变化．4．(2019·天津高考)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．员工项目ABCDEF子女教育○○×○×○继续教育××○×○○大病医疗×××○××住房贷款利息○○××○○住房租金××○×××赡养老人○○×××○①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．【解析】(1)由已知，老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采取分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人．(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种；②由表格知，符合题意的所有可能结果为{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11种，所以事件M发生的概率P(M)＝eq\f(11,15).1．乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分．如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其他情况记0分．对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为eq\f(1,2)，在D上的概率为eq\f(1,3)；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为eq\f(1,5)，在D上的概率为eq\f(3,5).假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响．求：(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；(2)两次回球结束后，小明得分之和ξ为3的概率和得分之和ξ为4分的概率．【解析】(1)记Ai为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”(i＝0，1，3)，则P(A3)＝eq\f(1,2)，P(A1)＝eq\f(1,3)，P(A0)＝1－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)；记Bi为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”(i＝0，1，3)，则P(B3)＝eq\f(1,5)，P(B1)＝eq\f(3,5)，P(B0)＝1－eq\f(1,5)－eq\f(3,5)＝eq\f(1,5).记D为事件“小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上”．由题意，D＝A3B0∪A1B0∪A0B1∪A0B3，由事件的独立性和互斥性，P(D)＝P(A3B0∪A1B0∪A0B1∪A0B3)＝P(A3B0)＋P(A1B0)＋P(A0B1)＋P(A0B3)＝P(A3)P(B0)＋P(A1)P(B0)＋P(A0)P(B1)＋P(A0)P(B3)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,5)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)×eq\f(3,5)＋eq\f(1,6)×eq\f(1,5)＝eq\f(3,10)，所以小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率为eq\f(3,10).(2)P(ξ＝3)＝P(A3B0∪A0B3)＝P(A3B0)＋P(A0B3)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)×eq\f(1,5)＝eq\f(2,15)，P(ξ＝4)＝P(A3B1∪A1B3)＝P(A3B1)＋P(A1B3)＝eq\f(1,2)×eq\f(3,5)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,5)＝eq\f(11,30).2．某同学参加语文、数学、英语3门课程的考试．假设该同学语文课程取得优秀成绩的概率为eq\f(4,5)，数学、英语课程取得优秀成绩的概率分别为m，n(m>n)，且该同学3门课程都获得优秀的概率为eq\f(24,125)，该同学3门课程都未获得优秀的概率为eq\f(6,125)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立，记ξ为该生取得优秀成绩的课程门数．(1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；(2)求ξ＝1的概率．【解析】设事件Ai表示：该生语文、数学、英语3门课程取得优秀成绩，i＝1，2，3.由题意可知P(A1)＝eq\f(4,5)，P(A2)＝m，P(A3)＝n.(1)由于事件“该生至少有一门课程取得优秀成绩”与事件“ξ＝0”是对立的，所以该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率是1－P(ξ＝0)＝1－eq\f(6,125)＝eq\f(119,125).(2)由题意可知，P(ξ＝0)＝P(A1·A2·A3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5)))(1－m)(1－n)＝eq\f(6,125)；P(ξ＝3)＝