新教材苏教版高中数学选择性必修第二册第六章空间向量与立体几何 课时练习题含答案解析

第六章空间向量与立体几何

6.1空间向量及其运算................................................................1

6.1.1空间向量的线性运算....................................................1

6.1.2空间向量的数量积.....................................................19

6.1.3共面向量定理.........................................................37

6.2空间向量的坐标表示............................................................51

6.2.1空间向量基本定理.....................................................51

6.2.2空间向量的坐标表示..................................................69

6.3空间向量的应用.................................................................88

6.3.1直线的方向向量与平面的法向量........................................88

6.3.2空间线面关系的判定..................................................102

6.3.3空间角的计算........................................................126

6.3.4空间距离的计算......................................................159

6.1空间向量及其运算

6.1.1空间向量的线性运算

一、单选题

ɪ.下列说法正确的是（）

A.任一空间向量与它的相反向量都不相等

B.不相等的两个空间向量的模必不相等

C.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小

D.将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆

【答案】C

【分析】取零向量可判断A选项；利用任意一个非零向量与其相反向量可判断B选项；利用向

量不能比大小可判断C选项；利用单位向量的概念可判断D选项.

【解析】对于A选项，零向量与它的相反向量相等，A错；

对于B选项，任意一个非零向量与其相反向量不相等，但它们的模相等，B错；

对于C选项，同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小，C对；

对于D选项，将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个球，D错.

2.在长方体/88-44GR中，方+通+瓯等于（）

A.ACB.AC1C.BCiD.BD1

【答案】B

【分析】根据长方体EGA,得到相等的向量，再利用空间向量的加法法则进行计算.

【解析】如图，可得而=前，函=西，所以在+N方+西=而+前+宙=布.

_______UUUI

3.在平行六面体Z8CO-44GR中，下列四对向量：①而与GA；②/G与西；③而与

Q5；④丽与麻.其中互为相反向量的有〃对，则〃等于()

【答案】B

【分析】根据平行六面体的几何特征和相反向量的定义即可判断.

【解析】对于①万与函，长度相等，方向相反，互为相反向量；

UUUI

对于②/G与西长度相等，但两向量不共线，，两向量不是相反向量；

对于③亚与乖,易知/8CQ是平行四边形，则两向量方向相反，大小相等，互为相反向量;

对于④丽与麻，易知4。CA是平行四边形，.∙.这两向量长度相等，方向相同.

故互为相反向量的是①③，共有2对，“=2.

4.已知三棱柱点P为线段4G的中点，则后=()

1——1———1一1—.

A.—∕8+√4Cd—AA,B.ABH—AC—AA.

2222

C.—4BT—AC—AAD.—4B4—AC+AA.

221i221

【答案】D

【解析】根据空间向量的线性运算求解即可

【解析】解：在三棱柱ABC-A,BS,点、P为线段BG的中点，则

方=丽,前=葩厢=月=g丽,

所以N=Zξ+港=直+福+；前

=AAx+^AB+^(BA+^C)

=-AB+-AC+AA.,

221

5.三棱锥。-/8C中，点。在棱5C上，且BO=2OC,则/。为

____2__1__

A.AD=OA+-OB——OC

33

B.AD=-OA+-OB+-OC

33

C.AD=OA--OB--OC

33

D.AD=-OA+-OB+-OC

33

【答案】D

【分析】利用向量加减运算及数乘运算求解即可.

【解析】由题得：

AD=A∂+OD^AO+OB+BD

=A∂+OB+^BC=-OA+OB+^(OC-OB)

=-OA+-OB+-OC

33

6.已知正方体ZBCO-48CQI的棱长为1,设Z8=α,5C=⅛,AC=e＞则∣α+万+c∣=().

A.0B.3C.2+√2D,2√2

【答案】D

【分析】利用向量加法的平行四边形法则，结合正方形的性质可得结果.

D∖

G

【解析】

利用向量加法的平行四边形法则，结合正方形的性质，可得

∖a+b+c∖=∖AB+l(C+AC∖=∣Æ4+∣=2∣^4C∣=2√2.

7.已知空间向量b-且9=)+2加BC=-5a+6h<CD=7α-2⅛.则一定共线的三点是

()

A.4B、CB.B、C、DC.4B、DD.4C、D

【答案】C

【分析】根据向量共线判断三点共线即可.

【解析】解：BD=BC+CD=-5a+6b+'7a-2b=2a+4h

=2(a+2b)=IAB,

又而与而过同一点B,

.∙.”、B、。三点共线.

8.如图所示，在平行六面体力8CD-38/G。/中，E,F,G,H,P,。分别是小力，AB,BC,

CC∣,CιDl,DM/的中点，则()

—>→→→

A∙EF+GH+PQ=O

TTTT

b∙EF-GH-PQ=O

c∙EF+GH-PQO

d∙EF-G∕i+PQ=O

【答案】A

【分析】通过相等向量进行平移，将£>,国,超平移后可以首尾相接，最后得出结果即可.

【解析】由题图观察，f>,c⅛,j⅛平移后可以首尾相接，EF+GH+PQ=Z-

9.设1工是不共线的两个向量，且/+/=［，Z〃eR,则（）

A.，=〃=0B.a=b=0

—>—>—>→

c∙Λ=0,⅛=0d∙〃=0,。=0

【答案】A

【分析】根据共线向量的定义即可判断答案.

【解析】若；或W为零向量，则:了共线，不合题意;

若∕l≠0,贝喘=_独，则"共线，不合题意，故4=0,同理〃=0,A正确.

λ，

10.在正四面体/8CO中，尸是NC的中点，E是。尸的中点，若兀=2,丽=5,况=",则而=

（）

D.-a-h+-c

44224422

【答案】A

【分析】利用空间向量加减法的运算法则即可得解.

【解析】依题意，结合图形可得，

1■■•■I■∙I∙I.■"∙II'''>I..I.I

BE=BD-}-DE=-DB+-DF=-DB+-×-（DA+DC）=-DA-DB+-DC=-a-b+-c.

2224444

11.如图，在四面体/8CD中，E,F,G,H分别为48,BC,CD,力。的中点，则

g（N豆+豆3+丽）化简的结果为（）

A.BFB.EHC.HGD.FG

【答案】C

【分析】根据向量的加法和数乘的几何意义，即可得到答案;

【解析】∙∙∙g（布+Z+而）=g（就+而）=；石=gχ2布=旃.

12.如图，在正方形网格中，已知A,B,C三点不共线，P为平面NBC内一定点，点。为平

面力BC外任意一点，则下列向量能表示向量而的为（）

A.OA+2AB+2ACB.OA-3AB-2AC

C.OA+3AB-2ACD.OA+2AB-3AC

【答案】C

【分析】根据A,BC,尸四点共面，可知存在唯一的实数对（x,y）,使万=X益+），%,结

合图形可得x，y的值，即可得到答案;

【解析】根据A,B,C,P四点共面，可知存在唯一的实数对（XJ）,使而=X君+y抚.

由图知x=3,y=-2,

^OP-OA+AP^OA+3AB-2AC>

二、多选题

13.下列说法错误的是（）

A.在平面内共线的向量在空间不一定共线

B.在空间共线的向量在平面内不一定共线

C.在平面内共线的向量在空间一定不共线

D.在空间共线的向量在平面内一定共线

【答案】ABC

【分析】由在平面内共线的向量在空间一定共线判断AC,由在空间共线的向量在平面内一定共

线判断BD.

【解析】A.在平面内共线的向量在空间一定共线，故错误；

B.在空间共线的向量，平移到同一平面内一定共线，故错误；

C.在平面内共线的向量在空间一定共线，故错误：

D.在空间共线的向量，平移到同一平面内一定共线，故正确.

14.在正方体CZ）-44GA中，下列各式运算结果为向量西的是（）

A.-AlA^-AB；

B.（BC+BB）-D£；

C.西_码-2两;

D.5∣Z）l-AlA^+DDt

【答案】AB

（分析】按照空间向量的加法法则和减法法则去逐个判断即可

【解析】如图正方体ABCD—44GA中：

D,C1

选项A:（A^Di-A^A）-AB=ADi-AB=BDi,正确；

选项B：（而+而ɔ-丽函-前=西,正确;

选项C：（TD-AB）-WD.=JD+75D,-3DD,=BDi-3DDl,错误；

选项D：（函一μ+函=（丽-函+西=西+西，错误.

15.（多选）如图所示，〃是四面体。IBC的棱8C的中点，点N在线段OM上，点P在线段

—2—

AN上,且4P=3PN,ON=-OM,设况=,,OB=b，OC=c则下列等式成立的是（）

A.OM--b——c

22

B.ΛN=^b+ɪe-a

-1_1一1一

D.OP=-a+-b+—c

444

【答案】BD

【分析】利用空间向量基本定理结合空间向量的加减法以及数乘运算求解即可

【解析】根据向量的加减法及数乘运算法则：

OM=-(θB+OC^=—b+»A选项错误；

------------—■—.2--------—21——1-1

AN=AO+ON=AO+-OM=AO+-×-{OB+OC)=-b+-c-a,故B选项正确；

__3__3____332___311-31-1

AP=-AN=-(AO+ON)=--a+-×-OM=--a+-×-(b+c)=--a+-b-I--C,故C选项错误；

44443422444

——_31-111-1_

OP=OA+AP=a+(一一J)+-Z)+-c=-a+-∕>+-c,故O选项IF确.

444444

16.已知三棱锥O-48GE,尸分别是048C的中点，尸为线段E/上一点，且PF=2",

设方=2,丽=5,δδ=∣,则下列等式成立的是()

一1-1一11-1

A.0F=-b+-cB.EP=--a+-b+-c

22666

—II-I-11-1

C.FP=一一a+-b+-cD.OP=-a+-b+-c

333366

【答案】ABD

【分析】根据三角形内中点的结论及向量加法、减法的三角形法则逐个分析选项即可得出答案.

【解析】如图，因为尸为BC的中点，所以OF=Io8+10C=；b+1c,故选项A正确；

A

一1_,1______、1___1__"1_1-A11-1一1一1-

EP=-EF=-(0F-0EJ=-0F--0E=-∖-h+-c∖--×-0A=--a+-h+-cf故选项B正

确；

丽=-2而=—2]一\a+-iO=TIT区TG故选项C错误；

丽=瓦+丽=；次+[Ji=TZViTq故选项D正确.

三、填空题

17.共线向量

(1)定义：表示空间向量的有向线段所在的直线，则这些向量叫做或平

行向量.

(2)共线向量定理：对于空间任意两个向量b(b≠b),2〃区的充要条件是存在实数M更

【答案】互相平行或重合共线向量a=λb

【分析】根据共线向量的定义，即可知各空的应填内容.

【解析】由定义，共线向量空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，即为共线向量或平行

向量，

而其充要条件为存在实数/使£=&.

故答案为：互相平行或重合，共线向量，a=λb.

18.下列向量中，真命题是.(填序号)

①若/、B、C、。在一条直线上，则刀与丽是共线向量；

②若小B、C、。不在一条直线上，则而与而不是共线向量；

③向量而与丽是共线向量，则/、B、C、。四点必在一条直线上；

④向量而与而是共线向量，则/、B、C三点必在一条直线上.

【答案】①

【分析】由向量平行共线的定义，依次对四个命题判断即可.

【解析】对于①，若4、B、C、力在一条直线上，则刀与丽是共线向量，故①正确；

对于②，若/、B、C、。构成平行四边形时，A,B、C、。不在一条直线上，但是君与丽是

共线向量，故②不正确；

对于③，若/、B、C、。构成平行四边形时，4、B、C、。不在一条直线上，但是施与丽是

共线向量，故③不正确；

对于④，若4B、C、。构成平行四边形时，力、B、C不在一条直线上，但是在与丽是共线

向量，故④不正确；

19.如图所示，在平行六面体/8C。-H8'C'Z)'的棱中，与向量五？模相等的向量有个.

【答案】7

【分析】根据向量模长相等即可结合几何体特征求解.

【解析】与疝？模长相等的向量有：石,丽,丽,无,黄,丽,丽共有7个.

20.如图，在长方体/8CD-44G。中，P是“。的中点，点M,。分别在Z)C,CG上，且

【分析】根据向量的加法与减法的三角形法则转化即可.

【解析】因为M=而+反+函=g∑5+荏+；西=刀+g∑5+g卷,

PM=PD+DD.+=~AD+AA.+-OC.≈-JB+-AD+AA.,

''2'332'

••,4'•,.4.

所以PQ+PM=-AB+AD+-AA],

~44

所以A=I,c=-,

一44

所以α+b-c=-+1——=1.

33

四、解答题

21.如图所示，在正方体43CD-44GA中，化简向量表达式：

(l)Aβ+CD+BC+DA;

⑵AAy÷BlCl+DlD；

(3)Z√4]+4G+DTD+CB.

【答案】⑴6

⑵赤

⑶O

【分析】(1)(2)(3)结合图形，根据空间向量的线性运算直接化简可得.

【解析】(I)AB+CD+JC+DA^AB+BC+CD+DA=AC+CD+DA^AD^Ab^

(2)由图知，瓯=翅

所以Zξ+瓯+丽=羽+翅+丽=函+丽=元

(3)由图知，CB=DA

所以由(2)可得麴+前+而+3=而+E=而-而=飞

22.如图，已知W,N分别为四面体Z-8C。的面88与面/C。的重心，G为4M上一点,

且GM：GH=I：3.求证：B,G,N三点共线.

【答案】证明见解析.

【分析】设方=2，AC=b<AD,=c>结合已知条件可得丽=g数，再由枝,丽有公共端

点，即可得结论

【解析】证明：取Cz)的中点E,连接AE,BE,

因为W,N分别为四面体Z-BC。的面BC。与面/CD的重心，

所以M在8E上，N在AE上,

----------UUU1

设AB=a，ACτ=b，AD=C，

因为M为48CQ的重心，

所以而=7Z+再而=7万+∣∙χg(元+瓦5)

=TB+^BC+BD^

=AB+^AC-AB+Ab-AB')

―►3-----

因为G":G4=1:3,所以ZG=—

所以BG=BA+AG=BA+—AM=-a+-(a+h+c∖=--a+-b+-c,

44、,444

因为N为△力CD的重心，

所以丽=0+而=丽+g(就+75)=-Z+*I=g数,

∙'∙BN∕∕BG.

又BNCBG=B,

：.B,G,N三点共线.

23.如图，已知空间四边形/88,连接/C,BD,E,F,G分别是8C,CD,05的中

点，请化简：

WAB-CB-DC--

(2)AB+GD+EC‹并在图中标出化简结果的向量.

【答案】⑴/。

(2)JF＞答案见解析

【分析】根据向量的线性运算直接分别化简.

(1)

AB-CB-DC=AB+BC+CD=AD;

(2)

如图所示，

连接G尸，因为E,F,G分别是8C,CD,的中点，

所以砺=而，GF^EC,

所以万+而+就=刘+就+不=万ζ∙

24.如图所示，在平行六面体/8CD-44GA中，M.N分别是44、BC的中点.设而=2,

_____UUU1

AB=h»AD=c∙

(1)己知P是GA的中点，用人1)、)表示后、丽、MP+NQ；

cP1

(2)已知「在线段G"上，且而=5,用'人展表示N∙

【答案】(∖]AP=a+c-∖--b,A,N=-a-st-b+-c,MP+NC.=-a+-b-∖--c

22222

:一一2一

(2)AP=a+c+-b

【分析】由空间向量的线性运算可得.

【解析】(1)因为〃、N、尸分别是44、BC、GA的中点

所以，AP=ADt+D^P=(AAi+AD^+AB=a+c+^bi

A^=A^A+AN=-'AAt+AB+^A'Γ)=—α+⅛+ɪc；

标+而=(丽+语+函+(林+西

=-AA.+AD+-AB+-AD+AA.=-^AA.+-AD+-AB

222222

3-173-

=-a+-b+-c；

222

CxP1一2___

（2）因为而=2,所以AP=IAG

所以"=位+而=瓦+75+—万=Z+Z+-B.

33

25.如图，正方体/BCO—G〃中，点£,尸分别是上底面44GA和侧面CGOQ的中心,

分别求满足下列各式的X,y,Z的值.

（1）AE=XAD+yAB+zAAi;

（2）AF=xAD+yAB-∖-zAAx；

（3）EF=XAD÷yAB+zAA].

【答案】（I）X=J=；,Z=I

I

（2）x=l1,y=z=-

ICI

（3）x=-,y=0,z=~-

【分析】（I）由向量加法的三角形法则和四边形法则得亚=刀I'+乖和祚=；（而+而），由此

即可求出结果；

（2）由向量加法的三角形法则和四边形法则得万ζ=诟+而和而=；（存+后ɔ,由此即可

求出结果；

—►1—►1——►

（3）因为EF=4F_4E，由（1），（2）可知，EF=—AD--AA1,由此即可求出结果.

【解析】（I）解：由向量加法的三角形法则得，AE=M+^Ef

由平行四边形法则和向量相等得，语=;（语+而）=;（而+力）；

所以赤=存+祠=可+g（荏+而）=g而+;而+羽，

所以X=y=；,z=l；

(2)解：由向量加法的三角形法则得，AF=AD+DF^

由四边形法则和向量相等得，DF=^(DC+DDi)=^{AB+AAi);

所以万=石+方=赤+；(而+Zξ)=而+g荏+g∑ξ,

所以x=l,juz=；.

(3)解：由(1),(2)可知，EF=ZF-ZE=fz5+∣^5+∣ZξW∣ZD+∣^+Z^'∣

1―■

一AA.,

⅛22'

所以x=g,y=O,z=-；.

26.如图，在长方体/88-H5'CZ>'中，点M,N分别是//,»8的中点，点。为Bo的中

点.设48=Q,AD=b>AA,=C»用a，b»C表示下列向量：

⑴%，~ABf>Z5，D7B；

⑵既，OM-

【答案】(I))C=a+B;

∕6'=a+c;

A,D=b-c^

D,B=a-b-c^

(2)D,N=a-b-^c；

____1→ι→

OM-

【分析】根据图形和空间向量的线性运算依次求解即可.

(1)

AC=AB+BC=a+b^

AB,=AB+AA=a+cχ

ArD=AD-AAi^b-c;

DiB=TB-JtD'=AB-(AD+jA')=a-(h+c)=a-b-c;

(2)

WN^DiB'+B7N^DB--BB'^AB-Ab--AA'^a-b--C;

222

0M=7M-A0=^AA'-^(AD'+JB)=^AAi-^(AD+7A'+AB)

1~TBɪ~τf∖I-17

2222

27.如图，在空间四边形/88中，已知G为438的重心，民厂,"分别为边CQ,Z。和BC的

中点，化简下列各式：

T]f1-t-

(∖)AG^r-BE--AC↑

⑵;(北+/-&);

]Tɪ→ɪ→

(3)-AB+-AC+-ΛD.

【答案】⑴介

Q)品

⑶/%

【分析】(1)根据向量共线，加法与减法运算求解即可；

(2)根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则求解即可；

(3)根据=∕5+](4C-/BJ+40-48J化简求值即可.

⑴

解：因为G为45CD的重心，E,尸为边C。,力。的中点，

→ɪ→1→→→ɪ→1→T2T]f[τ

所以ZG+-5E——AC=AB+BG+-BE——AC=AB+-BE+-BE——AC

3232332

→—>1—>>1—>→→—>>>

=4B+BE-一AC=AE一一AC=AE-FE=AE+EF=AF,

22

T1-*ITT

所以/G+—BE——AC=AF

32

(2)

解：因为E,F,，分别为边CD,/。和8C的中点,

1(→→→A∖(→TIfTT→

所以—40J=5124"一力OJ=4〃-540=/〃一4/=尸〃

(3)

1→]τ]τ1(fff、AB+^AC-AB^+^AD-AB

解:-AB+-AC+-AD=-∖AB+AC+AD\=

33331)

Tl(T->、→1→T2TT→→

=AB+-∖BC+BD∖=AB+-×2BE=AB+-BE=AB+BG=AG

3l)33

28.如图，在正方体∕8CD-44CQ∣中，E在44上，且不豆=2西，尸在对角线小C上，且

乖=|定.若方=%而=5,福=C,

⑴用a,h,c表示EB-

(2)求证：E,F,8三点共线.

【答案】(1)EB=a-^b-c,(2)证明见解析.

【分析】(1)由已知得丽=瓦+常+而=]取;+9+刀，由此可得答案:

(2)由已知得丽=|丽，由此可得证.

【解析】解：(1)因为祚=2叫，AB=aM)=hJAAX=C,

....2一..2一

所以EB=EAl+A1A+AB=—D{A}+A]A+AB=--b-c^-a,

—2—

所以EB=I——b-c；

3

——2—►

(2)AF=-FC.

y3

~FB=FA,+A^A+AB=-CA^A^4+AB

=W(C8+84+44)+44+∕8

=^-h-a+c^—c+a

3-匕士)

a--h=I丽,

55553

又丽与丽相交于瓦所以E,F,B三点共线.

29.如图所示，已知几何体NBCO-48/G。是平行六面体.

1———2一

（1）化简544+8C+]48结果用方表示并在图上标出该结果（点明E,F的具体位置）；

（2）设M是底面N8C。的中心，N是侧面8CC/5/对角线8。上的点，且C∕N=9c½8,设

4

MN=aAB+βAD+χAy[,试求i,β,y的值.

1-.2一一1I3

【答案】（1）—AAx+BC+—AB=EF；作图见解析；（2）<z=—,B=工,y=—.

【分析】（1）取44/的中点E,在O/C/上取一点R使得DF=2尸。，连接ER再根据向量

的线性运算计算即可；

（2）通过赤，AD'丽表示丽，根据对应关系求出α,£,y的值即可.

【解析】解（1）取的中点E,在QG上取一点尸，

使得。尸=2尸。，连接ER

DlCi

__________1___3___.

(2)MN=MB+BN=-DB+-SC

24

ι__3-----►

+

=5(DA+AB~(SC+CC1)

1—1—3—

=-ABH—AD4—AA.

244,t

113

所以α=q,β=：,γ=-

244

6.1.2空间向量的数量积

一、单选题

1.下列各命题中，不正确的命题的个数为()

①=|「I②/M(44)∙5=(WU)α∙B(m,/IeR)③α∙(5+c)=(5+c)∙α④Z工=B.

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【分析】利用平面向量数量积的运算性质及运算律可判断①③，利用数乘向量的结合律可判断

②，利用数量积的意义及相等向量判断④作答.

【解析】由向量数量积的运算性质知，①正确；由数乘向量的结合律知，②正确；

∙(b+c)=a∙b+a-C-b∙a+c∙a=(b+c)∙a)③正确；

7,7都表示两个非负实数,表示与否共线的向量,不、表示与示共线的向量,即与/£不

一定相等，④不正确.

2.在正方体∕8cr>-4AGA中，有下列命题：

_-------------------------C--------C___________________-----------UUU

①(44+∕D+ZB)2=3∣∕8∣2;②4。(4鸟-44)=0；③/。与48的夹角为60°.

其中正确的命题有().

A.1个B.2个C.3个D.0个

【答案】B

【分析】根据空间向量的垂直和异面直线所成的角求解即可

【解析】解：对于①，

22222

(AA}+AD+AB)=(AA1)+(AD)+(AS)+2AAt-AD+2AAl-AB+2AD-AB=3∑β,J9τ以①正

确；

对于②)，^4∣C∙(AtBl—√4∣√4)=(AB+AD—AA1)∙(AB—AlA)=AB—A1A=0>

所以②正确：

UUU______

对于③，因为48〃。。,/2，/。,。。分别为面的对角线，

______UUU

所以40C=60。,所以ADx与4B的夹角为120。，所以③错误

3.若向量比垂直于向量值和B,向量万=店+〃伙/1,〃eR,且%〃≠0),则()

A.rhHnB.inLn

C.而不平行于脑而也不垂直于历D.以上都有可能

【答案】B

【分析】根据平面向量垂直的定义和数量积运算的性质，即可判断而，鼠

【解析】解：向量比垂直于向量2和B,则玩∙M=0,而石=0,

又向量方=4M+，

所以fh∙n=m∙(λa+μb)=λm∙a+μm∙b=0,

所以而±n.

4.在正三棱柱48C-44G中，若4B=BB∖,则鸡在南上的投影向量为()

A.一西B.!西C.-BCiD.--5C

4422

【答案】B

【分析】如图建系，求得各点坐标，可得福,西，根据投影向量的求法，代入公式，即可得

答案.

【解析】过4作4AJ∙4G,分别以IR,4G，为“，〃z轴正方向建系，如图所示,

设正三棱柱∕8C-44G的棱长为2,

则4(0,0,2),B∖(√3,1,0),5(√3,1,2),C1(0,2,0),

所以布=(6,1,-2),西=(√3,1,-2),

所以福在画上的投影向量为I福］COS＜福,BCi

5.已知空间向量z,h,|«|=i,∣⅛∣=√2,且】_%与G垂直，则Z与B的夹角为（）

A.60B.30°C.135°D.45°

【答案】D

【分析】根据已知可得G-可i=0,根据数量积的运算律即可求出cos«&=乎，进而求出

结果.

【解析】因为屋Z与G垂直，所以R∕）G=O,

所以cos(a3)=乎.

j^∙r

又0。"词≤18(Γ,所以0,9=45°.

6.三棱锥Z-BCO中，AB=AC=AD=2,ZSAO=90。，ZfiyiC=90°,则次•丽等于

A

A.OB.2C.-2√3D.2√3

【答案】A

【解析】根据所给的条件把三棱锥底边上的向量写成两条侧棱的差，进行数量积的运算，这样

应用的边长和角都是已知的，得到结果.

【解析】解：因为4/。=90。，ZBAC=90°

即方J,Σ5,ABlAC

所以刀.而=^XB∙AC=0

丽•丽=万∙（Z5-硝

=AB∙AD—AB∙AC

=0-0=0

7.已知空间向量ZiI满足£+5+2=0,H=2，W=3，H=4,则Z与5的夹角为（）

A.30oB.45°

C.60oD.以上都不对

【答案】D

【分析】设）与分的夹角为仇由£+加+2=0,得£+加=工，两边平方化简可得答案

【解析】设Z与各的夹角为仇

由α+5+c=6'得α+Z=-c,

两边平方,得/+2Z/+片=占

因为卜卜2,啊=3,卜卜4,

所以4+2χ2x3COSe+9=16,解得COSe=L

4

8.正方体/8CD-GA的棱长为1,。为棱片。的中点，则有（）

A.BC-B^D.=2B.AB-AO=-C.AB-AD.=∖D.BCDO=-

112112

【答案】B

【分析】由空间向量数量积的运算律对选项逐•判断,

【解析】对于A,反•丽=阮•丽=1,故A错误，

对于B,ABA∂=^-AB2=^-,故B正确，

22

对于C,48上平面则万•函=0,故C错误，

对于D,BCi=BC+BBi,D∂=^(DA+DC+DD,),

-=,

由垂直关系化简得8C：■DO=^^BC,DA+—BB]-DDt=ɪ+ɪθ故D错误,

9.已知2,尻了为两两垂直的单位向量，则∣a-B+W=()

A.1B.√3C.√2D.2

【答案】B

【分析】根据向量数量积的定义和运算律可求得|万-5+己］，由此可得结果.

【解析】由题意知：同=W=同=1,a-b=a-c=b-c=0'

.∙.∖a-b+c^=∖a^+∖b^+∖c^-2a-b+2a-C-2b-C=3,Λ∣5-⅛+C∣=√3.

10.已知在平行六面体力8。£>-44Ca中，向量在，^AD-您两两的夹角均为60°,且I而卜1,

∖AD∖=2,I词=3,贝川肉I=()

A.5B.6C.4D.8

【答案】A

【分析】利用向量的数量积公式即可求解.

【解析】如图，平行六面体48CDGA中，

向量而、AD`祠两两的夹角均为600，

且I词=1,I与卜2,I怒卜3,

ACT=AB+BC+CCT

2

：.AC1=(JB+BC+CCI^

.2.2.2....,.

=AB-+BC+CC,+2AB-BC+2AB∙CCi+2BC∙CCl

=l+4+9+2×l×2×cos60+2×1×3×cos60+2×2×3×cos60

=25.

,国=5,

11.在棱长为1的正方体44GA中，设方=3，而=B，AAx-c,则4（Hc）的

值为（）

A.1B.0C.-1D.-2

【答案】B

【分析】由正方体的性质可知而、AD>羽两两垂直，从而对化简可得答案；

【解析】解：由题意可得ABYAAx,

所以Q_LC，所以Q∙加=0，Q∙c=θ,

-<1-2-、1—2—

所以αl”一丁卜万口"一针C=O，

12.正四面体/-8Cz）的棱长为4,空间中的动点P满足I丽+斤卜2五，则万.而的取值范

围为（）

A.[4-2√3,4+2√3]B.[√2,3√2]

C.[4-3√2,4-√2]D.[-14,2]

【答案】D

【分析】分别取8C,4。的中点E,F,由题意可得点P的轨迹是以E为球心，以为半径的

球面,又万.历=4-冏°,再求出网的最值即可求解

【解析】分别取BC,3的中点E,F,则I而+元∣=∣2网=2√Σ,

所以阀=0,

故点P的轨迹是以E为球心，以√∑为半径的球面，

Q∙而=_（而+可.（而+而）=_（而+或）（而_硝=同一网2=4_|研,

又ED=yjDC2-CE2=√16-4=√12=2√3,EF=yjDE2-DF2=√12-4=瓜=2√5^，

所以I而I=^F-√2=√2,IPFI=M+√Σ=3√Σ,

IIminIImax

所以万•丽的取值范围为卜14,2].

二、多选题

13.设£,5为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（）

.-2_|-|2a-bb

A.Q—kzBd.———=—

'1a∙aa

_一∖2-»2-2/一-*∖2-2-•-•**2

（a∙hj=a∙bD.∖a-^}=“-2a∙h+h

【答案】AD

【分析】根据空间向量数量积的定义与运算律一一判断即可；

【解析】解：对于A：α2=α∙α=∣α∣∙∣<7∣cos0=∣α∣,故A正确:

即2无意义,

对于B：因为向量不能做除法,故B错误;

对于C:（α∙5）=QaH.cos,]）=|«|∙∣6∣CoCkM,故C错误;

对于D：（4-3）=（Q-A）∙（α-B）=α-2Q∙1+否~,故D正确；

14.三棱锥。-/8C中，040B,0C两两垂直，且CM=OB=OC,下列命题为真命题的是（）

B

/'i’'—'i∖2'2，•一”--——•

A.∖OA+OB+OC^=30AB.BC(CA-CO)=O

1∣,UUΓUUUTUlUT

C.a+瓦和B的夹角为60°D.三棱锥O-NBC的体积为K(∕8∕c)∙x8C

【答案】ABC

【分析】根据空间向量数量积的运算性质，结合棱锥体积公式逐一判断即可.

【解析】A：(OA+OB+OC^=OA+OB2+OC2+2OA-OB+2OC-OA+2VB-OC,

因为0408,。C两两垂直，所以次.砺=无历=无.玩=0,

而。4=O8=OC,所以(0N+08+0C)=3。/,本命题是真命题;

B：BC(CA-C∂)=(J∂+OC)OA=BOOA+OCO/.,

因为0405,0C两两垂直，所以方.历=反.万=0,

因止匕8C∙(C4—CO)=0,本命题是真命题;

C：^+δB)^=(OA+OB)(C∂+OA)=OAC∂+OA2+()BC∂+OBOA，

因为0408,。C两两垂直，所以刀.砺=玩京=丽.玩=0,

所以(德+丽).击=而