平面弯曲-梁的正应力及正应力强度计算（建筑力学）

一、纯弯曲时梁横截面上的正应力第四节梁的正应力及正应力强度计算弯曲应力

从梁的内力图可知，在梁的CD段，各横截面上只有弯矩而没有剪力，这种情况称为纯弯曲。在梁的AC、BD段，各横截面上既有剪力又有弯矩，称为横力弯曲。1.几何变形方面梁的纯弯曲现象:梁纯弯曲时正应力公式也要从几何变形、物理关系和静力学关系三方面考虑。１）原来为直线的纵向线都弯成了曲线，下面的纵向线都伸长了，上面的纵向线都缩短了。２）原来为直线的横向线仍为直线，只是相互倾斜了一个角度，并且仍垂直于弯曲后的梁轴线。３）矩形截面的上部变宽了，下部变窄了。弯曲应力根据观察梁的纯弯曲现象，可以做出如下假设和推断：（1）平面假设（2）单向受力假设产生纯弯曲的梁，变形之前为平面的横截面变形之后仍为平面，并且仍垂直于弯曲后的梁轴线。将梁看成由无数根纵向纤维组成，各纤维只产生轴向拉伸或压缩变形，而互相之间没有挤压。弯曲应力由变形的连续性又可推出：在伸长和缩短之间必有一层纤维既不缩短也不伸长，这层纤维称为中性层。

中性层与横截面的交线称为中性轴。

中性轴将梁的横截面分为受拉区和受压区。根据平面假设可知，纵向纤维的伸长和缩短是横截面绕中性轴转动的结果。弯曲应力任一根纵向纤维的线应变上式说明：各纤维的纵向线应变与它到中性层的距离成正比。距中性层最远的上下边缘处的线应变最大，而中性层的线应变为零。ρ为中性层上的纤维的曲率半径。)弯曲应力2.物理关系方面对任一确定的截面，E/ρ为一常数，所以上式说明：梁横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距离成正比。中性轴上各点处正应力为零，距中性轴最远的上、下边缘上各点处正应力最大，其他点的正应力介于零到最大值之间。弯曲应力3.静力学关系方面由各微内力对z轴之矩的代数和应等于该截面上的弯矩，可导出

弯曲应力纯弯曲时横截面上正应力的计算公式：用上式计算正应力时，通常只将M及y的绝对值代入，求应力的数值，而正应力σ的正负号由弯矩M的正负号及点的位置来判断。弯曲应力正应力公式的使用条件：（1）梁产生纯弯曲。（2）正应力不超过材料的比例极限。（3）公式对横截面有纵向对称轴的其它形状截面梁都适用。弯曲应力

对于跨度与截面高度之比

l/h

大于5时，可以忽略切应力对正应力的影响，横截面上的最大正应力按纯弯曲正应力公式计算。二、横力弯曲时梁横截面上的正应力

横力弯曲：梁的横截面上既有弯矩又有剪力。此时，横截面是不仅有正应力，而且有切应力。

梁在纯弯曲时所作的平面假设和各纵向纤维间无挤压的假设不再成立。弯曲应力

例10-12简支梁受均布荷载q作用，试完成：(1)求距左端为１m的C截面上a、b、c三点的正应力。(2)作出C截面上正应力沿截面高度的分布图。

解

（1）求指定截面上指定点的应力先求出支座反力弯曲应力C截面的弯矩MC=5.25×1－3.5×1×0.5=3.5kN·m作梁的弯矩图如图示。跨中截面弯矩最大，其值为弯曲应力

计算C截面上a、b、c三点的正应力：

矩形截面对中性轴z的惯性矩弯曲应力(2)作C截面上正应力沿截面高度的分布图。弯曲应力三、梁的正应力强度计算1.梁的最大正应力对于等截面直梁，弯矩最大的截面就是危险截面，而危险截面上距中性轴最远的上边缘或下边缘处各点即为危险点。令：式中WZ称为抗弯截面系数，仅与截面的几何形状及尺寸有关。单位：m3或mm3。工程中常用简单截面的惯性矩和抗弯截面系数见表10-8。弯曲应力

对于各种型钢的惯性矩和抗弯截面系数可从书后“附录”型钢表中查出。弯曲应力

对于中性轴不是截面对称轴的梁，例如T型截面的等直梁。全梁的σtmax

或σcmax不一定发生在|Mmax|截面处，需对最大正弯矩和最大负弯矩处的σtmax和σcmax分别计算。

在最大正弯矩截面上，梁的下边缘产生最大拉应力，上边缘产生最大压应力，其值为弯曲应力2.梁的正应力强度计算

对于抗拉和抗压能力相同的塑性材料（如低碳钢），由于，所以其正应力强度条件为

对于抗拉和抗压能力不同的脆性材料（如铸铁），由于，所以其正应力强度条件为弯曲应力3.梁的正应力强度在工程中的应用(1)正应力强度校核(2)设计截面(3)确定许用荷载弯曲应力

例10-13图示简支梁选用木材制成，其横截面为矩形b×h=140mm×210mm，梁的跨度l=4m，荷载FP=6kN，q=2kN/m，材料的弯曲许用应力[σ]=11MPa，试校核该梁的正应力强度。解（1）求梁在图示荷载作用下的最大弯矩。求支座反力，由对称性可得FBy=FAy=7kN

再作梁的弯矩图，如图示。

从图可知：跨中截面上弯矩最大，其值为Mmax=10kN·m

。弯曲应力

(2)计算截面的几何参数。(3)校核梁的正应力强度。该梁满足正应力强度要求。弯曲应力例10-16T形截面外伸梁如图，已知：荷载FP1=40kN，FP2=15kN，材料的弯曲许用应力分别为[σt]=45MPa，[σc]=175MPa，截面对中性轴的惯性矩Iz=5.73×10-6m4，下边缘到中性轴的距离y1=72mm，上边缘到中性轴的距离y2=38mm，其它尺寸如图。试校核该梁的强度。解（1）求梁在图示荷载作用下的最大弯矩。弯曲应力B截面上弯矩取得最大负值，MB==3kN·m；=4.5kN·m。C截面上弯矩取得最大正值，M