结构位移和刚度-静定结构在荷载作用下位移计算（建筑力学）

静定结构在荷载作用下的位移计算主要内容什么是结构的位移结构位移在实际中的目的静定结构在荷载作用下的位移计算方法静定结构的位移一、结构的位移概述结构在荷载作用下，各杆件都会产生一定的变形，结构中各截面的位置将发生相对的变化。例如图a所示的刚架，在荷载F作用下发生图中虚线所示的变形，截面A的位置发生了变化，这种截面位置的改变称为结构的位移。静定结构的位移最为常见的结构位移有线位移和角位移。线位移即结构中某截面形心的移动，如图a中A截面形心沿某方向移动到A

点，AA

称为A点的线位移，用

A表示。

A又可以用两个相互垂直的分量来表示，如图b中的

AH和

AV分别称为A点的水平位移和竖向位移。静定结构的位移角位移即结构中某截面转过的角度。如图a中A截面相对原来方向转过的角度

A就是A截面的角位移。静定结构的位移设图示简支刚架，在荷载作用下发生图中虚线所示的变形，C、D点的水平位移分别为

CH和DH，两点间相对位移的距离

CD＝

CH＋DH称为C、D两点的相对线位移，即两截面之间相互距离的改变量。静定结构的位移同时，截面A发生顺时针角位移

A，截面B发生逆时针角位移

B，A、B两截面相对转过的角度，即它们向相反方向产生的角位移之和

AB＝

A＋

B，称为AB两截面的相对角位移。引起结构位移的原因除了荷载因素外，还有其他一些因素，如温度的变化、支座的移动和杆件的制造误差等。静定结构的位移（1）验算结构的刚度，使结构的变形和位移控制在允许的限度内；（2）由于超静定结构的未知力数目大于平衡方程数目，因而在计算超静定结构的反力和内力时，除了利用平衡条件外，还必须考虑位移条件，补充变形协调方程。所以，位移计算是求解超静定结构的基础。

（3）在结构制作和养护过程中，经常需要预先知道结构变形后的位置，以便采用相应的施工措施。二、研究结构位移的目的：下面从功能原理的角度来研究结构位移的计算。静定结构的位移三、静定结构在荷载作用下的位移计算方法在图示结构中，欲求A点竖直方向的位移

，可在A点的竖直方向上加一个单位力=1，构成一个虚拟的力状态(图b)。在F上加一杠以表示虚拟。静定结构的位移同样，由虚拟力所产生的内力也在内力符号上加一杠。结构在荷载作用下的状态作为实际的位移状态(图a)。由虚功原理可以得到（推导从略）静定结构的位移

该式就是结构在荷载作用下的位移计算公式。当计算结果为正时，表示实际位移方向与虚拟单位力所指方向相同；当计算结果为负时，则相反。上述方法称为单位荷载法。

式中，FN、M、Fs分别为实际位移状态中由荷载引起的结构内力；、、分别为虚拟力状态中由虚拟单位力引起的结构内力；EA、EI、GA分别为杆件的拉压刚度、弯曲刚度、剪切刚度；为切应力分布不均匀系数，与截面的形状有关；求和号∑表示对结构中每一杆件积分后再求和。静定结构的位移在具体的结构位移计算中，对于以弯曲变形为主的结构，如：梁、刚架，由轴力和剪力产生的位移一般情况下只占弯矩产生位移的3％以下。若不计轴力和剪力的影响，虚功原理可表示为对于平面桁架，因为每根杆只产生轴力，且每根杆的轴力、FN和EA都是常量，所以虚功原理可表示为式中，l为杆件长度。

静定结构的位移对于组合结构，梁式杆只考虑弯矩的影响，链杆只考虑轴力的影响，对两种杆件分别计算后相加得到位移计算公式为：+上述各种情况下位移计算公式，就是结构在不同荷载作用下的位移计算公式。希望同学们掌握。静定结构的位移静定结构在荷载作用下的位移计算主要内容静定结构在荷载作用下的位移计算实例分析静定结构

同学们好，上节课给大家介绍了由虚功原理可以得到的单位荷载法计算结构在荷载作用下的位移公式。当计算结果为正时，表示实际位移方向与虚拟单位力所指方向相同；当计算结果为负时，则相反。对于组合结构，梁式杆只考虑弯矩的影响，链杆只考虑轴力的影响，对两种杆件分别计算后相加得到位移计算公式为:+静定结构在具体的结构位移计算中，对于以弯曲变形为主的结构，如：梁、刚架，由轴力和剪力产生的位移一般情况下只占弯矩产生位移的3％以下。若不计轴力和剪力的影响，虚功原理可表示为：对于平面桁架，因为每根杆只产生轴力，且每根杆的轴力、FN和EA都是常量，所以虚功原理可表示为：式中，l为杆件长度。下面我们利用公式，解决实际问题。静定结构

例1试计算图示等截面悬臂梁B截面的竖向位移

BV和角位移

B。设梁的弯曲刚度EI为常数。静定结构解：(1)求竖向位移

BV在实际状态(图a)中，梁的弯矩方程为（0≤x＜l）

在B截面虚加一竖向单位力=1(图b)，在虚拟状态中，梁的弯矩方程为（0≤x＜l）静定结构由虚功原理可得（↓）

正号表示

BV的方向与所设单位力方向一致，即位移是向下的。

在B截面虚加一个单位力偶＝1(图c)，在虚拟状态中，梁的弯矩方程为（2）求角位移θB(0≤x<l)静定结构由虚功原理得负号表示

B的转向与所设单位力偶的转向相反，即为顺时针转向。

静定结构例2试计算图示桁架C点的水平位移

CH。设各杆的拉压刚度EA均相同。静定结构

解：分别算出实际状态和虚拟状态下桁架各杆的轴力，如图a、b所示。静定结构为了清楚，可列表计算如下：静定结构由虚功原理得

（→）

所得结果为正，表示

CH的方向与所设单位力方向一致，即水平向右。

静定结构

课堂任务试计算图示结构C、D两点间距离的改变。设梁的弯曲刚度EI为常数。静定结构解:在实际状态(图a)中，链杆的轴力均为零。

静定结构由于对称性，可只计算半个结构的内力。

考虑左半部分，取图示的研究对象，求得弯矩方程为：M=

（0≤x≤）

静定结构在C、D两点加一对反向单位力(图a)，在虚拟状态中，利用对称性，分别取图b、c所示的研究对象，求得弯矩方程为：AE段=－x

（0≤x≤a）

EG段

（0≤x≤）(a)GEG静定结构由虚功原理得=＝－

（←→）所得结果为负，表示实际位移的方向与所设单位力方向相反，