2022-2023学年宁夏银川六中高二（下）期末数学试卷（理科）（含解析）

2022-2023学年宁夏银川六中高二（下）期末数学试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知点P的直角坐标为（1,-，马）则它的极坐标是（）

ʌ-（2>⅜）b∙QY）C∙（嗒）D.（词

2.若直线的参数方程为二霁为参数），则其倾斜角为（）

A.40oB.50oC.140oD.130°

3.已知二项式（X-羞）n展开式的二项式系数和为64,则展开式中的常数项为（）

A.100B.150C.180D.240

4.下列说法正确的是（）

A.己知一组数据X1，%2,右，…，与0的方差为10，则X]+2,X2+2.X3+2,Xlo+2的

方差为12

B.已知变量％,y,其线性回归方程为y=o,3x-m,若样本点的中心为（m,2.8）,则实数m的

值是4

C.已知随机变量X服从正态分布NOe2）,若P（X>-2）+P（X≥4）=1,贝以=1

D.己知随机变量X服从二项分布B（n[）,若E（3X+1）=6,则联=6

5.某家庭有三个孩子，假定生男孩和生女孩是等可能且相互独立的.记事件4该家庭既有

男孩又有女孩；事件8：该家庭最多有一个男孩；事件C：该家庭最多有一个女孩；则下列说

法中正确的是（）

A.事件B与事件C互斥但不对立B.事件4与事件B互斥且对立

C.事件B与事件C相互独立D.事件A与事件B相互独立

6.某射手射击所得环数f的分布列如下：

78910

PX0.10.3y

己知f的数学期望E（f）=8.9,贝IJy的值为（）

A.0.8B.0.6C.0.4D.0.2

7.现从3名男同学和2名女同学中选取两人加入“数学兴趣小组”，用4表示事件“抽到两名

同学性别相同”，B表示事件“抽到两名女同学”，则在已知4事件发生的情况下B事件发生

的概率即P(B∣4)=()

A.；B.lC.∣D.1

8.若以直角坐标系的原点为极点，X轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y=l-

X(O≤x≤l)的极坐标方程为()

A.p=?.,O≤0≤≡B.p=?.,O≤θ≤l

CoSe+smθfl21CoSe+smθfl4

C.p=cosθ÷sinθ,O≤0≤D.p=cosθ+sinθ,O≤。≤：

9.ρ2cosθ+ρ-3pcosθ-3=O表示()

A.一个圆B.一个圆与一条直线C两个圆D.两条线

10.在(1+x)(久一33的展开式中，X的系数为()

A.12B.-12C.6D.-6

11.在极坐标系中，圆Cp=2/2sin(。+：)上到直线LPCOSo=2距离为1的点的个数为()

A.1B.2C.3D.4

12.“校本课程”是现代高中多样化课程的典型代表，自在进一步培养学生的人文底蕴和科

学精神，为继续满足同学们不同兴趣爱好，艺术科组准备了学生喜爱的中华文化传承系列的

校本活动课：创意陶盆，拓印，扎染，壁挂，剪纸五个项目供同学们选学，每位同学选择1个

项目.则甲、乙、丙、丁这4名学生至少有3名学生所选的课全不相同的方法共有()

A.360种B.480种C.720种D.1080种

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.己知随机变量《〜B(18,p),且E(f)=9,则DO=.

14.已知3编=4得τ,则X=.

saxaχ25f

15.⅛(1-x)=α0+ι+2---asx,则IaoI+∣α∕+∣c⅛lT--------卜l⅛l=.

16.假设云南省40万学生数学模拟考试的成绩X近似服从正态分布N(98,100),已知某学生

成绩排名进入全省前9100名，那么该生的数学成绩不会低于分.(参考数据：P(μ-σ<

X<μ+σ)=0.6827,P(∕ι-2σ<X<μ+2σ)=0.9545)

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.（本小题10.0分）

已知甲、乙、丙参加某项测试时，通过的概率分别为0.6,0.8,0.9,而且这3人之间的测试互

不影响.

（1）求甲、乙、丙都通过测试的概率；

（2）求甲、乙、丙至少有一人通过测试的概率.

18.（本小题12.0分）

5G技术对社会和国家十分重要.从战略地位来看，业界一般将其定义为继蒸汽机革命、电气革

命和计算机革命后的第四次工业革命，某科技集团生产A,B两种5G通信基站核心部件，下表

统计了该科技集团近几年来在4部件上的研发投入x（亿元）与收益y（亿元）的数据，结果如下：

研发投入式（亿元）12345

收益y（亿元）3791011

（1）利用样本相关系数r说明是否可以用线性回归模型拟合y与X的关系（当Irl∈[0.75,1]时，可

以认为两个变量有很强的线性相关性）；

（2）求出y关于％的经验回归方程，若要使生产4部件的收益不低于15亿元，估计至少需要投入

多少研发资金？（精确到0.001亿元）

附：样本相关系数r=I-2,回归直线方程的斜率b=到然写2，

JΣ%（%r）2J∑^1（yi-y）∑之I（XLX）2

截距α=y—bχ∙

19.（本小题12.0分）

Cx=t+p

在平面直角坐标系Xoy中，曲线G的参数方程为《；（t为参数），点P（4,0）,以。为极点，

[y=t~7

X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为p=2Ccos8,射线,的极坐标方程

为9=TP≥0）.

（1）写出曲线G的极坐标方程；

（2）若t⅛G,C?分别交于48（异于原点）两点，求APAB的面积.

20.（本小题12.0分）

以原点。为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点4（4,羊），曲线E的极坐标方程为

p=pcos2θ+HaCos。（a>0），过点4作直线。=与SeR）的垂线1,分别交曲线E于B,C两

点.

(1)写出曲线E和直线，的直角坐标方程；

(2)若MB∖BC∖,∣4C∣成等比数列,求实数ɑ的值.

21.(本小题12.0分)

为了了解中学生是否有运动习惯，我校从高一新生中随机抽取了100人，其中男生40人，女

生60人，调查结果显示，男生中只有20%表示自己不喜欢运动，女生中有32人不喜欢运动,

为了了解喜欢运动与否是否与性别有关，构建了2X2列联表:

不喜欢运动喜欢运动总计

男生

女生

总计

(1)请将2X2列联表补充完整，并判断能否有99%的把握认为“喜欢运动”与性别有关.

(2)从男生中按“是否喜欢运动”为标准采取分层抽样方式抽出10人,再从这10人中随机抽出

2人，若所选2人中“不喜欢运动”人数为X,求X分布列及期望.

2

附.卜2=n(αd-加)

n=a+b+c+d<

(α+b)(c+d)(α+c)(b+d)

P(k2≥fc0)0.0250.010.001

k°5.0246.63510.8

22.(本小题12.0分)

某电视台举行电视奥运知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，为了增加节目的趣味性，初

赛采用选手选一题答一题的方式进行,每位选手最多有5次选题答题的机会,选手累计答对3题

或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰，己知选手

甲答题的正确率为|.

(I)求选手甲可进入决赛的概率；

(H)设选手甲在初赛中答题的个数为f,试写出f的分布列，并求f的数学期望.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：由于点P的直角坐标为(l,-√^3),则P=I2+(-√3)2=2-

百°s。结合选项可得：。=苫,

再由°

—V3=psιnθJ

所以点P的极坐标为(2,-令.

故选：B.

根据点的直角坐标系求出P，再由｛；二，:需，即可求出。，从而得到点P的极坐标.

本题主要考查点的极坐标与直角坐标的互化，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：由题意可知，直线的斜率为k=笔=包浮=tan50。，

sιn40cos50

所以，该直线的倾斜角为50。，

故选：B.

求出直线的斜率，结合诱导公式可求得该直线的倾斜角.

本题考查直线的斜率以及诱导公式，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：二项式(x-J=)"展开式的二项式系数和为2"=64,可得n=6,

fck6k

所以，二项式(X一套)6展开式的通项为几+1=竦.χ6-k.(--⅛)=CA∙(-2)∙X4(fc=

0,1,2,…,6),

令6-∣k=0,可得々=4,则展开式中常数项为C>(一2尸=240.

故选：D.

利用展开式二项式系数和求出n的值，然后写出二项展开式通项，令X的指数为零，求出参数的值,

代入通项即可得解.

本题主要考查二项式定理，考查转化能力，属于中档题.

4.【答案】C

【解析】解：对于从已知一组数据修，打，⅜>•••>XIo的方差为IO,则与+2,小+2,Λ⅛+2,

…，+2的方差为UX10=10,故A错误：

对于8：对具有线性相关关系的变量％,y,其线性回归方程为y=o.3x-m,若样本点的中心为

（m,2.8）,故2.8=0.3Zn-Tn,解得m=-4,故B错误；

对于C：已知随机变量X服从正态分布N3,M）,若P（χ>-2）+P（X≥4）=l,则〃=慧匕=1,

故C正确；

对于D：已知随机变量X服从二项分布B（n,》，所以E（X）=Wn,若E（3X+1）=3xgn+1=6,

则M=5,故力错误.

故选：C.

直接利用均值和方差的关系式及正态分布的性质判断4、8、C、。的结论.

本题考查均值和方差的关系式及正态分布的性质，属于基础题.

5.【答案】D

【解析】解：生3个小孩的总事件。包含（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男,

男），（男，女,女），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女），共8个基本事件，

事件4包含（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，男，女），（女，女，

男），共6个基本事件，

事件B包含（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女），共4个基本事件，

事件C包含（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），共4个基本事件，

A选项，因为BnC=0,BUC=O,所以事件B与事件C互斥且对立，4错误；

B选项，因为AnB羊0,所以事件4与事件B不互斥，不对立，8错误；

C选项，因为BnC=。，所以P（BC）=0,又P（B）=P（C）=W=[故P（BC）羊P（B）P（C）,故事

件B与事件C不独立，C错误；

D选项，因为4CB有3个基本事件，所以PaIB）=|,又P（4）=J=',

oO4

所以P（AB）=PQ4）P（B）,。正确.

故选：D.

先列出生3个小孩包含的基本事件数及事件4事件事件C,包含的基本事件数，再利用互斥,

对立和独立事件所满足的关系，对四个选项一一作出判断.

本题主要考查了古典概率公式的应用，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】解：由表格可知：X+0.1+0.3+y=1,

7x+8×0.1+9×0.3+10×y=8.9

解得y=0.4.

故选：C.

根据分布列的概率之和是1,得到关于X和y之间的一个关系式，由变量的期望值，得到另一个关

于X和y的关系式，联立方程，解出要求的y的值.

本题是期望和分布列的简单应用，通过创设情境激发学生学习数学的情感，培养其严谨治学的态

度.在学生分析问题、解决问题的过程中培养其积极探索的精神，属于基础题.

7.【答案】A

【解析】解：由题意可得4表示事件“抽到两名同学性别相同”，

则PG4)=誓=|,

8表示事件“抽到两名女同学”，则P(AB)=:=余

故P(BM)=需=,=*,

故选：A.

分别求出PG4),P(AB),根据条件概率的计算公式即可求得答案.

本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了条件概率公式，属于基础题.

8.【答案】A

【解析】解：根据直角坐标和极坐标的互化公式X=PCos。，y=psinθ,

则将线段y=1-x(0≤%≤1)化为极坐标方程为PCoSo+psinθ=1,

由0WX≤1,可得线段y=1-X(O≤X≤1)所对应的点在第一象限内及坐标轴正半轴上，

故极角6e[θJ],即P=

2Lcos48+sι.n0.∙

故选:A.

根据直角坐标和极坐标的互化公式X=PCOSO,y-psinθ,把方程y=1-x(0≤x≤1)化为极坐

标方程.

本题主要考查把直角坐标方程化为极坐标方程的方法，注意极角。的范围，属于基础题.

9【答案】B

【解析】解：p2cos8+p—3pcosθ—3=0,

•••(p-3)(pcosθ+1)=0»解得P=3或PCOSe=-1,

•••p2=X2+y2,X=pcosθ,

■-X2+y2=9或X=-1,

故p2cos8+p~3pcosθ-3=。表示一个圆与一条直线.

故选:B.

根据已知条件，推得p=3或PCOSe=-1,再结合极坐标公式，即可求解.

本题主要考查简单曲线的极坐标公式，考查转化能力，属于基础题.

10.【答案】D

【解析】解：因为@一勺3=或.炉+废./(一勺+废.4_»+熊.(一沪

所以只有(1+X)中的1与(X-勺3中的玛.相乘才会得到X,

即玛•/(-$=-6x,所以X的系数为—6.

故选：D.

根据题意，由二项式的展开式可得只有(1+x)中的1与(X-33中的废•/(一勺相乘才会得到刀,

然后代入计算，即可得到结果.

本题主要考查二项式定理，考查运算求解能力，属于基础题.

11.【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的

位置关系，属于基础题.

把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离为1,大于半径的一半且小于半径，从而

得出结论.

【解答】

解：直线的方程为X=2,圆的方程为(X-I)2+⑶-1)2=2,

圆心(1,1)到直线X=2的距离为1,大于半径的一半且小于半径，

故圆C上有2个点到1距离为1,

故选:B.

12.【答案】B

【解析】解：①恰有2名学生选课相同，

第一步，先将选课相同的2名学生选出，有量=6种可能；

第二步，从5个项目中选出3个排序，有用=60,

根据分步计数原理可得，方法有6×60=360种；

②4名学生所选的课全不相同的方法有用=120种，

根据分类加法计数原理可得，

甲、乙、丙、丁这4名学生至少有3名学生所选的课全不相同的方法共有360+120=480种.

故选：B.

分为恰有2名学生所选的课相同，以及4名学生所选的课全不相同两种情况，分别计算求解得出，

相加即可得出答案.

本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于中档题.

13.【答案W

【解析】解：因为随机变量f~B(18,p),且Eo=9,

此时E(f)=18p=9,

解得P=I，

所以D(f)=18X^X(1_》=?

故答案为:∣∙

由题意，根据二项分布的期望与方差公式进行计算即可.

本题考查二项分布及其应用，属于基础题.

14.【答案】6

【解析】解：因为3国=4指τ,所以3X⅛=4X-

o77Qo-XJl7Qv-X+1)\

Q

所以4用，“丁黄，化简得/

3=×7(IU-X)(9-X)-19%+78=0,

即(X—6)(X—13)=0,解得X=6或X=13,

又因为0≤x≤8且0≤x-l≤9,所以l≤x≤8,所以X=6.

故答案为：6.

由排列数公式列出关于X的方程，解方程求出X.

本题主要考查了排列数公式的应用，属于基础题.

15.【答案】32

【解析】解：由二项式(1-x)5的展开式的通项为图+1=Cl(-x)r=(-l)r∙Cζxr,

所以IaOl+IaIl+∣α2∣+,••+lɑʒl=<⅛-a1+fl⅛一。3+。4一

-=

令X--1,可得=a0-a1+a2-a3+a4ɑs32.

故答案为：32.

求得二项式(1-X)5的展开式的通项，得到IaOI+IaIl+∙∙∙+∣a5∣=a1-a1+a2-a3+a4-a5,

令X=-1,即可求解.

本题考查了二项式定理的应用，属于基础题.

16.【答案】118

【解析】解：从40万名学生任取1名，成绩排名在前9100名的概率为温*=0.02275,

因为成绩X近似服从正态分布N(98,100),则〃=98,σ=10,

P(β-2σ<X<μ+2σ)=P(78<X<118)=0.9545,

显然P(X≥118)=0.5×(1-0.9545)=0.02275,从而数学成绩大于等于118分的人数恰好为

9100,

所以要进入前9100名，成绩不会低于118分.

故答案为：118.

求出从40万名学生任取1名，成绩排名在前9100名的概率，再利用正态分布的对称性求出对应分

数作答∙

本题考查正态分布相关知识，属于中档题.

17.【答案】解：⑴甲、乙、丙都通过测试的概率为0.6X0.8X0.9=0.432；

(2)甲、乙、丙至少有一人通过测试的概率为I-(I-0.6)X(1—0.8)X(1—0.9)=0.992.

【解析】(1)利用独立事件的乘法公式可得答案；

(2)利用独立事件的乘法公式、对立事件概率计算公式可得答案.

本题考查了相互独立事件和对立事件的概率计算公式，是基础题.

18.【答案】解：(1)-=1+2+3+4+5=3；-=3+7+9+10+11=8(

Σf-ι(Xf-x)(yi-y)=(l-3)(3-8)+(2-3)(7-8)+(3-3)(9-8)+(4-3)(10-8)+

(5-3)(11-8)=19,

J∑L(3-3)2=J(I-3)2+(2-3)2+(3—3)2+(4—3)2+(5-33=√^W,

J∑F=ι(yi-y)2=J(3—8)2+(7—8)2+(9-8)2+(10—8)2+(11—8。=

Σ乙(母二^^兀-亍)_19

所以「0.95∈[0.75,1],

JΣ乙(XLA)2j∑1("一历2EX>Γ?U

所以可以用线性回归模型拟合y与X的关系，且认为两个变量有很强的线性相关性；

∑⅛ι(χ∣-χ)(y-y)19.-.^

(2)b=12⅛~⅛t-=Io=1∙o9'所fif以rα=8-1.9X3=2.3>

Σ∖ι8-x)IU

所以y关于X的经验回归方程为y=1.9X+2.3,

由1.9X+2.3>15得X≥岩Q6.684,

若要使生产4部件的收益不低于15亿元，估计至少需要投入6.684亿元.

22

【解析】⑴计算出工，。Σ≡-1(χi-χ)(yi-y).J∑f=1(χi-χ)'y∣∑f=1(yi-y)'求出r可得

答案；

(2)利用(1)求出y关于X的经验回归方程可得答案.

本题考查线性回归方程相关知识，属于中档题.

fx=t+p

19.【答案】解：(1)曲线Cl的参数方程为｛；(t为参数)，

∙∙∙X2—y2=(t+1)2—(t—ɛ)2=16—(—16)=32,

X,.∙X=pcosθ,y=psinθ,

p2cos2θ—p2s∖n2θ=32,

^p2cos2θ=32,

.∙,曲线G的极坐标方程为p2cos28=32；

(2)将。=然入CI的极坐标方程得，p2cos^=32,

则p2=64,即Ioal=8,

将。=舞入C2的极坐标方程得，P=2√^cos≡

则P=3,即IoBl=3>

ʌ∖AB∖=∖0A∖-∖0B∖=5,

•••点P(4,0),

•••点P到射线，的距离d=4×sin*=2,

O

.∙∙∆PAB的面积为TX∖AB∖xd=gx5x2=5.

【解析】(1)先把曲线Cl的参数方程化为普通方程，再利用X=Peos。，y=psin。化为极坐标方程

即可；

(2)将。=3分别代入CI和C2的极坐标方程，求出|0川，IoBl的值，进而求出∣4B∣的值，再利用三

角形面积公式求解.

本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，考查了三角形面积公式的应用，属于中档题.

20.【答案】解：(1)由曲线E的极坐标方程为P=PCoS之。+V^"ΣQCOSO(Q〉0),

转换为直角坐标方程为：y2=yj~2aχy

点力(4片)转换为直角坐标为2(-2Y1,-2√^Σ)

又直线/的斜率为1.且过点4

故直线，的直角坐标方程为：x-y=0

(2)在直角坐标系Xoy中，

（x--2√^2+?t

直线惨数方程为：4yLa为参数）.

（y=-2^+^t

代入y2=y∕-2ax>

得：t2一（8+2。）£+8。=0（4和12为8、C对应的参数）.

所以：t]+12=8+2α,tɪ∙t2=16+8α,

由于：MBl,∣BC∣,MCl成等比数列，

所以：∖BC∖2=∖AB∖■∖AC∖,

即：（t]—t2）2=tl'，

2

故：（⅛ι+Cz）=5t1∙t2,

所以：α2-2α—4=0.

解得：ɑ