高考复习数学课件

第五节数系的扩充与复数

若z∈C，=z,则z是实数吗？提示:是实数.∵设z=a+bi,a，b∈R,则=a-bi.又z=,∴a+bi=a-bi，∴b=0,∴z是实数.

已知z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)，若z1>z2,则a>c说法正确吗？提示:正确.因为z1,z2至少有一个为虚数时是不能比较大小的，故z1,z2均为实数，即z1=a,z2=c,所以z1>z2,即a>c.

若|z-z1|=|z-z2|，则z对应的点与z1、z2对应的点之间的关系是什么？提示:z对应的点在以z1,z2对应的点为端点的线段的中垂线上.1.复数(i是虚数单位)的实部是()(A)(B)-(C)(D)-【解析】选A.，所以实部为.2.若复数z满足，则z对应的点位于()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限【解析】选B.z=2i(1+i)=-2+2i，因此z对应的点为(-2,2),在第二象限内.3.已知复数z满足z·i=2-i，i为虚数单位，则z=()(A)2-i(B)1+2i(C)-1+2i(D)-1-2i【解析】选D.由z·i=2-i得,故选D.4.满足条件|z-i|=|3+4i|的复数z在复平面上的对应点的轨迹是_________________.【解析】方法一:设z=x+yi(x,y∈R),由已知|z-i|=|3+4i|,得,即x2+(y-1)2=25.∴复数z的轨迹是以(0,1)为圆心，以5为半径的圆.方法二:由已知得|z-i|=5,∴复数z与复数z1=i两点间的距离为常数5,根据圆的定义,复数z的轨迹是以(0,1)为圆心,以5为半径的圆.答案:以(0,1)为圆心,以5为半径的圆1.复数相等的充要条件的应用通过设z=a+bi(a,b∈R)利用复数相等可实现复数问题向实数问题的转化.解题时要把等号两边的复数化为标准形式.2.复数的几何意义除了了解复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，要注意：(1)|z|=|z-0|=a(a＞0)表示复数z对应的点到原点的距离为a;(2)|z-z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离.3.复数中的解题策略(1)证明复数是实数的策略①z=a+bi∈R

b=0(a,b∈R);②z+=2a∈R;③z=

z∈R.(2)证明复数是纯虚数的策略：①z=a+bi为纯虚数

a=0,b≠0(a,b∈R)；②b≠0时，z-=2bi为纯虚数；③z是纯虚数

z+=0且z≠0.(3)复数模的求解策略：①利用定义求复数的模；②利用几何意义求复数的模；③利用复数对应的向量关系求复数的模；④利用方程思想求复数的模.(4)解决复数问题的基本策略：①复数相等策略；②分母实数化策略；③利用几何意义转化为点或向量策略.1

复数的有关概念【例1】(1)若复数z=(x2-1)+(x-1)i为纯虚数，则实数x的值为()(A)-1(B)0(C)1(D)-1或1(2)(2010·江苏高考)设复数z满足z(2-3i)=6+4i(其中i为虚数单位)，则z的模为________________.【审题指导】(1)考查复数分类，可以利用纯虚数的概念列出x应满足的条件求解.(2)先由条件z(2-3i)=6+4i，求得复数z，然后利用复数的模长公式求解.【自主解答】(1)选A.由复数z为纯虚数，得，解得x=-1，故选A.(2)由z(2-3i)=6+4i，得

,即z=2i,∴|z|=2.答案:2【规律方法】1.复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部、虚部满足的方程(不等式)组即可.2.求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z，然后利用复数的模长公式求解.【互动探究】求本例(2)中z的共轭复数.【解析】方法一：由例题知z=2i，∴=-2i.方法二：在z(2-3i)=6+4i两边同时取共轭复数得

(2+3i)=6-4i，∴.【变式训练】若z1=(m2+m+1)+(m2+m-4)i(m∈R),z2=3-2i，则m=1是z1=z2的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件【解析】选A.由解得m=-2或m=1，所以m=1是z1=z2的充分不必要条件.2

复数的运算【例2】(2010·辽宁高考)设a,b为实数，若复数，则()(A)a=,b=(B)a=3,b=1(C)a=,b=(D)a=1,b=3【审题指导】根据已知条件，可以转化为乘法运算或除法运算后，再利用复数相等求a，b.【自主解答】选A.方法一：由可得1+2i=(a-b)+(a+b)i，所以，解得a=，b=.故选A.方法二：由得，∴a=,b=.故选A.【规律方法】1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式.2.记住以下结论，可提高运算速度：(1)(1±i)2=±2i；(2)；(3)；(4)；(5)i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i(n∈N).【变式训练】(2010·天津高考)i是虚数单位，复数 ()(A)1+2i(B)2+4i(C)-1-2i(D)2-i【解析】选A.【例】已知z1，z2为复数，(3+i)z1为实数，z2=，且|z2|=，求z2.【审题指导】可不设代数形式利用整体代换的思想求解.【规范解答】z1=z2(2+i)，(3+i)z1=z2(2+i)(3+i)=z2(5+5i)∈R，∵|z2|=，∴|z2(5+5i)|=50，∴z2(5+5i)=±50，∴【规律方法】复数的综合运算中会涉及模、共轭及分类等，求z时要注意是把z看作一个整体还是设为代数形式应用方程思想；当z是实数或纯虚数时注意常见结论的应用.【变式备选】复数，，若 是实数，求实数a的值.【解析】∵是实数，∴a2+2a-15=0，解得a=-5或a=3.又(a+5)(a-1)≠0，∴a≠-5且a≠1，故a=3.

复数的几何意义【例3】(1)(2010·陕西高考)复数在复平面上对应的点位于()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限(2)已知虚数(x-2)+yi，其中x、y均为实数，当此虚数的模为1时，的取值范围是()(A)［-,］(B)［-，0)∪(0，］(C)［-,］(D)［-,0)∪(0,］【审题指导】(1)化简z为代数形式，确定其实部、虚部.(2)先确定点(x，y)的轨迹，再利用的几何意义求解.【自主解答】(1)选A.因为，所以所以z对应的点位于第一象限.(2)选B.∵,设k=,则k为过圆(x-2)2+y2=1上的点及原点的直线斜率，如图,设圆(x-2)2+y2=1的圆心为M，过原点作圆M的切线OA，则sin∠AOM=.∴∠AOM=.∴k≤tan=.又∵y≠0,∴k≠0.由对称性可知选B.【规律方法】复数的几何意义可以让我们运用数形结合思想把复数、向量、解析几何有机地结合在一起，能够更加灵活的解决问题.高考中对复数几何意义的考查主要集中在复数对应点的位置、加减法的几何意义、模的意义等.【变式训练】(1)(2010·北京高考)在复平面内，复数对应的点的坐标为_____________.【解析】，在复平面上对应的点为(-1,1).答案:(-1,1)(2)已知复数z满足|z+2-2i|=1，则|z-3-2i|的最大值是____.【解析】方法一：由复数及其模的几何意义知：满足|z+2-2i|=1，即|z-(-2+2i)|=1.复数z所对应的点是以C(-2，2)为圆心，r=1为半径的圆.而|z-3-2i|=|z-(3+2i)|的几何意义是：复数z对应的点与点A(3，2)的距离.由圆的知识可知|z-3-2i|，最大值为|AC|+r.|z-3-2i|max.方法二：设z=x+yi(x,y∈R),则|x+yi+2-2i|=1,即|(x+2)+(y-2)i|=1.∴(x+2)2+(y-2)2=1①∴|z-3-2i|=由①知，(y-2)2=1-(x+2)2≥0,∴-3≤x≤-1.∴16≤-10x+6≤36,∴4≤≤6.x=-3时，|z-3-2i|max=6.方法三：|z-3-2i|=|z+2-2i-5|≤|z+2-2i|+5=1+5=6,∴|z-3-2i|max=6.答案:6

复数的有关概念不明确致误【典例】(2010·山东高考)已知(a,b∈R)，其中i为虚数单位，则a+b=()(A)-1(B)1(C)2(D)3【审题指导】本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，可化简所给条件式后利用复数相等求解.【规范解答】选B.由得a+2i=bi-1,所以由复数相等的意义知a=-1,b=2,所以a+b=1.【误区警示】在解答本题时有两点容易造成失误：一是粗心大意；二是i的幂化简错误.除此之外，解决此类问题时，以下两点也容易造成失误：1.复数的实部、虚部概念不清.2.复数相等的充要条件掌握不好.【变式训练】(2010·安徽高考)i是虚数单位，()(A)(B)(C)(D)【解析】选B..1.(2010·江西高考)已知(x+i)(1-i)=y，则实数x，y分别为()(A)x=-1，y=1(B)x=-1，y=2(C)x=1，y=1(D)x=1，y=2【解析】选D.由已知得(x-i2)+(1-x)i=y，根据复数相等的充要条件得x=1,y=2.2.(2010·安徽高考)已知i2=-1，则i(1-i)=()(A)-i(B)+i(C)--i(D)-+i【解析】选B.直接乘开，用i2=-1代换即可.i(1-i)=i+.3.(2010·浙江高考)设i为虚数单位，则()(A)-2-3i(B)-2+3i(C)2-3i(D)2+3i【解析】选C.2-3i.4.(2010·广东高考)若复数z1=1+i，z2=3-i，则z1·z2=()(A)4+2i(B)2+i(C)2+2i(D)3【解析】选A.z1·z2=(1+i)·(3-i)=3+1+(3-1)i=4+2i.5.(2010·福建高考)i是虚数单位，等于()(A)i(B)-i(C)1(D)-1【解题提示】注意应用in(n∈N*)的周期性.【解析】选C..6.(2010·北京高考)在复平面内，复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()(A)4+8i(B)8+2i(C)2+4i(D)4+i【解题提示】用中点公式求C点坐标，写出对应的复数.【解析】选C.由已知A(6,5)，B(-2,3)，∴中点C(2,4),∴点C对应的复数是2+4i.一、选择题(每小题4分，共20分)1.(2011·漳州模拟)在复平面内,复数对应的点位于()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限【解析】选D.故选D.2.(2010·浙江高考)对任意复数z=x+yi(x,y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是()(A)|z-|=2y(B)z2=x2+y2(C)|z-|≥2x(D)|z|≤|x|+|y|【解题提示】用排除法，逐一验证.【解析】选D.可对选项逐个检验，A项，|z-|≥2y，故A错；B项，z2=x2-y2+2xyi，故B错；C项，|z-|≥2y，故C错；D项正确.3.(2010·全国Ⅱ)复数=()(A)-3-4i(B)-3+4i(C)3-4i(D)3+4i【解析】选A.本题主要考查复数的运算.4.已知i是虚数单位，则()(A)-1(B)1(C)-i(D)i【解析】选C.原式5.(2010·湖北高考)若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是()(A)E(B)F(C)G(D)H【解题提示】先由点Z(x,y)的坐标求出复数z，然后计算复数，再找出对应的点.【解析】选D.由点Z(x,y)的坐标知z=3+i，故，因此表示复数的点是H.二、填空题(每小题4分，共12分)6.(2011·福州模拟)复数z1=1+i,z2=3-i,则z1·z2=________.【解析】z1·z2=(1+i)·(3-i)=3-i+3i-i2=3+2i-(-1)=4+2i.答案:4+2i7.设复数z满足|z|=5且(3+4i)z是纯虚数，则=_________.【解析】设z=a+bi(a、b∈R)，则有.①于是(3+4i)z=(3a-4b)+(4a+3b)i.由题设得得b=代入①得a2+()2=25，a=±4，∴∴

=4-3i或

=-4+3i.答案:±(4-3i)8.(2010·上海高考)若复数z=1-2i(i为虚数单位)，则z·

+z=___________.【解题提示】利用复数的运算性质直接求解.【解析】z·

+z=(1-2i)(1+2i)+1-2i=6-2i.答案:6-2i三、解答题(每小题9分，共18分)9.当m为何实数时，复数,(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数.【解析】(1)z为实数，则虚部m2+3m-10=0，即解得m=2，∴m=2时，z为实数.(2)z为虚数，则虚部m2+3m-10≠0，即解得m≠2且m≠±5.∴当m≠2且m≠±5时，z为虚数.(3)z为纯虚数，则解得m=-,∴当m=-时，z为纯虚数.10.已知z是复数，z+2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.【解题提示】设出z的代数形式，利用