高教版概率论与数理统计课件-第八章

第一节假设检验问题第二节正态总体均值的假设检验第三节正态总体方差的检验第四节大样本检验法第五节假设检验的两类错误第六节非参数假设检验第八章假设检验第一节假设检验问题前一章我们讨论了统计推断中的参数估计问题，本章将讨论另一类统计推断问题－假设检验.在参数估计中我们按照参数的点估计方法建立了参数的估计公式，并利用样本值确定了一个估计值，认为参数真值。由于参数是未知的，只是一个假设（假说，假想），它可能是真，也可能是假，是真是假有待于用样本进行验证（检验）.下面我们先对几个问题进行分析，给出假设检验的有关概念，然后总结给出检验假设的思想和方法.一、统计假设某大米加工厂用自动包装机将大米装袋,每袋的标准重量规定为10kg，每天开工时，需要先检验一下包装机工作是否正常.根据以往的经验知道,自动包装机装袋重量X服从正态分布N（）。某日开工后，抽取了8袋，如何根据这8袋的重量判断“自动包装机工作是正常的”这个命题是否成立？请看以下几个问题：问题1引号内的命题可能是真，也可能是假，只有通过验证才能确定。如果根据抽样结果判断它是真，那么我们接受这个命题，否那么就拒绝接受它，此时实际上我们接受了“机器工作不正常”这样一个命题。若用H0表示“”，用H1表示其对立面，即“”，则问题等价于检验是否成立，若H0不成立，则H1：成立。一架天平标定的误差方差为10-4（克2），重量为的物体用它称得的重量X服从N（）。某人怀疑天平的精度，拿一物体称n次，得n个数据，由这些数据（样本）如何判断“这架天平的精度是10-4（克2）”这个命题是否成立？问题2记H0:=10-4，其H1:。则问题等价于检验H0成立，还是H1成立。某种电子元件的使用寿命X服从参数为的指数分布，现从一批元件中任取n个测得其寿命值（样本）如何判定“元件的平均寿命不小于5000小时”这个命题是否成立？记问题3那么问题等价于检验H0成立，还是H1成立。某种疾病，不用药时其康复率为，现发明一种新药（无不良反应），为此抽查n位病人用新药的治疗效果，设其中有s人康复，根据这些信息，能否断定“该新药有效”？记问题4那么问题等价于检验H0成立，还是H1成立。自1965年1月1日至1971年2月9日共2231天中，全世界记录到震级4级及以上的地震共计162次，问相继两次地震间隔的天数X是否服从指数分布？问题5记服从指数分布，不服从指数分布。那么问题也等价于检验H0成立，还是H1成立。在很多实际问题中，我们常常需要对关于总体的分布形式或分布中的未知参数的某个陈述或命题进行判断，数理统计学中将这些有待验证的陈述或命题称为统计假设，简称假设.如上述各问题中的H0和H1都是假设.利用样本对假设的真假进行判断称为假设检验。在总体的概率分布情形下，对分布中的未知参数作假设并进行检验，称为参数假设检验假设总体的分布未知，对总体的分布形式或参数作假设并进行检验，称为非参数假设检验。如上述问题1～4为参数假设检验问题，问题5为非参数假设检验问题. 值得注意的是，当给定原假设后，其对立假设的形式可能有多个，如H0:其对立形式有

在假设检验问题中，常把一个被检验的假设称为原假设或零假设，而其对立面就称为对立假设。上述各问题中，H0为原假设，H1为对立假设。当H0不成立时，就拒绝接受H0而接受其对立假设H1。选择哪一种需根据实际问题确定，因而对立假设往往也称为备选假设，即在拒绝原假设后可供选择的假设.在假设检验问题中，必须同时给出原假设和对立假设.在参数假设中，不论是原假设还是对立假设，若其中只含有一个参数值，则称为简单假设，否则称为复合假设，如H0:，

H1:为简单假设；而H0:，

H1:为复合假设。二、假设检验的思想方法如何利用从总体中抽取的样本来检验一个关于总体的假设是否成立呢？由于样本与总体同分布，样本包含了总体分布的信息，因而也包含了假设H0是否成立的信息，如何来获取并利用样本信息是解决问题的关键.统计学中常用“概率反证法”和“小概率原理”来解决这个问题。小概率原理概率很小的事件在一次试验中不会发生.如果小概率事件在一次试验中竟然发生了，那么事属反常，定有导致反常的特别原因，有理由疑心试验的原定条件不成立。概率反证法欲判断假设H0的真假，先假定H0真，在此前提下构造一个能说明问题的小概率事件A。试验取样，由样本信息确定A是否发生，假设A发生，这与小概率原理相违背，说明试验的前定条件H0不成立，拒绝H0，接受H1；假设小概率事件A没有发生，没有理由拒绝H0，只好接受H0。反证法的关键是通过推理，得到一个与常理（定理、公式、原理）相违背的结论。“概率反证法”依据的是“小概率原理”。那么多小的概率才算小概率呢？这要由实际问题的不同需要来决定。以后用符号记小概率，一般取等。 在假设检验中，若小概率事件的概率不超过，则称为检验水平或显著性水平。

已知某炼铁厂的铁水含碳量X～N(4.55,0.06)，现改变了工艺条件，又测得10炉铁水的平均含碳量，假设方差无变化，问总体的均值是否有明显改变？（取=0.05）下面举例说明以上检验的思想与方法。例1则与4.55应很接近事件较大,待定)不太可能发生解由问题提出假设H0:，H1:假设H0成立由于未知用其无偏估计来代替用来衡量与4.55之间的差异如果较大则可认为所以在H0成立的前提下即P〔A〕很小令P〔A〕=α，确定d是解决问题的关键由此确定了小概率事件由可知因此在H0成立的前提下，统计量显然因此即由标准正态分布上分位点的定义可知由=0.05，得由于说明小概率事件A未发生，因此接受假设H0即认为总体均值等于4.55在随机试验中，小概率事件有许多，关键是要找一个能说明问题的小概率事件。由P(A)=同样可确定d本例中，若取最后的检验将出现这样一种倾向越与4.55接近，越要拒绝这样的判别方法显然不合理，错误在于：在H0成立的前提下，这样取小概率事件A不合理。在本例中，若设则A：(X1，X2，…，X10)D是使小概率事件A发生的所有10维样本值〔x1，…，x10〕构成的集合则拒绝接受H0等价于一般，若拒绝接受其中D是n维空间Rn中的区域，那么称D为假设H0的拒绝域或否认域、临界域称D的补集为H0的接受域检验中所用的统计量称为检验统计量样本观测值（x1，x2，…，x10）样本观测值（x1，x2，…，xn）执行统计判决:求统计量的值，并查表求出有关数据，判断小概率事件是否发生，由此作出判决提出假设:根据问题的要求，提出原假设H0与对立假设H1，给定显著水平及样本容量n。总结例8.1处理问题的思想与方法，可得处理参数假设检验问题的步骤如下：〔1〕〔2〕〔3〕确定拒绝域:用参数的一个好的估计量(通常取为的无偏估计)来代替,分析拒绝域D的形式，构造检验统计量g(),在H0成立的前提下确定g()的概率分布,通过等式确定D其中确定拒绝域是关键.拒绝域的形式一般由原假设与对立假设共同确定，对同一原假设H0，不同的对立假设，所得到的H0的拒绝域可能不同。请看下例。例2数据同例8.1，问总体的均值是否明显大于4.55？在统计学中，只有当与4.55的偏差大到一定程度时才可认为在本例中，拒绝H0时接受的是，因而H0的拒绝取为较合理此问题的合理假设为解的无偏估计是的一个很好的近似值用代替在例8.1中，拒绝H0时接受的是H1:两个数的偏差用其差的绝对值来衡量因而其拒绝域设为较合理与例8.1中的拒绝域不同在H0成立的条件下,事件发生的概率应很小设P（A）=，统计量由得所以拒绝域为所以判决结果为：接受H0三、参数假设检验与区间估计的关系参数的区间估计则是找一个随机区间I，使I包含待估参数是个大概率事件参数假设检验的关键是要找一个确定性的区域(拒绝域)，使得当H0成立时，事件是一个小概率事件一旦抽样结果使小概率事件发生，就否认原假设H0对此两类问题，都是利用样本对参数作判断：一个是由小概率事件否定参数属于某范围，另一个则是依大概率事件确信某区域包含参数的真值.两者本质上殊途同归，一类问题的解决，导致解决另一类问题类比方案的形成。为的置信区间如设总体已知，给定容量n的样本则参数的置信度为样本均值为的置信区间为假设检验问题的拒绝域为接受域为时，接受也就是说，当即在区间内，此区间正是的置信度第二节正态总体均值的假设检验本节讨论有关正态总体的均值与方差的假设检验问题构造适宜的检验统计量并确定其概率分布是解决检验问题的关键若检验统计量服从标准正态分布（分布，F分布）那么所得到的相应检验法称为U检验法(检验法，F检验法)一、U检验法〔方差〕在方差的条件下，对一个正态总体的均值或两个正态总体均值差的假设检验常用U检验法。假设X1，X2，…，Xn为取自总体X的样本设总体已知，给定显著水平检验以下不同形式的假设问题：下面我们来求H03的拒绝域前两个为简单假设检验问题，我们已在例8.1及例8.2中求出其拒绝域分别为和其中（1）H03的拒绝域形式为等价形式为（k待定）若H03成立，则要控制只需令由此得此处所以H03的拒绝域为（2）比较两种假设检验问题：可以看出尽管两者原假设形式不同，实际意义也不一样，但对于相同的显著水平α，它们的拒绝域是相同的。因此，遇到H03与H13的检验问题，可归结为H02与H12来讨论。对于后面将要讨论的有关正态总体的参数假设检验问题也有类似结果下面求两个正态总体均值差检验的拒绝域。设总体X与Y相互独立已知从两总体中分别取容量为n1、n2的样本用、分别表示样本均值给定显著水平检验假设的无偏估计分别为显然，H0的拒绝形式应为（k待定）由于若H0真，则统计量由得拒绝域为（3）例1

一种燃料的辛烷等级服从正态分布，其平均等级，标准差。现抽取25桶新油，测试其等级，算得平均等级为97.7。假定标准差与原来一样，问新油的辛烷平均等级是否比原燃料的辛烷平均等级偏低？（）解按题意需检验假设检验统计量拒绝域（参阅表8－1）查正态分布表得计算统计值执行统计判决故拒绝H0，即认为新油的辛烷平均等级比原燃料辛烷的平均等级确定偏低。二、T检验法〔方差未知〕设总体未知对显著水平检验假设拒绝域形式（k待定）注意到S2是的无偏估计，用S代替由于未知，现在不能用来作为检验统计量采用作为检验统计量当H0真时，由得所以拒绝域为（4）类似可给出假设的拒绝域为（5）对正态总体关于的各种形式的假设检验的拒绝域列于表8－1。例2一手机生产厂家在其宣传广告中声称他们生产的某种品牌的手机的待机时间的平均值至少为71.5小时，一质检部门检查了该厂生产的这种品牌的手机6部，得到的待机时间为69，68，72，70，66，75设手机的待机时间，由这些数据能否说明其广告有欺骗消费者之嫌疑？（）解

问题可归结为检验假设由于方差未知，用T检验。检验统计量拒绝域计算统计值查t分布表，得统计判决故接受H0，即不能认为该厂广告有欺骗消费者之嫌疑下面求两个正态总体均值相等性检验的拒绝域。设总体独立未知X1，…，Xn1取自总体X样本方差为其样本均值为Y1，…，Yn2取自总体Y其样本均值为，样本方差为给定显著水平，检验假设拒绝域形式为（k待定）由第六章的结果知：当H0成立时，统计量由得例3

对用两种不同热处理方法加工的金属材料做抗拉强度试验，得到的试验数据如下：方法Ⅰ：31，34，29，26，32，35，38，34，30，29，32，31方法Ⅱ：26，24，28，29，30，29，32，26，31，29，32，28设两种热处理加工的金属材料的抗拉强度都服从正态分布，且方差相等。比较两种方法所得金属材料的平均抗拉强度有无显著差异。（）解记两总体的正态分布为本题是要检验假设检验统计量为拒绝域为计算统计值查t分布表，得统计判决：由于故拒绝H0即认为两种热处理方法加工的金属材料的平均抗拉强度有显著差异。第三节正态总体方差的检验设总体未知，样本方差为给定显著性水平，检验假设的无偏估计为，若成立，则比值一般来说应在1附近摆动。若与1的偏差较大，则拒绝所以可取拒绝域形式为：或当成立时，统计量设为计算方便，将偏大或偏小的概率看作相等令由此得拒绝域为：或第四节大样本检验法在前面讨论的所有假设检验问题中，我们都有关统计量的分布，并由此确定拒绝域。但在许多问题中，很难求得检验统计量的分布，有时即使能求出，使用上也很不方便〔如二项分布参数p的检验问题〕实际应用中往往求助于统计量的极限分布.假设抽取大量样本〔大样本〕，并用检验统计量的极限分布来近似作为其分布，由此得到的检验方法称为大样本检验法。现从每一总体中各取一样本，其样本容量、样本均值、样本方差分别记为一、两总体均值差的大样本检验

设有两个独立总体X，Y，其均值和方差分别为并且n1、n2很大。给显著水平检验假设假设两总体均为正态分布，由的讨论知当已知时，可用U检验法来检验；当未知但时，可用T检验法来检验此处总体分布未知，即使总体为正态分布，因而也不能用T检验。下面我们用大样本方法给出此假设的近似检验法。未知且与不一定相等由于当n1很大时，由中心极限定理知即同理，当n2很大时用代替，用代替由于独立所以分别是的很好近似值仍有由此可得拒绝域为（n1，n2很大）（8－9）

设P〔A〕=p,在n次独立试验中事件A发生的次数为X那么X~B〔n,p〕给定显著水平检验假设H0：p=p0H1：p>p0〔0<p0<1,p0〕设那么X1,X2,…,Xn独立，且都服从参数p的〔0-1〕分布，X=X1+X2+…+Xn由中心极限定理，当时，当H0真，且n很大时，由此可得拒绝为（8－10）第五节假设检验的两类错误用概率反证法检验一个假设的推理依据是小概率原理在一次抽样中，假设小概率事件发生了，那么拒绝原假设；假设小概率事件没有发生，拒绝原假设的理由不充分，因而只好接受原假设。这样的检验结果可能出现以下两种类型的错误。一、犯两类错误的概率P（拒绝H0|H0真）=P（小概率事件）≤(8-12)第Ⅰ类错误〔弃真〕当原假设H0真时，抽样结果说明小概率事件发生了，按检验法将拒绝H0，这样就犯了所谓“弃真”的错误。给定显著水平，由于所以弃真概率不超过显著水平弃真概率为P〔拒绝H0|H0真〕(8-11)第Ⅱ类错误〔取伪〕当H0假时，抽样结果说明小概率事件没有发生，按检验法将接受H0，这样就犯了所谓“取伪”的错误。取伪概率为P〔接受H0|H1真〕(8-13)例1

设总体，未知，求关于假设的U检验法的两类错误概率。解检验统计量拒绝域弃真概率P（拒绝H0|H0真）=P（|U|≥）=取伪概率P(拒绝H0|H0真)=P（|U|≥|H1真）其中的真值二、两类错误概率的控制前面我们处理参数假设检验问题时，实际上只考虑了控制第I类（弃真）错误概率不超过显著水平

。在一些实际问题中，如果错误地接受了某个假设可能造成重大损失或由此带来灾难性的结果，因而在接受这类假设时要特别慎重，也就是要控制第Ⅱ类（取伪）错误概率。自然希望选择一个优良的检验方法，使得出现两类错误的概率都很小。定义

若是参数的某检验问题的一个检验法，当H0假时，1-表示取伪的概率将两类错误概率用统一的函数表示出来：{拒绝H0}（8－14）称为检验法的功效函数当H0真时，表示弃真的概率一个优良的检验法，应使在H0真时尽可能小，在H0假时尽可能大。这两方面的要求是矛盾的，正如在区间估计问题中，“置信度高”与“估计精确”是矛盾的。那里，我们采用在保证一定的置信度下使区间长度尽可能小的原那么。选择一种优良检验的策略思想与此类似，即先保证弃真的概率不超过指定值，再设法控制取伪概率。为便于说明，继续例8.9的讨论。检验的成效函数{拒绝H0}其中取伪概率（记为）弃真概率(8-15)由于当时当时当时取最大值当与的偏差越大，取伪的概率越小；此时，越小，越大，见图8－1当与非常接受时，取伪的概率几乎等于其含义为：由此可知，当与n都给定时不可能同时控制两类错误概率都很小下面先控制弃真的概率为再来考虑如何减小取伪概率由于要控制取为伪概率(很小)只要使足够大有两种方法可使增大〔1〕减小试验误差；〔2〕取样本数目n很大。在实际中，试验误差不可能无限小，因而一般采用加大样本容量n的方法来控制取伪概率，但这是以消耗大量人力、物力、财力为代价的。在实际应用中，要根据“弃真”或“取伪”所造成的有害程度来确定、的值。第六节非参数假设检验前面我们讨论了参数假设检验问题，所检验的对象是总体分布中的未知参数，而总体分布函数的函数形式是的.假设总体分布未知，对总体分布或有关参数所作的检验称为非参数假设检验本节将讨论几种重要的非参数检验问题一、分布拟合检验问题对某对象〔产品、元件，农作物等〕的某特性指标进行测试，获得一大批实验数据，如何利用这些数据〔样本〕确定此指标〔总体〕的概率分布要解决此问题，一般需要做以下两方面的工作用极大似然估计法求出的估计值第一步拟合总体分布形式如果事先没有任何关于总体分布的经验或依据，对连续型总体，一般先把抽样所获得的数据进行整理，然后作出样本分组频数分布直方图.由此确定总体分布函数形式其中是未知参数从而猜测总体的分布函数为第二步拟合好坏的检验设总体的真实分布为F〔x〕，给定显著水平及样本观测值x1，x2，…xn，检验假设1．样本频率分布直方图第六章已经介绍了直方图及其作法，为这里的讨论方便起见，对此再作一些介绍设总体X为连续型，下面利用样本数值来拟合总体分布密度函数f(x)根据样本值的情况，将其分为l组，各组范围为其中记mi=落在[ai-1,ai)内的样本数，那么事件Ai发生的频率为Ai发生的概率为作表此表称为样本分组频数分布表在每个区间[ai-1,ai）上，以此区间为底，以为高作一矩形〔i=1,2,…,l〕，这样的图形称为样本组频率分布直力图，见图8.2因而每个小区间上的小矩形的面积接近于概率密度曲线之下该区间之上的曲边梯形的面积一般来说，n越大且分组越细，那么直方图的外廓曲线越接近于总体的概率密度曲线对离散型总体，虽然不能画样本分组频率直方图，但仍可给出样本分组频数分布表第i个小区上矩形的面积为，由大数定律可知，当n很大时，频率接近于概率2．拟合优度检验要检验假设H0，必须利用样本建立用以衡量F〔x〕与F0〔x〕差异的统计量这种统计量有多种选择，下面介绍皮尔逊〔Person〕检验法在H0为真的前提下，事件Ai的概率为npi称为事件Ai的理论频数，作表此表称为分组理论频数分布表它与样本分组频数分布表的差异反映了F(x)与F0(x)的差异用统计量（8-16）来衡量皮尔逊证明了以下定理显然，H0的拒绝域形式为（k待定）若n很大（），则当H0成立时，定理于是得到H0的拒绝域为皮尔逊检验法是基于上述定理得到的（8-17）在使用时必须注意n要足够大，以及每个否那么应适当合并组，以满足这一要求。例1

自1965年1月1日至1971年2月9日共2231天中，全世界记录到震级4级及以上的地震共计162次，统计如下：试检验相继两次地震间隔的天数服从指数分布。（）86681017263150出现的频数震间隔天地≥4035～3930～3425～2920～2415～1910～145～90～4相继两次地由于总体为连续型，我们将X的可能取值的区间分为9个互不重叠的小区间解按题意需检验假设由于未知，先用极大似然估计求得的估计为取若H0真，则计算结果列于表8.2有些组的应适当合并组，使每组均有如第四列花括号所示。并组后的组数l=8。

0.56330.04610.78080.05688A9:39.5≤x<0.2486A8:34.5≤x<39.50.00690.20045.79960.03586A7:29.5≤x<34.50.0126-0.32688.32680.05148A6:24.5≤x<29.50.3248-1.971811.97180.073910A5:19.5≤x<24.50.0024-0.204417.20440.106217A4:14.5≤x<19.50.06441.262624.73740.152726A3:9.5≤x<14.50.5884-4.575235.57520.219631A2:4.5≤x<9.50.51754.834445.16560.278850A1:0≤x<4.5（mi-npi）2/npimi-npinpipimiAi表8－2例1的检验计算表H0的拒绝域为其中由于故在水平下接受H0，认为总体服从指数分布。号码0123456789出现的频数74928379807377757691例8.10一台摇奖机是一个圆球形形容器，内有10个质地均匀的小球，分别标有0，1，2，…，9的数码。转动容量让小球随机分布，然后从中掉出一球，其号码为X。如果摇奖机合格，那么X的分布律应为现用这台摇奖机做了800次试验，得到如下数据：试用这些数据检验该摇奖机是否合格？（）解由题意要检验假设将数据按号码分为10组，分组为记当H0为真时计算列于表8.3中表8－3例2的检验计算表4.1250.512511800.171A90.2-4800.176A80.3125-5800.175A70.1125-3800.177A60.6125-7800.173A500800.180A40.0125-1800.179A30.11253800.183A21.812800.192A10.45-6800.174A0mi-npinpipimiAiH0的拒绝域其中由于故接受H0，即认为摇奖机是合格的。3．偏度、峰度检验上面介绍的检验法虽然是检验总体分布的较一般方法，但用它来检验总体的正态性时，犯第Ⅱ类错误的概率往往较大。由于正态分布广泛地存在于客体世界，因此，当研究一个连续型总体时，人们往往先考察它是否服从正态分布。为此，统计学家们对检验正态总体的种种方法进行了比较，认为其中以“偏度、峰度检验法”及“夏皮罗-威尔克法”较为有效。在这里我们仅介绍偏度、峰度检验法这种检验法的理论依据是正态分布曲线是对称的，且陡缓适当为此，引入两个量，一个表示曲线的偏斜度，另一个表示密度曲线的陡缓度。

设随机变量X的k阶中心矩为分别称为X的偏度和峰度从总体X中取一样本，记Bk为样本的k阶中心矩则、的矩法估计量分别为并分别称g1，g2为样本偏度和样本峰度若总体X服从正态分布，则且当样本容量n充分大时，近似地有而g2与的偏离不应太大因此，当n充分大时，g1与的偏离不应太大故假设H0：X服从正态分布的拒绝域形式应为或其中k1，k2由下两式确定当n充分大时由此得到了H0的显著水平为的拒绝域。二、两总体相等性检验设两总体X，Y的分布函数分别为F1(x)与F2(x)，如何检验F1(x)与F2(x)是否相同呢？在总体分布类型时，此问题可以归纳为两总体参数〔如数字特征等〕是否相等这种参数假设检验问题。在总体分布类型完全未知时，我们只能采用非参数检验法。下面介绍两种简单且实用的非参数检验法：符号检验法与秩和检验法。1．符号检验法从总体X，Y中分别取容量均为N的样本X1，X2，…，XN和Y1，Y2，…，YN检验假设H0:F1(x)=F2(y)H1:F1(x)≠F2(y)将数据配对排好，列成表。当xi>yi时，取“+”号；当xi<yi时，取“-”号；当xi=yi时，取“0”，并用n+和n-分别表示“+”号与“-”号的个数。假设H0成立，两总体分布相同，n+与n-应相差不大。由于试验误差，它们会有一定的差异但差异不宜过大如假设过大，就认为不仅仅有实验误差，而认为F1(x)与F2(x)有差异。记n=n++n-，选统计量对于n和给定查符号检验表（见附表6）可得相应的当时，则拒绝H0认为两总体分布有显著差异例3研究车间播放音乐对工人生产效率的影响。该车间有10名工厂，播放音乐前与播放音乐后各30天平均日产量〔件〕如表8－4所示，由此能否说明音乐有助于提高生产率？〔〕表8－4播放音乐前后平均日产量〔件〕不放音乐x90809284888782857079播放音乐y99859783819472858289符号———++—+0——

解要检验播放音乐对工人生产效率有无影响，就是检验假设由上表可知n+=3n-=6n=9S=3查附表6，得S0.05〔9〕=1由于S>S0.05〔9〕故接受H0即认为播放音乐对生产率没有显著影响2．秩和检验从两总体X，Y中分别取容量为n1，n2的样本检验假设将两总体的n1+n2观测值放在一起，按从小到大的顺序排列。假设H0成立，那么总体X，Y同分布，两总体的观测值应较均匀地分布在此排列中。假设分布不均匀，那么认为H0不成立如何构造统计量来描述这种均匀性呢？每个观测值在此排列中的序号称为这个观测值的秩假设有几个观测值相同，那么每个观测值的秩取为这几个数的序号的平均值.求出每个观测值的秩.将属于总体X的样本观测值的秩相加，其和记为R1，称为总体X的样本秩和.同理，将其余观测值的秩相加得总体Y的样本秩和R2.显然，R1，R2为离散型随机变量，且有设取T=R1为统计量假设H0成立，秩和R1一般来说不应取太靠近上述不等式两端的值.因而，当R1的观测值过大或过小时，我们就拒绝H0拒绝域为其中T1，T2可由附表7查得或Ⅰ2.363.147.523.482.765.436.547.41Ⅱ4.384.256.543.287.216.54试问两总体是否同分布？（