时等边三角形的性质与判定

第十三章轴对称人教版数学教材八年级上课前准备：1、将与本堂无关书籍收好、桌面清理干净。2、准备好教材、草稿纸、笔记本、黑笔、红笔、直尺圆规。1332等边三角形第1课时等边三角形的性质与判定学习目标1．探索等边三角形的性质和判定．（重点）2．能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明．（难点）知识回顾ABC1、在△ABC中，若AB=AC，则；若∠B=∠C，则。2、在△ABC中，若AB=AC，AD是BC边上的高，则有∠____=∠_____;____=____∠B=∠CAB=ACBADCADBDCDD小明想制作一个三角形的相框，他有四根木条长度分别为10cm，10cm，10cm，6cm，你能帮他设计出几种形状的三角形？问题引入等腰三角形等边三角形一般三角形在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，即三角形的三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫作等边三角形正三角形名称图形定义性质

判定等腰三角形等边对等角三线合一等角对等边两边相等两腰相等轴对称图形ABC有两条边相等的三角形叫做等腰三角形类比：等边三角形会有哪些性质和判定呢？等边三角形的性质一类比探究ABCABC问题1等边三角形的三个内角之间有什么关系？等腰三角形AB=AC∠B=∠C等边三角形AB=AC=BCAB=AC∠B=∠CAC=BC∠A=∠B∠A=∠B=∠C内角和为180°=60°结论：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°已知：AB=AC=BC，求证：∠A=∠B=∠C=60°证明：∵AB=AC∴∠B=∠C等边对等角同理∠A=∠C∴∠A=∠B=∠C∵∠A∠B∠C=180°,∴∠A=∠B=∠C=60°ABCABC问题2等边三角形有“三线合一”的性质吗等边三角形有几条对称轴？结论:等边三角形每条边上的中线,高和所对角的平分线都“三线合一”顶角的平分线、底边的高底边的中线三线合一一条对称轴三条对称轴图形等腰三角形

性质

每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合三个角都相等，对称轴（3条）等边三角形对称轴（1条）两个底角相等底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合且都是60º两条边相等三条边都相等知识要点例1如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°∵∠ABE＝40°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°∵BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°，∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°典例精析方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60°，这个性质常应用在求三角形角度的问题上，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质类比探究等边三角形的判定二图形等腰三角形判定

三个角都相等的三角形是等边三角形等边三角形从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形三条边都相等的三角形是等边三角形小明认为还有第三种方法“两条边相等且有一个角是60°的三角形也是等边三角形”，你同意吗？等边三角形的判定方法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形辩一辩：根据条件判断下列三角形是否为等边三角形（1）（2）（6）（5）不是是是是是（4）（3）不一定是例2如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC,求证：△ADE是等边三角形ACBDE典例精析证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C∵DE//BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C∴∠A=∠ADE=∠AED∴△ADE是等边三角形想一想：本题还有其他证法吗？方法总结：判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；二是证明三角形三个内角相等；三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60°1、如图，等边三角形ABC中，AD是BC上的高，∠BDE＝∠CDF＝600，图中有哪些与BD相等的线段？当堂检测P80T2P83T122、如图，△ABD、△AEC都是等边三角形，求证：BE=DCDABEC课堂小结等边三角形定义底=腰特殊性性质特殊性边三边相等角三个角都等于60°轴对称性轴对称图形，每条边上都具有“三线合一”性质判定特殊性三边法三角法等腰三角形法等腰三角形有一个角是600等边三角形是一种特殊的等腰三角形，你能述说等边三角形与等腰三角形在定义，性质和判定的异同吗

定义

性质

判定

等腰三角形

等边三角形有两条边相等1、两个底角相等2、三线合一3、对称轴一条1、三个角都相等2、三线合一3、对称轴三条有三条边相等1、定义2、等角对等边1、定义2、三个角都相等3、等腰三角形有一个角是600能力提升：△ABC为正三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于Q点，∠BQM等于多少度？解：∵△ABC为正三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC又∵BM＝CN，∴△AMB≌△BNCSAS，∴∠BAM＝∠CBN，∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°方法总结：此题属于等边三角形与全等三角形的综合运用，一般是利用等边三角形的性质判定三角形全等，而后利用全等及等边三角形的性质，求角度或证明边相等当堂练习

2如图，等边三角形ABC的三条角平分线交于点O，DE∥BC，则这个图形中的等腰三角形共有（）A4个B5个C6个D7个DACBDEO1等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（）A．105°B．120°C．135°D．150°B3在等边△ABC中，BD平分∠ABC，BD=BF，则∠CDF的度数是（）A．10°B．15°C．20°D．25°4如图,△ABC和△ADE都是等边三角形，已知△ABC的周长为18cm,EC=2cm,则△ADE的周长是cmACBDE12B5如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以AB为边在△ABC外作等边△ABD，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F．求证：△AEF≌△BEC．证明：∵△ABD是等边三角形，∴∠DAB=60°，∵∠CAB=30°，∠ACB=90°，∴∠EBC=180°-90°-30°=60°，∴∠FAE=∠EBC．∵E为AB的中点，∴AE=BE．又∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF≌△BEC（ASA）．6如图，A、O、D三点共线，△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形，求∠AEB的大小CBO