二次函数与最大利润问题

03典例导练04小结导构在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？01情境导入02问题导探2232二次函数与最大利润问题02问题导探01情境导入03典例导练04小结导构某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是元，销售利润是_______元180006000数量关系（1）销售额=（3）利润=（2）单件利润=填一填售价×销售量售价－进价销售额－总成本=单件利润×销售量例1某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元出售，那么一个月内售出180件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？03典例导练01情境导入02问题导探04小结导构①每件商品的销售单价上涨元，一个月内获取的商品总利润为y元，填空：单件利润（元）销售量（件）每月利润（元）正常销售涨价销售1018010180－10y=10180－101800建立函数关系式：y=10180－10即：y=－10280180003典例导练01情境导入02问题导探04小结导构营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故180－10≥0，因此自变量的取值范围是≤18③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？y=－102801800当=4时，即销售单价为34元时，y取最大值1960元故：当销售单价为34元时，该店在一个月内能获得最大利润，为1960元②自变量的取值范围如何确定？03典例导练01情境导入02问题导探04小结导构=－10－42196002问题导探01情境导入03典例导练04小结导构用二次函数解决最大利润问题的一般步骤一建：建立总利润与价格之间的函数关系式运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”二定：结合实际意义，确定自变量的取值范围三最：在自变量的取值范围内确定最大利润可以利用配方法或公式法或交点法求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出01情境导入04小结导构练1某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？涨价销售①每件涨价元，则每星期售出商品的利润y元，填空：单件利润（元）销售量（件）每星期利润（元）正常销售涨价销售2030020300－10y=20300－10建立函数关系式：y=20300－10即：y=－1021006000600003典例导练02问题导探03典例导练01情境导入02问题导探04小结导构②自变量的取值范围如何确定？营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300－10≥0，且≥0，因此自变量的取值范围是0≤≤30③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？y=－1021006000当

时,y=－10×52+100×5+6000=6250.即定价65元时，最大利润是6250元降价销售①每件降价元，则每星期售出商品的利润y元，填空：单件利润（元）销售量（件）每星期利润（元）正常销售降价销售2030020－30018y=20－30018建立函数关系式：y=20－30018即：y=－182606000600003典例导练01情境导入02问题导探04小结导构练1某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？综合可知，应定价65元时，才能使利润最大②自变量的取值范围如何确定？营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20－≥0，且≥0，因此自变量的取值范围是0≤≤20③涨价多少元时，利润最大，是多少？当

时,即定价约为583元时，最大利润是6050元y=－182606000由12的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗03典例导练01情境导入02问题导探04小结导构例2某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，件，售价为元/件，每月的总利润为Q元1当售价在40～50元时，每月销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元？2当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时当该商品售价是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？3若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价与当月的销售量各是多少？03典例导练01情境导入02问题导探04小结导构解：由题意得：当40≤≤50时，03典例导练01情境导入02问题导探04小结导构例2某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，件，售价为元/件，每月的总利润为Q元1当售价在40～50元时，每月销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元？Q=60－30=60－1800∵Q随的增大而增大∴当=50时，Qma=1200答：此时每月的总利润最多是1200元解：当50≤≤70时，50b=60∴y=－2160（50≤≤70）解得：=－2b=16003典例导练01情境导入02问题导探04小结导构例2某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，件，售价为元/件，每月的总利润为Q元2当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时当该商品售价是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？设y与函数关系式为y=b把50，60、70，20代入，得：70b=20∴y=－2160（50≤≤70）∴Q=－30y=－30－2160=－22220－4800=－2－552125050≤≤70∵a=－2＜0，图象开口向下，∴当=55时，Qma=1250∴当售价在50～70元时，售价是55元时，获利最大，最大利润是1250元03典例导练01情境导入02问题导探04小结导构解：∵当40≤≤50时，Qma=1200＜1218当50≤≤70时，Qma=1250＞121803典例导练01情境导入02问题导探04小结导构3若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价与当月的销售量各是多少？∴售价应在50~70元之间令－2－5521250=1218解得：1=51，2=59当1=51时，y1=－2160=－2×51160=58件当2=59时，y2=－2160=－2×59160=42件∴若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价为51元，销售量为58件或售价为59元，销售量为42件03典例导练01情境导入02问题导探04小结导构练21若该商品售价在40～70元之间变化，根据例题的分析、解答，直接写出每月总利润Q与售价的函数关系式；并说明，当该商品售价是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？2若该商店销售该商品所获利润不低于1218元，试确定该商品的售价的取值范围；3在2的条件下，已知该商店采购这种新商品的进货款不低于1620元，则售价为多少元时，利润最大，最大利润是多少元？解：Q与的函数关系式为：60－1800（40≤≤50）－2－5521250（50≤≤70）Q=由例2可知：若40≤≤50，则当=50时，Qma=1200若50≤≤70，则当=55时，Qma=1250∵1200＜1250∴售价是55元时，获利最大，最大利润是1250元03典例导练01情境导入02问题导探04小结导构练21若该商品售价在40～70元之间变化，根据例题的分析、解答，直接写出每月总利润Q与售价的函数关系式；并说明，当该商品售价是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？解：①当40≤≤50时，∵Qma=1200＜1218∴此情况不存在60x－1800（40≤x≤50

）－2(x－55)2+1250（50≤x≤70）Q=03典例导练01情境导入02问题导探04小结导构练22若该商店销售该商品所获利润不低于1218元，试确定该商品的售价的取值范围；②当50≤≤70时，Qma=1250>1218，令Q=1218，得－2－5521250=1218解得：1=51，2=59由Q=－2－5521250的图象和性质可知:当51≤≤59时，Q≥1218∴该商品所获利润不低于1218元，则售价的取值范围为51≤≤59Q05512185951125003典例导练01情境导入02问题导探04小结导构解：由题意得：51≤≤5930－2160≥1620解得：51≤≤5303典例导练01情境导入02问题导探04小结导构练23在2的条件下，已知该商店采购这种新商品的进货款不低于1620元，则售价为多少元时，利润最大，最大利润是多少元？∵Q=－2－5521250的顶点不在51≤≤53范围内又∵a=－2＜0∴当51≤≤53时，Q随的增大而增大∴当=53时，Qma=1242∴此时售价应定为53元，利润最大，最大利润是1242元Q0551242535101情境导入02问题导探04小结导构03典例导练本节