2023-2024年中考数学复习：圆的切线的证明 压轴题汇编（含答案解析）

2024年中考数学专题复习：圆的切线的证明高频压轴题汇编

1.如图，RtZ∖ABC中，NABC=90。，点。，O分别在A8,AC上，CD=CB,。经

过点B,D,弦£>P_LAB于点E,连接B尸.

⑴求证：AC为：。的切线；

⑵若NA=30。，AE=3,求。尸的长.

2.如图，AB是O的直径，点C在A8的延长线上，Ao平分一。正交,。于点力,

且AEJ_C£),垂足为点E.

(1)判断直线CE与。的位置关系，并说明理由；

(2)若BC=4,CD=8,求半径的长.

3.如图，AB是。。的直径，射线BC交。。于点D,E是劣弧A£>上一点，且用E=£)E，

过点E作EFLBC于点F,延长FE和BA的延长线交于点G.

C

(1)证明：GF是。。的切线；

(2)若4G=3,GE=3√3,求。。的半径和EF的长.

4.图，AB是O的直径，点C在AB的延长线上，AO平分/C4E交。于点。，过

点A作AELCD,垂足为点E.

(1)判断直线CE与O的位置关系，并说明理由；

(2)若BC=3,CO=3万，求。的半径以及线段££＞的长.

5.如图在RtZ∖ABC中，NC=90。，以AC为直径作。，交A8于。,过。作OE〃AB,

交BC于E.

(1)求证：DE是:。的切线；

(2)如果：。的半径为3,DE=A,求A8的长.

6.如图，在RtAABC中，ZAeS=90。，。是BC边上一点，以。为圆心，OB为半径

的圆与48相交于点O,连接C。，且CO=AC.

(1)求证：CD是：。的切线；

(2)若AC=4,CE=2,求半径的长.

7.如图，在.ABC中，Nc=90。，AD是254C的平分线，。是AB上一点，以OA为半

径的。经过点。，交AB于点E.

第2页共30页

(1)求证：BC是：。的切线；

(2)若BE=2,BD=4,求。的半径.

8.如图：四边形ABa)内接于。，AB为。的直径，点C平分OB，过点C的直线

分别交AB、AD的延长线于点F、E,⅛ZABC+ZOCE-90°.

⑵若CE=4,DE=2,求A£).

9.如图，RtZ∖ABC中N3C4=90。，AE2^AD×AC,点。在AC边上，以Co为直径

(2)若AD=£>0=1,求SE的长度.

10.如图，A8是；。的直径，点。是AB延长线上的一点，OC与。相切于点C.连

⑴求证：ZA=ZBCD;

⑵若NO=45。，。的半径为2,求线段AO的长.

11.如图，AB为。的直径，P在84的延长线上，C为圆上一点，且NACP=/3.

⑵若∕¾=4,PC=BC,求BC的长.

12.如图，以AB为直径作)。，在。上取一点C,延长AB至点。，连接。C,

ZDCβ=ZDAC,过点A作AEJLA。交OC的延长线于点E.

13.如图，AB是。。的直径，8。平分NABC,DELBC

(1)求证：Z)E是。。的切线：

(2)若CE=2,DE=4,求。。的半径.

14.已知..ABC内接于以43为直径的O,过点C作。的切线交84的延长线于点£),

且D4:AB=I2

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(1)求证：ADCA=AOBC-.

(2)求NCOB的度数；

(3)在切线OC上截取CE=CE>,连接EB,判断直线EB与40的位置关系，并证明.

15.如图，在-ABC中，AB=AC.以AB为直径的。与BC交于点E,与AC交于点

D,点F在边AC的延长线上，且/CBF=JNSAC

⑴试说明FB是:。的切线；

(2)过点C作CG_LAF,垂足为C.若C/=4,BG=3,求。的半径；

S.1

(3)连接DE,设Aa>£的面积为S∣,AABC的面积为S?,若"≠=小Ae=IO,求8C的

ɔɔɔ

长.

16.如图，AB为。的直径，C为。上一点，CD_LA3于点。.P为AB延长线上

一点，APCD=IABAC.

⑴求证：CP为。的切线；

(2)BP=l,CP=√5.

①求。的半径；

②若M为AC上一动点，求OΛ∕+ZW的最小值.

17.如图，以RBCE的直角边BC为直径作。0,交斜边EC于点A,Ar)IBC于点£>,

点尸是8E的中点，连接CF与A/)相交于点G,延长AF与CB的延长线相交于点R

E

(1)求证：Λ4是。。的切线；

(2)求证：点G为AD的中点；

(3)若2FG=EB,且O。的半径长为3,求B。的长度.

18.如图，AB是。O的直径，点C是。O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为

点D,直线De与AB的延长线相交于点P,弦CE平分/ACB,交AB于点F,连接

BE.

(1)求证：AC平分NDAB；

(2)求证：APCF是等腰三角形；

(3)若tan/ABC=^,BE=7√2,求线段PC的长.

D

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参考答案:

I.(1)见解析

(2)DF=2√3

【分析】(1)连接。。，OC,根据“SSS”可得A(MC三AOZJC,进而可得结论;

(2)根据NA=30。可得OE,再由垂径定理可得。尸.

【解析】(1)连接。。，OC,如图：

CD=CB,OD=OB,OC=OC,

：.Δ<9BC≡Δ0DC(SSS)1

.∖ZODC=ZOBC=90°,

；.AC1是：。的切线.

(2)VZA=30o,AE=3,DFrAB

AD=2DE,AE2+DE2=AD2

：.+DE2=(2DE)2

解得：DE=不

,∙,BELDF

.,.DF=2DE=2√3

【点评】本题考查了切线的判定，垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键.

2.(I)直线CE与。相切，证明见解析

(2)6

【分析】(1)连接0。，证NEW=NOZM,得至UOA£,再由AEJ_CD,证得ODJ_CE,

结合已知点。在。上,最后证得直线CE与1O相切;(2)连接。。，设半径为X,在RtXODC

中，运用勾股定理建立关于X的方程，解方程即可求得半径.

【解析】(1)解：直线CE与，0相切，证明如下：

如图，连接。。，

；点。在：O上，

OA=OD,

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：.ZOAD=ZODA,

・・•AO平分∕C4E,

：・ZEAD=ZOADf

：・ZEAD=ZODAf

：.OD∕∕AE,

又YAElCD,

：.NE=90。，

/.NOpC=NE=90。，

：.ODYCE9

•・・点。在。上，

・・・C。是O的切线，

即直线CE与O相切.

(2)解：如图,连接。。，

设半径为M

则OD=O6=%,

•：BC=4,

：•OC=OB+BC=x+4f

・.,NQQC=90。，

在AfAODC中，

VOC=x+4fOD=χfCD=Sf

：・OC2=OD?+CD?,

即(X+4)2=X2+82,

解得，X=6,

即半径为6.

【点评】本题考查了切线的判定及性质，掌握切线的判定方法，勾股定理是解题的关键.

3.⑴见解析；

(2)。。的半径为3,EF=∣√3.

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【分析】（1）连接。E,先证明NASE=NCBE,再证明NOEB=NÆBE,BF//OE,进而

证明OE_LGE,即可证明GF是Θ0的切线；

（2）设。。的半径为〃根据勾股定理得到.—+（36）2=（3+/）2,解方程即可得到。。的

半径为3；根据8尸〃OE,得到Sl=空，即可求出=

EFOB2

【解析】（1）证明：如图，连接OE,

•：AE=DE'

・・・ZABE=ZCBE9

•：OE=OB,

：.ZOBE=ZOEB1

：•NOEB=NFBE,

：•BF//OE,

•：EFlBCf

：.ZBFE=90°,

JNBFE=NoEG=90。,

：.OELGEy

・・・GF是。。的切线；

・.・在RtΔG(9E中，OE2+GE2=OG2，

Jr2+(3√3)2=(3+r)2,

解得厂=3,

即。。的半径为3；

・・・。0的半径为3,

,

..OG=AG+OA=6f

β.∙BF//OE，

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.GE_GO

"~EF~'OBi

即施=9,

EF3

.*.EF=-y∕3.

2

【点评】本题为圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的判定，勾股定理，平行线分线段成

比例定理等知识，熟知相关定理并根据题意灵活应用是解题关键.

4.(I)CE是O的切线，理由见解析

(2)3；也

2

【分析】(1)连接。。，根据等腰三角形的性质得出NoAO=NOZM,根据角平分线的定义

得出NE4O=N0AT>,即NE4D=NODA,根据平行线的判定方法得出ODyA£,根据

AEYCD,得出ODLCO,根据即可得出结论：

(2)设8=x=O8,在RLCOD中，由勾股定理列出关于X的方程即可；先求出

CDOC

OC=O8+6C=3+3=6,然后再根据8〃A£,得出W=EL,代入数据即可得出答案.

DEOA

【解析】(1)：CE是：O的切线，理由如下：

连接。。，如图所示：

•：OA=OD,

：.NOAD=NOZM,

・・・AO平分/C4E,

：•ZEAD=ZOADf

：.ZEAD=ZODA9

：.OD//AE,

又YAElCDf

：.ODlCDf

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∙.∙。。是半径，

CO是。的切线；

(2)解：设OD=x=O3,在RjCoD中，由勾股定理得，OZ>2+Q)2=OC2,

即X2+(3√3)2=(Λ+3)∖

解得x=3,

即半径为3；

,.∙OD=OA=OB=3,

，OC=O8+3C=3+3=6,

根据解析(1)可知，OD//AE,

.CDOC

''~DE~~OA,

即1,

DE3

解得：DE二座.

2

【点评】本题主要考查了切线的判定，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理,

解题的关键是根据平行线的性质得出OaIkE.

5.(1)证明见解析；

(2)AB=10

【分析】(1)连接。。，证明.。。£空OCE,NoDE=NC=90。，由切线的判定得出.

(2)由条件得出A3=2OE,而。石是∕⅛Z∖Of>E的斜边，根据勾股定理求出.

【解析】(1)连接。。；

,:OE//AB,

：•NEOC=ZA,

•：OD=ON,

：.ZODA=ZA9

•：ZEOC+ZDOE=ZDOC=ZODA+ZA=2ZA,

,ZDOE=ZA,

：.ZEOC=ZDOE,

在和.。DE中，

OC=OD

,/EOC=NDOE,

OE=OE

：.ΛOCE^ΛODE(SAS),

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/.NC=NQDE=90。，

：・ED是O的切线；

(2)♦：OE〃AB,CO=OAf

：.CE=EB;

・・・OE是的中位线；

：•AB=2OE↑

在RfZXODE中，

VZODE=90o,OD=3,DE=A,

:,OE=HObl+㈤=5；

JAB=2OE=10.

【点评】此题考查了切线的判定、全等三角形的性质与判定、三角形中位线的性质及勾股定

理的等知识.

6.(1)证明见解析

⑵3

【分析】(1)连接。Q,证明NOZ)C=90。可得结论;

(2)在RtC中用勾股定理列方程计算即可.

【解析】(1)连接。。.

OB=OD

.∙.NB=NBDO,

AC=CD

:.ZA=ZADC

ZA+ZB=9()0

.∙.NBOO+ZADC=90。

.∙.ZODC=90°

JCO是。的切线；

(2)设半径为小则OD=OE=r

•：ΛC=4,CE=2

ΛAC=CD=4fOC=OE+EC=r+2

在RI△/)DC中，OD2+DC2=OC2

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Λ√+42=(r+2)2

解得r=3

即半径的长为3.

【点评】此题考查的是切线的判定与性质、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解决此题

的关键.

7.(1)见解析

(2)3

【分析】(1)由QA=OD及AO平分NBAC,则可得OD//AC,再由NC=90°即得到要证的

结论；

(2)连接。E,证明△比由相似三角形的性质即可求得半径.

【解析】(1)证明：A=OA。平分NfiAC,

ΛZODA=ZOAD,NDAC=NoAD,

：.NODA=ZDAC,

ODHAC,

,.∙NC=90。，

ZODB=ZC=90°,

即BC是。的切线；

(2)连接。E,如图，

,∙∙AE是圆的直径，

ZAz)E=NC=90°,

,.∙ZDAC=ZOAD,

：.ZAED=ZADC,

"：ZB=ZB,

.*.ABDES公BAD,

.BDAB

BEBD

.“BD216Q

•∙AB=------=—=8,

BE2

：.AE=AB-BE=8-2=6f

则圆的半径为：^ΛE=3.

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【点评】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，掌握这两点知识是关键,

其它还涉及平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，直径所对的圆周角

是直角等知识，证明三角形相似是本题的关键.

8.⑴见解析

⑵6

【分析】（1）连接OCACf由圆的内接四边形的性质可得/EDC=NABC,根据

NAβC+NE）CE=90。可得NE=90。；进一步证明A£〃OC即可得出结论；

（2）连接80,交。C于点可构造矩形QECM和AABO的中位线。历；然后根据勾股

定理求出OM,从而求出A。；

【解析】（1）解：如图，连接OeAC；

Y点。平分08

：•ZEAC=ZCAO

t:OA=OC

：.ZCAO=ZACO

:.ZEAC=ZACO

：.AE//OC

：.NoCF=NE

・・・四边形ABCQ内接于（O

：.ZABC+ZADC=180°

YNEDC+NADC=180。

：•/EDC=ZABC

,.∙ZABCZDCE=90°

：.ZEDC+ZDCE=90°

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.,.NE=90°

.,.NOC尸=90°

.∙.OClEF

：.CE为。的切线；

(2)解：如图，连接BO,交OC于点M；

E

为。的直径

.*.ZADB=NBDE=90o=NE=NOCE

，四边形OECM是矩形

ΛCM=DE=2,DM=CE=A

VAE/∕OC,OB=OA

：.OM是AABD的中位线；

BM=DM=4,AD=20M,NoMB=ZADB=90。

^OM=x,则OB=OC=x+2

在用一QW8中

OM2+BM2=OB2

即：X2+42=(x+2)2

解得：X=3

，OM=3

故：AD=IOM=6

【点评】本题考查了圆的切线的判定、圆周角、勾股定理、圆的内接四边形等知识点；根据

多个垂线构造矩形转化线段是解题的关键.

9.(1)见解析

⑵G

【分析】(1)根据4炉=AOXAC得出芸=*，ZA=ZA,得出..AEDSAEC,可得

ADAE

ZAED=ZACE,由。C是直径，可得ZDEC=90。，则NE>EO+NOEC=90。，又OD=OE,

得出NOEC=NOCE,等量代换可得NAED+NQED=90。，即可得证；

(2)在RtAAOE中，勾股定理求得AE,证明.AOEs41AgC,根据相似三角形的性质求

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得A8的长，即可求解.

【解析】（1）解：如图,

,.∙AE2^AD×AC,

.AEAC

•∙~=~f

ADAE

又∙∙Z=ZA,

ΛAED^AEC,

：.ZAED=ZACE,

即Z1=Z2,

•・•OC是直径，

/.ZDEC=90°,

即Z3+Z4=90o,

又OD=OE,

JZ1=Z4,

・•・/2=/4,

Z2+Z3=90o,

即

・・・OE是半径，

/.AB是:O的切线；

(2)•：AD=Do=EO=OC=1,

：.AO=2,OE=l,AC=A0+8=1+2=3,

在RtZkAOE中，AE=y∣A。=OE?=5

TAB是。的切线，

：.OE±ABf

JZAEO=ZACB,

XvZA=ZA,

J-AoES,ABC,

.AOAE

・------=------,

ABAC

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∙'∙AB=2百，

.,∙BE=AB-AE=6

【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，切线的判定，掌握相似三角形的

性质与判定是解题的关键.

10∙(1)证明见解答过程；

⑵2+2√∑.

【分析】(1)连接OC,根据切线的性质得到NBCD+ZOCB=90°,根据AB是。的直径,

得至IJZA+NOBC=90。，WZOCB=ZOBC,证明ZA=ZBCO；

(2)根据NO=45。，。的半径为2,求出0。，进而求出AD.

【解析】(1)证明：连接0C,

DC是。的切线，

.∙.ZOCD=90°,即ZBCD+ZOCB=90°,

AB是：。的直径，

.-.ZACB=90°,

二ZA+NOBC=90°,

QOC=OB,

:.NOCB=NOBC,

,ZA=NBCD;

(2)解：在RtAOCD中，ND=45。,OC=2,

:.OC=CD=I,

.∙.OD=42OC=2>∕2,

.∙.AD=OA+OD=2+2^2.

【点评】本题主要考查的是切线的性质以及圆的基本性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的

半径是解题的关键.

11.(1)见解析

(2)BC=4√3

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【分析】(1)连接OC,由题意易得NACB=90。，则有ZACo+NQBC=90°,然后可得

ZACP+ZACO=9()°f进而问题可求证；

(2)过点。作8C的垂线。。，垂足为。，则BD=CD,然后可得尸A=PC,则有AoC是

等边三角形，进而根据等边三角形的性质及勾股定理可进行求解.

【解析】(1)证明：连接OC,则OC是。的半径，ZOBC=ZOCBf

AB是，:。的直径

/.ZACS=9()0

.∙.ZACO+ZOCB=90°

ZACO+ZOBC=90°

ZACP=40BC

∙∙∙ZACP+ZACO=90°

二•AC是(。的切线；

(2)解：过点。作BC的垂线。。，垂足为£>,则比>=8

PC=BC

."P=ZB

ZACP=ZB

..ZP=ZACP

.∖PA=PCf

由(1)可知：ZP÷ZAOC=90o,?BIOAC90?

.'.ZAOC=ZOAC

.二AOC是等边三角形

.∖ZOΛC=60°,/3=30。

AP=4

..OB=OA=AP=4

.∙.QD=2

由勾股定理得：BD=2道

:.BC=4√3.

【点评】本题主要考查切线的判定、圆周角定理及垂径定理，熟练掌握切线的判定、圆周角

定理及垂径定理是解题的关键.

12.(1)见解析

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(2)ΛE=6

【分析】（1）连接OC,根据圆周角定理的推论得到/ACB=90。，即/8CO+/ACO=90。，

求得/ACO=NOCB,得到Co=90。，根据切线的判定定理得到CO是。。的切线；

（2）根据勾股定理求出。8=3,可得AB=6,AD=S,根据切线长定理得到AE=CE,在

Rf△/1£>E中，利用勾股定理即可得到结论.

【解析】（1）证明：连接0C,如图，

「AB为直径，

ΛZACβ=90o,即NBCO+NACO=90°,

,.∙OC=OA,

：.ZACO=ZCAD,

又,：/DCB=NCAD,

：.ZACO=ZDCB,

ΛZDCB+ZBCO=90o,即NDCO=90°,

∙.∙OC是OO的半径，

...C。是。。的切线；

(2)解：；/£>CO=90。，OC=OB,

二OC2+CD2=OD2,

.∙.082+42=(OB+2)2,

.∙.08=3,

.,.AB=6,AD=S,

∖'AE±AD,A8是。。的直径，

，A£是。。的切线，

；CO是。。的切线，

.-CE,

∖∙在RtLADE中，AD2+AE2DE2,

Λ82+AE2=(4+AE)2,

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：.AE=6.

【点评】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也

考查了圆周角定理的推论、切线长定理和勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键.

13.(1)见解析

(2)5

【分析】(1)连接。。，根据等腰三角形的性质和角平分线得出OC〃BE,再根据垂线和平

行线的性质得出ODLDE,进而得出OE是。。的切线；

(2)根据圆周角定理和垂径定理得出4F=FC=OE=4,在Rf△04尸中，由勾股定理列方程

求解即可.

【解析】(1)解：如图，连接0。，

平分/ABC,

.∙.NABD=NDBC,

OB=OD,

.∙.NABD=NoDB,

：.ZODB=ZDBC,

：.OD//BE,

DEVBE,

：.ODLDE,

,CE是。。的切线；

(2)如图，连接4C,交。。于F,

YAB是。。的直径，

ZACB=90o,

又,.∙ZFDE=Wo,NDEC=90。,

四边形FnEC是矩形，

：.DF=CE=2,FC=DE=A.

由垂径定理可知AF=CF=4

设。。的半径为r,

在心AOAF中，由勾股定理得，OF2+AF2=OA2

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即(r-2)2+42=r2,

解得/-5.

即半径为5.

【点评】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理、垂径定理以及勾股定理，掌握切线的判

定方法，掌握圆周角定理、垂径定理以及勾股定理是正确解答的关键.

14.(1)答案见解析

(2)30°

(3)直线£»与O相切，证明见解析

【分析】(1)连接OC,由题意可得：OCA.CD,NAC8=90。，所以NOBC+NOAC=90。，

ZDCA+ZACO=90°,又因为NoAC=NACO,所以NDC4=NOBC,即可得证；

(2)先根据ZM:A8=1:2,得出ZM=r,DO=2r,进而得出AACO是等边三角形，即可

得出结论；

(3)先证明出8=C3,进而得出△(7麻是等边三角形，即可得出结论.

【解析】(1)解：连接0C,

CD是。的切线,

.∙.NOCD=90。=ZDCA+ZACO,

AB是：。的直径，

.∖ZACB=90°=ZOBC+ZOAC,

OA=OC,

ZOAC=ZACO,

.∙.ZDCA=NoBC

(2)解：连接0C,

CD是。的切线,

.∙.NOCO=90°,

第21页共30页

设：。的半径为，则AB=2〃,

ZM:AB=1:2,

.∙.ZM=r,DO=2rf

.・.A为。。的中点，

.∙.AC=-DO=r

29

.∙.AC=CO=AO=T9

∙∙∙ZXACO是等边三角形，

.∙.NCW=60。，

.∙.ZCDB=30°；

(3)解:直线EB与《。相切,

证明：连接OC,

由(2)可知NCDO=30°,

o

.∖ZCOD=Mf

QOC=OBf

\?OCB?OBC30?,

・•.ZCBD=/CDB,

..CB=CD,

CO是。的切线，

1.NOCE=90。,

ZECB=60°,

CE=CDf

CB=CE,

.二CBE为等边三角形，

.∖ZEBC=60°,

:.NEBA=NCBD+NEBC=90°,

EB是t。的切线.

【点评】本题主要考查了切线的性质和判定，圆周角定理,等边三角形的判定，判断出AACO

和△€1旗是等边三角形是解本题的关键.

15.(1)见解析

第22页共30页

(2)3

(3)BC=4√5

【分析】(1)根据切线的判断方法证明ΛB,M即可求解；

(2)根据tan/=受=组即可求出A8即可求解；

CFBF

Sɪ

(3)连接求出E为BC中点，得到SABDE=SACDE，根据不二三，设S∣=。，S=5a,

ɔ2ɔ2

CD2

得到SMcD=2α,S”8D=3〃，求出W=:得到AD=6,CD=4,再根据勾股定理即可求

AD3

解.

【解析】(1)证明：连接AE.

YAB为直径，

ZAEB=90。.

又・・•AB=AC,

.*.ZBAE=-ZBAC

29

・.・ΛCBF=-ΛBAC,

2

：.NCBF=NBAE.

β.∙ZBAE+ZABE=90。,

：.NFBC+ZABE=90°,

即ABl.M∙

又YAB是直径，

；・FB与O相切.

(2)解：VAB=AC,

：・ZABC=ZACBt

又∙.∙AS_LM,CGlACf

：.ZABC+NGBC=ZACB+/BCG,

・•・/GBC=/BCG,

：,BG=CG=3.

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VCG=3,CF=4,

：.FG=5,

：.FB=8.

••.3"=迎

CFBF

：.AB=6,

.,.。的半径是3.

(3)解：连接BD.

ΛZADB=90°.

VAB=AC,AELBC,

二E为BC中点,

•∙SBDE=SCDE∙

乂又,邑5,

设S]=4,S2=5a,

==

,∙SBCD20，SABD3。

IJBCD_土

ς一3

UABDJ

.CD_2

"AD^3

又：AB=AC=10,

ΛAD=6,CD=4.

在RtAABD中，BD=√AB2-AD2=8>

,在RtsBC。中，BC=JCD°+BD2=4方.

【点评】此题主要考查圆的切线综合，解题的关键是熟知三角函数的性质、切线的判定、勾

股定理的应用.

16.(1)见解析

⑵①半径为2；②g√iW

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【分析】（1）连接OC,根据已知证得NPoC=NPeD,由NpoC+NOCO=90。.证得

ZPCD+ZOCD=90°,即NOCP=90。，即可得证；

（2）①设。的半径为L在RtoCP中，利用勾股定理即可求得；

②先证得ACoPS/Re,根据相似三角形对应边成比例求得CO的长，作点。点关于AC的

对称点E,连接ED,交AC于此时OM+DM=EZ）值最小，连接AE,EC,证得四边

形AOCE是菱形，进而证得EC=2,NECD=90。,然后根据勾股定理即可求得ED,即

OM+DM的最小值.

【解析】（1）解：连接0C,

∙.∙APCD=2ABAC,APOC=2ABAC,

NPoC=NPCD,

∙/CDLAB于点。，

NODC=90。.

.∙.ZPOC+ZOCD=90°.

：.NPCD+NOCD=90。.

：.ZOCP=90°.

半径OC_LCP.

：.CP为。的切线.

(2)解：①设。的半径为『，

^.,在Rt0CP中，OC2+C尸=OP2,CP=下,BP=I,

：.r2+(√5)2=(r+l)2,

解得：r=2.

。的半径为2.

②∙.∙ZOCP=NoDC=90o,ZCOD=ZPOC,

：.二COPS工DoC,

.•.2=必，即立=空

OPOC32

/.CD=-√5,

3

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如图，作点。点关于AC的对称点E,连接AE,EC9设&XAC交于点M,

：•OM=EM,

：.OM+MD=EM+MD≥ED,

当E,M,。三点共线时，OM+DM=ED,皮＞即为所求，

・・・4C垂直平分OE,

：•AE=AO,

：.ZOAC=ZEACf

∖,OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA9

：.NE4C=NOC4,

：•AE//OC,

uCOA=AE=OC=I,

・・・四边形AOCE是菱形，

ΛEC=2,NECD=900,

2

在RtAECD中，EC=2,CD=N,

._ɔ

/.ED=√CE2+CD2=­√14,.

3

即OM+DM的最小值为-√14.

【点评】本题考查了切线的判定定理，轴对称的性质，相似三角形的性质与判定，菱形的判

定和性质，勾股定理的应用，熟练掌握性质定理是解题的关键.

17.(1)证明见解析；

(2)证明见解析；

⑶80=2.

【分析X1)要证必是O。的切线，就要证明ΛPAO=90。，连接AQAB,根据NEBo=90°,

和直角三角形的等量代换，就可得出结论；

(2)根据切线判定知道EBLBC,而AD工BC,从而可以确定ADHBE,那么。BFCS蜃DGC,

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又点尸是EB的中点，就可得出结论；

（3）过点F作FHlAD于点4,根据前两问的结论，利用三角形的相似性和勾股定理，可

以求出3。的长度.

【解析】（1）证明：如图，连接AQAB,

：./BAC=90°,

在RjBAE中，尸是斜边8E的中点，

.,.AF=FB=EF,

：.ZFBA=ΛFAB,

又YOA=QB,

ZABO=ZBAO,

∙/NEBO=90。,

,：ZEBO=AFBA+ZABO=ZFAB+NBAo=ZFAO=90°,

.∙.是。。的切线；

（2）证明：；BC是。。的直径，NEBo=90。,

：.EBlBC,8E是。O的切线

又；ADlBC,

：.ADBE,

.BFCS_DGC,∕∖FECSΔGAC,,

.BFCFEFCF

"~DG~^CG'~∖G~~CG,

.BFEF

,,OG^AG,

：尸是斜边BE的中点，

/.BF=EF,

DG=AG,

•••点