2023-2024届新高考一轮复习人教A版 第五章 第一讲　平面向量的概念及其线性运算 学案

第五章平面向量与复数

第一讲平面向量的概念及其线性运算

知识梳理•双基自测

知识梳理

知识点一向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的是

度_(或称模).

(2)零向量：长度为O的向量叫做零向量,其方向是任意的,零向量记作

O.

(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量:平行向量又叫共线向

量.规定：O与任一向量平行.

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.

知识点二向量的线性运算

向量运算定义法则(或几何意义)运算律

力

(1)交换律：

一三角形一法则g-∖-b-b-∖^a；

加法求两个向量和的运算

(2)结合律：

-α*(a+5)+c=a+()+c)

_平行四边形一法则

向量a加上向量b的

ʌ

相反向显叫做α与a-b=

减法

b的差，即a+(-b)“十(一»

_三角形—法则

=a-b

(1)模：M=囚M；设九"是实数.

实数2与向量α的积

数乘(2)方向：(l)Λ(∕<a)=(λμ)a

是一个向量记作λa

当2>0时，/Ia与a的(2)a，+〃)a=2a+〃a

方向相同；(3)∕l(α+A)=2α+

当λ<0时，加与Q的Xb.

方向.相反.；

当2=0时，Aa=O

知识点三共线向量定理

向量α(α≠O)与力共线，当且仅当存在唯一一个实数人使归四

归纳拓展

1.零向量与任何向量共线.

2.与向量α(αW0)共线的单位向量端.

3.若存在非零实数九使得屈=AA号或宿=2反'或位7=2比，则A,B,C

三点共线.

4.首尾相连的一组向量的和为0.

5.若尸为AB的中点，则舁=氐宓+而.

6.若a、5不共线，且2α="b,则2=〃=0.

双基自测

题组一走出误区

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“义”)

(1)向量就是有向线段.(X)

(2)Ial与向是否相等，与α,b的方向无关∙(√)

(3)若。〃。，b//c,则a〃c.(X)

(4)若向量屈与向量⑦是共线向量，则A,B,C,D四点在一条直线上.(X)

(5)当两个非零向量α,方共线时，一定有Z>=%”,反之成立.(J)

题组二走进教材

2.(必修2P22T4改编)化简部+说)一病一∙=(B)

A.ADB.0

C.BCD.DA

［解析］AB+BD-AC-CD=AD-(AC+CD)=AD-AD=O.

3.（必修2Pi5T3改编）向量e/,e2,a,）在正方形网格中的位置如图所示,

向量。一/,等于（C）

A.—4eι-Iei

B.~2eι~4e2

C.Cι~3e2

D.3eι~β2

［解析］由图可知a=-4e2,b=-(eι+ei)^.'.a-b-e∖-3re2,故选C.

4.（必修2P∣4例6改编）如图所示，在平行四边形ABCo中，下列结论中错

误的是（C）

∖.AB=DC

B,AD+AB=AC

C-AB-AD=BD

D,AD+CS=0

［解析］由协一Ab=访=一由），故C错误.

题组三走向高考

5.（2020.新高考II,3,5分）若。为aABC的边AB的中点，则宓=（A）

A.2CD-CAB.lrC∖~CD

C.2CD+CAD.2CA+CD

［解析］：。为AABC的边AB的中点，

ΛCb=^（CA+Cβ）,，西=2⑦一瓦故选A.

6.(2015•新课标2,13,5分)设向量4,万不平行，向量2α+Z＞与α+2Z＞平行,

则实数一

［解析］:ɑ`〃不平行，.∙.α+2)≠0,由题意可知存在唯一实数〃?，使得以

+b=m(a-∖-2b),即(4一机)∙α=(2∕"-1)。，

λ一m=O解得%=今

2w-l=0

•互动探究

考点一向量的基本概念——自主练透

例1(1)(多选题)(2023.临沂模拟)下列命题中的真命题是(BC)

A.若⑷=步则a=b

B.若A,B,C,。是不共线的四点，则“福=比”是“四边形ABCO为

平行四边形”的充要条件

C.若a=b,b=c,则Q=C

D.α=A的充要条件是Ml=Ibl且a〃Z＞

(2)设”,8都是非零向量，下列四个条件，使土自成立的充要条件是(D)

A.ct~~bB.α=2Z＞

C.Q〃〃且MI=I勿D.α〃〃且方向相同

［解析］(I)A不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.

B正确.AB=DC,二I荏I=|皮)且油〃反，又A,B,C,。是不共线的

四点，,四边形ABC。为平行四边形；反之，若四边形ABCQ为平行四边形，

则I屈|=|比屈〃前且屈，比方向相同，因此屈=皮.

C正确∙∙∙Z=b,...a,D的长度相等且方向相同，又方=c,二瓦C的长度

相等且方向相同，:.a,C的长度相等且方向相同，故α=c.

D不正确.当α〃〃且方向相反时，即使Ial=步也不能得到。=5，故Ial=

向且。〃分不是Q=Z＞的充要条件，而是必要不充分条件.故选BC

(2忘表示a方向的单位向量，因此言=j⅛的充要条件是且。与D同向.

名师点被MINGSHIDIANBO

(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.

(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.

(3)平行向量就是共线向量，二者是等价的；但相等向量不仅模相等，而且

方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量.

(4)非零向量。与合的关系是：言是α方向上的单位向量.

IalIal

考点二向量的线性运算—多维探究

角度1向量加、减法的几何意义

例2设非零向量Q,♦满足∣α+8∣=∣α一回,则(A)

A.al.bB.∖a∖=∖b∖

C.a∕∕bD.∣α∣>l⅛∣

［解析］解法一：利用向量加法的平行四边形法则.

在QABC。中，设矗=α,AD=b,

由∣α+例=M一例知，∖AC∖=∖DB∖,

从而四边形ABC。为矩形，≡PABA-AD,故αJL瓦

解法二：∖,∖a+b∖=∖a-b∖,

Λ∣a+⅛∣2=∣α-6∣2.

：.a1-∖-b1+2ab=a1+b1-2ab.

・∙α∙A=O.・∙α-L

角度2向量的线性运算

例3(2022•青岛质检)在AABC中，BD=^BC,若筋=α,AC=b,则Ab=(A)

A.∣α÷∣Z>B.∖a+^b

12,21,

C.^ja-^bD.ɜɑ-ɜft

［解析］解法一：如图，过点0分别作AC,AB的平行线交AB,AC于点E,

F,则四边形AEZA7为平行四边形，所以屐)=戏+4方.因为渲>=:庆?，所以崩=

∣Aδ,AF=∖λC,所以量)=■1麴+1■屐7=至+；。，故选A.

解法二：Ab=ΛB÷æb=AB÷^BC=Aβ÷^(AC-AS)=∣AB÷∣AC=∣α÷∣6,

故选A.

角度3根据向量线性运算求参数

例4(2023.济南模拟)如图，在平行四边形ABa)中，口是BC的中点，CE=

-2DE,若访=X筋+诙，则x+y=(C)

Λ

A6

•B.

1D.1

C-

6-3

［解析］因为四边形ABC。是平行四边形,

所以屈=反，AD=BC,

因为走=一2励，所以反)=一g反=一/

连接AF,在AAEF中，

所以辟=育+4>=曲一疝+屈+游

=—∣AS-AE>+AB+^BC=∣Aβ-

又因为浙=X/布+)疝,

2l1

--故

y-X-6-

3,2,+y

名帅A披MINGSHIDIANBO

平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略

⑴考查向量加法或减法的几何意义.

(2)求已知向量的和或差.一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差

用三角形法则；求首尾相连的向量的和用三角形法贝I.

(3)与三角形综合，求参数的值.求出向量的和或差，与已知条件中的式子

比较，求得参数.

(4)与平行四边形综合，研究向量的关系.画出图形，找出图中的相等向量、

共线向量，将所求向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.

〔变式训练1〕

(1)(角度1)(2022.湖北宜昌一中月考)已知a,b是两个非零向量，且∣α+例=Ia

+∖b∖,则下列说法正确的是(D)

A.α÷6=0

B.a=b

C.α与方共线反向

D.存在正实数九使”=劝

(2)(角度2)(2022.长沙模拟)如图，在梯形ABCo中，BC=2AD,DE=EC,

设丽=α,BC=Z>,则旗=(D)

⑶(角度3)(2023.长春调研)在aABC中，延长BC至点M使得BC=ICM,

连接AM,点N为AM上一点且俞=；篇/,^AN=λAB+μAC,贝(］%+〃=(A)

A.ξB.2

C.-2D.—ɜ

［解析］(1)因为4,方是两个非零向量，且∣α+"=∣α∣+制，所以。与〃共线

同向，故D正确.

(2)解法一：如图所示，取BC的中点E连接AF,因为3C=2AO,所以AO

=CF,AD//CF,所以四边形ADb为平行四边形，贝UA尸〃C。，所以Cb=成.

因为OE=Ee,所以■=Tc力=昴,所以丽=比+C⅛=册+品=就+；(或一

,故选D.

解法二：如图，连接BD,

因为DE=EC,

2,2,32

131ɜ

=2或+彳比=∕α+/,故选D.

⑶由题意，知俞=；川》=；(矗+说/)=；猫+gx'或■林+；(府*—施)=

—^4B+^AC,又俞=法方+//A还，所以A=—',〃=；，则2+〃=：.故选A.

考点三共线向量定理及其应用——师生共研

例5设两个非零向量。与万不共线.

(1)若屈=α+b,BC=2a+Sb,CD=3(a~b),求证：A,B,。三点共线；

(2)试确定实数匕使人+6和Q+历共线.

［分析］(1)利用向量证明三点共线时，首先要证明两个非零向量共线，然后

再说明两向量有公共点，这时才能说明三点共线；

(2)利用共线向量定理求解.

［解析］(1)证明：'.'AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),

.∖BD=BC+CD=2a+Sb+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB.

：.AB,国)共线，

又：它们有公共点B,

.∙.A,B,D三点共线.

(2)'."ka+b与a~∖^kb共线，

二存在实数九使Aα+b=∕i（α+劭）,

即ka+b=λa+λkb.

：.(k—λ)a=(λk—1)6.

■：a,8是不共线的两个非零向量,

7:-2=0,

解得A=±L

.止-1=0,

［引申］本例(2)中，若kz+方与α+H＞反向，则k=—1；若kι+Z＞与α+

初同向，则％=—一.

［解析］由本例可知ka-irb与a-∖^kb反向时2＜0,从而k=-1；kajrb与a

十奶同向时尢＞0,从而左=L

名帏点披MINGSHIDIANBO

平面向量共线的判定方法

⑴向量。与非零向量a共线的充要条件是存在唯一实数2,使要注意

通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想

的运用.

(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共

线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.

〔变式训I练2〕

(1)(2022•济南模拟)已知向量Q,♦不共线,⅛c=λa+b,d=a+(2λ~↑)b,

若C与d共线反向，则实数2的值为(B)

A.1B.—2

C.1或一TD.-1或一；

(2)已知向量α,b,C中任意两个都不共线，并且α+5与C共线，分+c与a

共线，那么a+)+c等于(D)

A.aB.b

C.cD.0

［解析］(1)由于C与d共线反向，则存在实数%使c="(A＜0),

于是x,a+6=k［a+(2λ—1)6］,

整理得筋+5=Az+(2λk~k)b.

λ=k,

由于α,b不共线，所以有

2λk一k—1,

整理得2乃一2—1=0,解得2=1或/=一；.

又因为Z<0,所以2<0,故人=一故选B.

(2)解法一：∙.∙Q+力与C共线，.>"+)=AIC.①

又∙.P+c与α共线，.∙.8+c=22α.②

由①得：b=λ∖c-a.

.*.⅛+c-Zic—Q+C=(2I+I)C—a=λ2d.

2ι+l=0,Pll=11

：.\即V9

，2=11,122=-1.

∙'α+b+c=—c+c=O.故选D.

解法二：①一②得a-c=λ∖