2023-2024届新高考一轮复习人教A版 第一章 第六讲　基本不等式 学案

第六讲基本不等式

•双基自测SHl

知识梳理

知识点一重要不等式

a2+b2^2ab（a,bGR）（当且仅当a=b时等号成立）.

知识点二基本不等式我W等（均值定理）

（1）基本不等式成立的条件：α>O,匕〉0；

（2）等号成立的条件：当且仅当厘时等号成立;

（3）其中号叫做正数α,C的算术平均数，的叫做正数α,b的几何平均

知识点三利用基本不等式求最大、最小值问题

（D如果X,y∈（O,+8）,且孙=p（定值），

那么当』=y一时,x+y有最小值2√λ（简记：“积定和最小”）

（2）如果X,y∈（0,+8）,且χ+y=s（定值）,

V2

那么当x=y时，孙有最大值了（简记：“和定积最大”）

归纳拓展

常用的几个重要不等式

（l）a+b^2-4ah（a>0,比>0）.（当且仅当α=Z?时取等号）

2

（α,AeR）.（当且仅当时取等号）

2

（3）（空IW工要（α,b∈R）.（当且仅当α=b时取等号）

（4）^+τ≥2（α,。同号）.（当且仅当a=人时取等号）.

≤/+序

-ɪ-（ɑ,">0当且仅当a=b时取等号）∙

双基自测

题组一走出误区

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“J"或‘'x")

(1)不等式，+反22"与皇2迎有相同的成立条件.(X)

(2)y=x+(的最小值是2.(X)

(3)函数/)=sinx+忌;，尤∈(θ,驯勺最小值等于4.(×)

SillJi\乙)

(4)若a>O,则〃+点的最小值为2g.(×)

(5)。〉0且y>0”是的充要条件.(X)

yχ

题组二走进教材

2.泌修1P46T3改编)若x>O,y>O,且x+y=18,则底的最大值为(A)

A.9B.18

C.36D.81

［解析］因为x+y=18,所以∙∖∕^≤g2=9,当且仅当尤=y=9时，等号成

立.

3.(必修1P48习题Tl改编)若x<O,则尤十%D)

A.有最小值，且最小值为2

B.有最大值，且最大值为2

C.有最小值，且最小值为一2

D.有最大值，且最大值为一2

［解析］因为XV0,所以一X>0,-x+±22,当且仅当X=-I时，等号成

立，所以x+=≤-2.

4.(必修1P48练习T2改编)若函数./U)=x+占(x>2)在x=α处取最小值，

则α=(C)

A.1~∖^y∣2B.1~∖~y∣3

C.3D.4

［解析］因为X>2,所以√(x)=x+-4=(%—2)+二)+222、/(X—2)∙τ~7

人44N∖∣√vN

当且仅当占,

2=4,x―2=即光=3时，等号成立.故α=3.

题组三走向高考

5.(多选题)(2022・新高考卷∏)若X,y满足f+y2一孙=1,则(BC)

A.%+y≤1B.x+y2-2

C.√+∕≤2D.x2+y2^l

((+y)2

［解析］对于A,B：由/+y2-Xy=1，得(x+y)2-3孙=1,又孙=-4—-

Q_y)2圻N,_1_、2J(X+>)2(χ-y)2］削(χ+y>q3(x_y>a+yp

4，所以(x+>)3［4—4_|_1葭即1-4+4T4，

所以-2Wx+yW2,所以A不正确，B正确；

对于C,D：由x1+y1-χy=l,得x1+y2-1=xy≤^-y^-,当且仅当X=y

时取等号，所以f+VW2,所以C正确，D不正确.综上可知，选BC.

6.(2020・江苏，12)已知5∕y2+y4=i(χ,.∈R),则/十V的最小值是；

22222

［解析］由5χJ+y4=l知yW0,.∙.χ2=-^^,.∙.χ+γ=-^f-+y='5y∕

=方+与22艰4当且仅当亲=,即尸斗上卷时取“=”•故/

4

+y2的最小值为之

7.(2019・天津，13)设尤〉0,y>0,x+2y=4,则。+DF)`十1)的最小值为

χy4-

I副研］(x+l)(2y+l)2xy+x+2y+l2xy+55

［解析］-----------=-------------=------

ljxyxyxy=2+—xy.

Vx>0,y>0,/.4=x+2y^2y∣x∙2y9解得0<xyW2,

当且仅当x=2y=2,即尤=2且y=l时”=”成立.

此时.二2+,22+?=?,

xy2xy22

站(χ+l)(2y+l)必曰I估工9

故----------的取小值为不

Ay乙

考点一利用基本不等式求最值——多维探究

角度1配凑法

例1(1)(2022・长沙模拟)设04‹|,则函数y=4x(3-2x)的最大值为(C)

29

⑵若x<3，则於)=3x+1+亚立有(C)

A.最大值OB.最小值9

C.最大值一3D.最小值一3

⑶Q022∙天津模拟涵数y—1)的最小值为上

(4)(2023.沈阳模拟)若Oa＜；,则y=x∖∣1一41的最大值为

［解析］(l)y=4x(3—2x)=2∙2x∙(3—2x)

2工+3-2£9

2,

3ɪ,

当且仅当2x=3-2x,即X=W时取等号,

39

•・当X=W时，ymax-2,

(2)Vχ<∣,/.3χ-2<0,

9

y(x)=3x—2+汇与+3

~Q—3x)+至<+3

≤-2ΛJ(2—3Λ)-2-3V+3=-3.

9

当且仅当2-3x=丁丁，

2-3X

即无=_'时取.

(3)因为x>—1,则x+l>O,

诉W[(χ+l)+4][(χ+D+1]

所以y=不1

(X+1)2+5(X+1)+4

x+1

4

=α+D+干+5

-Wl)⅛T+5=9,

4

当且仅当x+l=-⅛,即x=l时等号成立，

X十71

所以函数的最小值为9.

(4)V0<x<∣,

二y=x∖∣i­4x2=∙∖∕Λ2(1-4x2)=^4Λ2(1—4x2)生~~,

当且仅当4X2=1-4X2,

即无=乎时取等号，

则y=x∖∣1-Ax1的最大值为

名师A拨MINGSHIDIANBO

拼凑法求最值的技巧

(1)用均值定理求最值要注意三个条件：一正、二定、三相等.“一正”不

满足时，需提负号或加以讨论，“二定”不满足时，需变形，“三相等”不满足

时，可利用函数单调性.

(2)求乘积的最值.同样要检验“一正、二定、三相等"，如例(2)的关键是

变形，凑出积为常数.

角度2常数代换法求最值

21

例2(1)已知正数X,y满足x+2y=4,则彳+2的最小值为二

ʌy

Q1

(2)已知正数x,y满足：+；；=1,则x+2y的最小值为」

χy

［分析］(2)先利用乘常数法或消元法，再利用基本不等式求解最值.

［解析］⑴汨=(沼卜+2/冷卜+'子)制(4+2耒用=2.

当且仅当A*≡p{XJ4=［；］：'时取等号.

(2)解法一：x+2y=(^+^∙(x+2y)=10+^+-^^10+2^^11=18,当且

/!+y=1*fx=12,

仅当［I6v即f=3时“=”成立’故"+2y的最小值是18.

Q1rr

解法二(消元法)：由：+;;=1,得y=----由y>0=>〉0,又x>0=>x>8,

XyX—oX-o

9Y2(χ-8)+1616=(尤-提+

则x+2y=尤+口=尤+=X+2+8)+

x-8x-S

10^2Λ/(Λ-8)∙-⅛+10=18,当且仅当χ-8=-⅛⅛,即x=12(x=4舍去)，y

\1X—oX—o

=3时，"="成立，故x+2y的最小值为18.

名师点被MINGSHIDIANBO

常数代换法的技巧

(1)常数代换法就是利用常数的变形以及代数式与'T'的积、商都是自身的性

质，通过代数式的变形构造和式或积式为定值，然后利用基本不等式求最值.

(2)利用常数代换法求解最值应注意：①条件的灵活变形，常数化成1是代

数式等价变形的基础；②利用基本不等式求最值时“一正、二定、三相等”的检

验，否则容易出现错解.

角度3消元法

例3已知x>0,y>0,x+2>y+xy=9,则x+3y的最小值为迅—.

［解析］解法一：(换元消元法)

.、2

由已知得9—(九+3y)=；.光∙3y≤gjgT,

当且仅当X=3y,即X=3,y=l时取等号.

即(x+3y)2+12(x+3y)-10820,

令x+3y=f,则>0且P+12/—10820,

得『26,即x+3y的最小值为6.

解法二：(代入消元法)

9-3y

由x+3y+孙=9,得X=]+),,

所以〜甘9—3y9—3y+3y(l+y)

卜3尸不一

9+3/3(l+y)2-6(l+y)+12

=]+y=∖+y

12/12^

=3(l+y)+ττr622λy3(l+y>ττr6

=12—6=6,

12

当且仅当3(l+y)=干，即y=l,x=3时取等号,

所以x+3y的最小值为6.

［引申］本例条件不变，求孙的最大值.

［解析］解法一：9一孙=x+3y22小石，

.'.9~xy^2∙∖∣3xy,

令标>=t,.'.t>0,

Λ9-∕2≥2√3r,gpz2+2√3r-9≤0,

解得0<f≤√5,

.'.y∣xy^-∖∣3,/.xγ≤3,

当且仅当尤=3y,即X=3,y=l时取等号，

/.xy的最大值为3.

解、出一..9—3)，

解法一：∙X=1,

ι+y

9-3y9y—3y2

・'•产百尸=Hy

-3(y+l)2++S+l)—12

y+ι

=—3(y+l)—币+15

≤-2嘲3。+1)凿+15=3∙

12

当且仅当3(rM)=j吉，即y=l,x=3时取等号.

'.xy的最大值为3.

［思维升华］(1)前提：“一正”“二定”“三相等”.

(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用

基本不等式.

(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，

利用常数'T'代换的方法；三是消元法.

〔变式训练1〕

(1)(角度1)已知函数犬X)=W⅛［+χ］χ>,,则.共幻的最小值为|_.

一14

(2)(角度2)(2023•宁夏银川一中月考)已知正数x、y满足尤+y=l,则；：+H

ʌ1I-y

的最小值为(B)

9

A.2B.2

C.-yD.5

21

(3)(角度2)(2023•济宁模拟)已知正数加，〃满足机+2〃=8,则立+［的最小值

为」_,等号成立时机，〃满足的等量关系是加=2〃.

(4)(角度3)(2022•百校联盟尖子生联考)己知α,⅛∈R∖且。+2匕=出?一16,

则ab的最小值为(B)

A.16B.32

C.64D.128

［解析］(l)∙.∙2x>l,Λχ-∣>0,

2111

+-+

式*)=2x-l+%=-JΛ22

x~2

113

当且仅当一LY=即X=M时取“.

x~2

*x)的最小值为|.

(2)∙.%+y=l,所以x+(l+y)=2,

19

所以--

X2

'4x_l+yX=y

当且仅当«i+y—X,即当Iɪ时取等号，

J+y=l,k]

14Q

・・士+£的最小值为看故选B.

X1+y2

口

1包1

-++7-

⑶因为m+2n=8,所以弓+X"铲^8机8

（4+2\^^）=*4+4）=1,当且仅当彗=々,即机=4,"=2时等号成立,

（4）α∕>-16=α÷2⅛≥2√20⅛,令7>0,

则产一2y∣2t—16∙0=>t2'=4y[i,

故abN32,即成的最小值为32.（当且仅当α=8,b=4时取等号）故选B.

考点二利用基本不等式解决实际问题——师生共研

例4（2022・湖北孝感模拟）《九章算术》是中国古代最重要的数学著作之一,

其中第九章“勾股”中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门.出东

门一十五里有木.问出南门几何步而见木？”其算法为：从东门向南走到城角的

距离，乘从南门向东走到城角的距离，乘积作被除数，以树距离东门的距离作除

（9×∣）×（×∣）

数，被除数除以除数得结果，即设出南门X里见到树，则―ɪ7Z若

一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步恰好能看到此树，则该

小城的周长的最小值为（注：1里=300步XD）

A.2回里B.4回里

c.6√I5里D.8√T5里

［解析］因为1里=300步，则由题图知£3=1200步=4里，GA=750步

EF-GF

=2.5里.由题意得GA=S,则EF∙GE=EBGA=4X2.5=10,所以该小城

LD

的周长为4（EF+GF）28√旗而=8√而（里），当且仅当EE=GF=√I5（里）时等号

成立.故选D.

名师点拨MINGSHIDIANBO

利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应

满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求

得函数的最值.

〔变式训I练2〕

（2022•济南模拟）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容

量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关，假设某条道路一小

时通过的车辆数N满足关系N=O五;1曲,其中尚为安全距离，。为车速

（m∕s）.当安全距离而取30m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（B）

A.135B.149

C.165D.195

、，1OOOu1OOO11OOO

［解析］由题意得,TV=------------------z--------=-------------------------------------------.----

0.7U+0.3V2+3007+03。+即0.7+2√0.3×30

F49,当且仅当0.3。=掌即。=10时取“="，所以该道路一小时“道路容

量”的最大值约为149.故选B.

基本不等式的综合应用

角度1基本不等式与其他知识交汇的最值问题

C-LQ

例5设等差数列｛&｝的公差为d,其前〃项和是S“若α∣=d=l,则」「的

Cln

最小值是

AlL.n(l+n)

［解析］Z=Gl+(〃一l)d=72,Sn=2

所以空=Ftm

n

16

“2∙

.¾nι∣4

C-LQQ

当且仅当〃=4时取等号，所以